Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Теоретическая и практическая значимость: Дипломная работа имеет теоретическое значение. Хотя она не содержит новых, не известных специалистам математических результатов, но даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы… Читать ещё >
Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1. Предварительные сведения
§ 2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
§ 3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4
§ 4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера
ГЛАВА II. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И abc-ГИПОТЕЗА
§ 1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма
§ 2. abc-гипотеза и «Великая теорема Ферма» для многочленов
§ 3. abc-гипотеза для натуральных чисел
§ 4. Некоторые следствия abc- и (abc)2-гипотез
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Актуальность темы. На полях сочинения Диофанта «Арифметика», в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора x2 + y2 = z2, Пьер Ферма записал одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:
«Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось». Таким образом, Большая или Великая, а также Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn неразрешимо в натуральных числах при натуральном n > 2 .
Если термин «Последняя» не имеет разумных объяснений, то величина вклада Великой теоремы Ферма в развитие математики действительно велика: по сути дела, П. Ферма дал толчок развитию новой для своего времени области арифметики, называемой теперь диофантовым анализом и исследующей целые решения диофантовых уравнений P(x1 , … , xn) = 0, где P(x1 , … , xn) — многочлен с целыми коэффициентами от переменных x1 , … , xn. Само по себе уравнение xn + yn = zn не имеет большого значения для математики. Однако, не поддаваясь долгое время решению (доказательство отсутствия решений — это тоже решение), оно сыграло важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки доказательства Великой теоремы Ферма привели к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.
Более подробно история Великой теоремы Ферма будет изложена в § 2 главы I. Пока же лишь упомянем, что в доказательстве этой теоремы (для разных n) участвовали многие известные (и даже великие) математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, Ж. Л. Лагранж, К. Ф. Гаусс, П. Л. Чебышёв, Э. Куммер, Э. Вайлс, Р. Тейлор и др. В то же время после завещания в 1908 г. Паулем Вольфскелем премии в 100 тысяч германских марок тому, кто первым опубликует доказательство, научный мир заполонили дилетантские «работы», издаваемые, как правило, за собственный счёт, с элементарными «доказательствами» Великой теоремы. С появлением Интернета поток таких псевдогениальных прозрений многократно усилился.
Уже доказательство Л. Эйлера Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 неэлементарно. Оно явилось одним из истоков теории алгебраических чисел. Ещё более неэлементарны исследования Э. Куммера, существенно расширившего область показателей, для которых Великая теорема Ферма стала доказанной. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хn + yn = zn в натуральных числах была установлена для всех n 2125 000 (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2125 000 записывается 37 628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма стали совершенно безнадежным занятием.
Новую эру в развитии истории Великой теоремы Ферма никто не заметил. Между тем, в 1955 г. экстравагантный японский математик Ютака Танияма (1927;1958) сформулировал следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна (более подробно об эллиптических кривых см. § 1 главы II). Вначале её не принял всерьёз ни один из математиков-профессионалов: уж очень она казалась неправдоподобной. Однако в 1970;е годы работы Г. Шимуры и А. Вейля привлекли внимание к ней. Наконец, в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.
Кульминация наступила, когда 23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (точнее той её части, которой достаточно для обоснования Великой теоремы Ферма). Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство, но уже двух авторов — Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено. Позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор, была доказана и полная версия гипотезы Таниямы.
Следует отметить, что доказательство Вайлса-Тейлора является сплавом глубоких математических идей, обогащающих не только теорию чисел и алгебру, но и геометрию эллиптических кривых, и анализ модулярных форм. Сам Вайлс считает, что создал новую математику. Тем обиднее, что после более десяти лет с момента опубликования доказательства Вайлса-Тейлора в Российской математической среде хранится полное молчание по поводу революционных методов Э. Вайлса (так же как и по поводу не менее революционного доказательства гипотезы Пуанкаре Г. Перельмана).
Следует отметить, что предложенное Э. Вайлсом сложное синтетическое доказательство Великой проблемы Ферма, занимающее в общем объёме более 120 страниц, ставит большие вопросы перед образованием: как готовить специалистов, способных, если не разобраться в доказательстве, то воспринять его понятийную базу и основные идеи? Тот же вопрос повторен Г. Перельманом в доказательстве гипотезы Пуанкаре…
Наконец, следует упомянуть о новом подходе к доказательству трудных теоретико-числовых проблем (в том числе и Великой теоремы Ферма), наметившемся после формулировки в 1986 г. Массером и Остерле так называемой abc-гипотезы. Её формулировка приведена в § 3 главы II, как и обсуждение некоторых нетривиальных следствий этой гипотезы. Хотя она не доказана, но подтверждается справедливостью её аналога для многочленов и расчётами на ЭВМ, показывающими, что контрпример искать бесполезно.
Цель дипломной работы: изучить доступную литературу по истории Великой теоремы Ферма, изложить некоторые элементарные подходы к обоснованию её частных случаев, а также новые методы — с использованием теории эллиптических кривых и привлечением abc-гипотезы.
Для достижения цели решались следующие задачи:
§ изучить основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой;
§ изучить метод бесконечного спуска и на его основе доказательство теоремы Ферма для n = 4;
§ проанализировать доказательство Эйлера для n = 3 и суть идей Куммера;
§ ознакомиться с выводом К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы;
§ изучить некоторые результаты об abc-гипотезе и вывод из неё Великой теоремы Ферма;
§ по возможности проиллюстрировать теоретические результаты примерами;
§ дать полное, и по возможности подробное изложение результатов, доступное пониманию студентов математических факультетов вузов.
Математические методы исследования: в работе используются геометрические, аналитические, алгебраические методы.
Структура работы: Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении дан краткий исторический обзор, сформулированы цели и задачи работы, описана её общая структура.
Заключение
содержит основные выводы о результатах исследования. Список использованной литературы включает 10 наименований. Общий объём работы — 67 страниц.
Первая глава «Великая теорема Ферма и алгебраические числа» содержит элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4 и обзор методов и идей Эйлера для n = 3 и Куммера для регулярных простых показателей. Более подробно: § 1 главы содержит вспомогательные сведения о делимости целых чисел и их сравнимости по модулю, в § 2 даётся описание всех пифагоровых троек и краткая история Великой теоремы Ферма, § 3 включает описание метода бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для n = 4, а § 4 — обзор идей Эйлера и Куммера её доказательства с помощью теории алгебраических чисел для n = 3 и для регулярных простых показателей.
Вторая глава «Великая теорема Ферма и abc-гипотеза» содержит посильное изложение вывода Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы (§ 1), а также некоторые результаты по abc-гипотезе (§§ 2−4): в § 2 abc-гипотеза формулируется и обосновывается для многочленов, в § 3 формулируется и обсуждается abc-гипотеза для натуральных чисел, а § 4 содержит вывод из неё некоторых теоретико-числовых результатов, включая Великую теорему Ферма.
Теоретическая и практическая значимость: Дипломная работа имеет теоретическое значение. Хотя она не содержит новых, не известных специалистам математических результатов, но даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы — даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.
Уровень самостоятельности. Основной творческий вклад автора при написании данной работы состоял в изучении большого объёма трудного для восприятия разнообразного теоретического материала, самостоятельном разборе доказательств (иногда — с помощью научного руководителя), подборе всех иллюстративных примеров и проведении вычислений в них.
Доклад автора по материалам дипломной работы занял третье место на секции «Математика» традиционных Менделеевских чтений в ТГСПА им. Д. И. Менделеева в 2012 г.
ГЛАВА I. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ИАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1. Предварительные сведения
В этом параграфе напомним основные факты о делимости целых чисел и сравнимости по модулю.
Если a, b Z, b 0, то говорят, что b делит a или a кратно b, если a = bq для некоторого q Z. В этом случае пишут a b или b | a .
Примеры: 1. 156 52, т.к. 148 = 523.
2. —143 52, т.к. -143 = 52(-3) + 13, т. е. -143 даёт остаток 13 при делении на 52.
Упомянем важнейшие свойства делимости нацело:
10. Если a | b и c | d , то ac | bd. В частности, верно a | bc, ac | |bc|, |ac| | bc , (a) | (b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.
20. Если a | b1 , …, a | bk , то a | (b1c1+ …+bkck ) для любых целых чисел c1 , …, ck .
30. Если a 0, b | a, то |b| |a|. В частности у каждого ненулевого целого числа лишь конечное число делителей.
Пусть a1 , …, an — целые числа, одновременно не равные нулю. Их общим делителем называется любое целое число d, делящее все указанные числа. Наибольший среди всех общих делителей не равных одновременно нулю целых чисел a1 , …, an называется наибольшим общим делителем этих чисел и обозначается через НОД (a1 , …, an) или (a1 , …, an).
Примеры: НОД (0, 8) = 8, (12, 18) = 6, НОД (7, 9) = 1, (12, 40, 28) = 4, НОД(0, 0) не определён.
Общим кратным ненулевых целых чисел a1 , …, an называется любое целое число, делящееся одновременно на каждое из указанных чисел. Наименьшее положительное кратное этих чисел называется их наименьшим общим кратным и обозначаемое символом НОК[a1 , …, an] или просто через [a1 ,…, an].
Примеры: НОК[0, 2] не определено, [24, 16] = 48, НОК[4, 6] = 24, НОК[8, 6, 30] = 120.
В дальнейшем, имея дело с НОД (a1 , …, an) всегда будем молчаливо предполагать, что целые числа a1 , …, an одновременно не равны нулю, а имея дело с НОК[a1 , …, an] — что целые числа все a1 , …, an ненулевые.
Напомним важнейшие свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного:
10. НОД (a1 , … , an) и НОК[a1 , … , an] определёны однозначно.
20. Для произвольной перестановки (i1 , …, in) символов 1, …, n справедливы равенства
НОД(a1 , …, an) = НОД(), НОК[a1 , …, an] = НОК[].
30. Справедливы равенства
НОД (a1 , …, an) = НОД (±a1 , …, ±an), НОК[a1 , …, an] = НОК[±a1 , …, ±an] при любых знаках в правых частях.
40. Если a | b, то НОД (a, b) = |a|, НОК[a, b] = |b|.
50. Для произвольного t Z справедливы равенства
НОД(a, b) = НОД(a, b — at) = НОД(a — bt, b).
60. Любой общий делитель d целых чисел а1 , … , an делит их наибольший общий делитель НОД (a1 , … , an), любое общее кратное K целых чисел а1 , … , an делится на их наименьшее общее кратное НОК[а1 , … , an].
110. Справедливо равенство НОК[a, b] = .
Замечание. Обобщение НОК[a1 , …, аn] = доказанной формулы на случай любого числа сомножителей неверно. Например,
НОК[2, 4, 6] = 12 = 24.
20. Справедливы формулы
(a1 , …, an) = ((a1 , …, an-1), an), [a1 , …, an] = [[a1 , …, an-1], an],
из которых следует, в частности, что вычисление НОД (a1 , … , an) и НОК[a1 , …, аn] сводится к последовательному вычислению аналогичных величин для двух чисел:
(a1 , …, an) = (((…((a1 , a2), a3), …), an-1), an).
[a1 , …, an] = [[[…[[a1 , a2], a3], … ], an-1], an].
140. Для любого ненулевого с Z верны формулы
НОД(ca1 , …, can) = |c|НОД(a1 , …, an),
НОК[ca1 , …, can] = |c|НОК[a1 , …, an].
Как известно, НОД (a, b) удобно вычислять с помощью алгоритма Евклида.
Примеры: 1. Вычислить НОД (244, 356).
Таким образом, НОД (244, 356) = 4 — последнему ненулевому остатку в алгоритме Евклида.
2. Вычислить НОД (244, 356, 96).
Имеем НОД (244, 356, 96) = ((244, 356), 96) = (4, 96) = 4.
3. Вычислить НОК[35, 50, 20].
Имеем НОК[35, 50, 20] = [[35, 20], 50] = = [140, 50] = = 700, т.к. НОД (35, 20) = 5НОД (7, 4) = 51 = 5 и [140, 50] = 10[14, 5] = = 1070 = 700.
Целые числа a1 , … , an называются взаимно простыми (в совокупности), если НОД (a1 , … , an) = 1. Они называются попарно взаимно простыми в случае, когда НОД (ai , aj) = 1 (1 i < j n).
Примеры: 1. Числа 6, 4, 3 взаимно просты в совокупности, но не попарно.
2. Числа 6, 11, 35 попарно взаимно просты.
3. Два числа взаимно просты в совокупности тогда и только тогда, когда они попарно взаимно просты.
Лемма (основное свойство двух взаимно простых чисел). Если целые числа a, b взаимно просты и a | bc, где с Z, то a | c.
Доказательство. Утверждение очевидно, если a = ±1. В противном случае из НОД (a, b) = 1 получаем, во-первых, b 0 (иначе НОД (a, b) = |a| > 1), а во-вторых, НОК[a, b] = = |ab|. С другой стороны, bc b и bc a, т. е. bc - общее кратное чисел a, b, а значит, по свойства делимости делится нацело на НОК[a, b] = |ab| = ±ab. Таким образом, bc = abq для некоторого целого q, т. е. c = aq и a | c.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если целое число a взаимно просто с b1 , … , bn и для некоторого c Z a делит b1…bnc, то a | c.
Доказательство. Постепенно уменьшаем число сомножителей: из условий a | b1…bnc и НОД (a, b1) = 1 следует по лемме a | b2…bnc. Продолжая этот процесс, на некотором шаге получим a | bnc и НОД (a, bn) = 1, откуда по лемме a | c .
Следствие 1 доказано.
Следствие. Целое число взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно взаимно просто с их произведением.
Доказательство. Если целое число a взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел b1 , … , bn, и НОД (a, b1…bn) = D, то D взаимно просто с каждым bi (1 i n): любой общий делитель D и bi является общим делителем a и bi, т. е. равен ±1. Поэтому D | b1…bn1, и по следствию 1, D | 1, т. е. D = 1, что и требовалось.
Обратно, если a взаимно просто с b1…bn, то любой общий делитель a и bi будет общим делителем a и b1…bn, т. е. a взаимно просто с bi (1 i n).
Следствие 2 доказано.
Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два различных натуральных делителя 1 и p.
Примеры: 1. Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 — простые.
2. Числа —2, 0, 1, 4, 9, 10, 15, — не простые.
Напомним наиболее важные свойства простых чисел.
10. Любые два различных простых числа взаимно просты.
20. Для целого числа a и простого p верно НОД (a, p) > 1 a p.
30. Простое число делит произведение нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно делит один из сомножителей.
Основная теорема арифметики. Любое целое число n, модуль которого больше 1, единственным образом записывается в виде канонического произведения , где k 1, ± {+, -}, pi — простые числа, i N и p1 < … < pk .
Пример: Найдём каноническое разложение числа —6 230 840.
Последовательно делим число n = 6 230 840 на простые числа:
ni | ||||||||||
pi | ||||||||||
Таким образом, 6 230 840 = 2357211172, а —6 230 840 = -2357211172. Здесь и далее первые степени простых чисел не пишем.
Следствие (о взаимно простых сомножителях степени). Если имеется разложение nk = m1…ms степени целого числа n в произведение попарно взаимно простых целых ненулевых сомножителей m1 , … , ms , то эти сомножители, с точностью до знака, являются k-ми степенями некоторых попарно взаимно простых чисел. Более точно: mi = iuik , где i {-1, 1}, ui N , НОД(ui , uj) = 1 (1 i s, 1 j s), |n| = u1…us , 1…s = .
Доказательство. Запишем mi = i|mi|, где i = 1, если mi > 0 и i = -1, если mi > 0 (1 i s), и аналогично n = |n|. Тогда, очевидно, получается равенство k|n|k = (1…s)|m1|…|ms|, откуда = = k = 1…s , |n|k = = |m1|…|ms|. При этом все модули являются натуральными числами, так что осталось доказать утверждение для натуральных чисел.
Пусть n, m1 , … , ms N имеют разложения, (1 i s) в произведения простых чисел, где выполнены неравенства p1 < … < pf, а rij - простые числа, не встречающиеся среди p1 , … , pf. Тогда. Переставляя простые числа в правой части (собирая их в степени с одинаковыми основаниями), получим в левой и правой частях равенства канонические разложения, которые должны быть одинаковыми по основной теореме арифметики. Это показывает, что в правой части должны отсутствовать сомножители rij (1 j ti , 1 i s), а показатели степеней при простом числе p в левой и правой частях равны: k = (1 f).
Таким образом,, причём ввиду попарной взаимной простоты чисел m1 , … , ms каждое простое число pi (1 i f) участвует лишь в одном из разложений чисел m1 , … , ms. Поэтому
где = 1 + … + s, но на самом деле в этой сумме лишь одно ненулевое слагаемое. Значит, сравнивая показатели степеней при p в левой и правой частях равенства, по основной теореме арифметики заключаем, что каждая степень ij делится на k: ij = kij для некоторого натурального или нулевого ij (1 i s, 1 j f).
Итак,
т.е. ui = (1 i s).
Эти числа попарно взаимно просты, т.к. любой общий делитель двух из них ui , uj будет общим делителем взаимно простых чисел mi , mj, а значит, равен ± 1.
Следствие доказано.
Наконец, напомним простейшие сведения из теории сравнений. Два целых числа a, b называются сравнимыми по модулю m Z {0}, если a - b m.
Примеры: 8 2 (mod 3), т.к. 8 — 2 = 32, —27 12 (mod 5), т.к. разность —27 — 12 = -39 не делится нацело на 5.
Упомянем некоторые важнейшие свойства сравнений.
10. Числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда они дают одинаковые остатки при делении на m.
20. Условия a b и a 0 (mod b) эквивалентны.
30. Любое целое число a сравнимо само с собой по любому модулю m (рефлексивность отношения сравнимости).
40. Если a b (mod m), то b a (mod m) (симметричность отношения сравнимости).
50. Если a b (mod m) и b с (mod m), то a c (mod m) (транзитивность отношения сравнимости).
60. Если a b (mod m), то для любого целого числа c справедливо
a c b c (mod m) , ac bc (mod m).
70. Если a b (mod m) и c d (mod m), то a c b d (mod m).
80. Если a b (mod m) и c d (mod m), то ac bd (mod m).
90. Если a b (mod m), то для любого натурального k верно сравнение ak bk (mod m).
100. Если целые числа a, b, m делятся нацело на число d Z {0}, то a b (mod m) тогда и только тогда, когда .
110. Если da db (mod m) и НОД (d , m) = 1, то a b (mod m).
Сравнения дают удобный язык для изучения делимости чисел. Связь сравнений с делимостью выявлена в свойстве 20.
Примеры: 1. Вычислить остаток числа a4 — 8a3 + 19 при делении на 23, если известно, что a даёт при делении на 23 остаток 5.
Если a 5 (mod 23), то
a4 — 8a3 + 19 (a2)2 — 8aa2 + 19 22 — 852 + 19
— 402 + (22 + 19) —(-6)2 + 0 12 (mod 23),
т.е. искомым остатком будет 12.
2. Вычислить 18100 + 20 (mod 25).
18100 + 20 (-7)100 — 5 (72)50 — 5 (-1)50 — 5
1 — 5 —4 21 (mod 25).
Таким образом, не вычисляя числа 18100 + 20, можно сказать, что остаток этого числа при делении на 25 равен 21.
3. Найти младшую цифру числа 2435 — 18 .
Нужно вычислить. Имеем
2435 — 18 435 — 8 (42)174 — (-2) 6174 + 2 64 + 2 4 + 2 = 6 (mod 10).
Здесь использован тот факт, что младшая цифра числа 6k равна 6, т. е. 6k 6 (mod 10). Таким образом, искомой младшей цифрой будет 6.
§ 2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
Диофантово уравнение — это уравнение вида P(x1 , … , xn) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x1 , … , xn с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u1 ; … ; un) целых чисел со свойством P(u1 , … , un) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P(x1 , … , xn) = 0. Решить диофантово уравнение — значит найти все его решения, или, как говорят, общее решение этого уравнения. Часто диофантовыми называют и уравнения вида P(x1 , … , xn) = Q(x1 , … , xn), где в левой и правой частях стоят многочлены от переменных x1 , … , xn: их всегда можно записать в виде диофантовых уравнений P(x1 , … , xn) — Q(x1 , … , xn) = 0.
Эти уравнения названы в честь Диофанта Александрийского (жил около III в. до РХ), о жизни которого почти ничего не известно. Через века до нас дошли шесть книг из тринадцати его главного труда «Арифметика» и книга «О многоугольных числах». Выражаясь современным языком, он разрабатывал приёмы нахождения рациональных решений алгебраических уравнений от нескольких неизвестных.
Примеры: 1. 3x — 8 = 0 — диофантово уравнение первой степени от одной переменной x. Очевидно, что оно не имеет решений, т.к. 8 не делится нацело на 3. В то же время, это уравнение имеет корень x =, который не является целым.
2. Диофантово уравнение 6x = 24 имеет единственное решение x = 4.
3. В курсе алгебры и теории чисел рассматривают линейные диофантовы уравнения первой степени от двух неизвестных x, y, общий вид которых таков: ax + by = c, где a, b, c - заданные целые числа. Известно, что такое диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда НОД (a, b) | c - наибольший общий делитель коэффициентов делит нацело правую часть. При выполнении этого условия линейное диофантово уравнение от двух переменных имеет бесконечное число решений.
Нахождение решений произвольных диофантовых уравнений — непростая задача. Более того, в 70-х годах XX в. было доказано, что она алгоритмически неразрешима, т. е. невозможно придумать алгоритм (программу для ЭВМ), который для произвольного заданного диофантова уравнения давал бы ответ на вопрос: «Есть у этого уравнения хотя бы одно решение ?».
Тем удивительнее, что для некоторых классов диофантовых уравнений можно получить полное описание их решений. Классической задачей такого рода, обсуждаемой в «Арифметике» Диофанта, является задача о пифагоровых тройках, т. е. о нахождении всех решений диофантова уравнения x2 + y2 = z2, представляющего собой соотношение Пифагора для прямоугольного треугольника. Вначале найдём все его рациональные решения, а затем — и все целые решения.
1. Рациональные решения уравнения Пифагора. Во-первых, уравнение переписывается в виде, где отношения , рациональны, если рациональными были x, y. Эти отношения являются рациональными координатами точек на единичной окружности. Точки с рациональными координатами на окружности назовём рациональными. Если все рациональные точки M(u; v) окружности уже описаны, то u2 + v2 = 1 и = u, = v, т. е. x = zu, y = zv , где z Q. Таким образом, задача нахождения всех рациональных решений уравнения Пифагора свелась к описанию всех рациональных точек окружности.
Изложим общий метод нахождения всех рациональных точек окружности, применимый и для многих других кривых, заданных полиномиальными уравнениями.
Выберем на кривой рациональную точку, например точку S(0; -1) на окружности (рис. 1). Если M(u; v) — произвольная рациональная точка, то рациональным будет и .
Обратно, если t Q, то u = t(v + 1) и u2 + v2 = 1, т. е. t2(v + 1)2 + v2 = 1 или (t2+1)v2+2t2v+t2— 1= 0. Здесь дискриминант D = 4t4 — 4(t4 — 1) = 4 и. Если взять знак минус, то получим v = -1, u = t(v + 1) = 0, т. е. точку S(0; -1). Если же брать плюс, то Q .
Таким образом, доказано, что точка на окружности рациональна тогда и только тогда, когда она либо совпадает с S(0; -1), либо получается по формулам при некотором t Q .
Легко понять, что точка S(0; -1) не может быть получена по приведённым формулам ни при каком рациональном t. Можно видоизменить параметризацию, чтобы включить точку S в общие решения. Для этого запишем число t Q в несократимом виде, где m Z, n N, НОД (m, n) = 1. Тогда формулы перепишутся так: . Они определены при любых m, n Z и при n = 0 дают точку S(0;-1). Таким образом, доказана следующая теорема: