Базисы из экспонент в весовых пространствах на конечном интервале

Настоящая диссертация является исследованием в области негармонического анализа — направления, изучающего аппроксимационные свойства (базисность, полноту, минимальность и т. п.) систем экспонент общего вида е (Л) = {eiXn teiX" Г-VA"£)~ о, Л = (Хп, тп)~ 0, ^ тпе N, Л&bdquoе С, |A"+i|^|An|, в функциональных пространствах на конечном интервале вещественной оси (в отличие от анализа гармонического, изучающего исключительно свойства тригонометрической системы (emi), n Е Z). Результаты диссертации посвящены, в основном, базисам из экспонент в лебеговых пространствах с весом в виде конечного произведения степенных функций.

Негармонический анализ начался с книги Р. Пэли и Н. Винера [26] (1934). В дальнейшем вклад в его развитие внесли Н. Левинсон, J1. Шварц, Ж.-П. Кахан, А. Бьёрлинг и П. Мальявен, П. Кусис, Б. Я. Левин, А. Ф. Леонтьев, Р. Редхёффер, Р. Янг, Б. С. Павлов, А. М. Седлецкий, Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв, А. М. Минкин, В. А. Ильин, Е. И. Моисеев и многие другие математики.

Пэли и Винер рассматривали базисы Рисса в L2(—7Г, 7г) вида eiAni), An€C, пе Z, (0.2) как возмущение тригонометрической системы, т. е. при определённой близости точек Хп к целым п, а именно, при условии sup |АП — п < 1/7Г2, An G М. В этом направлении окончательный результат получил М. И. Кадец [3]: если supJAn-n|.

Тем временем естественным образом возник вопрос о критерии базиса Рисса вида (0.2) в L2(—7Г, 7г), требовавший более общего подхода к изучению систем экспонент. Важной вехой здесь явились работы Б. Я. Левина [4] и [5], предложившего задавать условия на последовательность (ATt) через т. н. порождающую функцию. Приведём определение этого понятия сразу для системы (0.1)..

Целая функция экспоненциального типа называется порождающей функцией системы (0.1) на интервале (—а, а), если.

1) множество её нулей совпадает с {Ап},.

2) каждый нуль Ап имеет кратность тп и.

3) индикатор функции равен а| sin в ..

Напомним, что по определению целая функция L (z) имеет экспоненциальный тип, если.

ЗМ > 0: L (z) < ехр (Лф|), z > const, а индикатором такой функции называется величина.

Mfl) = umsupln|L (re, g) l, г—*+оо Т^ где р — порядок функции L (z)..

В работах [4] и [1] в качестве порождающей выступала функция, получившая название функции типа синуса. Это целая функция, удовлетворяющая условию.

CieaImz ^ ^ C2eaImz^ ^ С2 > 0, | lmz ^ COUSt..

Последовательность Л называется отделимой, если inf |Л&bdquo- — Лт| > 0. пфтп.

В статье [4] доказано, что если порождающая функция системы е (Л) является функцией типа синуса и последовательность Л отделима, то система образует базис L2(—a, a). В. Д. Головин [1] дополнил этот результат, доказав наличие базиса Рисса в этом случае..

Отметим (см. [18], § 6.1, т.1 и § 1.3), что отделимость последовательности Л, а также (для последовательности, лежащей в горизонтальной полосе | Im. z| ^ h) условие sup mn < +оо необходимы для базиса системы е (Л)..

Критерий базиса из экспонент для случая последовательности Л, лежащей в горизонтальной полосе, был найден Б. С. Павловым [9] в 1979 г. Говорят, что неотрицательная функция д (х) удовлетворяет Ар— условию, 1 <�р < оо, если а, Ь) СК.

Будем в этом случае писать д{х) Е Ар..

Теорема, А (Павлов). Пусть последовательность (Л&bdquo-) отделима и для некоторого Н Е и всехп верно |1тЛп|^/1. Тогда система (0.2) образует базис Рисса в Ь2{—а, а) тогда и только тогда, когда.

Ш>Н: |£(ж + г#)|2 € А2, где Ь{г) — порождающая функция системы (0.2)..

Если отказаться от требования принадлежности точек Хп горизонтальной полосе, то L2—нормы экспонент системы (0.2) станут неограниченными в совокупности, и понятие базиса Рисса в постановке задачи следует заменить на понятие безусловного базиса (система (еп) называется безусловным базисом гильбертова пространства, если система (е п/1|С/г||) образует в нём базис Рисса). Для случая, когда точки Ап лежат в полуплоскости Im z ^ h > —оо, необходимое и достаточное условие безусловного базиса вида (0.2) вскоре нашли Н. К. Никольский, С. В. Хрущёв и Б. С. Павлов [23]. Общий случай рассмотрел А. М. Минкин [6] в 1991 г.: к условиям А2 и отделимости (Ап) в теореме, А добавляется т. н. условие Карлесона, накладываемое на последовательности А±- = (An G A: ImAn ^ 0)..

Случай пространств LP{—а, а), р ф 21 требовал новых подходов, и вплоть до 1970;х гг. соответствующих результатов не было. Продвижение в этом направлении достигнуто благодаря работам А. М. Седлецкого. Мы приведём те его результаты, которые наиболее тесно связаны с представленными в данной диссертации теоремами. Прежде, однако, заметим, что при переходе от L2 к другим функциональным пространствам теряется понятие базиса Рисса. Некоторой его заменой для систем экспонент служит т. н. свойство Рисса, а именно ограниченность в норме рассматриваемого пространства оператора /тпп-1 /тп-1 = ?(?<*" К" ' ~? ? V.

А"еЛ j-Q / ReA">0 V j=0 /.

Это определение инициировано теоремой М. Рисса о сопряжённом ряде Фурье, согласно которой тригонометрический базис обладает этим свойством в LP{—7Г, 7г), 1 < р < оо..

Следующая теорема является расширением достаточной части теоремы Павлова..

Теорема В ([19]). Пусть 1 < р ^ 2, последовательность Л отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе |Im2:| ^ h, а такоюе supm" < +00. Тогда если порождающая функция системы (0.1) при некотором Н > h удовлетворяет условию L (x iH) p € Ар, то эта система образует базис ^(—а^а) со свойством Рисса..

Зачастую рассматривают порождающие функции, являющиеся преобразованием Фурье-Стилтьеса финитной меры: а.

L (z) = Jelztda (t), varo* < 00. а.

В этом случае система (0.2) выступает как система собственных функций оператора дифференцирования D (y) = — гу' с «размазанным» храевым условием а.

Jy (t) dcr (t) = 0, var, а < оо, а а система (0.1) может рассматриваться как система собственных и присоединённых функций). С этой точки зрения системы экспонент изучали С. Вер-блюнский, А. П. Хромов, В. А. Молоденков и др..

Теорема С ([19]) — Пусть 1 < р < оо и последовательность, А нулей функции а.

L (z) = Jeiztdcr (t), varo- < оо, а{±а) ф а{±а =F 0), (0.3) а отделима. Тогда система (0.1) образует базис LP{—a, a) со свойством Рисса..

Теорема D ([20]). Пусть 1 < р < оо, а, А — последовательность нулей функции вида а.

L (z) = [eizt ^ dt, var k{t) < оо, k (±a q= 0) ф 0, 0 < Re/3 < 1. (0.4) J [а — t) а.

Тогда при 1 — Ие/? < 1/р система е (Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве 1/(—а, а), а при 1 — Re /3 > 1 /р для всякого >с ^ Л уже система е (Л) и {еш} образует базис со свойством Рисса в 1Р{—а, а)..

Случай порождающей функции вида (0.4) интересен в частности тем, что под него при некоторых, А подпадает система п+ДйВпп)^-^? д е ^.

С системами (0.5) связаны системы синусов и косинусов вш (п + 1 и (со8(п + (0.6) первая из которых при Д = —¼ является системой собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Лаврентьева-Бицадзе со специальными краевыми условиями (см. [10, 11])..

Для систем (0.5) и (0.6) с вещественным! А Е. И. Моисеевым в [Т] даны критерии базиса соответственно в дространствах 1Р{—7Г, 7г) и 1^(0,7г), обобщённые Г. Г. Девдариани [2] на комплексные А. Результат [2] состоит в том, что критерием базиса экспонент, синусов или косинусов является условие.

1 1 «А 1 1, «А 1 1 1 «А 1 1.

—— < Ие, А < —, —-1 < Яе, А < — или —— < Г?, е, А < —- +.

2р 2 2р 2р 2р 2р 2 2р 2 соответственно..

Укажем имеющиеся результаты о базисах из экспонент в весовых пространствах. Это пространства 1^(1, и>(£) ¿-Ь) (где вес — измеримая, почти всюду положительная функция на конечном интервале I С К), состоящих из определённых на интервале I измеримых функций с конечной нормой.

11/11 = (^Jmpuj (t)dt), ю<�оо..

Естественно, что первой была исследована тригонометрическая система: в 1973 г. Хант, Макенхаут и Виден [24] установили, что она образует базис пространства LP{{—7Г, ir), cu (t) dt), 1 < р < оо, в том и только в том случае, когда периодически продолженный вес oj (t) удовлетворяет Ар~ условию. Что же до систем экспонент общего вида, то здесь рассматривались только веса, состоящие из произведения конечного числа степеней. Для веса вида u (t)=frt-t0f (7r-t)a, ¿-о G (0,тг), -1 < а, А7 <�Р~ 1, 1<�р<�оо.

Моисеевым [8] получен критерий базиса систем (0.6) в ¿-/((0,7г), u (t) dt), заключающийся соответственно в условиях.

1 + а «^ Л 1 + ск 1 + ск 1 ^ л 1 + а 1.

—1 < Re, А < —-— и ——- < Re, А < —-— + -. (0.7).

2р 2р 2р 2 2р 2 v J.

В [8] получен также критерий l + al-.l + a:. ..

—- < Re, А < —-— (0.8).

2р 2 2р у) базиса системы экспонент (0.5) в LP{{—7Г, 7г), dt)..

А. Буавеном и А. М. Седлецким [22] рассмотрены пространства.

Lpa = LP ((-a, a), coa (t)dt) с весом s.

Ua{t) = Д |i — bja, 2 ^ 5 < оо, -а = &!<.< Ья = а, 0 < а < р — 1 (0.9) 1 и доказаны две следующих теоремы, обобщающие теоремы С и В..

Теорема Е. Пусть 1 < р < оо и последовательность, А нулей функции вида (0.3) отделима. Тогда система е (А) образует обладающий свойством Рисса базис пространства Щ..

Теорема F. Пусть 1 < р < оо, а ^ р — 2, последовательность, А отделима и сосредоточена в горизонтальной полосе |1т.г| ^ h, а также supmn < +оо. Тогда если порождающая функция системы е (А) при некотором Н > h удовлетворяет условию р ж-ИЯ)|1+а G Ае, то система е (Л) образует обладающий свойством Рисса базис Ц^..

В [18, гл. 9] A.M. Седледким изучены системы (0.5) и (0.6) в пространствах с весом (0.9) при дополнительном условии, а ^ р — 2 (по-прежнему 1 < р < оо). Установлено, что система (0.5) при условии (0.8) образует базис пространства LP{[—7г, 7г), й-а (?) dt), эквивалентный тригонометрическому базису при соответствии егпЬ el (n+bsi&m)t^n? Система же синусов (косинусов) (0.6) при соответствующем условии (0.7) образует базис -?^((0,7r), ua (t) dt), эквивалентный системе (sin nt)™=l (l U (cos при соответствии sin ni sin (n + A)?, n G N (1 1, eos ni cos (n 4- A) i, n € N)..

Напомним, что базисы называются эквивалентными при существовании ограниченного вместе с обратным оператора, переводящего эти базисы друг в друга. Утверждение об эквивалентности базисов также доказано для невесового случая. При A Gi установлено, что достаточные условия (0.7) и (0.8) соответствующих базисов являются также необходимыми..

Целью настоящей работы является исследование базисов из экспонент в пространствах = Lp ((—a, a), uj (t) dt), 1 < р < оо, с весом с различными некрайними показателями, т. е. вида S u{t) = ТТ — fr7-?aj, 2 ^ s < оо, -а = bi <. < bs = а, f}i (0.10) а. — as = а, —1 < a i,., as < р — 1. Изложим основные результаты диссертации. В первой главе речь идёт о случае (0.4)..

Теорема 1.1. Пусть 1 < р < оо и порождаются функция системы е (А) имеет вид (0−4) — Тогда:.

1) при 1 —Re/5 < (l+Q-)/p система е (Л) образует базис со свойством Рисса в пространстве L.

2) при 1 — Heft >(1 +а)/р и при дополнительном условии к 6 Lip (l — Re/3) для всякого >с ^ Л система е (Л) U {el>d} образует базис со свойством Рисса в пространстве LPU..

Во второй главе теорема 1.1 применяется для исследования систем (0.5) и (0.6). Верны.

Теорема 2.1. Система (0.5) образует базис в пространстве Щ, (при, а = тг), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда верно (0.8). Базис (0.5) эквивалентен тригонометрическому при соответствии emt el («+Asignn)t^n ^.

Теорема 2.2. Пусть вес u (t) при 1 < р < оо задаётся соотношениями (0.10), где, а — тт. Тогда система синусов (косинусов) (0.6) образует базис пространства Lp ((0,7r), uj (t) dt) в том и только том случае, когда верно первое (второе) двойное неравенство (0.7). Этот базис эквивалентен базису (sin nt) new при соответствии sin nt sin (n + A) i, n € N (базису 1 U (cos nt) ne?q при соответствии 1 1, cos nt cos (n + A) i, n€N)..

В третьей главе исследуется случай (0.3). В предыдущих теоремах на некрайние показатели веса не накладывалось дополнительных условий и наличие базиса зависело только от значения крайнего показателя а. В случае (0.3) имеет место другая ситуация. Так, теорема Б не переносится автоматически на случай веса (0.10). Возможно лишь следующее её обобщение..

Теорема 3.1. Пусть 1 < р < оо и последовательность Л нулей функции (0.3) отделима. Если в весе (0.10) а ^ 0 и aj ^ a Vj? 1, s, то система экспонент образует базис со свойством Рисса в Lfc..

Как мы сейчас увидим, отказаться от дополнительных ограничений на показатели веса в теореме 3.1 нельзя..

Скажем, что вес co (t) имеет особенность порядка? в точке to, если u (t)>-t-to?, teU (to)..

Отношение fit) >: g (t) означает, что.

Зс, С > 0: c№^g (t)^Cf (t)..

Таким образом, у веса w (t) вида (0.10) особенности порядка aj в точках bj и порядка 0 во всех остальных. В следующей теореме функция cr0(i) является «погрешностью», расширяющей класс рассматриваемых функций. Существо дела ярче выявляется при сго (£) = 0..

Теорема 3.3. Пусть последовательность Л отделима и верно условие (0.3), причём a (t) = cro (t)—ai (t), sdeao (t) принадлежит соболевскому пространству.

V Р Р.

-—, Я>-:-г У?'&euro-1,5, р — 1 1 + а: р — 1 — а2 а 01 (?) — кусочно-постоянная функция со скачками в точках —а = с < <. < Сщ = а. Тогда система е (Л) является базисом пространства Ц^ (и тогда обладает свойством Рисса) в том и только том случае, когда'.

Vz е 2, m — 1 щ ^ а, где Vi — порядок особенности веса u)(t) в точке q..

Теорема 3.3 демонстрирует неулучшаемость теоремы 3.1. Действительно, при нарушении условий последней на показатели aj положим с = bj, если 3a>j > а, и с ^ {bj}, если, а < 0. По теореме 3.1 система экспонент, соответствующая функции a (t) с единственным (помимо скачков на концах интервала) скачком в точке с, не будет базисом в Lfc. В четвёртой главе показано, что теорема F остаётся справедливой для случая пространства (то есть при различных некрайних показателях веса) при условиях, а ^ тах (0, р — 2) и щ ^ а /j 6 1,5. Там же приводятся результаты о полноте систем экспонент в весовом пространстве. Под обозначением Ь^ понимаем пространство Ь1{{—а, а), а-(¿-) (И) с весом вида (0.10), в котором условие —1 < «1,., а3 <�р — 1 заменено на —1 < а^,., а8 ^ 0..

Теорема 4.2. Обозначим за пл (£) число точек последовательности Л ^ 0 в круге {г | |, г| < ?} (с учётом кратностей) и положим о.

Тогда для любого значения р? [1, оо) условие, 2а 1−1-0! [>—оо при 1 < р < оо, нтэир I .Л/л (г)—гI—тг) < г-«+сх) к Р) I — +со при р — 1 влечёт полноту системы е (Л) в пространстве I.

Теорема 4.3. Пусть ат, ат+1,. (т 6 К] - ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Тогда если при 1 < р < оо.

1 I 00.

I л I II I + о:, , 'г— ап.

Ап| ^ |п| -1- ——Ь а|&bdquo-|, п ^ т и — < или при р — 1.

1, оо.

Ап| ^ п н——-«|п|, п > 771 и — =.

ТЬ п—тп то система (егА" г), п полна в пространстве при, а = -к..

При, а = 0, 1 < р < оо и ап = 0 эти утверждения представляют собой классические теоремы Н. Левинсона [25]. Для случая веса с одинаковыми показателями теоремы 4.2 и 4.3 получены Седледким [18, § 4.1], там же рассмотрен случай пространства С[—а, а]..

Основные результаты диссертации опубликованы в [12]-[14]. Автор сердечно благодарит своего научного руководителя профессора Анатолия Мечиславовича Седлецкого за постановку задачи, постоянное внимание к работе и советы по оформлению научных трудов..

1. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в 1. по линейным комбинациям показательных функций // Записки мех.-мат. фак. ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1964. — Т. 30. — С. 18−29..

2. Девдариани Г. Г. Базисность некоторых специальных систем собственных функций несамосоиряжённых дифференциальных операторов. — Автореф. дисс.. канд. физ.-мат. наук. Москва: МГУ, 1986..

3. Кадец М. И. Точное значение постоянной Палея-Випера // Докл. АН СССР. 1964. — Т. 155. — С. 1253−1254..

4. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в Ь2 // Записки матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, сер. 4. — 1961. Т. 27. — С. 39−48..

5. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа // Матем. физика и функц. анализ, ФТИНТ АН УССР. — 1969. — Вып. 1 — С.136−146..

6. Минкин А. М. Отражение показателей и безусловные базисы из экспонент // Алгебра и анализ. — 1991. — Т. З, № 5. — С. 109−134..

7. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР.1984. — Т. 275 С. 794−798..

8. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов в весовом пространстве // Дифф. уравн. 1998. — Т. 34, № 1. — С. 40−44..

9. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхоупта // Докл. АН СССР. 1979. — Т. 247. — С. 37−40..

10. Пономарев С. М. К теории краевых задач для уравнений смешанного типа в трёхмерной области // Докл. АН СССР. 1979. — Т. 246. — С. 1303−1305..

11. Пономарев С. М. Об одной задаче на собственные" значения // Докл. АН СССР. 1979. — Т. 249. — С. 2068;2070..

12. Пухов С. С., Седлецкий А. М. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Докл. Ак. Наук. — 2009. Т. 425, № 4. С. 452−455..

13. Пухов С. С. Базисы из экспонент, синусов и косинусов в весовых пространствах на конечном интервале // Известия РАН. Серия матем. — 2011. — Т. 75, № 2. С. 167−196..

14. Пухов С. С. Базисы из экспонент в весовых пространствах, порождённые нулями функции типа синуса специального вида // «Депонированные научные работы», ВИНИТИ. № 2, 2011. — 22.12.2010, № 724-В2010..

15. Самко С. Г, Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. — Минск: Наука и техника, 1987..

16. Седлецкий А. М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005..

17. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук. — 1982. — Т. 57, № 5. —.

18. Седлецкий А. М. Базисы из экспонент в пространствах Lp (—7г, 7г) // Матем. заметки. 2002. — Т. 72, № 3. — С. 418−432..

19. Эдварде Р. Функциональный анализ. — Москва: Мир, 1969..

20. Boivin A., Sedletskii A.M. Bases of exponentiales in weighted LP-spaces // Spectral and evolution problems, 14. Proc. 14 Crimean Autumn Math. SchoolSymp., September 2003, Sevastopol, LaspiSimferopol, 2004. — P.41−43..

21. Hruscev S.V., Nikolskii N. K. and Pavlov B. S. Unconditional bases of exponentiales and reproducing kernels // Lect. Notes Math. — 1981. — V. 864. P. 214−235..

22. Hunt R.A., Muckenhoupt B. and Wheeden R. L. Weighted norm inequalities for the conjugate function and Hilbert transform // Trans, of Amer. Math. Soc.- 1973. — V. 176. P. 227−251..

23. Levinson N. Gap and density theorems. — New York: Publ. Amer. Math. Soc.,.

24. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934.C. 51−95.1940..