Локальные и нелокальные краевые задачи для смешанных уравнений гиперболо-параболического типа второго и третьего порядков

Теория краевых задач для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа, в силу своей теоретической и прикладной важности, является одним из интенсивно развивающихся разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Она привлекает к себе внимание многих исследователей, интересующихся как самой теорией, так и её приложениями.

Интерес к этим задачам, прежде всего, связан с тем, что многие математические модели теплои массообмена в капиллярно-пористых средах [29], пластовых систем [1], движения малосжимаемой жидкости в канале, окруженном пористой средой [12], распространения электромагнитного поля в неоднородной среде [57], формирования температурного поля [59], движения вязкоупругой и вязкой жидкостей [27], сводятся к краевым задачам для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа. Достаточно полная библиография по теории краевых задач для гиперболо-параболических уравнений содержится в монографиях Т. Д. Джураева, А. Сопуева и М. Мамажанова [14], Т. Д. Джураева [13]- в докторских диссертациях Д. Базарова [2], В. А. Елеева [19], О. А. Репина [47], К. Б. Сабитова [49]. Следует также отметить работы Х. Г. Бжихатлова [3], Х. Г. Бжихатлова и A.M. Нахушева [4], В. Н. Врагова [6, 7], С. И. Гайдука [9, 10], С. Х. Геккиевой [11], И. М. Гельфанда [12], В. А. Елеева [17, 20], Л. А. Золиной [22, 23], Н. Ю. Капустина [26], В. М. Корзюка [27], А. М. Нагорного [31], A.M. Нахушева [34], Е. А. Островского [46], А. Сопуева [54, 55], Г. М. Стручиной [56], Я. С. Уфлянда [58], в которых были поставлены и исследованы краевые задачи для таких уравнений.

Одним из важных классов нелокальных уравнений с частными производными являются нагруженные уравнения смешанного типа (впервые термин «нагруженное уравнение» появился, применительно к интегральным уравнениям, в исследованиях А. Кнезера (1914г.) [60]. Нагруженные уравнения возникают при численном решении интегро-дифференциальных уравнений [41], при исследовании обратных задач [5, 24], при линеаризации нелинейных уравнений [37, 40], при изучении некоторых задач оптимального управления [16], при эквивалентном преобразовании нелокальных краевых задач [42, 43], при моделировании процессов переноса частиц [8, 61], при моделировании процессов фильтрации, а также управления и регулирования уровня грунтовых вод и т. д.

В настоящее время круг рассматриваемых задач для смешанных гиперболо-параболических уравнений, а также для нагруженных уравнений смешанного гиперболо-параболического типа значительно расширился. Наряду с изучением основных краевых задач для таких уравнений, начиная с семидесятых годов, большое внимание исследователей уделяется постановке и изучению нелокальных краевых задач. Это объясняется тем, что многие практически важные задачи, связанные с динамикой почвенной влаги [38−41], с процессом диффузии частиц в турбулентной плазме [43], с охлаждением неоднородного изогнутого стержня [43], моделированием процесса излучения лазера [45], приводят к нелокальным краевым условиям. Как отмечено, например, в книге A.M. Нахушева «Уравнения математической биологии» [44], исследования последних лет убедительно показывают, что в математической биологии весьма часто возникают как нелокальные краевые, так и смешанные начально-краевые задачи.

В имеющихся на сегодняшний день работах главным образом изучались нелокальные краевые задачи для эллиптико-гиперболических и гиперболо-параболических уравнений второго порядка. Что касается нелокальных краевых задач для смешанных и смешанных нагруженных уравнений более высокого порядка, то они остаются малоисследованными.

Все это подчеркивает как теоретическую, так и практическую актуальность постановки и исследования локальных и нелокальных краевых задач в теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Цель настоящей диссертационной работы состоит в постановке и исследовании однозначной разрешимости локальных и нелокальных краевых задач для смешанных гиперболо-параболических, в том числе нагруженных, уравнений второго и третьего порядков.

Перейдем к более детальному изложению основного содержания диссертации, которая состоит из введения, двух глав, разбитых на шесть параграфов и списка цитированной литературы. При этом в каждой главе своя нумерация параграфов, формул, теорем.

1. Азиз X., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем.-М., 1982.

2. Базаров Д. К теории локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного и смешанно-составного типов: Дис.. д-ра ф.-м. наук.-Ашхабад, 1991.-272с.

3. Бжихатлов Х. Г. Об одной краевой задаче для смешанных параболо-гиперболических уравнений с характеристической линией изменения типа // Дифференц. уравнения.-1977.-Т.13.-№ 1.-С.10−16.

4. Бжихатлов Х. Г, Нахушев А, М, Об одной краевой задаче для уравнения смешанного параболо-гиперболичеекого типа // ДАН СССР,-1968,-Т. 183.-№ 2,-0,261−264.

5. Будак В. М., Искендеров А. Д. Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэффициентами //ДАН СССР.- 1967.-Т.176.-№ 1.-С.20−23.

6. Врагов В. Н. О задаче Коши для некоторых параболо-гиперболических уравнений//ДАН СССР.-1973.-Т.212.-№ 3.-С.536−539.

7. Врагов В. Н. Смешанная задача для одного класса гиперболо-параболических уравнений второго порядка//Дифференц. уравнения.-1976.-Т.12.-№ 1.-С.24−31.

8. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц// Тр. мат. ин-таим. В.А.Стеклова/ 1961.-Т.61.-С.158.

9. Гайдук С. И. Применение метода контурного интеграла к решению одной задачи на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов // Дифференц. уравнения,-1965.-Т. 1 .-№ 10.-С. 1366−1382.

10. Гайдук С. И., Иванов А. Об одной задаче на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов //ДАН БССР.-1964.-Т.8.-№ 9.-С.560−563.

11. Геккиева С. Х. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с дробной производной // Доклады АМАН.-2001.-Т.5.-№ 2.-С.18−22.

12. Гельфанд И. М. Некоторые вопросы анализа и дифференциальные уравнения // УМН.-1959.-Т.14.-вып. 3(87).-С, 3−19.

13. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов.-Ташкент: Фан, 1979.-238с.

14. Джураев Т. Д., Сопуев А. С., Мамажанов М. Краевые задачи для уравнений параболо-гиперболического типа.-Ташкент: Фан, 1986.-220с.

15. Джураев Т. Д., Салихов Ш. Н. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка, содержащего гиперболический оператор // Известия АН УзССР.-1984.-№ 6.-С.12−15.

16. Егоров А. И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами ,-М., 1978,-463с.

17. Елеев В, А, Обобщенная задача Трикоми для смешанных гиперболо= параболических уравнений с характеристической линией изменения типа //Дифференц. уравнения,-1980.-Т. 16.-№ 1 .-С.59−73.

18. Елеев В. А. Краевые задачи для нагруженного гиперболо-параболического уравнения с характеристической линией изменения типа // Укр. мат. журн.-1995.-Т.47.-№ 12.-С. 1639−1652.

19. Елеев В. А. Краевые задачи для уравнений смешанного гиперболо-параболического типа: Дис.. д-ра ф.-м. наук.-Киев, 1995.-266с.

20. Елеев В. А. Аналог задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения (математическая физика): Тез. докл. Куйбышевского областного межвуз. науч. совещания-семинара.-Куйбышев, 1986.

21. Елеев В. А. О некоторых краевых задачах для смешанных нагруженных уравнений второго и третьего порядка // Дифференц. уравнения,-1994.-Т.30.-№ 2.-С.230−237.

22. Золина JI.A. О краевой задаче для модельного уравнения гиперболопараболического типа // ЖВМ и МФ.-1966.-Т.6.-№ 6.-С.991−1001.

23. Золина JI.A. О краевых задачах для модельных уравнений эллиптико-параболического и гиперболо-параболического типов: Автореф. дис.канд. ф.-м. наук.-Ташкент, 1967.-12с.

24. Искендеров А. Д. О краевой задаче для нагруженной системы квазилинейных параболических уравнений // Дифференц. уравнения.-1971.-Т.7.-№ 10.-С.1911;1913.

25. Кароль И. Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа // ДАН СССР.-1953.-Т.88.-№ 2.-С. 197−200.

26. Капустин Н. Ю, К теории уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения.-1982.-Т. 18.-№ 6.-С, 1078−1080,.

27. Корзюк В. Й., Лемешевский СВ., Матус П. П. Разрешимость задачи сопряжения гиперболического и параболического уравнений с интегро-дифференциальными условиями на границе раздела областей // Тр. ин-та математики НАН Беларуси / 2000.-Т.6.-С.100−108.

28. Ланин И. Н., Карданов Х. Л. Об одной краевой задаче для уравнения гиперболо-параболического типа // Уч. зап. Кабардино-Балкарского ун-та.-1966.-С.113−116.

29. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию теплои массообмена // Инж.-физ. журн.-1965.-Т.9.-№ 3.-С.287−304.

30. Ляпин Е. С. Курс высшей алгебры.-М.:Учпедгиз, 1953.-343с.

31. Нагорный A.M. Краевые задачи для вырождающегося уравнения гиперболо-параболического типа // Известия АН УзССР.-1981.-№ 2.-С.32−36.

32. Нагорный A.M. Краевые задачи для нагруженного уравнения смешанного типа третьего порядка. В сб.: Дифференц. уравнения и их приложения к механике.-Ташкент: Фан, 1985.-С.55−66.

33. Нахушев A.M. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравненийи уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения.-1969.-Т. 5.-№ 1.-С.44−59.

34. Нахушев A.M. К теории линейных краевых задач для уравнения второго порядка смешанного гиперболо-параболического типа // Дифференц. уравнения.-1978.-Т. 14.-№ 1 .-С.66−73.

35. Нахушев A.M. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения.-1976.-Т. 12.-№ 1.-С.103−108.

36. Нахушев A.M. Прямая задача теории сопла Лаваля // Доклады АМАН.-2003.-Т.6.-№ 2.-С.69−74.

37. Нахушев A.M., Борисов В. Н. Краевые задачи для нагруженных параболических уравнений и их приложение к прогнозу уровня грунтовых водДифференц. уравнения,-1977.-Т. 18.-№ 1,-СЛ05−110.

38. Нахушев A.M. Нелокальные задачи и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влагиДАН СССР.-1978.-Т.242.-№ 5.-С. 1008−1011.

39. Нахушев A.M. Локальные и нелокальные краевые задачи для нагруженного уравнения параболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги // Респ. симпозиум по дифф.ур.: Тез. докл.-Ашхабад, 1978.-С.27−28.

40. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги //Дифференц. уравнения.-1979.-Т.15.-№ 1.-С.96−105.

41. Нахушев A.M. Об одном приближенном методе решения краевых задач для дифференциальных уравнений и его приложения к динамике почвенной влаги и грунтовых вод//Дифференц. уравнения.-1982.-Т.18.-№ 1.-С.72−81.

42. Нахушев A.M. Нагруженные уравнения и их приложения // Дифференц. уравнения,-1983 .-Т. 19,-№ 1 .-С.86−94.

43. Нахушев A.M. О нелокальных краевых задачах со смещением и их связи снагруженными уравнениями // Дифференц. уравнения.-1985.-Т.21.-№ 1.-С.92−101.

44. Нахушев A.M. Уравнения математической биологии.-М.:Высшая школа, 1995.-301C.

45. Нахушев A.M. Элементы дробного исчисления и их применение.-Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2000.-299с.

46. Островский Е. А. Задача на сопряжение уравнений параболического и гиперболического типов, когда в граничные условия входят производные по времени // Дифференц. уравнения,-1967.-Т.3.-№ 6.

47. Репин О. А. Краевые задачи для уравнений гиперболического и смешанного типов и дробное интегро=дифференцирование: Дис.. д-ра ф.-м. наук.-Минск, 1998.-220с.

48. Сабитов К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева=Бицадзе со спектральным параметром // Дифференц. уравнения.-1986.-Т.22.-№ 11.-С.1977;1984.

49. Сабитов К. Б. Некоторые вопросы качественной и спектральной теории уравнений смешанного типа: Дис.. д-ра ф.-м. наук.-Москва, 1991 .-313с.

50. Салахитдинов М. С., Бердышев А. С. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Известия АН УзССР.-1983.-№ 4.-С.20−25.

51. Самарский А. А. //Дифференц. уравнения.-1980.-Т.16.-№ 11.-С.1925;1935.

52. Смирнов В. И. Курс высшей математики.-М.-JI.: Гиттл, 1951.-Т.4.-804с.

53. Смирнов М. М. Уравнения смешанного типа.- М.: Высшая школа, 1985.-304с.

54. Сопуев А. Оценка решения одной задачи Геллерстедта для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // ДАН УзССР.-1982.-№ 7.-С.3−4.

55. Сопуев А. О краевых задачах А. В. Бицадзе для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа // Известия АН УзССР.-1982.-№ 2.-С.23−27.

56. Стручина Г. М. Задача о сопряжении двух уравнений // Инж.-физ. журн.-1961.-Т.4.-№ 11.-С.99−104.

57. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики.-М.: Наука, 1977.-736с.

58. Уфлянд Я. С. К вопросу о распространении колебаний в составных электрических линиях // Инж.-физ. журн.-1964.-Т.7.-№ 1.-С.89−92.

59. Шашков А. Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение.- М.: Энергоатомиздат, 1983.-278с.

60. Kneser A. Rendicon ti del Circolo Matematico di Palermo. 1914, t.37 -P.169−197.

61. Pomraning G.C., Larsen E. W//J.Math.Phys.,-1980.-Vol.21.-№ 7.-P.1603−1612.

62. Лайпанова A.M. О существовании и единственности решения задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа // Известия КБНЦ РАН.- 2000,=№ 2(5).-С. 50=56 (в соавторстве с В. А, Елеевым).

63. Лайпанова A.M. Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа третьего порядка // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. X межвуз. конф.-Самара: СамГТУ, 2000.Ч.З.-С. 59−61(в соавторстве с В.А. Елеевым).

64. Лайпанова A.M. Об одной краевой задаче для смешанного уравне-ния третьего порядка со спектральным параметром // Вест. Северо-Осетин. ун-та. Естественные науки.- 2003.-Т.2. № 1. С.14−22 (в соавторстве с В.А. Елеевым).

65. Лайпанова A.M. Краевые задачи для смешанных нагруженных уравнений гиперболо-параболического типа третьего порядка // Вест. Северо-Осетин. ун-та. Естественные науки.- 2003.-Т.2. № 1.-С.23−33 (в соавторстве В.А. Елеевым).

66. Лайпанова A.M. Краевые задачи со смещением для одного нагруженного гиперболо-параболического уравнения третьего порядка: Тез. докл. науч.-практич. конф. КЧГПУ.- Карачаевск, 1998.-С.34−35.

67. Лайпанова A.M. О существовании и единственности решения аналога задачи Франкля для смешанного уравнения гиперболо-параболического типа. Тез. докл. науч.-практич. конф. КЧГПУ.- Карачаевск, 1999.-С.283−284.

68. Лайпанова А. М Краевая задача для смешанного нагруженного уравнения гиперболо-параболического типа второго порядка // Доклады АМАН.- 2003.-Т.6.-№ 2. С.57−59.