Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними

Актуальность темы

Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П. А. Крылова, А. В. Михалева, А. А. Туганбаева [6].

В последние годы появилось значительное число работ, посвященных смешанным абелевым группам. И по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.

Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс Q, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G таких, что G/t (G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению класса Q посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22]. В работе [19] А. А. Фомин для изучения групп из класса Q вводит кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссь, что группы из класса Q — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Кольцом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в ]JZP такое, р что R — (1,0ZP)*, где р пробегает все простые числа [9]. р

Для изучения 5^-групп (от слов «сумма» и «произведение»), независимо от А. А. Фомина, П. А. Крылов [4] вводит и использует, то же кольцо псевдорациональных чисел. Редуцированная смешанная абе-лева группа, А называется зр-группой, если естественное вложение ф Ар —> А продолжается до сервантного вложения, А —> JJ Ар, где реР реР.

Ар — р-компонента, т. е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся ргруппой. Автор показал, что каждая sp-rpynna является модулем над таким кольцом, и это обстоятельство оказалось полезным при их исследовании [1], [2].

Широкий класс смешанных абелевых групп, а именно, класс факторно делимых групп, определили А. А. Фомин и У. Уиклесс в работе [21] в 1998 г. Он содержит факторно делимые группы без кручения конечного ранга Р. Бьюмонта и Р. Пирса [15] и класс Q. Группа G называется факторно делимой, если G не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что G/F — периодическая делимая группа. Авторы установили двойственность между категорией абелевых групп без кручения конечного ранга QTT и категорией факторно делимых смешанных групп QV, где морфизмы — это квазигомоморфизмы. Это говорит о богатстве данного класса смешанных групп. Отметим, что каждая группа G G Q есть прямая сумма факторно делимой и конечной группы [18]. Найдена тесная связь между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел [10], [18].

А.А. Фомин [19] и П. А. Крылов [4] вместе с кольцом псевдорациональных чисел R (1999 г.) определили класс колец Rx. В данный класс, например, попадает кольцо R. Они рассмотрели основные свойства колец Rx и применили конечно порожденные^{-модули} для изучения смешанных абелевых групп. В своих более ранних работах А. А. Фомин, для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, использует кольцо универсальных чисел и кольца т-адических чисел [17]. Далее используя матрицы с т-адическими элементами, автор построил категорию 7ZM, которая эквивалентна категории QV и двойственна категории QTT [11].

Изучение кольца псевдорациональных чисел и модулей над ним имеет и самостоятельный интерес. В статьях [4], [19] приведены основные свойства этого кольца. Описаны инъективные, проективные, плоские и образующие модули над таким кольцом [12], [9]. Там же найдена полная и независимая система инвариантов проективного модуля.

В диссертации вводится понятие кольца псевдоалгебраических чисел. Такие кольца — это естественное обобщение класса колец Rx и, в частности, кольца псевдорациональных чисел. Идея такого обобщения принадлежит П. А. Крылову. Заметим, что согласно принятой точки зрения кольцо псевдорациональных чисел одно, а колец псевдоалгебраических чисел бесконечно много. Надо отметить, что в частных случаях кольца псевдоалгебраических чисел появились раньше, чем кольцо псевдорациональных чисел. В книге Фукса [8] с помощью колец Rx исследуется^{-регулярность} колец, они также используется в статье [13].

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними имеют много связей с классическими понятиями. Например, строение колец псевдоалгебраических чисел зависит от свойств полей алгебраических чисел. Всякий регулярный модуль есть модуль над некоторым таким кольцом (пример 1.5.).

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А. А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты.

• Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули.

• Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих).

• Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии).

• Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице.

1. Крылов П. А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. ж. — 2002. — Т. 43, — № 1. — С. 108−119.

2. Крылов П. А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фундам. и прикл. матем. — 2000. — Т. 6, № 3. — С. 793−812.

3. Крылов П. А. Абелевы группы и регулярные модули / П. А. Крылов, Е. Г. Пахомова // Матем. заметки. — 2001. — Т. 69, № 3. — С. 402−411.

4. Крылов П. А. Об одном классе смешанных абелевых групп / П. А. Крылов, Е. Г. Пахомова, Е. И. Подберезина // Вестник ТГУ. — Томск. 2000. — Т. 269. — С. 29−34.

5. Крылов П. А. Модули над областями дискретного нормирования / П. А. Крылов, А. А. Туганбаев — М.: Факториал Пресс, 2007. — 384 с.

6. Крылов П. А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П. А. Крылов, А. В. Михалев, А. А. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

7. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир. 1977. 688 с.

8. Фукс J1. Бесконечные абелевы группы: в 2 т. / JI. Фукс. — М.: Мир.- Т. 2 1977. -335 с.

9. Царев А. В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80. — № 3. С. 437−448.

10. Царев А. В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18. — № 4. С. 198−214.

11. Фомин А. А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. — С. 223−244.

12. Чеглякова С. В. Ипъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фуидам. и прикл. математика. — 2001. — Т. 7. — № 2. С. 627−629.

13. Albrecht U.F. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules / U.F. Albrecht, H.P. Goeters, W. Wickless // Rocky Mountain J. Math.- 1995. V. 25. — P. 569−590.

14. Arnold D.M. Abelian groups, A, such that Hom (A, —) preserves direct sums of copies of A / D.M. Arnold, C.E. Murley // Pacific J. of Math.- 1975. V. 56. № 1. — P. 7−20.

15. Beaumont R. Torsion free rings / R. Beaumont, R. Pierce // 111. J. Math. 1961. — V. 5. — P. 61−98.

16. Files S. Direct sums of self-small mixed groups / S. Files, W. Wickless // J. Algebra. 1999. — V. 222. — P. 1−16.

17. Fomin A. A. Finiteli presented modules over the ring of universal numbers // Cont. Math. 1994. — V. 171. — P. 109−120.

18. Fomin A.A. Quotient divisible mixed groups // Cont. Math. — 2001. — V. 273. P. 117−128.

19. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math. — 1999. — P. 87−100.

20. Fomin A.A. Self-small mixed abelian groups G with G/T (G) finite rank divisible / A.A. Fomin, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1998. — V. 26. 11. P. 3563−3580.

21. Fomin A.A. Quotient divisible abelian groups / A.A. Fomin, W. Wickless // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. — V. 126. — P. 45−52.

22. Glaz S. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups / S. Glaz, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1994. — V. 22. № 4. — P. 1161−1176.

23. Зиновьев Е. Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник Томского государственного университета. — 2006. — № 290. С. 46−47.

24. Зиновьев Е. Г. csp-кольца, как обобщение колец псевдорациональных чисел // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. № 3. -С. 35−38.

25. Зиновьев Е. Г. Инъективные и делимые модули над csp-кольцами // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299. С. 96−97.

26. Зиновьев Е. Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // тезисы докладов Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003. — С. 46−47.

27. Зиновьев Е. Г. Моногенные sp-кольца и модули над ними // Абелевы группы: труды Всероссийского симпозиума. — Бийск: РИО БПГУ им. В. М. Шукшина, 2005. С. 17−18.

28. Зиновьев Е. Г. Строение делимых и инъективных модулей над csp-кольцами // Абелевы группы: труды Всероссийского симпозиума.- Бийск: РИО БПГУ им. В. М. Шукшина, 2006. С. 21−23.

29. Зиновьев Е. Г. Конечно порожденные модули над кольцами псевдоалгебраических чисел // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша. — Москва: Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. — С. 104−105.