Многообразия групп простого периода и тождества с высокими степенями

Проблемы о существовании бесконечных конечно-порожденных периодических групп, сформулированные Бернсайдом, положили начало для большого числа вопросов, связанных с тождествами и соотношениями периодического вида в группах.

Большим достижением явилось доказательство существования бесконечных групп с двумя порождающими, в которых выполнено тождество хп = 1 для достаточно большого нечетного п, тем самым было получено отрицательное решение ограниченной проблемы Бернсайда для достаточно большой нечетной экспоненты [12] (для п ^ 4361), [2] (для п ^ 665). Используя геометрическую интерпретацию вывода соотношений в группах, А. Ю. Ольшанский получил более короткое по сравнению с оригинальным решение ограниченной проблемы Бернсайда для нечетных п > Ю10 [16], [26], [13]. Геометрический подход, использовавшийся в [15] и в упомянутых работах, оказался эффективным при решении многих других вопросов.

Целью диссертации является дальнейшее развитие геометрического метода в изучении соотношений, содержащих высокие степени, и применение этого метода для получения некоторых новых результатов в теории групп.

Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе приводятся основные определения и известные факты, которые потребуются в дальнейшем. В параграфе 1.1 определяются основные понятия градуированного копредставления и диаграммы над^{представлением,} формулируются леммы ван Кампена и Шуппа, являющиеся базовыми для геометрического метода в изучении соотношений в группах. В параграфе 1.2 рассматриваются специальные виды копредставле-ний — периодические копредставления, содержащие соотношения вида АПА = 1, а также копредставления с условием Я, в которых допускаются также соотношения нестепенного вида. Приводятся определения, касающиеся диаграмм над периодическими копредставлениями и копредставле-ниями с условием Я. В отдельный параграф 1.3 включены утверждения из [13], а также некоторые другие известные предложения, на которые понадобятся ссылки в главах 2−4. Используемые в диссертации понятия (за исключением нескольких видоизменений, о которых будет упомянуто особо) подробно и в большей полноте описываются в [13, гл. 4−8]. Поэтому в первой главе делается упор лишь на материал, непосредственно используемый для получения результатов диссертации.

Во второй главе приводятся примеры групп, дающие, в частности, отрицательный ответ на вопрос 13.34 из [9], записанный В. Д. Мазуровым: периодичен ли коммутант группы, в которой выполнено тождество [х, у]п = 1? Более того, для достаточно большого нечетного п, зависящего от к, строится группа, удовлетворяющая тождеству ([жь У1][х2, У2] • • • Ук])П — 1, коммутант которой непериодичен. В связи с упомянутыми примерами отметим утверждение, доказанное П. В. Шумяцким [28]: коммутант финитно аппроксимируемой-группы, удовлетворяющей тождеству [х, у]рП> = 1 является локально конечной (и следовательно периодической) группой для любого простого р и натурального т.

В третьей главе рассмотрена бесконечная система групповых тождеств {[хр, ур]п = 1}, где п — фиксированное достаточно большое нечетное число, являющееся степенью простого числа, а р пробегает множество простых чисел. Доказывается, что данная система тождеств независима, т. е. никакое из тождеств не является следствием остальных. Тем самым многообразие групп, заданное этой системой тождеств, является еще одним примером многообразия групп без конечного базиса тождеств. Различные решения проблемы конечного базиса тождеств в группах были даны в работах [16], [1], [30]. Независимая бесконечная система групповых тождеств, предложенная в [1], — имеет вид {[хрп, урп]п = 1}, где п — нечетное число, п ^ 4361 (в [2] оценка снижена до п ^ 1003), р пробегает множество простых чисел. А. Л. Шмелькин обратил внимание автора, что системы тождеств, сходные с системой {[хр, ур]п = 1}, были рассмотрены также в [6]. Однако при простом п независимость системы тождеств {[хр, ур]п = 1} не следует из [6].

Четвертая глава является основной. В ней указано континуальное семейство 1Ла различных многообразий периода р для достаточно большого нечетного р, обладающее следующими свойствами: каждые два различных многообразия семейства в пересечении дают многообразие абелевых групп периода р каждое из многообразий рассматриваемого семейства задается бесконечной независимой системой тождеств. Тем самым, в частности, решается вопрос осуществовании не конечно базируемых многообразий большого простого периода. Во всех известных ранее примерах многообразий конечного периода без конечного базиса тождеств (см. примеры в работах [30], [24], [18], [5], [7], [13, § 31], [20], [21] и др.) существенно использовался тот факт, что период многообразия есть составное число. Существование не конечно базируемых многообразий большого простого периода, заданных системами тождеств на двух переменных, влечет отсутствие условия максимальности для вербальных подгрупп группы В (2,р) (свободной 2-порожденной группы в многообразии Бернсайда периода р). Ранее в работе [3] было показано отсутствие условия максимальности и минимальности для нормальных подгрупп В (2,р).

В книге [11] был поставлен вопрос о существовании неабелевых (т.е. содержащих неабелевы группы) многообразий, в которых все конечные группы абелевы. Примеры многообразий с указанным выше свойством были построены в статье [15]. В связи с этими примерами в книге [13] высказывается уверенность в существовании таких многообразий с дополнительным условием конечности периода (хотя бесконечность периода там существенно использовалась в доказательстве). Многообразия из семействаиа доставляют соответсвующие примеры. Будет показано, что среди многообразий семейства Ыа имеется континуум различных неабелевых многообразий, в которых все конечные группы абелевы.

Отметим, что в случае простого р результат четвертой главы был анонсирован С. В, Ивановым в работах [4], [22], однако доказательство не было опубликовано. Таким образом, даже вопрос о существовании не конечно базируемых подмногообразий Вр для большого простого р оставался открытым (и автор анонса подтверждает это). Как показано в работе [22], из теоремы 3 следует, что множество накрывающих многообразий для многообразия Ар (р — большое нечетное) континуальноэто позволяет дать ответы на вопросы 6.16 [9], 2.1, 2.3 [17].

По теме диссертации опубликованы работы [32]—[35]. Основной результат совместной работы [33] был получен авторами независимокогда это выяснилось, они приняли решение подготовить совместную статью. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории групп и алгебраическом семинаре кафедры высшей алгебры в МГУ им. М. В. Ломоносова, в университете Вандербилт (Нэшвилл, США), на Международной конференции по алгебре памяти Куроша (1998 год).

Автор искренне благодарит своего научного руководителя профессора А. Ю. Ольшанского за постановку задач, полезные обсуждения и внимание к работе.

1. Адян С. И. Бесконечные неприводимые системы групповых тождеств // Изв. АН СССР. 1970. 34, № 4. 715−734.

2. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. — М., 1975.

3. Адян С. И. Нормальные подгруппы свободных периодических групп Ц Изв. АН СССР. Сер. мат. 1981. 45, 931−947.

4. Иванов C.B. О нескольких вопросах теории многообразий групп// Междун. конф. по алг. Тезисы докл. по теор. групп, Новосибирск, 1989,49.

5. Клейман Ю. Г. О базисе произведения многообразий групп, I-II// Изв. АН СССР. Сер. мат. 37 (1973), 95−97- 38 (1974), 475−483.

6. Клейман Ю. Г. О тождествах в группах// Тр. Моск. матем. о-ва., 1982. № 44. 62−108.

7. Клейман Ю. Г. О базисах тождеств некоторых произведений многообразий групп// Сиб. мат. журн. 1985, т. 26, № 1, 104−124.

8. Кострикин А. И. Вокруг Бернсайда. — М.: Наука, 1986.

9. Коур о в екая тетрадь: нерешенные вопросы теории групп, 13 изд., Новосибирск, 1995.

10. Лин дон Р., Шупп П. Комбинаторная теория групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1980.

11. Нейман X. Многообразия групп: Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.

12. Новиков П. С., Адян С. И. О бесконечных периодических группах, 1,11,III// Известия АН СССР. Сер. мат. 1968, 32, № 1, 212−244- № 2, 521−524- № 3, 709−731.

13. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах.— М.: Наука, 1989.

14. Ольшанский А. Ю. О проблеме конечного базиса тождеств в группах// Изв. АН СССР. Сер. мат. 1970. 34, № 2. 376−384.

15. Ольшанский А. Ю. Бесконечные группы с циклическими подгруппами// ДАН СССР. 1979. 245, № 4. 785−787.

16. Ольшанский А. Ю. О теореме Новикова-Адяна// Мат. сб. 1982. 118, № 2. 203−235.

17. Ольшанский А. Ю. Многообразия, в которых все конечные группы абелевы// Мат. сб. 1985. 126, № 1. 59−82.

18. Свердловская тетрадь: нерешенные вопросы теории полугрупп, 2 изд., Свердловск, 1979.

19. R M Bryant, Some infinitely based varieties of groups// J. Austral. Math. Soc. 16 (1973), 29−32.

20. С С Edmunds, A short combinatorial proof of the Vaught conjecture// Canad. Math. Bull. 18 (1975), 607−608.

21. С К Gupta & A N Krasil’nikov, Some non-finitely based varieties of groups and group representations// Int. J. Algebra and Comput. 5, № 2 (1995), 1−23.

22. С К Gupta & A N Krasil’nikov, Metanilpotent varieties without torsion and varietis of groups of prime power exponent// Int. J. Algebra andComput. 6, № 3 (1996), 325−338.

23. S V Ivanov & A Yu Ol’shanskii, Applications of graded diagrams// London Math. Soc. Lect. Note, Ser. 160, 258−308.

24. E R van Kampen, On some lemmas in the theory of groups// Amer. J. Math., 55 (1933), 268−273.

25. M F Newman, Just non-finitely-based varieties of groups// Bull. Austral. Math. Soc. 4 (1971), 343−348.

26. A Yu Ol’shanskii, On a geometric method in the combinatorial group theory// Proc. Int. Congress Math. 1, 1983, 415−424.

27. P E Schupp, On Dehn’s algorithm and the conjugacy problem// Math. Ann. 178, № 2, 119−130.

28. M P Schiitzenberge, Sur l’equation a2+nb2+m = c2+p dans un group libre// С. R. Acad. Sci. Paris 248 (1959), 2435−3436.

29. P V Shumyatsky, On groups with commutators of bounded order// Proc. Amer. Math. Soc. 127 (1999), № 9, 2583−2586.

30. A Storozhev, On abelian subgroups of relatively free groups// Comm. of algebra, 1994, 22(7), 267 7−2701.

31. M R Vaughan-Lee, Uncoutably many varieties of groups// Bull. London Math. Soc. 2 (1970) 280−286.

32. M J Wicks, Commutators in free groups// J. London Math. Soc. 37 (1962), 433−444.

33. Кожевников П. А. Об одной независимой бесконечной системе групповых тождеств// Вестн. Моск. ун-та, сер.1, математика, механика, 1997, № 4, 13−16.

34. G S Deryabina, Р A Kozhevnikov, The derived subgroup of a group with commutators of bounded order can be non-periodicfj Comm. Algebra, 27, № 9 (1999), 4525−4530.

35. Кожевников П. А. О тождествах степенного вида в группах// Kurosh Algebraic Conference'98. Abstracts of Talks. МГУ им. M.B. Ломоносова, Москва, 1998, 180.

36. Кожевников П. А. О многообразиях групп большого нечетного периода// Деп. в ВИНИТИ 05.06.2000, № 1612-В00, 26 с.