Теория вероятности

Изложенный подход можно обобщить для плоских фигур, а также в пространстве для тел. [ 4]Пример.Двое студентов после занятий договорились встретиться у выхода из корпуса. Поскольку у каждого из них могли появиться непредвиденные дела, то встречу договорились провести в течение часа с до. Первый, кто приходит к месту встречи, ждет 15 минут (но не позднее) и уходит. Найти вероятность встречи, если время ожидания взять: а) 15 мин; б) 20 мин; в) 30 мин.Решение.

Пусть — время прихода первого студента на место встречи, — второго. Встреча происходит при условии, что, или: Множество решений неравенства изображена на рис 3.Рис. 3. Площадь квадрата. Площадь фигуры. Поэтому вероятность встречи (событие):Тогда при мин.; при мин.; при мин. Формула Байеса. Формула Бейеса показывает, какую относительную часть составляет вероятность отдельно взятого слагаемого в общей сумме всех слагаемых, составляющих значение полной вероятности всех событий, то есть, если событие уже состоялась, то мы находим вероятность того, что это могло произойти благодаря появлению конкретного события .

[ 2]Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместимых событий, которые образуют полную группу. Предположим, что событие уже состоялась, необходимо найти условные вероятности осуществлениясобытий. По теореме умножения зависимых событий, например, для гипотезы:

Тогда:В общем виде длятой гипотезы:.Последнее равенство называется формулой пересчета вероятностей гипотез или просто формулой Байеса.Пример.На склад поступают однотипные детали из трех автоматов, причем, как изменение 50% производит первый автомат, 30% - второй, и 20% - третий. Вероятность изготовления бракованной детали на первом автомате 0,1%, на втором — 0,2%, на третьем — 0,05%. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность, что бракованная деталь изготовлена 1) на первом автомате; 2) на втором автомате; 3) на третьем автомате.Решение. Пусть событие — выявление бракованной детали, — события «деталь изготовлена соответственно на первом, втором или на третьем автомате». Вероятности этих событий по условию задачи; ;, условные вероятности события; ;. Найдем полную вероятность брака:.Теперь по формуле Бейеса находим вероятность того, что бракованная деталь изготовлена:

первым автоматом, вторым автоматом, третьим автоматом. Сравнивая вероятности полученных гипотез, мы видим, что большее внимание по улучшению общего качества продукции требует второй автомат. Формула Бернулли.Последовательность испытаний с двумя последствиями впервые была изучена швейцарским математиком Я. Бернулли (1654−1705). Она получила название схемы Бернулли.Определение.

Ряд испытаний называется независимым по виднощенню к событию, если вероятность события не зависит от того, появилась это событие в других испытаниях или не явились. [ 3]Примеры независимых повторных испытаний. 1. Выпадение герба при подбрасывании монеты не зависит от результатов ранее проведенных испытаний. 2.

Многократное извлечения из урны одного шарика при условии, что после фиксирования ее цвета или номера, шарик возвращается снова в урну. 3. Лотерейных определения выигрышного номера карточек спортлото не зависит от проведенных к этому розыгрышей. 5]Пусть вероятность появления события при одном испытании равна, а вероятность противоположного события (событие не состоялась) обозначим через, то есть. Ставится такая задача: проводится независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с вероятностью, и не произойти с вероятностью. Найти вероятность того, что событиепроисходит раз при испытаниях.

[ 3]Искомая вероятность сказывается и находится по формуле Бернулли,(1)где — число комбинаций находится по формуле, або.Пример. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,8 и не зависит от номера выстрела. Требуется найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.Решение. В этом примере n = 5, р = 0,8 и k = 2; по формуле Бернулли находим: .Пример. Мишень состоит из 3 попарно непересекающихся зон. При одном выстреле по мишени вероятность попадания в первую зону для данного стрелка равна 0,5. Для второй и третьей зон эта вероятность равна соответственно 0,3 и 0,2. Стрелок произвел 6 выстрелов по мишени. Найдите вероятность того, что при этом окажется 3 попадания в первую зону, 2 попадания во вторую и одно попадание в третью зону.Решение.

В этом примере n = 6, k1 = 3, k2 = 2, k3 = 1, p1 = 0,5, p2 = 0,3 иp3 = 0,2. Подставляя эти данные в формулу, получаем искомую вероятность:.Локальная формула Муавра-Лапласа.

В тех случаях, когда проводятся повторные независимые испытания (с постоянной вероятностью при каждом испытании,), и при этом ипринимают большие значения, то пользоваться формулой Бернулли для нахождения неудобно. В этом случае применяют локальную формулу Муавра-Лапласа: [4], где. Формула Муавра-Лапласа дает приближенное значение вероятности, это приближение становится достаточно точным, если. Формулу часто применяют, если, а. Надо отметить, що идолжны отличаться не сильно, так при для формула дает плохое приближение. Указания о границах применения формулы достаточно приближенные и часто носят качественный характер. [7]Пример. Найти вероятность того, что событие наступит раз при испытаниях, если вероятность появления события при одном испытании равна.Решение. По условию задачи, ,.. Находим.

По таблице, тогда.

Пример. Вероятность обнаружения бракованной детали равна. Найти вероятность того, что средивзятых наугад деталей, бракованных будет.Решение. Согласно условию задачи. По локальной формуле Муавра-Лапласа находим сначала:.Тогда:.Более точные подсчеты без использования формулы Муавра-Лапласа для этих данных дают. Интегральная формула Лапласа. Если вероятность наступления событияв каждом испытании постоянная и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событиепоявится раз при испытаниях, где не меньше и не больше раз, то есть (обозначается) приближенно равна определенному интегралу, где, .Если воспользоваться известным обозначением, где, то есть непарная функция, то:.Итак, интегральная формула Лапласа запишется в виде:[8]. Функция называется функцией Лапласа и находится по специальной таблице.Пример. Вероятность того, что деталь прошла проверку технического контроля равна 0,8. Найти вероятность того, что среди 100 случайно отобранных деталей проверенных будет 70−90 деталей. Решение. По условию задачи имеем. Находим:

Тогда.По таблице.

Тогда .Пример. Схожесть семян пшеницы равна 95%. Найти вероятность того, что с 2000 посеянных семян не сойдет 80−120 семян. Решение. Вероятность того, что семена не взойдут, равна, то есть, , .Находим:

Поскольку, а, то за формулой:.

Заключение

В ходе выполнения работы были исследованы фундаментальные понятия и формулы теории вероятности, рассмотрено ряд примеров решения типичных задач. В процессе своего развития математика обогащалась выдающимися достижениями. Примерами таких достижений является создание дифференциального и интегрального исчисления — математического анализа, построение неевклидовой геометрии, развитие аксиоматического метода. В этот перечень, безусловно, входит и теория вероятностей. С теорией вероятностей тесно связана математическая статистика — раздел математики, в котором с помощью математических методов систематизируют, обрабатывают и используют статистические данные для научных и практических выводов. Теория вероятностей и математическая статистика, которые все шире применяются во многих областях науки и техники, являются важными составляющими фундаментальной профессиональной подготовки практически всех современных категорий профессий. Список источников.Агеев В. В., Тихов М. С.

Введение

в теорию вероятностей Учебно-методическое пособие. Н. Новгород, 2012. — 32 с. Андрухаев Х. М. Практические занятия по теории вероятностей Учебное пособие. —.

Майкоп: Изд-во АГУ, 2012. — 92 с. Магазинников Л. И. Высшая математика IV. Теория вероятностей Учебное пособие. -.

Томск: Изд-во Томского гос. ун-та систем управления и радиоэлектроники, 2012. — 151 с. Мишулина О. А. Основы теории вероятностей М.: НИЯУ МИФИ, 2011. — 196 с. Палий И. А.

Введение

в теорию вероятностей Учебное пособие. — Омск: Изд-во Сиб.

ЛДИ, 2011. — 146 с. Сабурова Т. Н., Шишкова Е. В. Теория вероятностей: Вероятностное пространство. Условная вероятность. Независимость событий Учеб. пособие. —.

М.: Изд. Дом МиСИС, 2011. — 68 с. Федоткин М. А. Модели в теории вероятностей Н. Новгород: ФИЗМАТЛИТ, 2012. ;

608 с. Хуснутдинов Р. Ш. Теория вероятностей. Учебник М.: ИНФРА-М, 2013. — 175 с. Широков М. Е. О некоторых понятиях теории вероятностей Учебное пособие. —.

М.: МФТИ, 2010. — 30с.