Математические модели для описания волн на воде и их свойства
Диссертация
Первая глава посвящена выводу математических моделей, которые будут детально рассмотрены в последующих главах. С привлечением математического аппарата теории возмущений дан вывод классической модели Кортевега — де Вриза для описания волн на воде. Показано, что одномерная модель пятого порядка для описания волн на воде возникает в следующем после модели Кортевега — де Вриза нелинейном приближении… Читать ещё >
Список литературы
- Stokes G.G. On a difficulty in the theory of sound // Philosophical Magazine. Series 3. 1848. V. 33. P. 349−356.
- Riemann B. Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite // Abhandlungen der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. 1860. Bd. 8. S. 43−65.
- Russell J.S. Report on waves // Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science. York. September 1844. London. 1845. Plates XLVII-LVII. P. 311−390.
- Boussinesq J. Theorie de l’intumescence liquide appelee onde solitaire ou de translation se propageant dans un canal rectangulaire // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Paris. 1871. V. 72. P. 755−759.
- Strutt J. W. (Lord Rayleigh) On waves // Philosophical Magazine. Series 5.1876. V. 1. P. 257−279.
- Korteweg D.J., de Vries G. On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves // Philosophical Magazine. Series 5. 1895. V. 39. P. 422−443.
- Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Physical Review Letters. 1965. V. 15. P. 240−243.
- Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. Wiley-Interscience, New York, 1974. = Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. Москва, Мир. 1977. 622 с.
- Lamb G.L., Jr. Elements of soliton theory. John Wiley & Sons, New York, 1980. = Лэм Дж.Л. Введение в теорию солитонов. Могилев, Бибфизмат. 1997. 294 с.
- Benjamin Т.В. The solitary wave with surface tension // Quarterly of Applied Mathematics. 1982. V. 40. P. 231−234.
- Bona J.L., Smith R. A model for the two-way propagation of water waves in a channel // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1976. V. 79. P. 167−182.
- Olver P.L. Hamilton and non-Hamilton models for water waves // Lecture Notes in Physics. 1984. Springer-Verlag, New York. No. 195. P. 273−290.
- Березин Ю.А., Карпман В. И. О нелинейной эволюции возмущений в плазме и других диспергирующих средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1966. Т. 51. С. 1557.
- Карпман В.И. О структуре течения при двумерном обтекании тонкого тела в диспергирующей среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1967. Т. 52. С. 1657.
- Кадомцев Б.Б., Петвиашвили В. И. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах // Доклады Академии наук СССР. 1970. Т. 192. Вып. 4. С. 753−756.
- Dorfman I. Ya., Nijhoff F. W. On a (2+l)-dimensional version of the Krichever-Novikov equation // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 107−112.
- Konopelchenko B.G. On the gauge-invariant description of the evolution equations integrable by Gelfand-Dikij spectral problems // Physics Letters A. 1982. V. 92. P. 323−327.
- Kudryashov N.A., Soukharev M.В. The variable coefficient Kadomtsev — Petviashvili hierarchies and constraints to some equations // Препринт МИФИ 017−96. 1996.
- Переломов A.M. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. Москва, Наука. 1990. 240 с.
- Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Москва, Гостехиздат. 1941. 398 с.
- Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. Москва, Гостехиздат. 1953. 287 с.
- Kowalevski S. Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Mathematica. 1889. V. 12. P. 177−232.
- Kowalevski S. Sur une propriete du systeme d’equations differentielles qui definit la rotation d’un corps solide autour d’un point fixe // Acta Mathematica. 1890. V. 14. P. 81−93.
- Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l’integrale generale est uniforme // Bulletin de la Societe Mathematique de France. 1900. V. 28. P. 201−261.
- Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d’ordre superieur dont l’integrale generale est uniforme // Acta Mathematica. 1902. V. 25. P. 1−85.
- Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre a points critiques fixes // Comptes Rendus de l’Academie des Sciences Paris. 1906. V. 143. P. 1111−1117.
- Gambier B. Sur les equations differentielles du second ordre et du premier degre dont l’integrale generale est a points critiques fixes // Acta Mathematica. 1910. V. 33. P. 1−55.
- Ince E.L. Ordinary Differential Equations. London, New York. Longmans, Green and Co. 1926. = Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, ОНТИ НКТП Украины. 1939. 717 с.
- Conte R. The Painleve Approach to Nonlinear Ordinary Differential Equations // The Painleve Property. One Century Later / Ed. R.Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999.
- Громак В.И., Лукашевич Я. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. Минск, Университетское. 1990. 160 с.
- Ablowitz M.J., Ramani A., Segur Н. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. I // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 715−721.
- Ablowitz M.J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type. II // Journal of Mathematical Physics. 1980. V. 21. P. 1006−1015.
- Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 522−526.
- Fordy A.P., Pickering A. Analysing negative resonances in the Painleve test // Physics Letters A. 1991. V. 160. P. 347−354.
- Conte R., Fordy A.P., Pickering A. A perturbative Painlev<5 approach to nonlinear differential equations // Physica D. 1993. V. 69. P. 33−58.
- Weiss J. The Painleve property for partial differential equations. II. Backlund transformation, Lax pairs, and the Schwarzian derivative // Journal of Mathematical Physics. 1983. V. 24. P. 1405−1413.
- Estevez P.G., Gordoa P.R., Martinez Alonso L., Medina Reus E. Modified singular manifold expansion: application to the Boussinesq and Mikhailov — Shabat systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 1915−1925.
- Gordoa P.R., Estevez P. G. Double singular manifold method for MKdV equation // Теоретическая и математическая физика. 1994. T. 99. Вып. 3. С. 370−376.
- Musette M., Conte R. The two singular manifold method: I. Modified Korteveg-de Vries and the sine-Gordon equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1994. V. 27. P. 3895−3913.
- Conte R., Musette M., Pickering A. The two-singular manifold method: II. Classical Boussinesq system // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1995. V. 28. P. 179−187.
- Pickering A. The singular manifold method revisited // Journal of Mathematical Physics. 1996. V. 37. P. 1894−1927.
- Conte R. Invariant Painleve analysis of partial differential equations // Physics Letters A. 1989. V. 140. P. 383−390.
- Conte R. Unification of PDE and ODE versions of Painleve analysis into a single invariant version // Painleve Transcendents / Eds. D. Levi and P. Winternitz. Plenum Press, New York. 1992. P. 125−144.
- Conte R. Singularities of differential equations and integrability // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschle. Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette. 1994.
- Pickering A. A new truncation in the Painleve analysis // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. 4395−4405.
- Gardner C.S., Greene J.M., Kruskal M.D., Miura R.M. Method for solving the Korteveg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1967. V 19. P 10 951 097.
- Lax P.D. Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1968. V. 21. P. 467−490.
- Захаров В.Е., Шабат А. Б. Точная теория двумерной самофокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1971. Т. 61. С. 118−134
- Захаров В.Е., Шабат А. Б. О взаимодействии солитонов в устойчивой среде // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1973. Т. 64. С. 1627−1639.
- Ablowitz M.J., Каир D.J., Newell А.С., Segur Н. The inverse scattering transform — Fourier analysis for nonlinear problems // Studies in Applied Mathematics. 1974. V. 53. P. 249−315.
- Захаров B.E., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения. 1974. Т. 8. Вып. 3. С. 43−53.
- Flaschka Н., Newell А.С. Integrable Systems of Nonlinear Evolution Equations 11 Dynamical Systems, Theory and Application / Ed. J. Moser. Lecture Notes in Physics, Springer, Berlin, 1975. V. 38. P. 355−440.
- Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the inverse scattering transform. SIAM, Philadelphia. 1981. = Абловиц М. Д., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. Москва, Мир. 1988. 480 с.
- Гельфанд И.М., Левитан Б. М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Известия академии наук СССР. Серия математическая. 1951. Т. 15. № 4. С. 309−360.
- Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии по фазе рассеянных волн // Доклады академии наук СССР. 1955. Т. 104. С. 695−698.
- Hirota R. Exact solution of the Korteveg — de Vries equation for multiple collisions of solitons // Physal Review Letters. 1971. V. 27. P. 1192−1194.
- Hirota R. Direct Methods of Finding Exact Solutions of Nonlinear Evolution Equations // Backlund Transformations / Ed. R.M. Miura. Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin. 1976. V. 515. P. 40−68.
- Backlund A.V. Einiges uber Curven und Flachentrasformationen // Lund Universitets Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga amnen. 1875. V. 10.
- Backlund A. V. Om Ytor med konstant negativ Krokning // Lund Universitetes Arsskrift (Acta Universitatis Lundensis). Avdel 2. Medicin samt matematiska och naturvetenskapliga amnen. 1883. V. 19.
- Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Backlund transformation for solutions of the Korteweg — de Vries equation // Physical Review Letters. 1973. V. 31. P. 1386−1390.
- Wadati M., Sanuki H., Konno K. Relationships among inverse method, Backlund transformation and an infinite number of conservation laws // Progress of Theoretical Physics. 1975. V. 53. P. 419−436.
- Lamb G.L., Jr. Backlund transformations for certain nonlinear evolution equations // Journal of Mathematical Physics. 1974. V. 15. P. 2157−2165.
- Airault H., Mckean H.P., Moser J. Rational and elliptic solutions of the Korteweg — de Vries equation and a related many-body problem // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1977. V. 30. P. 94−148.
- Adler M., Moser J. On a class of polynomials connected with the Korteweg — de Vries equation // Communications in Mathematical Physics. 1978. V. 61. P. 1−30.
- Kudryashov N.A. Method for deriving rational solutions of some nonlinear evolution equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1997. V. 30. P. 5445−5453.
- Kudryashov N.A., Pickering A. Rational solutions for Schwarzian integrable hierarchies // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 9505−9518.
- Bluman G. W., Cole J.D. Similarity methods for differential equations. Springer, Berlin. 1974.
- Olver P.J., Rosenau P. The construction of special solutions to partial differential equations // Physics Letters A. 1986. V. 114. P. 107−112.
- Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // Journal of Mathematical Physics. 1989. V. 30. P. 2201−2213.
- Clarkson P.A. New similarity reductions and Painleve analysis for the symmetric regularised long wave and modified Benjamin — Bona — Mahoney equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 3821−3848.
- Ablowitz M.J., Zeppetella A. Explicit solutions of Fisher’s equation for a special wave speed // Bulletin of Mathematical Biology. 1979. V. 41. P. 835−840.
- Lambert F., Musette M. Solitary waves, padeons and solitons // Pade approximation and its applications / Ed. H. Werner and H.J. Biinger. Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Springer. 1984. V. 1071. P. 198−212.
- Hereman W., Korpel A., Banerjee P.P. A general physical approach to solitary wave construction from linear solutions // Wave Motion. 1985. V. 7. P.283−290.
- Hereman W., Takaoka M. Solitary wave solutions of nonlinear evolution and wave equations using a direct method and MACSYMA // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1990. V. 23. P. 4805−4822.
- Lan H., Wang К. Exact soliton solutions in ice-like structures // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 61−64.
- Conte R., Musette M. A simple method to obtain first integrals of dynamical systems // Solitons and chaos (Research reports in physics — nonlinear dynamics) / Ed. I.A. Antoniou, F.J. Lambert. Berlin, Springer. 1991. P. 125−128.
- Wang X. Y. Exact and explicit solitary wave solutions for the generalised Fisher equation // Physics Letters A. 1988. V. 131. P. 277−279.
- Conte R., Musette M. Link between solitary waves and projective Riccati equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 5609−5623.
- Землянухин A.M. Точное солитоноподобное решение нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. Вып. 2−3. С. 29−32.
- Jeffrey А., Хи S. Travelling wave solutions to certain non-linear evolution equations // International Journal of Nonlinear Mechanics. 1989. V. 24. P. 425−429.
- Kudryashov N.A. On types of nonlinear nonintegrable equation with exact solutions // Physics Letters A. 1991. V. 155. P. 269−275.
- Porubov A. V. Exact travelling wave solutions of nonlinear evolution equation of surface waves in a convecting fluid // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1993. V. 26. P. L797-L800.
- Кудряшов H.A. Точные решения нелинейных волновых уравнений, встречающихся в механике // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. С. 450−453.
- Conte R., Musette M. Painlevd analysis and Backlund transformation in the Kuramoto-Sivashinsky equation // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1989. V. 22. P. 169−177.
- Nozaki K. Hirota’s method and the singular manifold expansion // Journal of the Physical Society of Japan. 1987. V. 56. No. 9. P. 3052−3054.
- Cariello F., Tabor M. Painleve expansions for nonintegrable evolution equations // Physica D. 1989. V. 39. P. 77−94.
- Choudhury S.R. Painleve analysis and special solutions of two families of reaction-diffusion equations // Physics Letters A. 1991. V. 159. P. 311−317.
- Кудряшов Н.А. Преобразования Бэклунда для уравнения в частных производных четвёртого порядка с нелинейностью Бюргерса-КдФ // Доклады академии наук СССР. 1988. Т. 300. С. 342−345.
- Кудряшов Н.А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикладная математика и механика. 1988. Т. 52. С. 465−470.
- Кудряшов Н.А. Точные решения уравнения N-ro порядка с нелинейностью Бюргерса-Кортевега-де Фриза // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 6. С. 57−65.
- Кудряшов Н.А. Точные решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау // Математическое моделирование. 1989. Т. 1. Вып. 9. С. 151−158.
- Кудряшов Н.А. Метод разложений Пенлеве для неинтегрируемых нелинейных уравнений // Математическое моделирование. 1990. Т. 2. С. 102−116.
- Кудряшов Н.А. О точных решениях уравнений семейства Фишера // Теоретическая и математическая физика. 1993. Т. 94. Вып. 2. С. 296−306.
- Гордеев Ю.Н., Кудряшов Н. А. Уединенные волны в диссипативно-дисперсионных системах с неустойчивостью // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 2. С. 99−104.
- Бопдаренко А.Г., Кудряшов Н. А. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа при учете фазового перехода // Механика жидкости и газа. 1989. Вып. 3. С. 114−119.
- Kudryashov N.A. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Physics Letters A. 1990. V. 147. P. 287−291.
- Kudryashov N.A., Zargaryan E.D. Solitary waves in active-dissipative dispersive media // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1996. V. 29. P. 8067−8077.
- Otwinowski M., Paul. R., Laidlaw W.G. Exact travelling wave solutions of a class of nonlinear diffusion equations by reduction to a quadrature // Physics Letters A. 1988. V. 128. P. 483−487.
- Гудков В.В. Решения типа бегущей волны для двухкомпонентных систем реакции-диффузии // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1995. Т. 35. Вып. 4. С. 615−623.
- Lu Н., Wang М. Exact soliton solutions of some nonlinear physical models // Physics Letters A. 1999. V. 255. P. 249−252.
- Dai X., Dai J. Some solitary wave solutions for families of generalized higher order KdV equations 11 Physics Letters A. 1989. V. 142. P. 367−370.
- Huang G., Luo S., Dai X. Exact and explicit solitary wave solutions to a model equation for water waves // Physics Letters A. 1989. V. 139. P. 373−374.
- Lan H., Wang K. Exact solutions for some nonlinear equations // Physics Letters A. 1989. V. 137. P. 369−372.
- Кудряшов H.А., Сухарев M.Б. Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 884−894.
- Кричевер И.М., Новиков С. П. Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения // Успехи математических наук. 1980. Т. 35. Вып. 6. С. 47−68.
- Miura R.M. Korteweg — de Vries equation and generalizations, I. A remarkable explicit nonlinear transformation // Journal of Mathematical Physics. 1968. V. 9. P. 1202−1204.
- Kudryashov N.A. Singular manifold equations and exact solutions for some nonlinear partial differential equations // Physics Letters A. 1993. V. 182. P. 356−362.
- Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. I // Journal of Mathematical Physics. 1975. V. 16. P. 1−7.
- Estabrook F.B., Wahlquist H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations. II // Journal of Mathematical Physics. 1976. V. 17. P. 1293−1297.
- Konopelchenko B.G., Dubrovsky V.G. Inverse spectral transform for the modified Kadomtsev — Petviashvili equation // Studies in Applied Mathematics. 1992. V. 86. P. 219−268.
- Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques due calcul infinitesimal. Paris, Gauthier-Villars. 1894.
- Matveev V.B., Salle M.A. Darboux transformations and solitons // Springer series in nonlinear dynamics. Berlin, Springer. 1991.
- Lamb G.L., Jr. Propagation of ultrashort optical pulses // Physics Letters A. 1967. V. 25. P. 181−182.
- Hirota R. Direct methods in soliton theory // Solitons: topics in current physics / Eds. Bullough, R.K., Caudrey, P.J. Berlin, Springer-Verlag. 1980. V. 17. P. 157−176.
- Matsuno Y. Bilinear transformation method. New York, Academic Press. 1984.
- Kudryashov N.A., Suharev M.B. Backlund transformations for some nonlinear equations // Препринт МИФИ 011−95. 1995.
- Cheng Y., Li Y.-S. The constraints of the Kadomtsev — Petviashvili equation and its special solutions // Physics Letters A. 1991. V. 157. P. 22−26.
- Cheng Y, Li Y.-S. Constraints of the 2 + 1 dimensional integrable soliton systems // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1992. V. 25. P. 419−431.
- Chen H.H., Lee Y.C., Liu C.S. Integrability of nonlinear Hamiltonian systems by inverse scattering method // Physica Scripta. 1979. V. 20. P. 490−492.
- Kundu A. Landau — Lifshitz and higher-order nonlinear systems gauge generated from nonlinear Schrodinger-type equations / / Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 3433−3438.
- Musette M. Nonlinear partial differential equations // An introduction to methods of complex analysis and geometry for classical mechanics and nonlinear waves / Eds. D. Benest and C. Froeschle. Editions Frontieres, Gif-sur-Yvette. 1994.
- Kudryashov N.A. The first and second Painleve equations of higher order and some relations between them // Physics Letters A. 1997. V. 224. P. 353−360.
- Chazy J. Sur les equations differentielles du troisieme ordre et d’ordre superieur dont l’integrale generale a ses points critiques fixes // Acta Mathematica. 1911. V. 34. P. 317−385.
- Bureau F.J. Equations differentielles du second ordre en Y et du second degre en Y dont l’integrale generale est a points critiques fixes // Annali di Matematica pura ed applicata. 1972. V. 91. P. 163−281.
- Cosgrove C.M., Scoufis G. Painleve classification of a class of differential equations of the second order and second degree // Studies in Applied Mathematics. 1993. V. 88. P. 25−87.
- Bureau F.J. Differential equations with fixed critical points // Annali di Matematica pura ed applicata. 1964. V. 66. P. 1−116.
- Кудряшов H.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва, МИФИ. 2002. 304 с.
- Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. 2-е издание, исправленное и дополненное. Москва — Ижевск, Институт компьютерных исследований. 2003. 360 с.
- Kudryashov N.A., Soukharev M.В. Uniformization and transcendence of solutions for the first and second Painleve hierarchies // Physics Letters A. 1998. V. 237. P. 206−216.
- Kudryashov N.A. On new transcendents defined by nonlinear ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. L129-L137.
- Kudryashov N.A. Transcendents defined by nonlinear fourth-order ordinary differential equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1999. V. 32. P. 999−1013.
- Kudryashov N.A. Two hierarchies of ordinary differential equations and their properties // Physics Letters A. 1999. V. 252. P. 173−179.
- Кудряшов H.A. Нелинейные дифференциальные уравнения четвертого порядка с решениями в виде трансцендент // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. № 1. С. 72−87.
- Kudryashov N.A. Double Backlund transformations and special integrals for the KII hierarchy // Physics Letters A. 2000. V. 273. P. 194−202.
- Kudryashov N.A., Soukharev M.B. Discrete equations corresponding to fourth-order differential equations of the P2 and K2 hierarchies // ANZIAM Journal. 2002.V. 44. P. 149−160.
- Kudryashov N.A. One generalization of the second Painleve hierarchy // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 93−99.
- Kudryashov N.A. Fourth-order analogies to the Painleve equations // Journal of Physics A: Mathematical and General. 2002. V. 35. P. 4617−4632.
- Кудряшов H.A. О четвертой иерархии Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134. № 1. С. 101−109.
- Kudryashov N.A. Amalgamations of the Painleve equations // Journal of Mathematical Physics. 2003. V. 44. P. 6160−6178.
- Weiss J. On classes of integrable systems and the Painleve property // Journal of Mathematical Physics. 1984. V. 25. P. 13−24.
- Airault H. Rational solutions of Painleve equations // Studies in Applied Mathematics. 1979. V. 61. P. 31−53.
- Hone A.N.W. Non-autonomous Henon — Heiles systems // Physica D. 1998. V. 118. P. 1−16.
- Grammaticos В., Nijhoff F. W., Ramani A. Discrete Painleve equations // The Painleve property. One century later / Ed. R. Conte. CRM Series in Mathematical Physics. Springer, New York. 1999. P. 413−516.
- Magnus A.P. Painleve-type differential equations for the recurrence coefficients of semi-classical orthogonal polynomials // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1995. V. 57. P. 215−237.
- Gross D.J., Migdal A.A. Nonperturbative two-dimensional quantum gravity // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 127−130.
- Gross D.J., Migdal A.A. A nonperturbative treatment of two-dimensional quantum gravity // Nuclear Physics B. 1990. V. 340. P. 333−365.
- Nijhoff F. W., Papageorgiou V.G. Similarity reductions of integrable lattices and discrete analogues of the Painleve II equation // Physics Letters A. 1991. V. 153. P. 337−344.
- Quispel G.R.W., Roberts J.A.G., Thompson C.J. Integrable mappings and soliton equations // Physics Letters A. 1988. V. 126. P. 419−421.
- Brezin E., Kazakov V.A. Exactly solvable field theories of closed strings // Physics Letters B. 1990. V. 236. P. 144−150.
- Periwal V., Shevitz D. Unitary-matrix models as exactly solvable string theories // Physical Review Letters. 1990. V. 64. P. 1326−1329.
- Никифоров А.Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. Москва, Наука. 1978. 320 с.
- Fokas A.S., Grammaticos В., Ramani A. From continuous to discrete Painleve equations // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1993. V. 180. P. 342−360.
- Grammaticos В., Ramani A. Prom continuous Painleve IV to the asymmetric discrete Painleve I // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1998. V. 31. P. 5787−5798.
- Nijhoff F.W., Satsuma J., Kajiwara K., Grammaticos В., Ramani A. A study of the alternate discrete Painleve II equation // Inverse Problems. 1996. V. 12. P. 697−716.
- Grammaticos В., Ramani A. Discrete Painleve equations: derivation and properties 11 Application of Analytic and Geometric Methods to Nonlinear Differential Equations / Ed. P.A. Clarkson. NATO ASI Series C. Dordrecht, Kluwer. 1993. V. 413. P. 299−313.
- Громак В.И., Цегелъник В. В. О свойствах преобразований Бэклунда уравнений Пенлеве // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 8. С. 1018−1023.
- Цегелъник В.В. Аналитические свойства решений одного нелинейного уравнения Р-типа // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 10. С. 1434−1435.
- Кларксон П.А., Менсфилд Э. Л., Вебстер Х. Н. О соотношении между дискретными и непрерывными уравнениями Пенлеве // Теоретическая и математическая физика. 2000. Т. 122. № 1. С. 5−23.