Классификация, симметрии и решения тодовских систем

Нелинейные интегрируемые динамические системы часто находят применение и играют существенную роль в исследованиях в различных областях теоретической физики, в особенности — для более глубокого понимания непер-турбативных аспектов лоренц-инвариантных теорий поля и выявления взаимосвязей статистической физики и квантовой теории поля [1−9]. Наиболее перспективными при этом представляются два направления. Первое связано с применением конформно-инвариантных интегрируемых систем для моделирования модифицированных теорий струн и гравитации, так называемых W-гравитаций и получаемых из них Ж-струн [10−12]. В основе этих конструкций лежат Ж-алгебры, являющиеся расширениями алгебры Вирасоро. Заметим, в частности, что Ж-струны обладают теми же замечательными свойствами, что и обычные: на квантовом уровне они удовлетворяют теореме об отсутствии духов, амплитуды рассеяния в таких теориях демонстрируют известные свойства дуальности и факторизуемости, и они обладают модулярной инвариантностью. Но при этом Ж-гравитации и W-струны имеют и очевидные преимущества благодаря более широкой нелинейной алгебре симметрии. Второе направление связано со свойствами солитонных решений нелинейных интегрируемых систем. Такие решения при квантовании описывают протяженные объекты, имеющие смысл как частицы с нетривиальной внутренней структурой [13]. Примерами таких частпцеподобных решений являются монополи, несущие топологический заряд и, так следствие наблюдения Монто-нена и Олива [14], ответственные за эффект Мейснера в механизме конфай-нмента в неабелевых калибровочных теориях. Кроме того, нелинейные интегрируемые системы используются и для прямого моделирования эффекта удержания спинорных полей внутри таких локализованных объектов, какими являются именно солитонные решения [15, 16], реанимируя тем самым некоторые идеи прошлых десятилетий [17−19].

Несомненно, также весьма интересны проявления и применения нелинейных интегрируемых уравнений, в частности — тодовских систем, в физике поверхностей, квантовой оптике и нелинейных волновых процессах, например, для моделирования материалов с заданными свойствами, сетей передачи информации и лазеров и волноводов с наименьшими потерями энергии, см., например, [20−23].

Уравнения Тоды составляют широкий класс нелинейных интегрируемых систем, возникающих во многих областях математической и теоретической физики, в задачах, имеющих как фундаментальное, так и прикладное значение [24, 25]. Это матричные дифференциальные уравнения специального вида, эквивалентные некоторому набору нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Один из путей исследования нелинейных дифференциальных уравнений проходит через выявление и анализ их симметрий. Идейные основания для такого подхода были заложены в конце XIX — начале XX столетий Софусом Ли и Эмми Нётер. С тех пор наиболее интересные и важные результаты в этой области исследований были получены в развитие теории интегрируемых систем. Вполне исчерпывающий список литературы к этому вопросу можно найти в книгах [26, 27]. Теория групп и алгебр Ли, развившаяся из таких начал, находит множество приложений к математическим и физическим задачам [24, 26−28]. В частности, и что важнее всего для нашей работы, она является необходимым инструментом для формулировки многих интегрируемых систем и построения подходящих методов интегрирования.

Особое место среди нелинейных интегрируемых уравнений занимают двумерные системы, которые выводятся из так называемого условия нулевой кривизны [24, 25, 27, 29]. Эта простая и ясная основа для построения соответствующих нелинейных уравнений делает возможным наиболее эффективное применение различных методов при исследовании таких сложных систем, как, например, тодовские системы, являющиеся предметом настоящей диссертации.

Впервые тодовская система была сформулирована в работе [30] для описания ангармонических колебаний кристаллической решетки. Это была одномерная нелинейная интегрируемая модель семейства классических частиц с одной степенью свободы на окружности или на прямой (в зависимости от выбранных граничных условий), имеющих некоторое экспоненциальное взаимодействие с соседними частицами из семейства. Интегрируемость тодовской цепочки исследовалась уже в работах [31−33]. Ее двумерное обобщение было предложено в [34], где также было сформулировано представление нулевой кривизны для этой уже двумерной модели. Результаты [34] были обобщены в работах [35, 36] на случаи различных аффинных алгебр Каца-Муди. Эти же вопросы (интегрируемости) решались в работах [37, 38] для простейших тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, и в [39] — для аффинных тодовских систем.

Согласно теоретико-групповому подходу тодовские системы задаются выбором некоторой группы Ли, чья алгебра Ли наделена Z-градуировкой. Другими словами, конкретное уравнение Тоды ассоциировано с группой Ли и определяется Z-градуировкой соответствующей алгебры Ли. Определение и некоторые общие процедуры интегрирования для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, можно найти в [24, 25, 40, 41]. Представляют интерес также обобщения тодовских систем, возникающие при включении высших градуировочных подпространств [42−44], что подразумевает уже не только нетривиальное самодействие тодовских полей, но и их взаимодействие с полями материи, и при переходе в пространства более высоких размерностей [45, 46]. Такие обобщения, основанные на супергруппах, интересны с точки зрения моделирования суперсимметричных интегрируемых систем [47−49].

Термины «уравнения Тоды» и «тодовские системы» используются здесь как равнозначные. 'Пространство-время' для тодовской системы — это двумерное многообразие, а '(конфигурационным) пространством полей' является подгруппа Ли исходной группы Ли, соответствующая той подалгебре Ли исходной алгебры Ли, которая отвечает нулевому градуировочному индексу.

Ясно, что для исчерпывающего описания тодовских систем нужно начать с перечисления Z-градунровок алгебр Ли, соответствующих группам Ли, с которыми уравнения Тоды ассоциированы. Классификация Z-градуировок комплексных полупростых конечномерных алгебр Ли хорошо известна, см., например, [50]. Соответствующая групповая и алгебраическая классификация тодовских систем, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли, была дана в статьях [41, 51, 52], где уравнения Тоды были записаны в удобной блок-матричной форме, порождаемой рассматриваемой Z-градуировкой. При этом, в [52] был предложен новый метод классификации Z-градуировок рассматриваемых алгебр Ли, который опирается лишь на общие свойства полупростых алгебр Ли, не прибегая к корневой технике. Именно этот блок-матричный подход [52] оказался наиболее адекватным для исследования уравнений Тоды.

Для построения явных точных решений и исследования симметрнй уравнений Тоды принципиально важными оказываются их дифференциально-геометрические свойства [25, 40]. А именно, тодовскую систему можно рассматривать как набор нелинейных дифференциальных уравнений, следующих из условия нулевой кривизны на некоторую плоскую связность в тривиальном главном расслоении с гладким двумерным многообразием в качестве базы и структурной группой Ли в качестве слоя. При этом, алгебра Ли Q структурной группы Ли G снабжается Z-градуировкой, которая индуцирует разложение линейного пространства g в прямую сумму трех подпространств, 0 = В<�о Ф flo Ф fl>o, где подалгебры я<0, flo и? j>0 состоят из подпространств с отрицательными, нулевым и положительными градуировочными индексами, соответственно. Z-градуировка, индуцирующая указанное разложение, используется для наложения на плоскую связность градуировочных условий. Кроме того, для окончательного вывода уравнений Тоды оказывается необходимым выбрать некоторое калибровочное условие для связности [25].

Обсудим случай конечномерных матричных групп Ли. В этом случае д<�о и 0>о являются нильпотентными подалгебрами д, образованными блочными строго нижними и строго верхними треугольными матрицами, тогда как подалгебра до образована блок-диагональными матрицами и содержит подалгебру Картана алгебры д. Рассматриваемая Z-градуировка используется далее для определения разложения Гаусса структурной группы Ли [24, 25]. Исходная группа G представляется в виде G — Go, где черта над символами означает топологическое замыкание, и Go, G<о, G>о обозначают связные подгруппы Ли структурной группы, соответствующие подалгебрам 00) 0<о, д>оПодгруппы G.

До середины 1990;х годов было опубликовано множество работ, посвященных абелевым тодовским системам, тогда как неабелевы системы еще не были изучены достаточно основательно. Это связано с тем фактом, что к тому времени еще не было найдено удобного представления для таких систем. В статье [45] было показано, что некоторый класс неабелевых тодовских систем может быть представлен в простом блок-матричном виде. Позже было доказано, что такое представление существует и для всех тодовских систем, ассоциированных с классическими полупростыми группами Ли [51, 52]. Этот результат привел к возобновлению интереса к рассматриваемому классу нелинейных интегрируемых систем [53−56]. Отметим также, что простейшие частные случаи неабелевых уравнений Тоды, как минимального расширения абелевых систем, ассоциированных с ортогональными группами, возникали в [57] при исследовании некоторых интегрируемых иерархий.

Плоскую связность в рамках описанного выше подхода удобно рассматривать как один-форму, принимающую значения в алгебре Ли д. Ненулевые компоненты такой один-формы связности, рассматриваемые как отображения из базы расслоения в нильпотентные подалгебры д<0 и д>0, удовлетворяют простым соотношениям, вытекающим из условия нулевой кривизны. Такие компоненты входят в уравнения Тоды в качестве некоторых фиксированных матричнозначных отображений. Сами лее уравнения Тоды формулируются для отображений из базового многообразия в группу Ли Go. Координаты на групповом многообразии Go, параметризующие это отображение, называются тодовскими полями. Нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка для этих полей рассматриваются также в качестве уравнений движения для тодовской системы в рамках лагранжева и гамильтонова подходов. Известно, что такие системы можно вывести из теории Весса-Зумино-Новикова-Виттена (ВЗНВ) [58, 59] с помощью подходящих гамильтоновых редукций [60−63]. Явный вид лагранжиана тодовской системы позволяет говорить о том, что она локально эквивалентна некоторой сигма-модели взаимодействующих струн, движущихся на групповых многообразиях. Интересно проверить это наблюдение на примерах сигма-моделей, описанных в книге [28].

Интегрируемость уравнений Тоды обеспечивается их богатой симметрий-ной структурой. Для тодовских систем, ассоциированных с конечномерными группами Ли, можно выявить очевидную симметрию такого вида, что, по вполне понятным причинам, мы называем ее симметрией ВЗНВ-типа, и конформную инвариантность. При этом, преобразования симметрии ВЗНВ-типа порождаются определенными комбинациями генераторов алгебры токов, а конформной симметрии — генераторами алгебры Вирасоро, которые уже квадратичны по таким генераторам. Но эти симметрии не исчерпывав ют всех симметрий рассматриваемых систем. Дополнительные симметрии можно найти, используя характеристические интегралы, чье существование связано с интегрируемостью рассматриваемых нелинейных систем [64−66]. Любой характеристический интеграл задает плотность и поток некоторого закона сохранения [26, 67−69]. Более того, любая такая плотность, проинтегрированная с произвольной весовой функцией, дает бесконечный набор сохраняющихся зарядов. Гамильтоновы аналоги этих сохраняющихся зарядов порождают искомые преобразования симметрии.

Существует два основных метода нахождения характеристических интегралов. Один состоит в построении набора производящих псевдодифференциальных операторов [60−63, 67−69]. Другой метод известен как калибровка Дринфельда-Соколова [61, 70]. В действительности, оба метода основаны на понятии векторного представления со старшим весом и свойствах плоской связности, порождающей тодовскую систему. В настоящей диссертации мы, следуя работам [71−73], применяем метод Дринфельда-Соколова для нахождения характеристических интегралов для неабелевых тодовских систем. Найденные величины образуют дифференциальные алгебры. В каноническом формализме гамильтоновы аналоги характеристических интегралов образуют W-алгебры по отношению к скобкам Пуассона.

Напомним, что W-алгебрами называют полиномиальные расширения алгебры Вирасоро за счет полей высших конформных спинов [60−63, 74−76]. Начало систематическому изучению таких объектов в рамках общей квантовой теории поля было положено в работах [77−79]. Для подробного обзора по этому предмету можно смотреть статью [74]. Изначально W-алгебры были рассмотрены в [80] как некоторые нелинейные соотношения, возникающие в определенных иерархиях дифференциальных уравнений. Работа [80], в частности, расширила алгебры симметрий за рамки теории алгебр Ли. Стоит подчеркнуть, что в отношении к нелинейным дифференциальным уравнениям Ж-алгебры имеют смысл как алгебры характеристических интегралов, определенных на решениях таких уравнений. Операция умножения в алгебре индуцируется при этом подходящими скобками Пуассона и Дирака. Можно привести обширный список публикаций, обосновывающих необходимость исследований Ж-алгебр. Главными среди этих причин, на наш взгляд, являются следующие две [74]. Во-первых, приложения конформных теорий поля к различным задачам (в теории струн, двумерной гравитации, статистической механике, теории интегрируемых систем и др.) требуют включения особых симметрий, дополнительных к конформной инвариантности. Во-вторых, W-алгебры оказываются весьма полезными в анализе конформных теорий поля (например, для классификации рациональных конформных теорий поля) и в построении квантовых теорий, согласованных с исходными классическими системами.

Для построения И^-алгебр, как алгебр характеристических интегралов уравнений Тоды по отношению к скобке Пуассона, нам необходимо развить гамильтонов формализм для тодовских систем. Наиболее удобной для этой цели нам представляется техника, предложенная в [81] для теории ВЗНВ. В нашем случае исходным пунктом является теоретико-полевое описание тодовских систем с использованием вариационного принципа (см., например, [42]). Каноническое описание строится при этом посредством локальной параметризации группового многообразия, на котором определяется эффективное действие. В результате находится канонический гамильтониан тодовской системы в форме Сугавары [82, 83]. Он дается в терминах так называемых левых и правых токов Каца-Муди [84], образующих два экземпляра аффинных алгебр Каца-Муди, с алгебраической структурой, индуцированной скобкой Пуассона (о различных аспектах истории и приложений алгебр токов в рамках общей конформной теории поля см. также обзор [85]). Канонический гамильтониан порождает уравнения Тоды, также записанные в терминах генераторов алгебры токов.

Хотя наша работа содержит новые результаты, в некоторых аспектах глава 2 имеет характер обзора. Отметим, что большая часть результатов по W-алгебрам для уравнений Тоды была получена в отношении абелевых систем методом гамильтоновой редукции, основанным на том свойстве, что тодов-ские системы можно найти, стартуя с ВЗНВ модели, ассоциированной с группой Ли G, и затем налагая подходящие связи на сохраняющиеся токи, которые образуют два экземпляра алгебр петель с центральным расширениемэти бесконечномерные алгебры ассоциированы с алгеброй Ли g группы Ли G [60 -63]. При этом, 'пространство полей' тодовской системы возникает как фактор в обобщенном разложении Гаусса для группы Ли G, что выполняется только для плотного подмножества G. Это приводит к тому, что приведенная система отлична от 'истинной' тодовской системы, и в гамильтоновом формализме приведенное фазовое пространство системы, полученной редукцией модели ВЗНВ, и фазовое пространство тодовской системы, совпадая локально, могут иметь различные глобальные структурысм., в этой связи, статьи [86−92]. Наш вывод оправдан еще и тем фактом, что тодовские системы имеют сингулярные решения, соответствующие некоторым несингулярным начальным условиям, что не может иметь места для системы, являющейся редукцией модели ВЗНВ, которая не имеет таких решений. Итак, результаты по тодовским системам, найденные методом гамильтоновой редукции, требуют проверки.

Нам представляется, что прямой метод, использованный в нашей работе, является более подходящим к рассматриваемой задаче, чем метод гамильтоновой редукции. В частности, он позволяет отождествить генераторы алгебры Вирасоро, описывающие конформные свойства модели, с гамильтоновы-ми аналогами компонент конформно улучшенного тензора энергии-импульса, который строится по стандартной процедуре. Выше уже было отмечено, что тодовские системы, ассоциированные с конечномерными группами Ли, обладают конформной инвариантностью, а W-симметрия возникает как ее расширение. Как следствие, соответствующие генераторы конформной симметрии должны образовывать алгебру Вирасоро, причем генераторами этой алгебры являются определенные компоненты тензора энергии-импульса. Однако, прямые вычисления показывают, что наивно определенный тензор энергии-импульса тодовской системы имеет ненулевой след, что явно противоречит конформной симметрии. Для прояснения ситуации необходимо перейти к конформно улучшенному тензору энергии-импульса. И только этот тензор должен быть использован при определении конформно-спинового состава всей И^-алгебры [75, 76], а также для доказательства, что найденные соотношения дают именно расширения алгебры Вирасоро за счет полей высших спинов (весов), присутствующих в тодовской системе. Интересной особенностью наших результатов в этом направлении является то, что конформные веса генераторов найденных 1У-алгебр не превышают конформных весов генераторов алгебры Вирасоро [71−73]. Следовательно, расширение алгебры Вирасоро произошло не из-за учета высших конформных спинов, а в результате использования неабелевой Z-градуировки.

Отметим также здесь, что вычисления, связанные с И7-алгебрами, оказываются весьма громоздкими. Важную, с 'технической' точки зрения, роль в таких последовательных вычислениях сыграли наши предварительные наработки по исследованию в рамках лагранжева и гамильтонова формализмов различных моделей, обладающих локальными и глобальными симметриями. Так, в работах [93, 94] мы исследовали калибровочно-инвариантные системы общего вида и развили технику вычисления скобок Пуассона генераторов сложных локальных снмметрий, а в [95−97] исследовали динамические симметрии планарной полевой модели, обладающей на одночастичном (псевдоклассическом) уровне описания дискретной, локальной и глобальной симметриями, работая при этом в рамках формализма приведенного фазового пространства. Интересно отметить, что теорию ВЗНВ можно трактовать как эйконал рассмотренной в статьях [95−97] простейшей планарной полевой модели Черна-Саймонса, см., например, [98]. Такие модели, обладающие скрытыми симметриями, привлекательны, в частности, с точки зрения возможных приложений квантовой теории поля к объяснению явления высокотемпературной сверхпроводимости.

При формулировке нелинейной интегрируемой системы возникает та или иная версия проблемы факторизации соответствующей группы (см., например, [99]). Для тодовских систем такая факторизация группового элемента индуцируется Z-градуировкой соответствующей алгебры Ли. В случае конечномерных групп Ли проблема факторизации решается в рамках известного метода разложения Гаусса, лежащего в основе построения точных решений соответствующих уравнений Тоды [25, 41]. Для тодовских систем, ассоциированных с группами петель, требуемая факторизация индуцируется Z-градуировкой уже бесконечномерной алгебры, а именно, соответствующей алгебры Ли петель, и, по крайней мере с этой точки зрения, классификация Z-градуировок алгебр Ли петель оказывается крайне важной.

Алгебро-групповые и дифференциально-геометрические свойства тодовских систем и их физический смысл существенно различаются в зависимости от того, с какой группой Ли — конечномерной или бесконечномерной — они ассоциированы. Поучительный пример дается двумя простейшими частными случаями тодовских систем — уравнениями Лиувилля и sin-Гордон, глубокие различия между которыми хорошо изучены. Интересно отметить, например, что уравнение Лиувилля описывает эффективную теорию бозонных струн [100], тогда как его суперсимметричное расширение с необходимостью возникает уже в эффективной теории суперструн [101], а уравнение sin-Гордон есть не что иное, как уравнение движения модели Скирма, ограниченной с (3 + 1)-мерного пространства-времени на (1 + 1)-мерное и построенной не на SU (2) конфигурациях, а на абелевом £/" (1)-значном поле [102].

В общем случае, работая с группами Ли петель, имеют дело с бесконечномерными многообразиями [103], что может приводить к дополнительным проблемам по сравнению с конечномерным случаем. Так, при использовании произвольной Z-градуировки алгебры Ли петель нужно иметь в виду возможные расходимости бесконечных рядов градуировочных компонент. Тщательный анализ групп петель комплексных простых групп Ли и соответствующих Z-градуированных алгебр Ли петель был проведен нами в [104]. В частности, в этой работе было введено весьма полезное новое понятие интегрируемых Ъ-градуировок. На основе этого рассмотрения уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель комплексных классических групп Ли, были впоследствии явно описаны в наших работах [105, 106]. Отметим, что мы используем термины «уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель (конечномерной) группы Ли G» и «петлевые уравнения Тоды, ассоциированные с (конечномерной) группой Ли G7' как эквивалентные.

Двумерные уравнения Тоды, ассоциированные с группами петель, 1 представляют весьма интересные примеры вполне интегрируемых систем, см., например, книги [24, 25]. Они обладают солитонными решениями, которые имеют привлекательную физическую трактовку как взаимодействующие протяженные объекты. Кроме того, в квантовой теории классических вполне интегрируемых систем б'-матрица рассеяния частицеподобных массивных возбуждений таких решений вычисляется точно и обладает замечательным свойством факторизуемости [107−109]. В действительности, нет никакого общепринятого ясного определения солитонного решения. Здесь же мы называем решение уравнений n-солитонным решением, если оно зависит от п линейных комбинаций независимых переменных при определенном подборе характеристических параметров.

Солитонные решения для уравнений Тоды могут быть построены с помощью различных методов. Насколько нам известно, первые явные решения.

1Иногда имеют дело с уравнениями Тоды, ассоциированными с аффинными группами Каца-Мудн, являющимися петлевыми расширениями групп петель. Соответствующие аффинная алгебра Каца-Муди и алгебра Ли петель связаны центральным расширением. Обычно удается построить решения уравнении, ассоциированных с аффинными группами, стартуя с решений уравнений, ассоциированных с группами петель. Кроме того, в отличие от групп петель, не известно никаких представлений аффинных групп Каца-Муди, подходящих для практических целей. уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель, были найдены А. В. Михайловым [35]. Он использовал метод рационального одевания, являющийся версией метода обратной задачи рассеяния [29]. Заметим, что в общем случае решения, найденные Михайловым, не являются солитонными решениями. Кроме того, они описываются избыточным набором параметров.

Другой метод, используемый нами, есть метод Хироты. Его суть [110] состоит в замене зависимых переменных, вводящей так называемые т-функции. Конечной целью такой замены являются особого вида билинейные дифференциальные уравнения в частных производных, которые решаются затем по теории возмущений. Солитонные решения возникают, когда ряд теории возмущений обрывается на некотором конечном порядке. Этот метод применялся к аффинным тодовским системам, например, в статьях [111−116]. Главным недостатком метода Хироты является то, что нет никакого регулярного способа найти желаемое преобразование от исходных зависимых переменных к т-функциям. Поэтому иногда он используется в комбинации с другими методами, что помогает найти желаемый анзац, см., например, статьи [16, 117].

Упомянем еще два других подхода к проблеме, которые являются развитием метода Лезнова-Савельева [118−121] и обобщением преобразования Бэклунда [122]. Эти методы оперируют аффинными алгебрами Каца-Мудн и дают при этом те же солитонные решения, что и метод Хироты, и не рассматриваются в настоящей диссертации.

Здесь мы представляем наши результаты по абелевым тодовским системам, ассоциированным с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены Z-градуировками, индуцированными внутренними и внешними автоморфизмами конечного порядка, и пеабелевым уравнениям Тоды, ассоциированным с нескрученными группами петель комплексных общих линейных групп [123−126]. Мы применяем к петлевым тодовским системам два метода — Хироты (в абелевом случае) и рационального одевания — и проводим сравнение солитонных решений, построенных в рамках этих подходов.

В действительности, отметим, что до сих пор не было выяснено, каким образом основные составляющие и результаты применения метода Хироты и формализма рационального одевания соотносятся друг с другом.

Конкретизируем исходные элементы нашего общего обсуждения. Целью данной диссертации является систематизация и связное изложение основных результатов, полученных автором в ходе работ по исследованию различных аспектов уравнений Тоды. В целом, эти результаты собираются в три группы: классификация уравнений Тоды, ассоциированных как с конечномерными классическими группами Ли, так и с группами петельвыявление и анализ симметрийных свойств неабелевых тодовских систем, ассоциированных с классическими группами Ли, и построение W-алгебр, порождаемых соответствующими генераторами симметрийпостроение явных решений для петлевых уравнений Тоды различными методами и сравнительный анализ и развитие этих методов.

В настоящей работе М. означает либо евклидову плоскость IR2, либо комплексную прямую С. Мы обозначаем стандартные координаты на R2 через z~ и z+. Те же обозначения используются для стандартной комплексной координаты на С и комплексно сопряженной координаты, z = и z — z+, соответственно. Как обычно, для частных производных по стандартным координатам мы пишем д- = d/dz~ и д+ = d/dz+.2.

Напомним, что алгебра Ли (3 называется Ъ-градуированной, если задано представление 0 в виде прямой суммы подпространств.

3 = 0<5fc, fceZ таких, что.

0*, 0/] С <3ш для любых к, 1 € Ъ. Это означает, что любой элемент? алгебры 0 может.

2 В действительности, можно полагать, что М. является произвольным двумерным вещественным шш произвольным одномерным комплексным многообразием, см., например, статью [40] и книгу [25]. Тогда z~ и z+ являются некоторыми локальными координатами. быть единственным образом представлен как к£ Z где Е Для любого к? Z. Когда 0 — конечномерная алгебра Ли, данное представление всегда означает конечную сумму элементов. В случае же, когда <3 является бесконечномерной алгеброй Ли, мы полагаем, что она наделена структурой топологического векторного пространства и приведенный выше ряд сходится абсолютно.

Пусть дана группа Ли Я, чья алгебра Ли 0 наделена Z-градуировкой. Предположим, что для некоторого положительного целого числа L граду-ировочные подпространства и Ф+k тривиальны при всех О < к < L.3 Согласно определению Z-градуировки, ее градуировочное подпространство, соответствующее нулевому градуировочному индексу, 0q, является подалгеброй 0, и мы обозначаем через Qq связную подгруппу Ли группы Q, соответствующую этой подалгебре.

Уравнение Тоды, ассоциированное с группой Ли Q, — это нелинейное матричное дифференциальное уравнение второго порядка для гладкого отображения Е многообразия Л4 в Go следующего явного вида:4 (1) см., в частности, книги [24, 25]. В этом уравнении Ти Т+ — некоторые фиксированные отображения из Л4 в (З-l и 0+х, соответственно, удовлетворяющие условиям д+Т- = 0, = 0. (2).

Когда группа Ли Qo абелева, говорят, что соответствующее уравнение Тоды абелево, в противном случае мы имеем дело с неабелевым уравнением То.

3Ситуацпя, когда не существует такого целого положительного числа L, что градупровочные подпространства &—к и при 0 < к < L являются пустыми, обсуждается в главе 4- см. также статью [105].

4 Для простоты мы считаем, что Q является подгруппой группы, образованной обратимыми элементами некоторой ассоциативной алгебры Л с единицей. В этом случае б может быть рассмотрена как подалгебра алгебры Ли, ассоциированной с Л. В действительности, наше рассмотрение может быть обобщено на случай произвольной группы Q. ды. Напомним также, что уравнение Тоды может быть получено в рамках дифференциально-геометрического подхода, из условия нулевой кривизны плоской связности на тривиальном главном расслоении М. х Q Л4, посредством наложения определенных градуировочных и калибровочных условий [25]. Это свойство уравнений Тоды принципиально важно при построении их решений и нахождения для них характеристических интегралов.

Если задан изоморфизм F из Z-градуированной алгебры Ли (3 в Z-rpa-дуированную алгебру Ли Sj, связывающий соответствующие градуировочные подпространства равенством $)k = F ((3k), то говорят, что Z-градуировки 0 и 9) сопряжены посредством F. В действительности, имея Z-градуированную алгебру Ли 0, можно индуцировать Z-градунровку^{-изоморфной} алгебры Ли используя fik = F (<&k) в качестве градуировочных подпространств.

Ясно, что сопряженные Z-градуировки дают практически одни и те же уравнения Тоды. Поэтому для классификации уравнений Тоды, ассоциированных с группой Ли Q, нужно построить классификацию несопряженных Z-градуировок ее алгебры Ли В случае, когда 0 является алгеброй Ли комплексной классической группы Ли, удобная классификация Z-градуировок была описана в работе [52], см. также [41, 51]. В данной работе мы даем обзор и обсуждение соответствующих результатов, полученных в статьях [52, 104 106] для случаев, когда Q является комплексной классической группой Ли, а также группой петель таких групп Ли.

Завершая это предисловие, опишем обозначения, используемые в дальнейшем. Мы обозначаем через 1п единичную диагональную п х п матрицу, а через Jn — единичную косо-диагональную п х п матрицу. Для четного п мы также определяем.

Когда это не приводит к противоречиям, мы пишем вместо In, Jn и Кп просто I, J и К, соответственно.

Если т является п х щ матрицей, А является ri2 х п2 невырожденной матрицей, а В — п х щ матрицей, то мы обозначаем лвт = А~итВ, где *т является транспонированием матрицы т. Мы также пишем лт вместо ААт. Отметим, что Jm есть на самом деле транспонирование т по отношению к косой диагонали. Отметим, что в статье [73] нами использовалось обозначение тТ для такой операции. Полезно помнить, что л (Лтг) = B~lmB, где В = А~1)А. В частности, можно показать, что J (Jm) = т и к (кт) = т.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения и приложений, насчитывает 320 страниц и включает библиографический список из 155 наименований.

Заключение

.

Итак, мы завершили классификацию тодовских систем, ассоциированных с конечномерными комплексными классическими группами Ли и с группами петель таких групп, представив при этом соответствующие нелинейные уравнения в явном виде, исследовали симметрии неабелевых тодовских систем в конечномерном случае, результатом чего явились построенные явно новые W-алгебры, и развили метод рационального одевания для построения широких классов решений петлевых уравнений Тодыэти решения, в частности, содержат солитоноподобные решения в качестве особого подкласса.

Перечислим основные результаты нашей работы:

• Построена классификация уравнений Тоды, ассоциированных с комплексными классическими группами Ли. Наша классификация основана на новом методе перечисления Z-градуировок полупростых алгебр Ли, опирающемся лишь на общие свойства таких алгебр и не использующем технику корневого разложения. Построено матричное (неабелево) обобщение уравнения Лиувилля как частного случая тодовских систем, ассоциированных с симплектической группой Sp2n©. При этом, в частности, показано, что исторически первый пример неабелевой интегрируемой системы, ассоциированной с группой Ли Об© и заданной сложным набором нелинейных дифференциальных уравнений, вкладывается в построенную классификацию в простейшем блок-матричном виде — как матричное уравнение Тоды, ассоциированное с группой Sp4©.

• Исследованы симметрии неабелевых тодовских систем, ассоциированных с общей линейной и симплектической группами Ли. Методом калибровки Дринфельда-Соколова построены характеристические интегралы таких неабелевых уравнений Тоды в блок-матричном виде.

• Развит канонический формализм для неабелевых тодовских систем, в рамках которого получены скобки Пуассона гамильтоновых аналогов характеристических интегралов для уравнений Тоды. Показано, что эти величины образуют классические W-алгебры, являющиеся полиномиальными расширениями алгебры Вирасоро. Блок-матричный подход позволил записать соотношения W-алгебр в наиболее компактном виде, в котором структурные константы представлены классическими г-матрицами. Исследован конформно-спиновый состав исходных систем, в результате чего показано, что конформные веса генераторов найденных И^-алгебр не превышают конформных весов алгебр токов и Вирасоро, т. е. равны 1 и 2. Это позволяет утверждать, что W-алгебры как расширения алгебры Вирасоро в конформных тодовских системах могут возникать не только благодаря включению высших конформных спинов, но п за счет особых свойств соответствующих Z-градуировок.

• Введено понятие интегрируемых Z-градуировок алгебр Ли петель и предложена полная классификация таких градуировок с конечномерными градуировочными подпространствами для скрученных алгебр Ли петель комплексных простых алгебр Ли. При этом, скрученная алгебра Ли петель определена как пространство Фреше всех скрученно-периодических гладких отображений евклидовой прямой в конечномерную алгебру Ли, с операцией умножения в алгебре Ли, задаваемой поточечно и являющейся непрерывной. Показано, что классификация рассматриваемых Z-градуировок сводится к классификации всех Ъм-градуировок исходной конечномерной алгебры Ли, т. е. эквивалентна классификации их автоморфизмов конечного порядка. Предложена новая классификация автоморфизмов конечного порядка, с точностью до сопряжений, алгебр Ли комплексных классических групп Ли. Развитая при этом техника использует блок-матричное представление алгебр Ли, что является наиболее подходящим для тодовских систем.

• Построена полная классификация уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель комплексных классических групп Ли, чьи алгебры.

Ли петель наделены интегрируемыми Z-градуировками с конечномерными градуировочными подпространствами. Получен явный вид соответствующих систем нелинейных интегрируемых уравнений. Показано, что возникает четыре неэквивалентных класса таких систем. Построенная классификация дополнена специальным графическим представлением, в частности, наглядно объясняющим главный результат, а также помогающим увидеть общую связь между классами тодовских систем, ассоциированных с группами петель и конечномерными группами Ли. Исследованы вещественные формы простейших неабелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы Ли, в результате чего неабелевы (матричные) обобщения уравнений sinh-Гордон и sin-Гордон получены как две неэквивалентные вещественные формы неабелевых петлевых уравнений Тоды.

Построены многосолитонные решения для абелевых тодовских систем, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, чьи алгебры Ли наделены интегрируемой Z-градуировкой, индуцированной внутренними автоморфизмами конечного порядка исходной общей линейной алгебры Ли. Решения получены двумя различными методами — 'теоретико-возмущенческим' методом Хироты и рациональным одеванием. Проведен сравнительный анализ этих двух подходов к решению нелинейных уравнений. Показано, что формализм рационального одевания позволяет находить более общие, чем солитонные, классы решений к уравнениям Тоды, которые содержат в качестве подклассов все те решения, которые можно строить в рамках 'эвристического' подхода Хироты.

Новые многосолитонные решения построены также для абелевых уравнений Тоды, ассоциированных с группами петель общей линейной группы, в случае, когда соответствующие Z-градуировки индуцированы внешними автоморфизмами конечного порядка. Эти скрученные петле вые тодовские системы включают в себя уравнение Додца-Булло-Ми-хайлова в качестве простейшего частного случая. Показано, что рассмотренные классы уравнений исчерпывают абелевы петлевые тодовские системы для общего линейного случая.

• Метод рационального одевания развит на основе блок-матричного представления алгебраических и групповых элементов, индуцированного исходной Z-градуировкой. С помощью такого обобщения построены мно-госолитопные решения неаб елевых петлевых уравнений Тоды, ассоциированных с комплексной общей линейной группой. При этом получены два принципиально различных типа матричного обобщения абелевых солитонных конструкций, т. е. т-функций Хироты. Функции характеристических параметров, описывающие взаимодействия солитонов, явно определены в наших решениях. Для абелевых систем такие величины представляются в виде произведения коэффициентов попарного взаимодействия, тогда как для неабелевых систем этого свойства фактори-зуемости уже не наблюдается.

Я выражаю свою искреннюю благодарность моему другу и многолетнему наставнику и соавтору А. В. Разумову за плодотворное сотрудничество, всестороннюю помощь и дружескую поддежку в течение всей работы над диссертацией. Мне также весьма приятно поблагодарить всех моих коллег по Теоротделу ИЯИ РАН за интересные обсуждения и дружескую атмосферу, вне которой спокойная и кропотливая работа была бы невозможна. Особенно я признателен В. А. Рубакову и Ф. В. Ткачёву за глубокий интерес к работе, понимание важности результатов, ценные замечания и постоянную готовность помочь в любой ситуации.