Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности

Основы классической теории римановых поверхностей и абелевых дифференциалов на компактных римановых поверхностях были заложены в работах Б. Римана, Ф. Клейна, К. Вейерштрасса и А. Пуанкаре. Теория римановых поверхностей тесно связана со многими направлениями в современной математике — теорией функций на комплексных многообразиях, алгебраической геометрией, топологией и уравнениями математической физики. Она содержит три основных аспекта: топологический (двумерные поверхности и фундаментальные группы), алгебраический (дискретные группы, группы автоморфизмов поверхностей и комплексных многообразий) и аналитический (функции и дифференциальные формы на поверхности, дифференциальные уравнения и функциональный анализ).

Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима и их периоды появились в конце 19 века в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 — 35] и позднее Р. Кенига, О. Хаупта, Г. Петерсона [71- 62- 83]. Для дальнейшего изучения этих объектов было недостаточно средств из алгебры, геометрии, теории функций и дифференциальных уравнений.

К середине 50-х годов 20 века появились нужные алгебро-геометрические средства, например, теория голоморфных векторных расслоений над комплексными многообразиями в работах Н. Стинрода [21] и Г. Грауэрта [55]. Затем в работах М. А. Лаврентьева, Ю. Г. Решетняка [18], П. П. Белинского [3] была развита теория квазиконформных отображений. С помощью этой теории была решена 22 проблема Гильберта и исследованы обшие пространства Тейхмюллера компактных римановых поверхностей и пространства клейновых групп в работах JI. Альфорса [1- 32], JI. Берса [1- 38 — 41], СЛ. Крушкаля [13], И. Кра [72 — 74] и Б. Маскита [77 — 80]. Квазиконформные деформации фуксовых и других клейновых групп в настоящее время являются одним из важнейших методов в исследованиях по геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Введению римановой метрики в общих метрических пространствах и когомологическим вопросам комплексного анализа были посвящены работы В. Н. Берестовского [4], Р. Ганнинга [6- 58 — 61] и А. К. Циха [26].

Теория краевых задач в классе аналитических функций на компактных римановых поверхностях для сложного (составного) контура была развита в работах В. Н. Монахова [15], JI.A. Аксентьева [2], Э. И. Зверовича [10], Л. И. Чибриковой [27] и С. Р. Насырова [16]. Многозначные аналитические функции с постоянными модулями граничных значений изучены методами функционального анализа в работе М. В. Самохина [19]. Мультипликативные интегралы Прима (интегралы от дифференциалов Прима на римановой поверхности) являются решениями специальной краевой задачи в классе мероморфных функций для составного контура на компактной римановой поверхности.

В середине 70-х годов 20 века после работ С. П. Новикова [17], И. М. Кричевера [12], Б. А. Дубровина [8- 9], И. А. Тайманова [22- 23], в связи с алгебро-геометрическим интегрированием уравнений математической физики (уравнения Кортвега де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили и др.), возрос интерес к тэта-функциям Римана, многообразиям Якоби и специальным характерам для фиксированной гиперэллиптической римановой поверхности. Кроме того, в теории многообразий Прима, связанных с двулистными накрытиями, применяются дифференциалы Прима для специальных характеров, квадраты которых равны единице. Такие характеры соответствуют так называемым спинорным структурам.

Затем в наше время дифференциалы Прима снова появились в ряде работ К. Эрла, И. Кра [48- 49- 74], в связи с тэта-рядами Пуанкарев работах Г. Кемпфа [70], Дж. Фея [54], Дж. Ергенсона [68], в связи с приложениями к теории чисел, и недавно в работе Э. Джеблоу [67] в вариационной теории таких дифференциалов. Однако, как правило, все эти авторы изучали голоморфные дифференциалы Прима относительно двух специальных видов характеров для фундаментальной группы фиксированной компактной римановой поверхности, которые либо принимают все свои значения только на единичной окружности, либо на половине образующих группы их значения равны единице.

По-видимому к 1980 году появилась необходимость в построении общей теории дифференциалов Прима для любых характеров, хотя бы на фиксированной компактной римановой поверхности. В 1980 году Р. Ганнинг [60] начал изучение голоморфных дифференциалов Прима и их периодов относительно произвольных существенных характеров. Классы периодов голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2 являются важными трансцендентными инвариантами связанными с поверхностью. Он ввел векторное расслоение Прима из голоморфных дифференциалов Прима и когомологическое векторное расслоение (Ганнинга) для классов их периодов и дал явное описание таких расслоений для рода д = 2.

Группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности появились ещё в 19 веке в работах А. Пуанкаре,.

Э. Пикара, П. Фату [см. 35 — 36], в связи с проблемой униформизации компактной римановой поверхности. В 70-х годах 20 века группы монодромии появились вновь в работах К. Эрла [47], И. Кра [72- 73], Б. Маскита [73], D.A. Хейхала [64 — 65] и Р. Ганнинга [58 ], в связи с общей проблемой униформизации и с теорией общих пространств Тейхмюллера.

В диссертации, состоящей из пяти глав, построена общая теория дифференциалов Прима и их классов периодов для произвольных характеров на переменной компактной римановой поверхности. Изучены векторные расслоения Прима, образованные мероморфными дифференциалами Прима, и когомологическое расслоение Ганнинга, составленное из классов периодов для таких дифференциалов, над пространством Тейхмюллера и над пространством групп Кебе. Исследованы периоды замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима для произвольных характеров. В пятой главе изучены проективные структуры и их группы монодромии, в связи со стандартными униформизациями компактных римановых поверхностей группами Кебе. Получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка на компактной римановой поверхности.

В первой главе будет построена общая теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для произвольных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности.

Параграф 1.1 имеет вспомогательный характер и содержит сведения по теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима, полученные в работах Ф. Прима [84], П. Аппеля [33 — 35] в конце 19 века и в начале 20 века, и изложенные в книге X. Фаркаша, И. Кра [52, р. 126−134].

В теории мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности F рода д > 2 большую роль играют множество Lg так называемых несущественных и дополнительное к нему множество существенных характеров [52]- Обозначим через Hom{-Ki (F), С*) группу всех характеров (одномерных представлений) р из 7Ti (F) в С* = С{0} с естественной операцией умножения. Характер р на 7Ti (F) называется несущественным характером на 7Ti (F), если существует с= (ci,., c5) 6 С9 такой, что 9 p (aj) = exp 2mcj, p{bj) = ехр27гг ^я^сь j = 1,., д,.

Jt=i где тn (F, О) = (оь 6Ь ад,: &*] = 1), fc=1 fi = (jtjk) — матрица порядка д из Ъ—периодов для канонического базиса голоморфных абелевых дифференциалов на F, двойственного с КА}?=х (т.е. fakCj = Sjk, fbkCj =-irjk, j, k = l',., g) [52, с. 129]. Несущественные характеры образуют подгруппу Lg в Hom (-Ki (F), С*). Характеры р (Е Hom (iri (F), C*)Lg называются существенными характерами и они имеют следующее представление 9 p{aj) = ехр2тггс—, p{bj) = ехр2тгг (^ irjkck + dj), j = 1, д, где с = (ci, с5) G С9, dj € С и dj (fc Z для некоторого j, j = 1,., д [52].

В параграфе 1.2 будет дана топологическая и аналитическая характери-зация группы характеров Hom (7Ti (F, О), С*) и ее специальных подгрупп Lg и Ьд (Lg — множество всех комплексно-сопряженных характеров к Lg).

В параграфе 1.3 доказываются теорема Абеля для характеров, теоремы Римана-Роха для мероморфных g-дифференциалов Прима и для строго двойственных g-дифференциалов Прима относительно любых характеров на компактной римановой поверхности рода д, где q G Z, g > 0. С помощью этих теорем получаются шесть таблиц размерностей пространств мероморфных^{-дифференциалов} Прима для характера р, кратных дивизорам степеней т (2д — 2), т > 0, m, q € Z, и им обратным дивизорам. Оказывается, что эти размерности зависят от того выполняются или нет достаточное условие в теореме Абеля для характеров и некоторое равенство в многообразии Якоби для компактной римановой поверхности.

Определение 1.3.1. Мероморфным q—дифференциалом Прима на F для р называется однозначная мероморфная дифференциальная q—форма ф = (j)(z)dzq на U = {г б С: z < 1} такая, что t>(Tz)(dTz)q = p (T)(j){z)dzT е r, ze u, q е z.

Здесь.

Г = {А,., Вд: [А, Bi]. Ag, Bg] == 1),.

— фуксова группа первого рода на U такая, что F = U/Г, и группа Г изоморфна группе щ (F).

Теорема (Абеля для характеров) [52, р.134]. Пусть D — дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [F, {а, Р°Да д > 1 и р — характер на 7Ti (F). Тогда D будет дивизором мультипликативной функции / на F для характера р degD = 0 и i=i j=i в многообразии Якоби J{F), т. е.С9 по модулю целочисленной решетки L (F), порожденной столбцами е^, ., матрицы а—периодов и 6—периодов канонического базиса £1,для канонического гомологического базиса на F, где (р — отображение Якоби для F.

Обозначим через Щ{0) пространство мероморфных q-дифференциалов Прима ф = (p (z)dzq на F для характера р таких, что (ф) > D, где g € Z. Его комплексная размерность есть число ip, q{D) и ipp (D) — rp{D).

Теорема 1.3.1 (Римана-Роха для дифференциалов и характеров). Для любых д > 0 и q G Z верно равенство iP, q (D) = (9 ~ 1)(2q — 1) — degD + i ((f)Z*/D) = д — 1)(2q- 1) — degD + r{(f)Z^l/D) при любом характере р на компактной римановой поверхности F рода д, где / - любая мультипликативная функция для р, f ф 0, и Z — канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на F.

Следствие 1.3.5. Для существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 верны следующие утверждения:

1) пространство голоморфных сечений для линейного расслоения Lp [61] над F имеет размерность 0;

2) если degD = 0,.

3) если degD = 0, но ip{D) ф ф (р) в «/(F), то не существует нетривиальных мероморфных сечений для Lp, кратных D.

Таблица 2 (для чисел ip, q{D) при degD = 0) г.

Род поверх ности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенный характер

D — главный дивизор D — не главный дивизор 4>{D Ф{р)) tp (D) ф ф (р).

9> 1 <7>1 q = 1 9 4−1 9 9−1 q = 0 1 0 1 0 q < 0 0 (<7−1)(2<7−1)+ ip, q (D) ^ de9{D)ОО 0 (g-l)(2q-l)+ iP, q{D) < deg{D0/D)",.

9=1 q> 1 1 < 1- iM (?>) -1 *?(?>) = - 1) 1 < - 1 ^(D) — = - 2K (q — 1) q = 1 1 0 1 0.

7 = 0 1 0 1 0 q < 0 1 < iM (D) = 1 tp (D) = -2K{q — 1) 1 ipAD) Z 1- iM{D) — 1 (?>) -= ф (р) — 2K (q — 1).

Таблица 4.1 (для чисел ip, q (D) при D, degD = (2д — 2) к, к > 2).

Род поверхности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенный характер

D экв. D неэкв. Zk неэкв.

7 >2 ^ > к + 1 (g-l)(2(q-k)-l).

9 9−1 9 9−1 q = к 1 1 r (%Zk~') -g + 1.

2 < q < <к- 1 0 (g-l)(2(q-k)-l) 0 (g-l)(2(q-k)~.

7 = 1 0 Ki) — — (2A- — 1)(<7 — 1) 0 — (2k — 1)(<7 — 1) д<0 0.

Таблица 4.2 (для чисел ip, q (D~l) при D, degD = (2д — 2) к, к > 2).

Род поверхности Порядок дифф. Прима Несущественный характер Существенныйхарактер

D экв. Zk D неэкв. Zk DD0 экв. Zk DDq неэкв. Zk.

7>1 (g-l){2(q + k)-l].

9 = 0 С9 ~ 1)' •(2к — 1) r (D~1) (9−1)-•(2k — 1) гШ.

7>2 < g < 0 (<7-l)(2(fc + g)-l) q = -(к-I) 9 9−1 9 9- 1 q = — к 1 0 1 0 q < -к 0.

Классические q—точки Вейерштрасса играют большую роль в геометрической теории функций на компактных римановых поверхностях. Точки Вейерштрасса несут важную информацию о самой компактной римановой поверхности. В параграфе 1.4 будут введены мультипликативные точки Вейерштрасса и построена теория мультипликативных точек Вейерштрасса для мультипликативных мероморфных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Оказывается, что свойства мультипликативных точек Вейерштрасса для существенных характеров сильно отличаются от свойств классических точек Вейерштрасса. Кроме того, создан новый метод исследования пробелов Вейерштрасса и Нетера, и мультипликативных точек Вейерштрасса через фильтрации в многообразии Якоби на компактной римановой поверхности.

Теорема 1.4.5 (о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 существует точно <7 — 1 чисел (мультипликативных пробелов Вейерштрасса) пг-, удовлетворяющих неравенствам.

О < п <. < 1 < 2д, которые определяются так, что для каждого г, г = 1, .уд— 1, не существует мероморфной мультипликативной функции для р на F, имеющей в качестве единственной особенности полюс в Р точно порядка щ.

Определение 1.4.2. Точка Р на компактной римановой поверхности F рода д > 1 называется мультипликативной точкой Вейерштрасса для существенного характера р, если в ней можно задавать единственный полюс, мероморфной мультипликативной функции для р, порядка не превышающего д — 1.

Теорема 1.4.7(о мультипликативных пробелах Вейерштрасса). Для любого существенного характера р и любой точки Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 верны следующие утверждения:

1) натуральное число j, 1 < j < д, будет мультипликативным не пробелом в Р для р на F тогда и только тогда, когда.

МР) + Ф (Р) G Wj (Wj-i + (р (Р));

2) точка Р не будет мультипликативной точкой Вейерштрасса на F для р тогда и только тогда, когда выполняются условия.

MP) + Ф (р) t W}(Wii-.+ v (P)h 1 <3 <9- 1, где Wj =.

Теорема 1.4.15. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого характера р и при q > 1 (g, р)—каноническая линейная система | Zqp | дивизоров не имеет базисных точек на F.

Теорема 1.4.19. На компактной римановой поверхности F рода д > 2 для любого существенного характера р число N{p) мультипликативных точек Вейерштрасса для р на F удовлетворяет неравенству g-l< N (p) <(д-1)2д.

Теорема 1.4.20. При фиксированной точке Р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 для существенного характера р Р—фильтрация для р в группе J{F).

О С Wv-ip{P) C W2−2.

С — (д — 1)<�р (Р) С Wg — дср (Р) = J (F), будет отделимой исчерпывающей фильтрацией длины д в J{F).

Эта фильтрация позволяет определять мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса для существенного характера р в фиксированной точке Р среди чисел {1,2,., д} через расположение ф (р) в J (F).

Пусть теперь фиксирован существенный характер р. Тогда получаем последовательность подпространств.

О ± ~Ф (р) С Уг-ф (р) С W2-ф (р) С. С Wg-i-ip (p) С Уд-ф (р) = J (F) так называемую р—фильтрацию для Р в J (F). Она позволяет определять точки Р и мультипликативные пробелы и не пробелы Вейерштрасса в точке Р для фиксированного существенного характера р среди чисел {1,2,., д} через расположение <�р{Р), 2<�р (Р), ., д<�р (Р) в «/(F).

Кроме того, в конце параграфа 1.4 найдены некоторые дополнительные связи между мультипликативными точками Вейерштрасса на компактной римановой поверхности для существенного характера и специальными подмножествами в многообразии Якоби, каноническими вложениями компактной римановой поверхности в проективное пространство. Установлено, что множество голоморфных (р, q) — дифференциалов Прима с простыми нулями образует открытое и всюду плотное подмножество в пространстве всех голоморфных (р, 2. С помощью нового метода фильтрации получен результат о неинвариантности стандартной фильтрации в многообразии Якоби относительно сдвига.

Теорема 1.4.21. Подмножества Wk = ip (Ft-), 1 < к < д — 1, не инвариантны относительно сдвига на любой ненулевой элемент М в многообразии Якоби J (F) компактной римановой поверхности F рода д > 2, причем.

1) пересечение {M—W} П Wi состоит не более, чем из конечного числа * точек;

2) каждой точке пересечения {М + Wk} П Wft" где М = ф (р), 1 < к < д — 1, соответствует мультипликативная функция / для существенного характера р с дивизором (/) = D1/D2, D, D2? Fk, удовлетворяющим условию ф (р) = *p{Di/D2) = М в J (F).

В 1976 году Р. Ганнинг [59- 60] начал изучать векторные расслоения Прима из мероморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности. Он построил базис мероморфных дифференциалов Прима на фиксированной компактной римановой поверхности, который голоморфно зависит только от характеров, с помощью так называемых обобщенных тэта-функций.

Во второй главе будут предложены новые методы построения базисов мероморфных дифференциалов Прима, кратных заданному дивизору, на переменной компактной римановой поверхностикоторые голоморфно за-^ висят и от модулей компактной римановой поверхности и от характеров.

В параграфе 2.1, который носит вспомогательный характер, будет дан краткий обзор по пространствам Тейхмюллера, по расслоенным пространствам Берса и по расслоениям дивизоров над пространством Тейхмюллера Tff = Tff (F).

В параграфе 2.2 будет построен базис голоморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности, с помощью абелевых дифференциалов третьего рода. Для р € Нот{Г, С*) обозначим через F (Fo, О1,0(р)) векторное пространство голоморфных р—дифференциалов Прима на Fq и через Pi, o (-Fo) = r (Fo, 01,0(p)) векторное расслоение Прима для фиксированной поверхности Fq. Р. Ганнинг [59] доказал, что это комплексное голоморфное векторное расслоение ранга д — 1 над #от (Г, С*).

Определение 2.2.1. Мероморфным (p, q) — дифференциалом Прима ф = ф (г)dzq с характером р на F^ называется однозначная мероморфная функция ф (г) на wfi (U)1 удовлетворяющая условию.

T" (z))[(T")'(z)]" = p (T")4>(z), для z е w^^U), [р] G ТдуТР G Р. Здесь Г^ - квазифуксова группа, уни-формизирующая в инвариантной компоненте w^(U) компактную риманову поверхность F^. Если q = 0, то будем говорить о мультипликативной функции / на Fft с характером р.

Теорема 2:2.1'. Для любых д > 2, ^ б T5(F0),/70 € Нот (Г, С*)Ьд существуют односвязные окрестности и (Ы) С Tg (Fo), U (po) С Нот (Г, С*)Ьд, и голоморфные функции Ф]{[р, p z), j = 1, ., д — Г, на голоморфно зависящие от [р € U ([po), р <= U (po), такие, что при фиксированных [//] и р они задают базис (j>j{[p], p'7 z) dz, j = 1, ., д — 1, в комплексном векторном пространстве голоморфных р—дифференциалов Прима на отмеченной компактной римановой поверхности w^{U)/Р* рода д.

Пусть Е будет главное #от (Г, С*)—расслоение над Tg (F) со слоем Нот (Г", С*) над точкой [р] = [FM] = ГГ.

Лемма 2.2.2. Голоморфное главное Нот (Г, С*)—расслоение Е биго-ломорфно изоморфно тривиальному расслоению Тg (F) х Нот{Г, С*) над.

Тg (F).

С помощью леммы 2.2.2 введем векторное расслоение Прима Piio (l) над T5(F) х (Нот (Г, C*)Lg) со слоем Г ([FJ, О1−0^)) над точкой ([FJр), где p (Aj) = pfl (A>-), p (Bj).

Рассмотрим векторное расслоение Прима Pq (l), у которого слой над точкой ([р], р) € Тд х Яош (Г, С*) состоит из голоморфных (р, 2 при q > 1, q Е N:

Предложение 2.2:4. Для любого д > 2 эрмитово голоморфное векторное расслоение Прима Pq (l), q > 1, над Тд х Ьд аналитически эквивалентно тривиальному голоморфному векторному расслоению ранга д при q — 1 и ранга (2q—l)(g — 1) при q > 1.

Теорема 2.2.5. Для любого д > 2 векторное расслоение Прима Р lfo (1) над Тд х Нотп (Г, С*)Lg является эрмитовым голоморфным векторным расслоением, ранга <7 — 1.

Это утверждение уже доказано в. теореме 2.2.1 и там. был построен базис голоморфных дифференциалов Прима вида До), fg-itu, где ш — голоморфныйабелев дифференциал, a /i, fg- - мероморфные мультипликативные функции для р на F^, у которых полюса совпадают с нулями дифференциала ал При этом базис голоморфно зависел от р и от [р]. В теореме 2.2.5 построен базис голоморфных дифференциалов Прима другого вида ficvi, fg-iug-i, с теми же свойствами.

Теорема 2.2.6. Векторное расслоение Прима Pq (l) над Тд х.

Нотп (Г, С*) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1)(д — 1) при любых ^ > 2, q > 2.

Отметим, что при q = 1 и q > 1 частные случаи теорем 2.2.1 и 2.2.6 были доказаны И. Кра в [74] для множества нормированных характеров [S1]29 С Нот (Т, С*)Ьд, где для построения базиса голоморфных (р, q) — дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях использовались тэта-ряды Пуанкаре и не выяснялось, как зависят они от характеров и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 2.3, с помощью тэта-функции Римана, строится другой базис голоморфных g-дифференциалов Прима, который голоморфно зависит от существенных характеров и от модулей компактной римановой поверхности. Сначала будут приведены некоторые известные факты о связи тэта-функций Римана и мультипликативных функций.

Теорема 2.3.1 [52, с.315−316]. Пусть D = -дивизор степени нуль. Тогда мультипликативная функция / с дивизором (/) — D имеет вид f (p) = е^(Р) +.

<�р (Р2) — е) А J 9(ср (Р) + ip (P2.Ps) ;

< к < s — 1, но (c)(Ws — Ws — е) ф 0, a D — PP2. PS выбран из условий.

Q (v (Dx) — ip (D2) -е)ф 0, (c)M?>i) ;

Теорема 2.3.4. Для любого существенного характера р на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и любого натурального q > 1 существует базис голоморфных q—дифференциалов Прима fl{z)bj{z)dz., fd (z)u{z)dzq для характера р на F, который голоморфно зависит от характера р и от модулей компактной римановой поверхностигде d = д — 1 при q =1 и d = (2q—1)(д — 1) при q > 1. Причем функции fj, j = 1,., d, выражаются через отношения тэта-функций Римана на F.

В параграфе 2.4 будут построены базисы в пространствах мероморфных дифференциалов Прима, кратных дивизору, на переменной компактной римановой поверхности.

Зафиксируем дивизор D = Ri. Ri, l >1, на Fo. Используя глобальное вещественно-аналитическое сечение К. Эрла s для канонического отображения Ф, из пространства всех комплексных структур в пространство Тейхмюллера Тд [44], и локально голоморфные сечения s для Ф над достаточно малыми окрестностями {/([/хо]) в Тд, получим глобальное вещественно-аналитическое сечение из дивизоров D[fi] = w$^(D) = Ri[fj^.Ri[fi] степени I над Тд и локально голоморфные сечения из дивизоров D[fj] = w*M (D) степени / над f7([/xo]) соответственно. Обозначим через P9(.D) векторное расслоение Прима над Тэ х Нот (Г, С*), слой которого над точкой ([/х], р) состоит из мероморфных (р, q) — дифференциалов Прима ф = ф{х)(1гя на Fp, кратных дивизору D[fi] степени I.

Теорема 2.4.1. Для любых д > 2, дивизора D = P. Pi на Fo, / > 1, векторное расслоение Прима Pi (l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = д — 1 +1 над Тд х Нот (Г, С*).

Теорема 2.4.2. Для любых д > 2, дивизора D — Pi. Pi на Fo, I > Л"<7 2, векторное расслоение Прима Pq (l/D) является голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q —l)(g — 1) +1 над Tp х Нот (Г, С*).

Теорема 2.4.4^ Векторное расслоение Прима Рq (D) является эрмитовым голоморфным векторным расслоением ранга d = (2q — 1)(д — 1) — / над Т5 х Нот (Г, С*), если д > 2, D = Pi. Pi на Fo, q > 2 и выполнено условие 2(g—-1)(<7 —-1) >7 > 1.

Теорема 2.4.6. Для любых д > 2, д > 2 и дивизора D ф, degD = О на Fo, эрмитовы голоморфные векторные расслоения Рq{D) и Pg (l) ранга d = (2q — 1)(<7 — 1) над Тд х Нот (Г, С*) биголоморфно изоморфны.

Пространство Тейхмюллера Тд является неразветвленным накрытием для пространства Торелли Т5, а группа Торелли тд, являющаяся нормальной подгруппой модулярной группы Тейхмюллера, действует свободно, т. е. без неподвижных точек, на Тд [45]. При этом Тд = Тд/тд. Все теоремы параграфов 2−4 главы 2 остаются верными, если в них пространство Тейхмюллера Т5 заменить на пространство Торелли Т5, где д >2.

В третьей главе дано описание расслоения Ганнинга для д > 2, введено и изучено гармоническое векторное расслоение Прима из гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности рода д > 2. Установлено, что образующим У. Ликориша [28, ч. З, с. 133−134] для группы классов отображений поверхности F при д > 2 соответствуют невырожденные квадратные матрицы порядка 2д — 2, имеющие простую структуру, а группа Торелли обладает большим классом нетривиальных представлений в группу матриц порядка 2д — 2.

Также изучены классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы. Выведены общие формулы, связывающие периоды для любых двух замкнутых дифференциалов Прима относительно двух произвольных характеров. Из них получаются аналоги билинейных соотношений Римана для случая гармонических и голоморфных дифференциалов Прима. Для гармонических дифференциалов Прима относительно нормированных характеров доказаны аналоги теорем Ходжа и де Рама, построены канонические базисы из гармонических дифференциалов Прима, которые локально вещественно-аналитически зависят от характеров.

Показано, что гармоническое векторное расслоение Прима HP, образованное гармоническими дифференциалами Прима, и когомологическое расслоение Ганнинга будут вещественно-аналитически изоморфны над базой из нетривиальных нормированных характеров для любой компактной римановой поверхности рода д > 2. Найдены «препятствия» коциклического типа к взаимной однозначности отображения периодов для гармонических дифференциалов Прима относительно ненормированных характеров.

В параграфе 3.1 будут изучены гармоническое векторное расслоение Прима, когомологическое расслоение Ганнинга и представления группы То-релли для фиксированной компактной римановой поверхности. Обозначим через Z1 (Г, р) для р € Нот (Г, С*) множество всех отображений ф: Г —у С таких, что ф (вТ) = 0(5) + р (ЗДГ), 5, Г G Г.

Каждый элемент ф € Zl (F, p) будет единственно определяться упорядоченным набором комплексных чисел ф (А), ф{Ад), ф{В),., ф{Вд), удовлетворяющих уравнению j^{a (BMAj) — с{А5)ф{ВМ = О, j=1 которое получается из соотношения nj=1Cj — 1 в Г, где Cj = [Aj, Bj] = AjBjA^Bj1, а (Г) — 1 — p (T)tT € Г. Тогда Zl (T, p) — комплексное векторное {2д — 1)—мерное пространство для р ф 1 (т. е. p (S) ф 1 для некоторого S € Г) и2д—мерное пространство для р = 1. Пусть J51(F, р) -одномерное подпространство в Z1 (Г, р), порожденное элементом ст. Тогда Я1(Г, р) = Z1(T, p)/B1(r, p) — комплексное векторное (2д — 2)—мерное пространство для р ф 1. Будем называть множество G = Up^ii/1(r, p) когомологическим расслоением Ганнинга для поверхности F.

Дифференциал Прима ф = ф{г)йг для характера р, определенный на односвязном диске U, может быть записан в виде ф = df (z) для подходящей голоморфной функции f (z) (она называется интегралом Прима для дифференциала Прима ^ на U). Следовательно,.

Тг) = р (Т)/(г) + ф (Т),.

J>{ST) = ДО) +р (5)^(Г), где ф (Т) = /(Г2й) — p{T)f{z0). Таким образом, отображение: Т —> ^>(Т), или отображение периодов ф: Г С относительно интеграла Прима есть элемент из Z1 (Г, р). Отображения периодов при различных интегралам Прима для одного и того же дифференциала Прима будут отличаться на элемент из В1(Т, р). Поэтому С-линейное отображение р: ф —? [ф] 6 ^(Г, р), которое дифференциал Прима ф переводит в его класс периодов [ф], корректно определено.

Отображение периодов р: r (F, О1,0(р)) —" Я^Г, р) такое, что ф (г)йг —> р (ф (г)йг) = [ф] = {ф + са: с 6 С} = ф + В1(Г, р), будет G—линейным послойным отображением из Р^о в G над Hom (T, C*)Lg.

Теорема 3.1.3. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений.

О Pi, о A G G/Pi, 0 О над Нот (Г, С*)Lg является точной при любом д > 2.

Определение 3.1.1. Гармоническим дифференциалом Прима на F для р G #от (Г, С*) называется гармоническая (однозначная) дифференциальная 1-форма ф — ф (х)йг + .

Множество всех гармонических дифференциалов Прима ф для р € #от (Г, С*) образует комплексное (2д — 2)—мерное векторное пространство Г (F,'H1(p)) при р? Lg U Ьд, так как w чр)) = r (F, с№(р)) е г (F, о0'1 W), где Lg — образ при отображении р —> р.

Теорема 3.1.5. Эрмитово голоморфное векторное гармоническое расслоение Прима HP ранга 2р — 2 является прямой суммой ортогональных эрмитовых голоморфных *—инвариантных векторных подрасслоений Pi, о и Род ранга д — 1 над Нотп (Ту С*){Lg U Lg) при любом <7 > 2.

Ф. Прим, Р. Рост [84] начали построение теории гармонических и голоморфных интегралов Прима только для нормированных характеров фундаментальной группы компактной римановой поверхности. Дж. Кемпф [70] и Э. Джеблоу [67] получили ряд свойств периодов голоморфных дифференциалов Прима для нормированных характеров и для характеров, которые на половине образующих фундаментальной группы равны единице. В параграфе 3.2 изучаются классы периодов замкнутых, гармонических и голоморфных дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности любого рода д > 2 и для любых характеров ее фундаментальной группы.

Теорема 3.2.3. Если ф, ф — замкнутые дифференциалы Прима на F класса С°° для р и /^соответственно, то [ фАф = [ h (z)i> = J Jд Ja&.

9 гА, Ы fBj (zo).

1 — pMBj)) / h (z)ip — (1 — pmiAj)) / h (z)1>}+.

J Za J Za j—1 J Zq «/20.

Ci-.q-iXi—МВШЦ) + Фк (вш / </>+ rBj (zo).

MAj) — ШС^.С^г) + р2(А-)фн (А5) — ф{С5)] / ф}, где Д — фиксированная фундаментальная область для F в Uф — dh (z) на U, h (Tz) = p (T)h (z) + фи{Т), Т' € Fпричем это равенство инвариантно, относительно выбора интеграла h (z) для ф с точностью до аддитивного слагаемого.

Из этой общей формулы для билинейного спаривания получаются, как частные случаи, все известные соотношения между периодами дифференциалов Прима, найденные Ф. Примом, Р. Ганнингом, Дж. Кемпфом и Е. Джеблоу.

Теорема 3.2.4. Пусть F — компактная риманова поверхность рода д > 2, ф — гармонический дифференциал Прима на F для р Е [51]25, и [ф] = 0 в Н^ (Г, р). Тогда ф = 0 на F.

Следствие 3.2.6 (Аналоги теорем де Рама и.

Ходжа). Для р G [S1]29 верно r (F,?{1(p)) = H})R (F, p) = Н1 (Г, р) и для любого замкнутого дифференциала Прима ^ на F класса С°° для р существует единственное разложение Ходжа ф = фо + dfiz), где фо G T (F,'H1(p)), f (z) G C°°(F, p), а также для любого класса периодов [ф] € р) существует замкнутый дифференциал Прима ф на F класса С°° для р такой, что [ф] = [ф] в Н^р).

Аналог теоремы Ходжа получен Э. Джеблоу в [67] с использованием сложной техники аналитических линейных расслоений на римановых поверхностях. Аналог теоремы де Рама получен ранее Р. Ганнингом в [61] с использованием когомологий с коэффициентами в пучках на F. Наше доказательство не требует такой сложной техники.

Выясним какое минимальное число базисных периодов ф{А), ., ф (Ад), ф (В1), ., ф (Вд) надо задать, чтобы полностью определить голоморфный дифференциал Прима ф для существенного характера р на F.

Теорема 3.2.10. Дифференциал Прима ф? Г (F, <91,0(р)) для существенного характера р, р? U = {р: р (А) ф 1}, единственно определяется «половиной «своих базисных периодов ф{Njl),., ^(iV} х), где ф{А) = 0, {Nu., Ng, Ng+u., N2g} = {АиА2)., АдуВиВ2,., Вд} и¦ д — 1)—элементное подмножество в {2,3,д, д + 2, д + 3,., 2д}, зависящее от выбора базиса в T (F, О1'0(р~1)).

Следствие 3.2.11. Для любого ро ф. Lg существует окрестность U (po) С #от (Г, С*)Lg такая, что для р? U (po) существует канонический базис голоморфных дифференциалов Прима на F, голоморфно зависящий от р? С/(р0), при любом р > 2.

Заметим, что последнее следствие ранее получено Р. Ганнингом [59], но его доказательство требует построения базиса голоморфных дифференциалов Прима через сложный аппарат так называемых обобщенных тэта-функций и базис голоморфно зависит только от характеров. Наше доказательство использует другой базис голоморфных дифференциалов Прима, который зависит голоморфно не только от характеров, но и от модулей компактных римановых поверхностей.

В параграфе 3.3 будут установлены некоторые свойства расслоений Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера.

Теорема 3.3.1. Векторные расслоения Ганнинга G и Прима HP над [5Х]251 будут вещественно-аналитично изоморфными, и расслоение Ганнинга G над [51]2р1 равно прямой сумме двух вещественноаналитических комплексных векторных подрасслоений ранга д — 1 для любой компактной римановой поверхности F рода р > 2.

Из теоремы 3.2.3 следует, что условие.

J^ Mzo) rBj (z0).

1 — pp (Bj)) / f (z) * df (z) — (1 — pp (Aj)) / f (z) * df (z)]^ 0 j=l J zо J Zq является некоторым коциклическим «препятствием «к взаимной однозначности отображения периодов р: T (F1'H1(p)) Н1(Г, р) для р? [Ноттг (Г, C*)(L5 uZ^J^S1]2^ где ф = df (z)? d (C°°(Ft р))П T{F, Hl{p)).

С помощью леммы 2.2.2 введем расслоение Ганнинга G над Тg (F) х (Нот (Г, С*)1) со слоем Я1 (Г^,^) над точкой ({F^p).

Теорема 3.3.4. Когомологическое расслоение Ганнинга G является голоморфным векторным расслоением ранга 2д — 2 над Тg (F) х (Яот (Г, С*)1).

Из свойств отображения периодов р: Рю —> G получается.

Теорема 3:3.5. Последовательность голоморфных векторных расслоений и отображений.

ОРю A G Л G/РюО над Тg (F) х (Яотп (Г, C*)Lg) является точной для любого д > 2.

Теоремы 3.3.4,3.3.5 будут верны для естественно определенных над Тд х (Hom (Hi (F, Z), C*)Lg) расслоений Прима и Ганнинга, так как.

Яот (Г, СГ) ^ Яот (Г/[Г, Г], С*) = Hom^^F, Z), С*).

В главе 4 будут изучены векторное расслоение Прима над пространством Тейхмюллера, над пространством групп Кебе и над пространством гиперэллиптических римановых поверхностей.

Классическая теория униформизации компактных римановых поверхностей традиционно исследует либо поверхности с полным (каноническим) рассечением, либо с рассечением по минимальному набору петель, превращающим поверхность в область, подобную плоской области на расширенной комплексной плоскости С. Это приводит к универсальной накрывающей и слабейшей плоской регулярной накрывающей (Шоттки) над компактной римановой поверхностью [79- 80- 63]. В [63] Д. А. Хейхал изучил пространства групп Шоттки, соответствующие слабейшей плоской регулярной накрывающей над компактной римановой поверхностью.

В параграфе 4.1 рассматриваются группы Кебе — группы преобразований наложения для любой промежуточной плоской регулярной накрывающей, и будут установлены связи между пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей данного рода, пространством этих поверхностей с «неполным «отмечанием и пространством отмеченных групп Кёбе, униформизирующих такие поверхности. Доказано, что эти пространства являются областями голоморфности, а универсальным накрывающим пространством для них служит пространство Тейхмюллера. Отсюда получаем три пространства: (Т5, dx) — пространство Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д с метрикой Тейхмюллера cfrU/^.ft — пространство компактных римановых поверхностей рода д с отмечанием типа (h, g — h) VCT, из-за свойства взаимнооднозначное&tradeотображения Фу1<�г, назовем пространством отмеченных групп Кёбе сигнатуры о. Построена следующая диаграмма из отображений.

В предположениях: д >2, а ф (0,2- 0,0), ф l, k = 1, доказывается.

Теорема 4.1.10. Существует единственный способ задания топологий в Uft^-ft и в Va, при которых диаграмма является коммутативной диаграммой накрывающих отображений. При этом отображение Фу>сг — гомеоморфизм, а слои Ф^.(я) и Ф" 1 (я), для каждого х (Е счетны.

В параграфе 4.2 будет дано определение мероморфных автоморфных форм Прима для групп Кебе фиксированной сигнатуры, связанных со стандартными (по классификации Б. Маскита) униформизациями компактных римановых поверхностей. Введены векторные расслоения Прима из таких q—форм над пространством Тейхмюллера, над пространством компактных римановых поверхностей с «неполным» отмечанием и над пространством отмеченных групп Кебе. Кроме того, будет построен базис мероморфных автоморфных (р, q)—форм Прима, кратных заданному дивизору, для групп Кебе фиксированной сигнатуры, который голоморфно зависит от модулей компактных римановых поверхностей и от характеров. Получены аналоги всех теорем из параграфов 2.2 и 2.4 для векторных расслоений Прима над этими пространствами.

Построенные в параграфе 4.1, над достаточно малыми окрестностями в Qa, локальные сечения в пространстве Тд (и в пространстве U/^-fc) получаются из одного локального сечения с помощью элементов модулярной группы Тейхмюллера рода д.

Л.В.Альфорс [1] доказал, что существует единственная комплексно-аналитическая структура Е на Т5, совместимая с топологией Тейхмюллера,.

Фу, а относительно которой матрица из Ь— периодов для канонического базиса голоморфных абелевых дифференциалов будет голоморфна. Она проектируется, в силу локальной гомеоморфности всех отображений, в комплексно-аналитическую структуру на TJh, g-h, Qcr и Vff. При этом все отображения в диаграмме становятся голоморфными. ч.

Мероморфной автоморфной (р, q)—формой Прима ф = ф{С)(1 для клейновой группы G называется мероморфная функция ф{С,) на области разрывности ft (G) группы G такая, что она удовлетворяет условию.

ГС)[Г'(С)Г = Р (Т)Ф©, С € Q (G), T e G.

В главе 2 были построены (р, D^ на переменной компактной римановой поверхности F^ с модулями [/i] € Тд, которые голоморфно зависят от [р] и от р. После подъема ф по тг^: Д¹<�т —> F^ на получим мероморфную ав-томорфную (p, q)—форму Прима ф для отмеченной группы Кебе G>) D^j = 1, который задается голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса BVg.

— к-Ч /Ч над Тд х Нота{Г, С*), то их поднятия ф,., фд на также задаются голоморфными функциями на расслоенном пространстве Берса-Кебе BKVg (cr) над QaxHoma (Г, С*). Таким образом, получаем базис автоморф-ных (p, q)—форм Прима на векторном расслоении Прима P"jig (.D), который голоморфно зависит от модулей [р] компактной римановой поверхности и от характера р, над Q.

Теорема 2.2.3 и теоремы 2.2.6, 2.4.1, 2.4.2, 2.4.4, 2.4.6 имеют естественные аналоги для векторных расслоений Прима Рa, q{D) над х Нота{Г, С*)Lg hQ, x Нота{Г, С*) (ил, 5л х Нота (Г, C*)Lg и XJh, g-h х Нота (Г, G*)) соответственно.

Л. Берс [41], И. Кра [49- 74], Д. А. Хейхал [63] и многие другие авторы, используя метод А. Пуанкаре, строили базис автоморфных форм веса q > 1, относительно специальных клейновых групп (Шоттки, квази-фуксовы и конечно порожденные клейновы группы) только для р = 1 или для нормированных характеров р, через тэта-ряды Пуанкаре, порожденные специальными рациональными функциями на плоскости имеющими полюса только на предельном множестве этих групп. Наш подход по-существу является возвратом к идеям Ф. Клейна: строить мероморф-ные (р, q) —дифференциалы Прима, кратные заданному дивизору, сразу на компактной римановой поверхности, а затем поднимать их на накрывающую поверхность для компактной римановой поверхности. Предложенный в этом параграфе метод построения автоморфных (р, q)—форм Прима подъемом (р, q) — дифференциалов Прима также применим и к векторным расслоениям Прима над пространством деформаций любой конечно порожденной клейновой группы, имеющей инвариантную компоненту, с любым характером.

В параграфе 4.3 приведен конструктивный выбор базиса голоморфных абелевых дифференциалов любого порядка на гиперэллиптических римановых поверхностях, и построен базис голоморфных (р, q) — дифференциалов Прима, с учетом специфики таких поверхностей, голоморфно зависящий от произвольных характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

Обозначим через Н5 множество классов конформной эквивалентности отмеченных гиперэллиптических римановых поверхностей рода д > 2. Тогда С ТдМножество Н5 разлагается на классы гиперэллиптически эквивалентных поверхностей. Эти классы являются связными компонентами Н5 в топологии Тейхмюллера, причем эти компоненты замкнуты и изолированы. Кроме того, топология Тейхмюллера на Н5 совпадает с топологией, которая определяется расположением точек ветвления в стандартном представлении для гиперэллиптической римановой поверхности. Связные компоненты в являются аналитическими подмногообразиями без особенностей в пространстве Тд при д > 2.

Построенные в главе 2 базисы для векторных расслоений Прима Рд (1), из голоморфных (р, q) — дифференциалов Прима, над Тд х Hom (F, C*) можно сразу ограничить на подмногообразие Н5 и получить таким образом аналоги предложения 2.2.4, теорем 2.2.5, 2.2.6, заменив Тд на Н^, хотя уже не будет односвязным.

Однако, учитывая две конкретные реализации для гиперэллиптических римановых поверхностей, можно вместо базиса Берса взять явный базис o>i, абелевых голоморфных q—дифференциалов из теоремы 4.3.2. Этот базис будет голоморфно зависеть от точекветвления в реализации таких поверхностей. Кроме того, нужные, для построения базиса голоморфных (p, q) — дифференциалов Прима, мультипликативные функции fj, j = 1, для р можно выразить через явный канонический базис голоморфных абелевых дифференциалов (i,.,^ и через явные нормированные абелевы дифференциалы tpq третьего рода с простыми полюсами в Р и Q на F с вычетами +1 и -1 соответственно. При этом такие мультипликативные функции будут голоморфно зависеть от характеров и от точек ветвления гиперэллиптических римановых поверхностей.

При алгебро-геометрическом решении уравнений математической физики большую роль играют голоморфные дифференциалы Прима на гиперэллиптических римановых поверхностях для характеров ро, удовлетворяющих условию Ро = 1.

Следствие 4.3.3. Векторное расслоение Прима Р9(1), из голоморфных (ро> я) — дифференциалов Прима, над Тд х ро (и над х ро) будет аналитически эквивалентно тривиальному векторному расслоению над этой базой. Таким образом, существуют глобальные голоморфные сечения из голоморфных (ро, q)~дифференциалов Прима над Тд (и над Н5), где q>l, pl=l.

В главе 5 изучаются проективные структуры и группы монодромии линейных дифференциальных уравнений на компактной римановой поверхности.

В параграфе 5.1 исследуются группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактных римановых поверхностях рода д > 2, в связи со стандартной униформизацией этих поверхностей клейновыми (разрывными) группами. Найдены необходимые и достаточные условия, чтобы линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности давала стандартную униформизацию этой поверхности. Эти условия имеют простой топологический смысл.

Проективной структурой на F называется атлас из карт на F, у которого отображения соседства будут дробно-линейными отображениями [58].

Определение 5.1.1. Локально мероморфная (многозначная) функция z на F, ветви которой преобразуются дробно-линейно относительно действия группы ni (F, 0), называется линейно-полиморфной функцией на F.

В дальнейшем рассматриваются только локально однолистные линейно-полиморфные функции на F. Они играют большую роль в теории унифор-мизации и в теории пространств Тейхмюллера.

Поднятая на (U, тг) линейно-полиморфная функция г на F является ме-роморфной (однозначной) функцией’z — z (t) на U такой, что z (At) = Az (t), t е U, A ег, где р (А) = A G PSL (2, С) — группа дробно-линейных преобразований. Поэтому определен гомоморфизм р: Г —> PSL (2, G). И. Кра [73] назвал эту функцию (Г, р) — деформацией фуксовой группы Г в U, а Р. Ганнииг [58] - реализацией (разверткой) неразветвленной проективной структуры на F.

Для теории функций более подходящим представляется термин линейно-полиморфная функция, принятый в работе Д. А. Хейхала. К тому же он согласован с исторической традицией, идущей от А. Пуанкаре, П. Аппеля и Э. Гурса [35].

Из теории пространств Тейхмюллера Тд [1] известно, что существует гомеоморфизм переводящий т = [FT, {а&(т), ^®}f=1] 6 Тд в группу Гг из пространства нормированных отмеченных фуксовых групп на U. Поэтому можно писать.

Гг = {АЦт),., Вд (т): JJ [Aj (т), Вj®] = l}. i=i.

Пусть 2 — линейно-полиморфная функция на FT = U/VT, тогда для ме-роморфной функции — z. = z (t) на U имеем ¦ z (At) = Az (t), A? Гг, А Е PSL (2,G). Отображение, А —> А называется гомоморфизмом монодромии. Оно определяет отмеченную группу монодромии.

M[z]= (ЯЦт),., Д,(т): [ЛгМ^хСг^.-.ЙМДМ] = 1}, т. е. M[z] есть точка в [PSX (2, C)]2ff. Обозначим через (внутренность) фундаментального многоугольника группы Гг в U.

Фундаментальной мембраной Rz для z (t) назовем риманов образ z{Tr). Она односвязна неразветвлена, хотя возможно, отображениег: Тт —> z{TT) будет п—значно, п > 2. Стороны мембраны отождествляются по Ai (t), ., Вд (т). Сумма углов при вершинах равна 2я Существует эквивалентность связывающая линейно-полиморфную функцию z и её фундаментальную мембрану. Так если задана односвязная, неразветвлённая область R с указанными выше свойствами, то существует линейно-полиморфная функция'-z такая, что Rz = R [64]. Явная конструкция, таких функций 2 по R указана в [64], причем она допускает обобщения, где вместо (?/, Гг) можно взять любую униформизацию (A, G) для компактной римановой поверхности рода д.

Лемма 5.1.1. Пусть w = w (t) — локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2 и w (U) ф С. Тогда M. w] - неэлементарная, конечно порождённая клейнова группа с инвариантной компонентой w (U).

Теорема 5.1.2. Пусть w — w (t) — локально однолистная линейно-полиморфная функция на компактной римановой поверхности F рода д > 2. Тогда w = w (t) является униформизацией F тогда и только тогда, когда выполняются условия:

1) w (U) ф С,.

2) w (U)/Ai[w] - компактная ориентируемая поверхность рода д.

Следствие 5.1.3. Пусть w = w (t) — локально однолистная линейнополиморфная функция на отмеченной компактной римановой поверхности F рода д > 2 такая, что M[w] - отмеченная группа Кёбе сигнатуры, а = (Л, sг’х,., гт), |сг| = д. Если гу (С/) ф С, то w == w (t) — униформизация F группой Кёбе сигнатуры сг.

Заметим, что если = w (t) такая, как в следствии 5.1.3, но w (U) = С, то утверждение следствия 5.1.3 не верно. Для доказательства нетрудно построить фундаментальную мембрану Rдля w так, чтобы Л4[ги] была такая же, как в следствии 5.1.3, а отображение w: Т—> Rw —) было n-значно, п > 2.

Следствие 5.1.3 и предыдущее замечание показывают, что, как и классическая проблема выбора присоединенных параметров для униформиза-ции фуксовыми группами [64], проблема выбора присоединённых параметров для любой стандартной униформизации компактной римановой поверхности группами Кёбе имеет единственное решение, если линейно-полиморфная функция w имеет «ограниченный» образ круга, т. е. w (U) ф С. Следствие 5.1.3 включает в себя, как частные случаи, теоремы 3 и 5 из работы Д. А. Хейхала [64] для фуксовой группы и для групп Шоттки соответственно. Кроме того, получаем примеры групп монодромии, которые алгебраически устроены, как отмеченные группы Кёбе, но на w (U) они действуют неразрывно, хотя Ai[w] - группа конформных гомеоморфизмов многолистной области w (U) на себя.

В этом параграфе также исследуется отображение монодромии р: TaQ М, где ТgQ — векторное расслоение из голоморфных квадратичных абелевых дифференциалов над пространством Тейхмюллера компактных римановых поверхностей рода д, Л4 — пространство отмеченных групп монодромии для рода д. Д. А. Хейхал в [64] показал, что отображение р не обладает свойством поднятия путей над Л4, но над частью A4q, соответствующей квазифуксовым униформизациям, оно обладает этим свойством. Естественно представляет интерес нахождение частей пространства Л4, над которыми отображение р обладает этим свойством. В конце параграфа 5.1 доказывается, что над любым пространством квазиконформных деформаций групп Кебе сигнатуры, а = (/i, sii, im), связанных со стандартной униформизацией компактной римановой поверхности рода д, отображение р обладает свойством поднятия путей.

В работе Д. А. Хейхала [65] начато исследование группы монодромии для линейно-полиморфных функций на компактной римановой поверхности с помощью вариационных методов. Он нашел первую вариацию для группы монодромии. Затем К. Эрл [47] вывел формулу первой вариации с помощью квазиконформных отображений римановых поверхностей.

В параграфе 5.2 будет получена точная вариационная формула для группы монодромии линейного дифференциального уравнения второго порядка и первая вариация для решения уравнения Шварца на компактной римановой поверхности.

Функция 2q (t) = {z, t} = [z" /z')' — {z" /z')2 удовлетворяет соотношениям q (t) = q (Lt)L'(t)2 для L? Г, t? U. Следовательно, q (t) задает квадратичный голоморфный абелев дифференциал на F = U/Г.

Выберем произвольно г = r (t)dt2,q = q (t)dt2 из Q (F). Рассмотрим нормированные решения z (t, h) и v (t, ti), u (t, h) уравнения Шварца где h € С, |/г| < е, е — достаточно малое положительное число. Здесь z (t, h) = v{t1h)/u{t, h). Используя теорему Пуанкаре о малом параметре [7], теорему Коши-Ковалевской и ряды Хартогса [30], получим на U х {h: |/i| < е} сходящиеся ряды u (t, h) = u (t) + m{t)h + u2(t)h2 +. + un{t)hn + ., v (t, h) = г-(£) + vi (t)h + v2{t)h2 + ., где u (t), v{t), ui{t), V{(t) — голоморфные функции на U. Введем следующие обозначения z, t} = 2[r (t) + hq (t)] и линейного уравнения u" (t) + [r (*) + hq (t)]u{t) = 0, to где где t s.

Сначала получаем точную вариационную формулу для решений U[t, h) J u (t) J Ui (t)) X u2(t) J X Un[t) J О 1 f' AWs+h2 f* Ms) Ms)ds+.+hn J*.

Отсюда имеем точную вариационную формулу для элементов группы монодромии <*Ф) РФ) 1Ф) h (h)) ~ [(0 1)+ЬМЩ+Ь2Мт+—-+ЬпАп-1(ЬЦ)+. (gj) .

Далее рассмотрим уравнение Шварца d z, t} = 2[r (t) + J2hjqj (t)] i и линейное уравнение d u" {t) + [r (t) + hjqj (t)]u (t) = 0 j=l на F — U/T, где <7i (i), qd{t) — базис в пространстве Q (F), h = {h,., hd) 6 Cd, d = 3g — 3. Снова будем рассматривать только нормированные решения z (t, h) и v (t, h), u (t, h) для любого h такого, что h = maxi< е, е — достаточно малое положительное число. Повторяя предыдущие рассуждения, получим вариационные формулы d t, h) = z{t, 0) + hj / gj (s)Ms) — z{t, 0) u (s)]2ds + o{h), j= J*0 ocL (h) pL (h).

V lb (h) 6L (h) J {(I I) + E k (Lto)hk+Y, A1]k (Lt0)hk+.+ Y^ An-l.jt (Lt0)hk+.} Ш=1 |fc|=2 |fc|=n.

A:|=1 |fc|=2 к=т l{0) Pl (0) Л ' V 7l (0) SL (0) J ' где / .^(sjM^sJds, n > 1, % > 0, *¦•=.(*!, ад, |*| = h +. + kd, hk = h\.hkdd, мм=Ф) () = при A-¦— (0, ., 0,1,0, ., 0), символ 1 стоит на j — том месте.

При выводе последней вариационной формулы была получена точная вариационная формула для решений Й) = Ц 5>Е ().

4 v ' 7 4 7 |Jt|=l |Jfc|=n 4 V ' '.

Вариационные формулы показывают, как зависит группа монодромии и решение уравнения Шварца от присоединенных (аксцессорных) параметров^(hi,., hd).

Вышеизложенные результаты этой работы позволяют охарактеризовать данное направление как актуальное. Все основные результаты диссертации являются новымиИспользуемые при доказательстве теорем специальные и новые методы могут быть применены в дальнейших исследованиях по геометрической теории функций комплексного переменного.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на следующих семинарах и конференциях: Всесоюзной конференции по теории функций, посвященной 100-ю со дня рождения Н. Н. Лузина (10−19 сентября 1983 г., Кемерово) — Всесоюзном семинаре «Актуальные вопросы комплексного анализа» (16−23 сентября 1985 г., Ташкент) — Всесоюзном семинаре «Актуальные вопросы комплексного анализа» (5−10 июня 1989 г., Ташкент) — Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (14−16 ноября 1989 г., Новосибирск) — Международной конференции по геометрии, посвященной Н. И. Лобачевскому (август 1992 г., Казань) — Всесоюзной школе «Алгебра и анализ» (1993г., Байкал) — International conference on discrete groups and 3-manifolds (Bielefeld State University, Germany, June 1996 г.) — Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-96) — Третий Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-98) — Международной конференции по анализу и геометрии, посвященной 70-летию академика Ю. Г. Решетняка (Новосибирск, 1999 г.) — Международной конференции по геометрии, посвященной 70-летию профессора В. А. Топоногова (Новосибирск, 2000 г.) — Четвертый Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной Математике (Новосибирск, ИНПРИМ-2000) — Международной конференции, посвященной 100-летию академика М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2001 г.) — Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A. D. Alexandrov, Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, June 2002; Всероссийской конференции «Математические методы в механике», посвященной 70-летию член-корр. РАН В. Н. Монахова (8−13 августа, 2002 г., Барнаул) — Ben-Gurion University, Beer-Sheva, Israel (семинар под руководством профессора В. М. Гольдштейна) -1999 г.- Bar-Ilan University, Tel-Aviv, Israel (объединенный семинар Института Математики) — 1999 г.- Институт математики СО РАН (семинар по геометрии, топологии и их приложениям под руководством профессора И. А. Тайманова) — 2002 г.- Омский государственный университет (геометрический семинар под руководством профессора В. Н. Берестовского) — 2002 г.- Красноярский государственный университет (семинар по комплексному анализу под руководством профессора А. К. Циха) — 2002 г.- Казанский государственный университет (городской семинар по геометрической теории функций под руководством профессоров Л. А. Аксентьева и С.Р. Насыро-ва) — 2002 г.- Институт математики СО РАН (объединенный семинар отдела геометрии и анализа под руководством академика Ю. Г. Решетняка) — 2002 г.- Кроме того, все результаты работы в различное время докладывались в Институте математики СО РАН (семинар отдела теории функций под руководством профессоров П. П. Белинского, С. Л. Крушкалясеминар по геометрическим структурам на многообразиях и орбифолдах под руководством профессора А. Д. Медных).

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант 99−01−630).

Пользуясь случаем автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту профессору А. Д. Медных за постоянную дружескую поддержку и конструктивные обсуждения основных результатов диссертации.

Основные результаты исследования опубликованы в следующих работах:

88] Чуешев В. В. О некоторых подмногообразиях пространств групп Кебе// Докл. АН СССР. 1978, Т.243, N 3. С. 588 — 591.

89] Чуешев В. В. Пространства Шоттки типа (g, s, m)// Сибирск. матем. журн. 1979, Т. 20, N 3. С. 632 — 640.

90] Чуешев В. В. Пространства компактных римановых поверхностей и групп Кебе// Сибирск. матем. журн. 1981, Т. 22, N 5. С. 190 — 205.

91] Чуешев В. В. Конформные автоморфизмы компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1982, Т. 23, N 6. С. 196 — 197. ВИНИТИ 1120−82. 21 с.

92] Чуешев В. В. Отображение монодромии для компактных римановых поверхностей// Сибирск. матем. журн. 1983, Т. 24, N 3. С. 216. ВИНИТИ 6533−82. 12 с.

93] Чуешев В. В. Вариационные формулы для группы монодромии// Тез. докл. на Всесоюз. конф. по теории функций, посвящ. 100-ю со дня рожд. Н. Н. Лузина. 10−19 сент. 1983 г. Кемерово. 1983. С. 129.

94] Чуешев В. В. Точная вариационная формула для группы монодромии на компактной римановой поверхности// «Теория функций и ее приложения». Межвузовский сборник научных трудов, посвящ.100-ю со дня рожд. Н. Н. Лузина. Кемерово. 1985. С. 23 — 28.

95] Чуешев В. В. Когомологическое расслоение Ганнинга над компактной римановой поверхностью// Тез. докл. Всесоюзного семинара «Актуальные вопросы комплексного анализа». Ташкент. 1985. С. 116 — 117.

96] Чуешев В. В. Когомологическое расслоение Ганнинга и группа Торел-ли// Сибирск. матем. журн. 1990, Т. 31, N 3. С. 198 — 203.

97] Чуешев В. В. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с циклическими группами конформных автоморфизмов// «Геометрия и Анализ». Межвузовский сборник научных трудов. Кемерово. КемГУ. 1991. С. 8 -13.

98] Чуешев В. В. Расслоение Прима и Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Тез. докл. Всесоюзной Воронежской конф. Понтрягин-ские чтения-4, посвящ. 85-летию со дня рожд. JI.C. Понтрягина. 1993. С. 203.

99] Chueshev V.V. Harmonic and holomorphic Prym differential on compact Riemann surface// Preprint 96 — 099. 1996. Universitaet Bielefeld. Germany. 14 S.

100] Чуешев В. В. Гармонические и голоморфные дифференциалы Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 1999, Т.40, N 2. С. 465 — 475.

101] Чуешев В. В., Койнова О. А. Топологические и аналитические свойства группы характеров компактной римановой поверхности// Вестник КемГУ. 2000, В.4. С. 251 — 260.

102] Чуешев В. В. Векторные расслоение Прима и расслоение Ганнинга над пространством Тейхмюллера// Сибирск. матем. журн. 2001, Т.42, N 4. С. 937 — 951.

103] Чуешев В. В. Периоды гармонических дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 2002, Т. 43, N 4. С. 937- 952.

104] Чуешев В. В. Пространства мероморфных q-дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и тэта-функция Римана// Вестник НГУ. 2002, Т. 2, В.1. С. 85 — 114.

105] Chueshev V.V. Multiplicative Weierstrass points// Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov. POMI. S.-Petersburg. May-June 2002. P. 15 — 16.

106] Чуешев В. В. Базис мероморфных q—дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности// Тез. докл. Всероссийской конференции «Математические методы в механике», август 2002. АлтГУ, Барнаул, с. 34 — 35.

107] Чуешев В. В. Базис пространств мероморфных дифференциалов Прима на переменной компактной римановой поверхности и группы Кебе// Вестник НГУ. 2002, Т. 2, В. 2. С. 78 — 107.

108] Чуешев В. В., Якубов Э. Х. Мультипликативные точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности// Сибирск. матем. журн. 2002, Т. 43, N 6. С. 1408 — 1429.

109] Чуешев В. В., Койнова О. А. Плоские модели для компактных римановых поверхностей с двупорожденными группами конформных автоморфизмов// Вестник НГУ. 2002, Т.2, В.З. С. 11 — 27.

110] Чуешев В. В. Мультипликативные точки Вейерштрасса и многообразие Якоби компактной римановой поверхности// Тез. докл. Воронежской зимней математической школы «Современные методы теории функций и смежные проблемы». Воронеж. Воронеж, гос ун-т. 2003. С. 280 — 282.

111] Чуешев В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности, ч. 2// Кемерово. КемГУ, 2003. 247 с.