Моделирование коллективных возбуждений и основного состояния низкоразмерных систем

Диссертация посвящена исследованию возбуждений, таких как экситоны и экситонные поляритоны, в полупроводниковых структурах пониженных размерностей, в частности, вычислению энергии основного состояния экситона на поверхности однослойных и двухслойных нанотрубок и определению профилей экситонной и фотонной составляющей поляритонного бозе-конденсата в плоской полупроводниковой оптической микрополости при наличии внешнего потенциала, поиску устойчивых вихревых решений в системе, а также анализу временной эволюции компонент поляритонного конденсата в равновесии и при наличии накачки и утечки частиц.

Экситон Ванье-Мотта.

Фундаментальное понятие об экситоне как о возбуждении в кристалле было введено Френкелем в 1931 году [1]. Все экситоны пространственно компактны: кулоновское притяжение между отрицательно заряженным электроном и положительно заряженной дыркой удерживает их вместе в координатном пространстве. В зависимости от структуры решетки, степени перекрытия волновых функций валентных электронов атомов и диэлектрической проницаемости, радиус экситона варьируется от размера одного атома, т. е. порядка ангстрема (экситон Френкеля), и до нескольких сотен атомов, охватывая в этом случае множество ячеек кристаллической решетки (экситон Мотта, см. ниже). Вместе с тем, в силу трансляционной симметрии решетки, квазиимпульс экситона как целого является интегралом движения, с чем связана делокализация его центра тяжести. Представление о локализованном возбуждении как о возбужденном состоянии отдельного атома, как указывалось, не всегда является хорошим приближением. Экситон можно рассматривать и по-другому. Основное состояние, «квази-вакуум» в полупроводнике, — это состояние с заполненной валентной зоной и пустой зоной проводимости. В результате перехода одного электрона из валентной зоны в зону проводимости должны изменяться и состояния остальных электронов валентной зоны. Формально такое изменение можно учесть, введя эффективное взаимодействие между электроном и дыркой, образующейся при освобождении одного из валентных состояний (в. Н. ¥-апшег, 1937 [2]- N. Р. Мои, 1938 [3]). В результате кулоновского взаимодействия электрона и дырки в кристалле возможно появление особых бестоковых связанных состояний электрона и дырки, получивших название экситонов Ванъе-Мотта. Экситоны Ванье-Мотта типичны для большинства полупроводников и являются одним из основных объектов рассмотрения Диссертации.

Экситоны в общем случае могут перемещаться внутри кристалла. В случае экситонов Френкеля это перемещение представляет собой перескоки возбуждения от одного атома к другому [4].

В случае модели экситонов Ванье-Мотта, возбужденный электрон и дырка существуют как свободные частицы в эффективном периодическом потенциале, создаваемом окружающими их валентными электронами и остовами атомов решетки, и экситон представляет собой связанное состояние электрона и дырки. Такая связанная пара может как целое перемещаться по кристаллу, обладая волновым вектором к, причем полное движение экситона складывается из внутреннего движения электрона вокруг дырки и движения пары как единого целого по кристаллу. В этом случае поле окружающей экситон решетки учитывается при помощи введения эффективных изотропных масс электрона га* и дырки, а также введением экранировки кулоновского притяжения за счет диэлектрической проницаемости среды е. Кроме того, в общем случае следует учитывать рассеяние экситонов на фононах и неоднородностях кристалла.

В простейшем случае параболических зон с экстремумами, расположенными при к = 0, энергии электронов проводимости и дырок в валентной зоне определяются формулами (см., например, [5]).

Й2к2 Й2к2 Ясоы (к) = Д, + — - Еуа1(к) =, (1).

2 т* 2т£ где Ед — энергия щели между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны.

Если предположить, что электрон и дырка взаимодействуют по закону Кулона — е2/бт, где г = |ге — г/^, и перейти к системе центра инерции, то мы получим уравнение, определяющее энергию электронно-дырочной пары:

П2 д2 е2 I <�Рп1т{Г) =.

2/^ех 9Г2 £Г/ /, ч /1 к.

Еп{к) -Ед.

Фп1т{Г), (2).

2(т*е + т1) где Дех = т%тн/{те + шл) — приведенная масса электрона и дырки.

В этом случае решением <�рп1т{т) является волновая функция водоро-доподобного атома, эффективный заряд которого Ze равен е/д/ё, а уровни энергии связанных состояний для каждого к могут быть представлены в виде суммы трех слагаемых.

К (к)=. ^ + (з).

2 (т* + 7Щ) 2К1? гп1 ь Первое слагаемое в (3) соответствует кинетической энергии свободного совместного движения электрона и дырки. При к = О второе слагаемое соответствует дискретным (п = 1,2,.) возбужденным состояниям во-дородоподобного атома с приведенной массой //ех, находящегося в непрерывной среде с диэлектрической проницаемостью е. Состояние с п = 1 является наинизшим энергетическим состоянием. Радиус экситона с квантовым числом п выражается формулой где те — масса свободного электрона, ао = h2/mee2 «0,5 • Ю-8 см — боровский радиус атома водорода. Например, в кристалле германия при значениях приведенной массы цех «0.2 те и е «16 радиус первого состояния аех «80 ао значительно превышает постоянную решетки, что оправдывает макроскопическое описание взаимодействия между электроном и дыркой по закону Кулона —е2/ег.

Первое экспериментальное доказательство подтверждения существования экситонов Ванье-Мотта путем наблюдения водородоподобного спектра вблизи края собственного поглощения было получено Гроссом в 1962 году [6]. Прямое доказательство перемещения экситонов Ванье-Мотта в кристаллах было получено в работе Хопфилда и Томаса (D. G. Thomas к J. J. Hopfield, 1960 [7]).

Модель экситонов Ванье-Мотта пригодна для описания низколежа-щих возбужденных квазидискретных состояний в кристаллах с большой диэлектрической проницаемостью е. Энергия связи трехмерного эксито-на в состоянии с п = 1 (экситонная постоянная Ридберга) равна энергии, необходимой для отрыва электрона от дырки, и составляет Е^ = fiexe4/2?2h2. Следовательно, она в? iex/rne?2 раз меньше энергии связи электрона в атоме водорода 13 эВ). Это состояние часто называют «основным состоянием экситона» [5].

Экситоны в общем случае метастабильны, т. е. существует конечная вероятность рекомбинации возбужденного электрона и дырки с испусканием фотона. Таким образом, экситон образуется с поглощением фотона, затем движется в полупроводнике, претерпевая процессы рассеяния, и затем рекомбинирует с испусканием фотона, возможно, в точке кристалла, далекой от его точки рождения. В зависимости от зонной структуры (например, совпадения или несовпадения минимума зоны проводимости и максимума валентной зоны в зоне Бриллюэна, что отражается на степени перекрытия волновых функций), время жизни экситона может варьироваться от пикосекунд вплоть до миллисекунд и дольше. В общем случае скорость распада экситона пропорциональна квадрату нормированной электронно-дырочной орбитальной волновой функции <р2(0) = 1/-ка?ех (умноженной на матричный элемент дипольного момента межзонного перехода между указанными точками зоны Бриллюэна) [8].

Будучи нейтральной электронно-дырочной парой, связанной кулонов-ским взаимодействием, экситоны могут вести себя как (композитные) бозоны при невысоких плотностях [9]: пагех <С 1, т. е. в случае, если расстояние между частицами велико по сравнению с эффективным размером экситона. В этом случае экситонная система представляет собой слабо-взаимодействующий бозе-газ, константа взаимодействия которого может быть оценена [10] как.

47гП2аех.

9—• (5).

ТГЬех.

Для экситонов в полупроводнике, эффективная масса которых приблизительно равна массе свободного электрона, и чей эффективный радиус имеет порядок от 10 до 50 А, константа д имеет порядок приблизительно 10″ 32—Ю-33 эрг-см3.

В системе с пониженной размерностью свойства экситона Ванье изменяются. В низкоразмерных системах пространственный конфайнмент обеспечивает большее перекрытие волновых функций электрона и дырки, тем самым увеличивая энергию связи экситона. Так, в двумерном пределе (например, в квантовой яме) энергия связи экситона в 4 раза больше, чем в трехмерном случае: Е^ = 2//ехе4/?:2/г2 [11].

В данной работе теоретически исследуются уровни энергии экситона Ванье-Мотта в однослойных и двухслойных углеродных нанотрубках, в зависимости от радиуса (соотношения радиусов) стенок и диэлектрической проницаемости среды, в которую погружена нанотрубка. Нанотруб-ка в этой задаче является системой пониженной размерности (?) = 1 или 2 в зависимости от соотношения её длины и диаметра). Рассмотрен кроссовер между системой с размерностью 1Б и 2Б. Углеродные нанотрубки представляют собой новый физический объект, уникальные свойства которого позволяют рассчитывать на его эффективное использование в различных областях науки и технологии. Наиболее привлекательными представляются те направления использования нанотрубок, которые связаны с разработками в различных областях современной электроники. Такие свойства нанотрубок, как их малые размеры, управляемая электропроводность, высокая механическая прочность и химическая стабильность, позволяют рассматривать эти объекты в качестве основы будущих элементов микроэлектроники.

Для решения задачи о кулоновском взаимодействии электрона и дырки на поверхности одностенного (двустенного) цилиндра использованы теория возмущений и адиабатическое приближение. Для численных расчетов при любых значениях параметров был применен метод мнимого времени и вариационный метод Ритца.

Экситон в квантовой яме.

Физика пониженных размерностей может быть также изучена естественным образом в полупроводниках: в настоящее время прогресс в техниках молекулярно-лучевой эпитаксии позволяет производить полупроводниковые материалы с точностью до атомных слоев, что привело к появлению новых квантовых структур, таких как двумерные (2Б) квантовые ямы, одномерные квантовые проволоки и нульмерные квантовые точки.

Квантовая яма — это тонкий слой полупроводника с узкой запрещенной зоной, помещенный между двумя слоями полупроводника с запрещенной зоной большей ширины (см. Рис.1).

Толщина квантовой ямы й сравнима с эффективным экситонным боровским радиусом аех, поэтому движение электрона и дырки в такой яме ограни.

Рис. 1. Уровни энергии чено перпендикулярной К яме (к направлению роста экситона в квантовой яме. слоев) плоскостью, и их энергетические уровни квантованы. В таком двумерном пределе радиус экситона становится вдвое меньше по сравнению с соответствующим значением в ЗБ (4), а энергия связи как уже было отмечено выше, — в 4 раза больше по сравнению с энергией связи трехмерного экситона Е^ [11].

Кроме того, квантовый конфайнмент может существенно менять структуру валентной зоны полупроводника [12]. Например, для СаАэ, дырка имеет волновую функцию р-типа с орбитальным моментом Ь = ±1 и спином 5 = ±½. В обычном полупроводнике имеется две зоны, соответствующие так называемым легким дыркам (частицам с полным моментом <7 = ±½ и меньшей эффективной массой) и две — тяжелым дыркам (с полным моментом J = ±3/2 и большей массой), в результате чего энергетическая зона оказывается четырехкратно вырожденной при к = 0. Отличие квантовой ямы заключается в том, что трансляционная симметрия в направлении 2 отсутствует, и вырождение между легкими и тяжелыми дырками при к = 0 исчезает. Зоны, соответствующие тяжелым дыркам, оказываются выше (ближе к зоне проводимости), теперь уже с меньшей продольной эффективной массой. Таким образом, чаще всего экситон в квантовой яме образован электроном и тяжелой дыркой.

Наиболее важным эффектом конфайнмента квантовой ямы является то, что по сравнению с трехмерными полупроводниками, экситоны в гораздо более доступны для возбуждения при помощи света: продольное движение электронно-дырочной пары никак не зависит от поперечной координаты г, и экситон в квантовой яме может быть возбужден фотоном с такой же продольной компонентой импульса к\ и произвольной поперечной компонентой к±-.

Поведение двумерных экситонов в квантовых ямах в электрическом и магнитном полях, а также возможность их бозе-конденсации и сверхтекучести рассмотрена теоретически в работах [13], [14], [15].

Экситонные поляритоны.

В полупроводниках с прямым межзонным оптическим переходом фундаментальными электронными возбуждениями являются экситоны, однако более строгое описание возбужденных состояний в кристалле предполагает также учет линейной связи экситонов со светом (электромагнитным полем). Из-за такой связи возникают новые моды, которые являются линейной суперпозицией одной экситонной и одной фотонной мод, называемые экситонными поляритонами.

Поляритоны в трехмерном полупроводнике были впервые предложены Хопфилдом (Л. Л. НорАеЫ, 1958, [16]), детально изучены Аграновичем [4] и впоследствии обнаружены экспериментально методами нелинейной спектроскопии. Образование поляритона обусловлено законом сохранения импульса при резонансном взаимодействии экситона и фотона, вследствие чего образуются две новые моды с различными энергиями (верхний и нижний поляритон). Поскольку законы дисперсии фотона и экситона сильно отличаются, в области расщепления энергетических состояний поляритоны являются смесью фотонной и экситонной моды (в этой области поляритон можно представить себе как фотон, «одетый» экситонным взаимодействием), в то время как вдали от этой области поляритон ведёт себя либо полностью как фотон, либо как экситон.

Прогресс в производстве различных полупроводниковых гетерострук-тур, в особенности квантовых ям, привел к тому, что описание возбужденных состояний в полупроводнике всё чаще сводилось к концепции поляритона. Однако в силу несовпадения размерности экситона в квантовой яме (2Б) и фотона (30), закон сохранения импульса можно было применить только к продольной компоненте импульса (лежащей в плоскости квантовой ямы), в результате чего одна экситонная мода оказывалась связанной с континуумом фотонных мод, что приводило к необратимому затуханию этих возбужденных состояний.

Чтобы получить систему с заданным числом экситонов и фотонов,.

1.0 необходимо поместить кристалл внутрь резонатора Фабри-Перо, который препятствовал бы уходу из системы тех фотонов, частота которых находится в резонансе с экситонами. Такие резонаторы (плоские полупроводниковые микрополости) были разработаны в 1980;х годах в основном с целью производства поверхностно-излучающих лазеров с вертикальным резонатором (УСБЕЬ) [17]. Они состоят из слоев различных полупроводниковых материалов, называемых брэгговскими рефлекторами (зеркалами), обладающими высокой отражающей способностью из-за многолучевой интерференции (см. Рис. 2). Если резонанс полости выбран близко к частоте возбуждения экситона, то в системе возникает так называемый режим сильной связи [18], [19]. Подробный обзор полупроводниковых микрополостей представлен в работе [20].

Вплоть до 1992 года понятие поля-ритона было связано исключительно с трехмерными кристаллами, до тех пока Клод Вайсбух не опубликовал результаты первых успешных измерений резонансного взаимодействия экситонной и фотонной мод в полупроводниковой микрополости (С. Veisbllch е£ 0.1, 1992 рис. 2. Схема центральной области по-[21]), после чего последовала огромная луиР°водниковой микрополости на ошове А^Сах-хАз/ГпуСах-уАз. Толстая криэкспериментальная активность В облавая показывает интенсивность фотона внутри полости. Рисунок из статьи [22]. сти поляритонов в микрополостях.

Когда квантовая яма помещена в пучность моды полупроводниковой микрополости, экситон с орбитальным моментом 7=1 (образованный электроном и тяжелой дыркой) сильно взаимодействует с фотонной модой. Если скорость энергетического обмена между электромагнитным полем в полости и экситоном заметно выше, чем скорость утечки фотонов, то в такой системе возникают новые смешанные состояния, называемые экситонными поляритонами полости.

5″ о о.

3 **.

П> з.

0.0.

2.50.

3.00.

3.50.

Distance to the surface (цт).

External emission angle (deg).

30 40 «o>

1.380 (а) 1 1 1 1.

1.350 1 ! Q = 7Л meV | 1 1.

1.340 VI !

1.334^ .-1-—: ¦!-¦- 1 1.

1.330 1 1.

0.0 10° 2.0 10' Wave vector (m" 1).

4.0 10″ 1.340 ф 1.330 Ш.

• • (Ь).У. П = 7.6 meV / .

0.0 10° 2.0 10* 4.0 10* Wave vector (m'1).

0.0 10″ .

2.0 10*.

4.0 101.

Успехи в производстве высококачественных зеркал привели к тому, что достигалось всё более продолжительное время жизни фотонов в микрополостях при малых значениях продольной компоненты импульса фотона. Именно благодаря этому стала возможной демонстрация режима сильной связи фотонов и экситонов в полости. В течение ближайших месяцев после первого наблюдения, доказательство существования двумерных экситонных поляритонов было осуществлено Одре, измерившим по-ляритонную кривую дисперсии при помощи спектроскопии излучения из полости и продемонстрировавшим Раби-расщепление уровней при температурах вплоть до комнатных (Рис. 3, И. Ноис1гё, 1994 [22]).

Вскоре после первых наблюдений экси.

Wave vector (m).

РИС. 3. Кривые дисперсии экситонТОННЫХ ПОЛЯриТОНОВ В МИКрОПОЛОСТЯХ бы-ных поляритонов, полученные из измерений фотолюминесценции из пололо развито теоретическое описание образости под различными углами, (а) РезоГг. о1 «нанс при в = 0°, (6) при в = 29°, © вания ПОЛЯрИТОННЫХ МОД Z6. ПОДрООНЫИ при в = 35°. Сплошные линии показы- «г вают теоретический расчет, пунктирТеОрвТИЧеСКИИ обзор ПОЛЯрИТОНОВ ПОЛОСТИ ные линии — дисперсионные кривые содержится в монографии [241. свободных фотона и экситона. Рис. из 1 хт l j статьи [22]. для ИдеальНОЙ ПЛОСКОЙ ОПТИЧвСКОЙ МИКрополости шириной L, заполненной диэлектриком с проницаемостью ?, волновой вектор фотона оказывается квантованным в поперечном направлении: и энергетический спектр фотонов в полости в этом случае имеет вид.

7 Г П ттНс Ъ2Щ п +.

L^/i 2nmph ' где mph = irhcy/e/Lc — эффективная масса фотона полости.

Рассмотрим основную моду оптической полости п = 1. Обозначив Еф = 7Гhc/L^/i, получим закон дисперсии фотона в области малых Ц:

Н2к2.

Eph (kn) = Bfiph +^J-. (6).

Согласно (3), закон дисперсии квазидвумерного экситона в квантовой яме имеет вид, а Щ.

ЕеЛЩ|) = El +^, (7) где Е®х = Eg — Ell?, тех — т*е + m*h — эффективная масса экситона в квантовой яме.

В присутствии экситона, находящегося при некотором продольном импульсе к\ в резонансе с фотонной модой, элементарные возбуждения в полости имеют необычный закон дисперсии, который отражает их смешанную природу света с веществом (см. Рис. 3). Закон дисперсии поляри-тона в полости содержит две ветви — так называемые верхнюю и нижнюю поляритонные ветви [24]:

Elp, up = Eph * Еех Т ¿-^(Цл ~ Еех? + |ШЛ|*, (8) где Шд — энергия поляритонного расщепления (энергия Раби). Несмотря на сильное изменение исходных кривых, нижняя часть нижней поляри-тонной ветви при этом всё еще хорошо аппроксимируется параболическим законом дисперсии (6) с эффективной массой tulp и некоторым начальным уровнем энергии Е^Р.

Вслед за экспериментами [21] и [22] последовало множество экспериментов, точно определивших дисперсионные кривые двух поляритонных ветвей в различных полупроводниковых микрополостях.

Коллективные явления в поляритонной системе.

В течение многих лет интенсивная научная активность была направлена на поиск бозе-эйнштейновской конденсации экситонов в твёрдых телах, сначала в трехмерных [25] (см. также [8] и цитируемую литературу), затем для экситонов с пространственно-разделенными электронами и дырками в квазидвумерных системах [13]—[15], время жизни которых существенно выше в силу слабого перекрытия волновых функций частиц, и которые должны обладать принципиально новыми свойствами — наличием незатухающих электрических токов, необычными оптическими свойствами и т. п. [26]. Несмотря на многочисленные экспериментальные достижения [27, 28, 29, 30], явная демонстрация экситонной конденсации долго оставалась под вопросом. (Более поздние эксперименты по экситонной бозе-конденсации описаны в [31, 32, 33]). В то же время, следом за новаторским предложением Имамоглу (А. 1тато§ 1и еЬ а1, 1996 [34], [35]), исследователи начали искать возможность получить бозе-эйнштейновскую конденсацию в газе экситонных поляритонов в полупроводниковых микрополостях. Действительно, так как эффективная масса поляритона тьр очень мала (на несколько порядков меньше массы экситона), данная система предполагает бозе-конденсацию при гораздо более высоких температурах и/или меньших плотностях.

Согласно теореме Хоэнберга-Мермина-Вагнера [36], бозе-конденсация и недиагональный дальний порядок в двумерных системах невозможны. Причиной этому служит то, что тепловые флуктуации квантовой фазы, имеющиеся при любой конечной температуре, разрушают конденсат на больших масштабах. Однако, можно показать, что для взаимодействующего газа сверхтекучее состояние всё же может быть достигнуто при температуре ниже критической. В данном случае, происходит фазовый переход другого типа: переход Березинского-Костерлица-Таулеса (ВКТ) в сверхтекучее состояние [37, 38]. Это топологический фазовый переход, при котором при температуре выше Твкт могут спонтанно формироваться одиночные вихри, и при этом сверхтекучесть исчезает. В пространственно-однородном газе критическая температура Твкт всегда ниже, чем характерная температура квантового вырождения Тс (при которой происходит кроссовер с образованием локального конденсата на малых масштабах). В этой связи переход ВКТ обсуждался в контексте экситонных полярито-нов в полости [39, 40]. С другой стороны, известно, что если между основным и возбужденными состояниями частицы в двумерной системе присутствует конечная энергетическая щель (т.е. спектр энергий дискретен), то тепловые флуктуации более не доминируют, и макроскопическое заселение основного состояния возможно. Подобная щель возникает в ограниченных системах. Локализация поляритонного газа обычно простирается на масштаб порядка от нескольких до нескольких десятков микрон (за счет конечного размера пятна накачки, либо из-за наложения внешнего удерживающего потенциала), поэтому в данной системе можно ожидать возникновение бозе-конденсации в обычном смысле слова [41]. Так, явное экспериментальное наблюдение поляритонов полости, когерентно накапливающихся в нижнем энергетическом состоянии в гармонической ловушке, было осуществлено в 2007 году (R. Balili et al., 2007 [42]).

Исторически, первая конфигурация, где наблюдалась спонтанная когерентность в поляритонной системе, была основана на когерентно накачиваемой полости под конечным углом, близким к точке перегиба нижней поляритонной ветви. Как было показано в 2000 году [43], выше порогового значения мощности накачки, в плоской микрополости возникает подобие параметрического осциллятора [44, 45] и параметрическая люминесценция из сигнального (signal) и «холостого» (idler) состояний обладает длинномасштабной когерентностью и во времени, и в пространстве.

Теоретически, возникновение параметрических осцилляций в пространственно протяженных плоских полостях может быть интернретирова-но как пример неравновесной бозе-эйнштейновской конденсации: когерентность сигнального и холостого состояний не наследуется напрямую от лазера накачки, а появляется за счет спонтанного нарушения фазовой симметрии и (1).

Для достижения бозе-эйнштейнов-ской конденсации термализованно-го поляритонного газа в условиях некогерентной накачки потребовалось еще несколько лет. После некоторых предварительных наблюдений [46, 47, 48], убедительная демонстрация бозе-конденсации поляритонов была получена в 2006 году (Л. Каврггак еЬ а1., 2006 [49]): конденсация в газе экситон-ных поляритонов была определена и в /^-пространстве по макроскопическому скоплению частиц в нижних энергетических состояниях, и в реальном пространстве по установлению длин-номасштабной когерентности.

Принцип, лежащий в основе этих экспериментов, показан на Рис.4: лазерная накачка рождает «горячие» .

СопНпиои* vavy ТьзаррЫге 1.768 теУ с/ ^ 35 цт зро{.

ЯМАЛА, ^.

1.67!

О 30 О 30 60 О (йвд гвв).

Етй""оп апд1е, 0 (йввгев) -20 -ю о ю говою о ю гсгою о ю го.

— 3−2-1 0 1 2 3−3-2−10 1 2 3−3-2−10 1 2 1п-р"апе (10* спг1).

Рис. 4. Наверху: схема микрополости. Лазерный луч частоты и>, падающий под углом в, возбуждает в полости фотонную моду с к\ = ^ вт 0. Вторичное испускание из полости в ближнем (дальнем) поле дает информацию о плотности возбуждений координатном (импульсном) пространстве. В центре: Закон дисперсии поляритонпых мод в зависимости от к | (угла в). Система возбуждается при высоких энергиях, после чего релаксация избыточной энергии (за счет фононов, экситон-экситонного рассеяния и т. д.) приводит к заселению поляритонных состояний и (возможно) к бозе-эйнштейновской конденсации в нижнем состоянии. Внизу: экспериментальное наблюдение бозе-конденсации, полученное при увеличении мощности нскогсрснтной нерезонансной оптической накачки. Рис. из статьи [49]. электронно-дырочные пары, чья избыточная энергия рассеивается за счет испускания фотонов и, затем, кулоновских процессов рассеяния. Несмотря на то, что система является диссипативной, состояние теплового квази-равновесия может быть достигнуто, если скорость утечек мала по сравнению с временем термализации поляритонного газа [50], [51].

Получение бозе-конденсата поляритонов при относительно высоких температурах (по сравнению с системами холодных атомов) открывает возможность наблюдения квантовых коллективных явлений [52], таких как фазовые переходы, приводящие к спонтанному нарушению симметрии и формированию квантовомеханического параметра порядка [53]. Перспектива наблюдения подобного фазового перехода крайне привлекательна, поскольку существование макроскопически заселенного квантового состояния поляритонов подразумевает такие свойства как сверхтекучесть, джозефсоновские осцилляции, устойчивость к разрушению когерентности в системе. Кроме фундаментального интереса к этому новому квантовому коллективному явлению в твердых телах, развитие в этом направлении также несет большой потенциал для приложений в устройствах [54], например для получения так называемого поляритонного лазера (без инверсии заселенности состояний) или для обработки квантовой информации.

Возможность использовать газы экситонных поляритонов для изучения физики многих тел и, конкретнее, динамики сверхтекучести было предложено Карусотто и Чиути для системы с когерентной накачкой (I. Carusotto к С. Ciuti, 2004 [56]). В отличие от случая нерезонансного и некогерентного возбуждения, в случае резонансно-управляемой конфигурации можно применить теоретическое описание ab initio в терминах обобщенного уравнения Гросса-Питаевского [57], без необходимости применения феноменологического описания сложных релаксационных процессов в системе. Несмотря на кажущуюся простоту, когерентно созданный конденсат демонстрирует специфические сверхтекучие свой.

О i.

IV V VI о.

О 1 ства при обтекании препятствий (естественных дефектов микрополости).

Форма возмущения плотности, возникающего в результате обтекания дефекта, может быть интерпретирована в терминах критерия сверхтекучести Ландау, с использованием обобщенного боголюбов-ского распределения возбуждений в неравновесном конденсате: при низких скоростях сверхтекучесть проявляется в подавлении искажений вокруг дефекта (в реальном пространстве) и, соответственно, исчезновении рэлеев.

Рис. 5. Конфигурация с резонансной лазерСК0Г0 кольДа рассеяния в кной накачкой. В отличие от Рис. 4, данная схепространстве. Для более ВЫСО-ма позволяет точно контролировать плотность и продольную скорость течения поляритонной ких скоростей и в координат-жидкости, изменяя различные параметры (мощи? импульсном распреность, частота, угол падения) управляющего лазера. Верхние панели (экспериментальные): расделении конденсата поляри-пределения поляритопов в реальном (I—III) и импульсном (IV-VI) пространстве, извлеченТОНОВ возникают любопытные ные из испускания полости в ближнем и далькартины. Экспериментальное нем поле, для различных значений плотности (слева направо): для наибольшей плотноподтверждение этих предска-сти (III), сверхтекучесть поляритопов очевидна из подавления «ряби» вокруг дефекта в реальном пространстве и соответствующего исчезновения рэлеевского кольца рассеяния (IV). Нижние панели (теоретические) показывают сопоказано на Рис. 5, где переответствующие результаты численного решения г, т-г ход от диссипативного теченеравновесного уравнения 1 росса-Питаевского.

I. Carusotto & С. Ciuti [56]). Рис. из статьи [58]. ния (панели I и IV) к сверхтекучему (панели III и VI) явно продемонстрирован и в координатном, и.

— 10 -0.5 0 0.5 kI (imr1.

— Юos О 0.5 -Ю -0−5 О 0.5 W МШ!-*) t,.

Другие экспериментальные работы были посвящены изучению вихрей и полувихрей в поляритонном конденсате [59], взаимодействую поляри-тонного потока с «вмороженными» дефектами, было показано гидродинамическое образование пар вихрь-антивихрь [60] и тёмных солитонов [61, 62] в движущейся сверхтекучей жидкости. Теоретическое описание квантованных вихрей и полувихрей представлено в работах [63], [64]. Со-литоны в бозе-жидкости были теоретически рассмотрены в работах [65], [66]. В связи с вышеописанными экспериментами, заметное теоретическое развитие в последние годы получила идея использовать сверхтекучие жидкости в плоских геометриях для изучения квантовых гидродинамических эффектов, в частности аналога эффекта хокинговского излучения для акустических черных дыр [67, 68].

Для теоретического описания газа экситонных поляритонов в микрополости существует два общих подхода. С точки зрения формализма вторичного квантования, гамильтониан, описывающий дицамику экситонов, фотонов полости и их взаимные превращения, имеет вид [45]:

Л = / фу Е {^(k)a^(k)aC!(J (k) + Еех (к) а}Х (7 (к) ах, а (к)+ Шд [а^(к)ах, а (к) + а^(к)ас, Лк)] } + Пех-ех + V, (9) где ас, ах — операторы уничтожения фотона и экситона, соответствен.

Л, А но, И-ех-ех ~ гамильтониан экситон-экситонного взаимодействия, V — внешний потенциал. Без учета взаимодействия и внешнего потенциала, гамильтониан может быть диагонализован при помощи унитарного преобразования Хопфилда [16], в результате чего гамильтониан экситонных поляритонов будет иметь вид.

П = 1 Щ-2 Е {Еьр (к)а[р^к)аЬРАЮ + ЕиР^иРа{Ъ)аиР^) .

10).

Здесь аьр, ацр — операторы уничтожения нижнего и верхнего поляритонов, соответственно, а законы дисперсии режиме сильной связи?? ьр, г/р (к) даются формулой (8). Фотонная и экситонная составляющие поляритон-ных мод определяются действительными коэффициентами Хопфилда [16]. Взаимодействия в данном подходе могут быть приближенно учтены при помощи преобразования Боголюбова [45].

С другой стороны, в рамках приближения среднего поля, если считать поляритонный газ достаточно разреженным и слабовзаимодействующим, система может быть описана при помощи уравнения Гросса-Питаевского (см., например, [57]), которое выводится из первых принципов для описания динамики волновой функции конденсата Ф (г, ?). В этом случае предполагается, что макроскопическое число частиц заселяют основное состояние (нижнюю поляритонную ветвь при Лтц = 0), и что бозе-конденсат не истощается за счет взаимодействия либо утечки частиц из микрополости. В случае, если энергия расщепления Раби Шд много больше всех остальных энергетических параметров задачи (т.е. кинетической энергии и энергии взаимодействия, отстройки лазера накачки от дна нижней по-ляритонной ветви и скорости утечки), можно использовать упрощенное описание, рассматривая только волновую функцию нижних поляритонов:

П2 гЩФьр (М) =.

2 тЬР.

V2 + ЕР + У (г).

Фьр (М) + .

П) где д — константа поляритонного взаимодействия. Учет дополнительных членов, связанных с присутствием накачки частиц в микрополость, а также утечки частиц из полости, описан в работах [63], [69, 70]. Учет влияния поляризации (спиновые эффекты) рассмотрены в работах [71], [72]. Неравновесные эффекты рассмотрены в обзоре [73].

В данной работе предложено альтернативное описание системы, аналогичное описанному в работе [56], в которой вместо уравнения Гросса-Питаевского (11) было рассмотрено матричное уравнение для двухкомпо-нентной волновой функции, содержащей в качестве компонент волновые функции фотонной и экситонной подсистем поляритонного конденсата.

В предложенном формализме рассмотрена аксиальная экситонная ловушка, созданная путем наложения на яму с экситонами внешнего гармонического потенциала. Исследованы различные силы конфайнмента. Показано, что возможен случай, когда пространственное распределение фотонов и экситонов существенно различно: при сильном удерживающем потециале экситонный конденсат удерживается в ловушке, и соответствующий профиль плотности очень узок, в то время как пространственная протяженность фотонного конденсата может быть очень велика.

Мы исследуем вихревые решения для волновых функций компонент поляритонного конденсата. Основной новый результат, следующий из наших уравнений, состоит в том, что длины залечивания вихрей для разных компонент могут существенно различаться. Для предельного случая сильно различных размеров коров вихрей фотонной и экситонной компонент конденсата получены аналитические выражения для плотностей конденсатов в зависимости от расстояния от центра вихря.

Также рассмотрен нестационарный случай: двухкомпонентный конденсат с нерезонансной накачкой и утечкой (система с переменным числом частиц). Мы получаем уравнения эволюции для относительной фазы и плотностей компонент конденсата. Получены поправки к частоте осцил-ляций за счет взаимодействия, накачки и утечки частиц. Важным новым результатом, полученным в работе, является то, что в системе с утечкой колебания долей и относительной фазы экситонной и фотонной составляющей в поляритонном газе оказываются затухающими: система после осцилляций выходит на новый режим, в котором происходит фиксация относительной доли фотонов и экситонов и их относительной фазы.

Основное содержание диссертации.

Во Введении кратко описываются физические объекты, рассматриваемые в диссертации, обсуждается современное состояние теоретических и экспериментальных исследований в области экситонов и экситонных поляритонов в оптических микрополостях, обосновывается актуальность работы, охарактеризована ее научная новизна, кратко изложена структура диссертации и сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе, состоящей из восьми параграфов, рассмотрена задача о движении связанной пары электрон-дырка на поверхности однослойного и двухслойного цилиндров. В первом параграфе обсуждается геометрия задачи, введены необходимые обозначения и сформулированы общие уравнения движения частиц на двухслойном цилиндре, погруженном в среду с диэлектрической проницаемостью. Во втором параграфе рассматривается однослойный цилиндр, показано, что в уравнении Шре-дингера переменные центра инерции и относительного движения разделяются, аналитически решается задача о движении центра масс экситона. Найдены волновые функции и энергии, отвечающие этому движению. В третьем, четвертом и пятом параграфах проводится анализ относительного движения электрона и дырки на поверхности однослойного цилиндра. Показано, что единственным управляющим параметром в системе является радиус нанотрубки (отнесенный к эффективному радиусу экситона). В случае малых радиусов для аналитического решения уравнения Шре-дингера используется адиабатическое приближение. Показано, что задача сводится к уравнению для одномерного движения в потенциальной яме. Определены энергии и волновые функции основного и возбужденных состояний. Для решения задачи о движении частиц на цилиндре большого радиуса была применена теория возмущений. В нулевом приближении задача представляет собой эквивалент задачи о двумерном атоме водорода. Показано, что поправка теории возмущений к энергиям в рассматривавмом пределе пренебрежимо мала. В шестом параграфе описываются численные расчеты энергии основного состояния экситона методом мнимого времени для произвольных значений радиуса нанотрубки в зависимости от ее радиуса. В предельных случаях результаты аналитического и численного расчетов совпадают. В седьмом параграфе исследуется движение электрона и дырки на двухслойном цилиндре. В данном случае задача не имеет аналитического решения, поэтому для нахождения энергии основного состояния был использован метод вариации функционала энергии (вариационный метод Ритца). В восьмом параграфе сформулированы основные результаты этой главы и отмечено, что аналитический результат, полученный в четвертом параграфе, является уточнением полученного ранее в литературе результата.

Во второй главе, состоящей из четырех параграфов, рассмотрена задача о бозе-эйнштейновском конденсате экситонных поляритонов в гармонической ловушке плоской оптической микрополостй. В первом параграфе записан функционал энергии связанной слабонеоднородной системы фотонов и экситонов, зависящий от фотонной и экситонной волновых функций, вариация которого приводит к связанной системе уравнений типа Гросса-Питаевского для двухкомпонентного конденсата с резонансными превращениями частиц одного типа в частицы другого типа. Обсуждается два способа создать ловушку для поляритонного конденсата: «фотонная» и «экситонная» ловушки. Во втором параграфе рассмотрена аксиально-симметричная гармоническая экситонная ловушка. Получено интегральное уравнение на волновую функцию экситонного конденсата, которое в пренебрежении взаимодействиями может быть приведено к однородному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Учет взаимодействий на втором шаге производится численно. В третьем параграфе рассмотрен предел относительно слабого экситонного конфай-нмента. Получено аналитическое выражение для профилей компонент в приближении Томаса-Ферми. В четвертом параграфе представлены результаты точного численного расчета волновых функций фотонного и экситонного конденсатов для любых конфайнментов. Результаты, полученные аналитически и численно, совпадают в соответствующем пределе. Показано, что в сильной ловушке фотонная и экситонная компоненты имеют существенно различные пространственные протяженности.

В третьей главе, состоящей из четырех параграфов, исследованы стационарные вихревые решения в двухкомпонентном поляритонном конденсате. В первом параграфе рассмотрена временная система связанных уравнений типа Гросса-Питаевского, которая при переходе к переменным плотность частиц — фаза приводит к системе четырех уравнений, являющихся аналогом уравнения непрерывности и уравнения Бернулли для двухкомпонентной жидкости. Второй параграф посвящен анализу пространственных масштабов задачи, необходимому при поиске топологических дефектов типа вихрей. Определены ограничения, накладываемые на химический потенциал системы. Показано, что в задаче возникает два характерных масштаба. В третьем параграфе проводится исследование стационарный вихревых решений исходной системы уравнений, которая допускает на одном из масштабов аналитическое решение. Получены численные решения системы уравнений для профилей компонент во всем пространстве. В четвертом параграфе сформулированы основные результаты исследования вихревых решений и предложена возможность экспериментального обнаружения полученного эффекта.

В четвертой главе, состоящей из четырех параграфов, исследуется временная эволюция плотностей и фаз экситонной и фотонной компонент бозе-конденсата поляритонов. В первом параграфе из системы временных уравнений типа Гросса-Питаевского с учетом нерезонансной накачки и утечки частиц получены общие уравнения временной эволюции для плотностей и фаз фотонной и экситонной компонент конденсата. Во втором параграфе рассмотрена эволюция системы в случае постоянного числа частиц. Получено решение для относительной фазы и плотности двух компонент в квадратурах. В пределе малых отклонений от положения равновесия получены уравнения гармонических колебаний относительной фазы и плотности компонент конденсата. Найдена поправка к частоте колебаний системы за счет экситон-экситонного взаимодействия. В третьем параграфе исследуются эффекты, к которым приводит включение накачки и утечки в эволюционных уравнениях. Разложение в окрестности точек равновесия в этом случае приводит к уравнениям вынужденных (затухающих) колебаний плотности и фазы, для которых определены коэффициенты затухания, частоты колебаний и добротность. Вычислены поправки к собственной частоте системы за счет накачки и утечки частиц. Показано также, что при любых начальных условиях полная плотность поляритонов в системе стремится к некоторому значению, фиксированному накачкой и утечкой, в то время как новое положение равновесия для относительной фазы определяется только скоростью утечки.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Формулировка двухкомионеитного подхода к описанию стационарных и нестационарных процессов в поляритонном бозе-конденсате, позволяющего выявить существенные различия в пространственном распределении компонент конденсата.

2. Результаты исследования поведения двух связанных конденсатов фотонов и экситонов в аксиально-симметричной экситонной ловушке. Аналитическое выражение для профилей конденсатов в случае слабого конфайнмента. Исследование предела сильного конфайн-мента, в котором компоненты имеют существенно различные радиусы локализации.

3. Результаты исследования вихревых решений в двухкомпонентном конденсате. Аналитическое выражение для отношения длин залечивания фотонного и экситонного бозе-конденсатов. Результаты расчетов профилей плотности фотонов и экситонов в поляритонном вихре.

4. Результаты исследования осцилляций относительной фазы двух связанных конденсатов. Аналитическое решение для случая постоянного числа частиц. Определение стационарных точек и частоты колебаний. Исследование затухающих колебаний относительной фазы в случае нерезонансной накачки и утечки частиц из полости. Выражения для коэффициента затухания, частоты колебаний, добротности колебаний плотности и относительной фазы. Поправки к частоте осцилляций за счет экситонного взаимодействия, накачки и утечки.

5. Результаты расчетов характеристик основного состояния экситона в однослойной и двухслойной нанотрубках в зависимости от радиуса стенок. Зависимость энергии возбужденных состояний экситона в однослойной нанотрубке от ее радиуса.

Основные результаты работы опубликованы в 13 статьях, из них: 6 статей в журналах, рекомендованных ВАК, и 5 статей — в трудах российских и международных конференций. Результаты работы представлены также в тезисах докладов российских и международных конференций.

Публикации.

В реферируемых журналах:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Возе-конденсация экситонных по-ляритонов в оптической микрополости, Физика твёрдого тела 50(8), 1496−1500 (2008).

2. М. Willander, Yu. Е. Lozovik, A. Wadeasa, О. Nur, A. G. Semenov, and N. S. Voronova, Light emission from different ZnO junctions and nanostructures, Phys. stat. sol. A 206, 853−859 (2009).

3. H. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. E. Лозовик, Бозе-конденсат экситонных поляритонов в ловушке, Письма в ЖЭТФ 93(10), 643 646 (2011).

4. A. Deinega, N. Voronova, Yu. Lozovik, Coulomb problem on singleand double-wall cylinders, J. Phys.: Condens. Matter 24, 255 301 (2012).

5. N. S. Voronova, A. A. Elistratov and Yu. E. Lozovik, Coupled condensates of excitons and photons in the trap, J. Nanophoton.-6(2), (2012).

6. N. S. Voronova and Yu. E. Lozovik, Excitons in cores of exciton-polariton vortices, Phys. Rev. В — принято к печати.

Труды и тезисы конференций:

1. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды научной сессии МИФИ — 2006, том 5, стр. 191−192 (2006).

2. H. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Труды VII-й Школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, с. 11−13 (2006).

3. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Экситон в нанотрубке, Материалы Международной научно-технической школы-конференции «Молодые ученые — 2006», МИРЭА, Часть 2, стр. 27−30 (2006).

4. Н. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсацйя поляритонов в оптической микрополости, Сборник трудов VIII-й научной школы молодых ученых ИБРАЭ РАН, Москва (2007).

5. H. С. Воронова, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсация поляритонов в оптической микрополости, Труды 50-й научной конференция МФТИ — Всероссийской молодёжной научной конференции «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (2007).

6. Н. С. Воронова, А. А. Елистратов, Ю. Е. Лозовик, Бозе-конденсиро-ванное состояние экситонных поляритонов в ловушке оптической микрополости, Материалы VII Международной научно-технической конференции МИРЭА INTERMATIC-2010, ч.1, стр. 7−12 (2010).

7. N. S. Voronova, A. A. Elistratov, and Yu. Е. Lozovik, Phase oscillations in exciton and photon subsystems ofpolariton condensate, ESF Polatom Network Conference «Cold Atoms, Excitons, Polaritons, Bose-Einstein condensates» Abstract Book, p. 39 (2012).

Заключение

.