Аппроксимация дифференциальных уравнений в банаховом пространстве

Теория разностных п проекционных методов решення дифференциальных уравнений в частных производных имеет глубокую историю. Достаточно упомянуть работу [111], в которой, по-видимому впервые, было серьезно обращено внимание на устойчивость и неустойчивость простейших разностных схем для одномерного дифференциального уравнения в частных производных. Основополагающими вехами в развитии теории разностных схем для решення дифференциальных уравнений в частных производных были достижения советской школы, широко представленные, например, в [8], [33], [47] - [49], [226]-[227]. Проекционные методы и методы конечных элементов усиленно развивались как у нас, так и за рубежом [38], [81], [144]. По-видимому, статья Троттера [247] стала одной из первых работ, где была явно сформулирована общая концепция, объединяющая конечно-разностные проекционные методы и метод конечных элементов. Эта философия нашла широкий отклик в исследованиях самых различных международных школ [4], [29], [81], [152] - [157], [236], [4G], [238] - [239], [249] - [253]. Тот факт, что дискретная задача в пределе должна перейти в исходную, выражается наличием отображений рп: Е —> Еп со свойством \Рп*\еп —> Н&'И/г Для любого х Е Е (см. [47]). Это так называемые связывающие отображения (иногда вводят в рассмотрение восстанавливающие отображения rn: Еп —" Е см., например, [81]). Определив дискретную сходимость элементов, приходят к естественному понятию дискретной сходимости (аппроксимации) операторов. Практически через 20 лет после работы [247] появляется статья [248], в которой делается отчаянная попытка прорваться в исследовании простейших разностных схем явный, неявный методы) на уровень Со-полугрупп операторов. К сожалению, Тегио и^Ы^та не смог избежать инертности алгебраических представлений и получил неприемлемое условие устойчивости для явного метода гп||А^|| = 0(1), п? Ш. Он не дотянулся до уровня использования тонких качественных свойств определяющих семейств, например таких, как аналитичность, позитивность, почти периодичность, которые отражают специфику конкретных практических задач.

Аппроксимация операторов, или точнее семейств операторов, базируется на информации о том, что мы имеем в наличии некоторые свойства (к примеру свойства гладкости) определяющих семейств, в качестве которых для нестационарных задач выступают С’о-полугруппы операторов и С’о-косинус оператор-функции.

Принято считать, что теория С’о-полугрупп операторов появилась в 1948 году, когда была опубликована знаменитая теорема Хнлле-Иосиды. Однако еще Джузеппе Пеано в 1887 году переписал систему линейных дифференциальных уравнений.

— «нМО +"12"2(?) Н——+ «ыигЛЧ +.

— = + «12²(0 +——Н (lnnUn.it) + в матричном виде = -4й (£) + /(?) и решил ее, используя обозначение е1Л = ?,^кАк/к, как й (г) = еми (0) + Г е{1-з)л!{8)(1з, I? Ш.

3о.

В то лее время, переход от конечномерного пространства к бесконечномерному является весьма не тривиальным. В результате была получена возможность вторгаться, например, в такие разделы математики, как дифференциальные уравнения в частных производных и численные методы в дифференциальных уравнениях. Итак, родоначальные работы Э. Хилле, Р. Филлппса, К. Иосиды, Н. Данфорда, М. Г. Крейна, С. Г. Крейна, Ю. Л. Далецкого, Дж. Годстейна и др. вызвали цепную реакцию публикаций по теории С’о-полугрупп операторов и их приложений. Мы отсылаем 6 читателя к обзорным работам [30], [273], [274], [275], библиография которых насчитывает сегодня тысячи наименований [276]. В нашей стране теория Со-полугрупп операторов до 1990 года интенсивно развивалась различными школами, см., например, [15], [18], [19], [29], [80]. К сожалению, после 1990 года работы в России резко пошли на убыль, в то время как за рубежом поток монографий начал стремительно нарастать [276].

Семейство Со-полугрупп операторов — определяющее семейство операторов для задачи Коши с уравнением первого порядка. Для уравнения второго порядка таким семейством явилась Со-косинус оператор-функция, введенная в обиход классической работой М. Совы [232] в 1966 году. Несмотря на кажущееся сходство свойств С’о-полугрупп операторов и Со-косинус оператор-функций, они имеют ряд принципиальных различий, что заставляет рассматривать их как существенно разные объекты.

В данной диссертации мы коснемся также теории возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств. Дело в том, что как определяющие семейства, так и семейства мультипликативных и аддитивных возмущений, имеют в популяционных моделях особую смысловую нагрузку, и их аппроксимация является весьма актуальной вычислительной задачей.

Пусть ехр (-Л) — С’о-полугруппа, заданная на банаховом пространстве Е. На практике часто возникает вопрос будет ли оператор, А + В также порождать С’о-полугруппу, если В? В (Е). Хорошо известно, что ответ на этот вопрос положителен [22]. Однако, уже в случае, когда В не является ограниченным, ответить на поставленный вопрос удается не всегда. Гораздо сложнее возникает ситуация, когда требуется выяснить является ли оператор А (1+В) инфинптезимальным генератором С’о-полугруппы при В 6 В (Е). Формально можно было бы написать А (1+В) = А+АВ, однако, это равенство, вообще говоря, не выполняется, т.к. В не обязан отображать Е в 0{А). Таким образом, аддитивные возмущения А—В сводятся к мультипликативным путем, А + В = А (1 + А~1 В) пли, А + В — (I + ВА~1)А, но мультипликативные возмущения не сводятся к аддитивным. Мультипликативные возмущения, вообще говоря, меняют область определения оператора 0{А) ф Б{А{1+В)), поэтому этот случай является особенно интересным с точки зрения приложений. В диссертации строится общая теория мультипликативных возмущений определяющих семейств. Все известные в литературе теоремы о возмущениях получаются как простые следствия из наших общих результатов. Заметим, что изучение мультипликативных возмущений требует введения понятия С’о-семейства мультипликативных возмущений. Доскональному изучению свойств этих семейств посвящены разделы 2.3−2.6 второй главы диссертации.

Численный анализ дифференциальных уравнений мы излагаем с точки зрения аппроксимации определяющих семейств. В основополагающих работах [8], [33], [47] - [49], численный анализ дифференциальных уравнений развивался, как правило, с использованием гильбертовостн исходного пространства Е. Теория определяющих семейств позволила провести численный анализ в общем банаховом пространстве и отказаться от свойства самосопряженности операторов. В данной диссертации разработана новая концепция аппроксимации эволюционных уравнений на основе теории определяющих семейств и общей дискретизационной схемы. Как будет показано, этот подход позволяет привлечь аппарат теории определяющих семейств, например, к решению практически важных задач аппроксимации дифференциальных уравнений в частных производных, задач управления, некорректных задач, полулинейных задач в общих банаховых пространствах и аппроксимации аттракторов. Кроме того, в случае полулинейных задач, используя свойство компактности определяющих семейств, удалось привлечь к аппроксимации теорию вращения векторных полей и принцип компактной аппроксимации по Г. Вайникко, что позволило получить теоремы сходимости. Абстрактная формализация свойства параболнчности дала возможность также достаточно полно исследовать вопросы устойчивости при аппроксимации дробями Падэ, используя теорию аналитических С’о-полугрупп. В частности, была решена проблема устойчивости диагональных аппроксимаций Падэ, стоявшая открытой более 40 лет.

Следует подчеркнуть, что полученные результаты во многих направлениях распространяются на более общие семейства операторов, например, как проинтегрированные полугруппы, так и С'-полугруппы. Возможны рассмотрения задач, когда производящий оператор, А имеет не плотную область определения D (A). Мы не касаемся здесь этих вопросов, но отметим, что разработанная техника не ограничивается рамками С’осемейств операторов.

Итак, сформулируем кратко цели работы-.

— построить общую теорию дискретпзационных методов эволюционных задач на уровне определяющих семейств операторов;

— исследовать свойства определяющих семейств и семейств возмущений;

— поскольку практические задачи как правило являются возмущением модельных, построить общую теорию возмущений определяющих семейств и аппроксимации возмущенных определяющих семейств;

— построить теорию разностных схем для аппроксимации определяющих семейств базируясь на свойствах аналитичности, компактности, положительности и почти периодичности определяющих семейств;

— установить дискретные неравенства коэрцнтнвности в пространствах L? n ([0,T]-?");

— построить теорию аппроксимации полулинейных задач, основываясь на принципе компактной аппроксимации операторов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, приложений и списка литературы. Работа изложена на 326 стр. и выполнена в пакете LATEX. Список основных работ автора по теме диссертации приведен в конце библиографии, начиная со стр. 321, и насчитывает более 40 работ.

1. Ашыралыев А. Корректная разрешимость разностных схем Падэ для параболических уравнений в пространствах Гельдера // Украинский мат. журнал. 1992. 44, № 11. 1466−1476.

2. Бакаев Н. Ю. Полугруппы операторов и дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Докл. АН СССР. 1981. 258, N 3. 521−525.

3. Бакаев Н. Ю. О решении обратной задачи Коши для уравнения с переменным оператором // Дифф. уравнения. 1987. 23. N.2. 339−341.

4. Бакаев Н. Ю. Теория устойчивости разностных схем в произвольных нормах // ДАН СССР. 1988. 298, N 4. 275−279.

5. Бакушинский А. Б. Разностные схемы для решения некорректных абстрактных задач Коши // Дифф. уравнения. 1971. 7, N 10. 1876−1885.

6. Бакушинский А. Б. Разностные методы решения некорректных задач Коши для эволюционных уравнений в комплексном В-пространстве // Дифф. уравнения. 1972. 8, N 9. 1661−1668.

7. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций // Мат. сб. 1984. 124.(166), № 1 (5). 68−95.

8. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

9. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: ТГУ, 1976.

10. Вайникко Г. М. Дискретно компактные последовательности // ЖВМ и МФ. 1074. 14, № 3. 572−583.

11. Гихман И. И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1982.

12. Голъдштейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения / Пер. под ред. Далецкого. Киев.: Выща школа, 1989.

13. Гулин А. В. Критерий устойчивости некоторых несамосопряженных трехслойных разностных схем // Диффер. Уравнения. 1980. 16, № 7. 1205−1210.

14. Гурова И. Н. Об одном топологическом методе исследования разностных схем // ДАН СССР. 1979. 248, № 1. 25−28.

15. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

16. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. М.: Из-во ин. лит., 1962.

17. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

18. Иванов В. В., Мельникова И. В., Филинков Ф. М. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

19. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций / Красносельский М. А. и др. М.: Наука, 1966.

20. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. Капитанский Л. В., Костин И. Н. Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимация // Алгебра и анализ. 1990. 2, Вып. 1. 114−140.

21. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

22. Корнев A.A. Аппроксимация аттракторов полудинамических систем // Матем. сборник. 2001. 192, № 10. 19−32.

23. Костин В. А. К решению одной проблемы, связанной с абстрактной косинус-функцией // ДАН. 1994. 336, № о. 564−567.

24. Костин В. А. Об аналитических полугруппах и сильно непрерывных косинус-функциях // ДАН СССР. 1989. 307, № 4. 796−799.

25. Костин В. А. К задаче Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Сб. Дифф. ур-я в частных производных. Новосибирск. 1989. 93. 93−116.

26. Костин В. А. К теореме Соломяка-Иосиды об аналитических полугруппах // Алгебра и анализ. 1999. 11, № 1. 91−106.

27. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы в нелинейном анализе. М.: Наука, 1975.

28. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967.

29. Крейн С. Г., Хазан М. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Итоги науки и техн. Сер. Мат. анализ. ВИНИТИ, 1983. 21. 130−264.

30. Jlammec Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения н его приложения. М.: Мир, 1970.

31. Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.298.

32. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.

33. Марчук Г. И., Шайдуров В. В. Повышение точности решений разностных схем. М.: Наука, 1979.

34. Мельникова И. В. Свойства (/-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши // Функциональный анализ и его приложения. 1997. 31, № 3. 23−34.

35. Мельникова И. В., Бочкарева С. В. С'-полугруппы и регуляризация некорректно поставленной задачи Коши // Докл. АН СССР. 1993. 329, № 3. 270−273.

36. Меры некомпактности и уплотняющие операторы / Ахмеров P.P. и др. Новосибирск: Наука, 1986.

37. Михлин С. Г. Погрешности аппроксимации квадратурных формул связанные с методом конечных элементов. Вестник Ленинградского унив. Математика, Механика и Астрономия. 1989. Вып. 4, 19 25.

38. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: МГУ, 1987.

39. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

40. Однопараметрические полугруппы / Клемент Ф. и др. М.: Мир, 1992.

41. Олвер Ф.

Введение

в асимптотические методы и специальные функции. Москва: Наука, 1978.

42. Прилепко А. И., Костят A.B. Оценка спектрального радиуса оператора и разрешимость обратных задач для эволюционных уравнений // Математические заметки. 1993. 53, № 1. 89−94.

43. Прилепко А. И., Тихонов И. В. Восстановление неоднородного члена в абстрактном эволюционном уравнении // Изв. РАН, Сер. Мат. 1994. 58, № 2. 167−188.

44. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.

45. Рябенький B.C., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехнздат, 1956.

46. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977.

47. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

48. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989.

49. Самарский A.A., Гулин A.B. Некоторые результаты и задачи в теории устойчивости разностных схем // Матем. сборник. 1976. 99, № 141. 299−330.

50. Самарский A.A., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.

51. Сердюкова С. И. Равномерная устойчивость по начальным данным шеститочечной симметричной схемы для уравнения теплопроводности // Жур. выч. матем. и матем. физики. 1964. 4. 212−216.

52. Соболевский П. Е. Неравенства коэрцитивности для абстрактных параболических уравнений // ДАН СССР. 1964. 157, № 1.

53. Соболевский П. Е. Коэрцитивная разрешимость разностных уравнений // Докл. АН СССР. 1971. 201. 1063−1066.

54. Соболевский П. Е. Теория полугрупп и устойчивость разностных схем. Теория операторов в функциональных пространствах (Труды школы, Новосибирск, 1975). Новосибирск: Наука, 1977. 304−337.300.

55. Соболевский П. Е., Хоанг ван Лай. Разностные схемы оптимального типа для приближенного решения параболических уравнений (банахов случай) // Укр. Мат. Ж. 1981. 33. 39−46.

56. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

57. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

58. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

59. Хилле Э., Филлипс П. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

60. Agase S.B. and Raghavendra V. Existence of milcl solutions of semilinear differential equations in Banach spaces // Indian J. Pure Appl. Math. 1990. 21, № 9. 813−821.

61. Ahues M. A class of strongly stable operator approximations // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1987. 28, N 4. 435−442.

62. Ahues M. and Hocine F. A note on spectral approximation of linear operations // Appl. Math. Lett. // 1994. 7, N 2. 63−66.

63. Ahues M. and Largillier A. Two numerical approximations for a class of weakly singular integral operators // Appl. Numer. Math. 1995, 17, N 4. 347−362.

64. Alonso-Mallo I. and Palencia C. On the convolution operators arising in the study of abstract IBVPs // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1996. 126 A. 515−539.

65. Amann H. Linear and quasilinear parabolic problems. Volume 1, Abstract linear theory. Monographs in Mathematics. Vol. 87, Birkhauser Verlag, 1995.

66. Amerio M., Prouse G. Almost-periodic functions and functional equations. N.Y. 1971.

67. Anselone P. M. Collectively compact operator approximation theory and applications to integral equations. Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1971. With an appendix by Joel Davis, Prentice-Hall Series in Automatic Computation.

68. Anselone P. M. and Palmer T. W. Spectral properties of collectively compact sets of linear operators //J. Math. Mecli. 1967/1968. 17. 853— 860.

69. Anselone P. M. and Treuden M. L. Regular operator approximation theory // Pacific J. Math. 1985. 120, N 2. 257−268.

70. Arandiga F. and Caselles V. Approximations of positive operators and continuity of the spectral radius. Ill // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1994. 57, N 3. 330−340.

71. Arandiga F. and Caselles V. On strongly stable approximations // Rev. Mat. Univ. Complut. Madrid. 1994. 7, N 2. 207−217.

72. Arendt W. Resolvent positive operators // Proc. London. Math. Soc. 1987. 54, N 3. 321−349.

73. Arendt W. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems // Isr. J. Math. 1987. 59, N 3. 327−352.

74. Arendt W., Batty C.J.K., Hieber M. and Neubrander F. Vector-valued Laplace transforms and Cauchy problems. Birkhauser Verlag, 2000.

75. Arendt W., El-Mennaoui O. and Keyantuo V. Local integrated semigroups: evolution with jumps of regularity // J. Math. Anal. Appl. 1994. 186, N 2. 572−595.

76. Arendt W., Pruss J. Vector valued Tauberian theorems and asymptotic behaviour of linear Volterra equations // SIAM. Appl. Math. 1992. 23. 412−448.

77. Arrieta J.M., Carvalho A.N. Neumann boundary value problems: Continuity of attractors relatively to domain perturbations // Cadernos de Matematica. 2002. 3. 265−284.

78. Arrieta J.M., Carvalho A.N. and Rodriguez-Bernal A. Attractors Parabolic problems whith Nonlinear Boundary Conditions: Uniform Bounds // Communications in Partial Differential Equations. 2000. 25, N 1−2. 1−37.

79. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-posedness of parabolic difference equations. Birkhauser Verlag, 1994.

80. Aubin J.-P. Approximation of elliptic boundary-value problems. Pure and Applied Mathematics, Vol. XXVI, Wiley-Interscience, New York-London-Sydney. 1972.

81. Autret L. Entire vectors and time reversible C’auchy problems // Semigroup Forum. 1993. 46. 347−351.

82. Azizov T. Ya., Barsukov A.I., Dijksma A. Decompositions of a Ivrein space in regular subspaces invariant under a uniformly bounded Co-semigroup of bicontractions // J. Funct. Anal. 2004. 211, N 2. 324−354.

83. Baillon J.B. Ceracter borne de certains generatours de semigroupes lineares dans les espaces de Banach // C.R.Acad. Sc. Paris. 1980. 290. 757−760.

84. Bouldin R. Operator approximations with stable eigenvalues // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1990. 49, N 2. 250−257.

85. Brenner P. and Thomee V. On rational approximations of semigroups 11 SI AM J. Numer. Anal. 1979. 16. 683−694.

86. Brenner P., Thomee V. and Wahlbin L.B. Besov spaces and applications to difference methods for initial value problems. Lecture Notes in Math., 434, Springer, Berlin, 1975.

87. Burrage K., Burrage P.M. High strong order explicit Runge-Kutta methods for stochastic ordinary differential equations // Applied Numer. Maths. 1996. 20. 1−21.

88. Butzer P.L., Berens H. Semigroups of operators and approximation. New York. 1967.

89. Butzer P.L., Dickmeis W., Hahn L. and Nessel R.J. Lax-type theorems and a unified approach to some limit theorems in probability theory with rates // Resultate Math. 1979. 2. 30−53.

90. Butzer P.L., Dickmeis W., Jansen Hu. and Nessel R.J.. Alternative forms with orders of the Lax equivalence theorem in Banach spaces // Computing. 1976/77. 17, N 4. 335−342.

91. Gaspers Wim, Clement Philippe Point interactions in LP j j Semigroup Forum. 1993. 46, N 2. 253−265.

92. Cerrai Sandra, Clement Philippe On a class of degenerate elliptic operators arising from Fleming-Viot processes. Dedicated to Ralph S. Phillips // J. Evol. Equ. 2001. 1, N 3. 243−276.

93. Chatelin F. Spectral approximation of linear operators. Computer Science and Applied Mathematics. Academic Press Inc. Harcourt Brace Jovanovich Publishers.] New-York, 1983. With a foreword by P. Henrici, With solutions to exercises by Mario Ahues.

94. Clement Ph., Timmermans C. A. On C’o-semigroups generated by differential operators satisfying Ventcel’s boundary conditions // Neclerl. Akad. Wetensch. Indag. Math. 1986. 48, N 4. 379−387.

95. Courant R., Friedrichs K., Lewy, H. Uber die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik // Math. Ann. 1928. 100. 32 -74.

96. Crank J., Nicholson P. A practical method for numerical integration of solution of partial differential equations of heat-conduction type // Proc. Cambridge Phil. Soc. 1947. 43. 50 67.

97. Crouzeix Michel. Operators with numerical range in a parabola // Arch. Math. (Basel) 2004. 82, N 6. 517−527.

98. Crouzeix Michel. Bounds for analytical functions of matrices // Integral Equations Operator Theory. 2004. 48, N 4. 461−477.

99. Cuthbert J.R. On semigroups such that T (t) — I is compact for some t > 0. // Z. Wars. 1971. 18, N 1−2. 9−16.

100. Dancer E. N. Upper and lower stability and index theory for positive mappings and applications // Nonlinear Anal. 1991. 17. 205−217.

101. Davies E.B. and Pang M. M. H. The Cauchy problem and a generalization of the HilleYosida theorem // Proc. London Math. Soc. (3)1987. 55, N 1. 181−208.

102. Desch W., Lasiecka I., Schappacher W. Feedback boundary control for linear semigroups // Israel Math. J. 1985. 51. 177−207.

103. Desch W., Schappacher W. Some generation results for perturbed semigroups / Trends in semigroups theory and appl. Ph. Clement et al. (Eds). Marcel Dekker. New-York. 1989. pp. 125−152.

104. Desch W., Schappacher W. A note on the comparision of Co-semigroups 11 Semigroup Forum. 1987. 35, N 2. 237−243.

105. Desch W., Schappacher W. Some perturbation results for analitic semigroups // Math. Ann. 1988. 284. 157−162.

106. Desch W., Schappacher W. On relatively bounded perturbations of linear Co-semigroups // Ann. Sci. Norm. Super. 1984. 7, N 2. 327−341.

107. Dickmeis W. and Nessel R.J. On uniform boundedness principles and Banach-Steinhaus theorems with rates // Numer. Funct. Anal. Optim. 1981. 3. 19−52.

108. Dickmeis W. and Nessel R. J. A unified approach to certain counterexamples in approximation theory in connection with a uniform boundedness principle with rates // J. Approx. Theory. 1981. 31. 161−174.

109. Diekmann O., Gyllenberg M. and Thieme H. Pertubing semigroups by solving Stieltjes renewal equations // Differential and integral equations. 1993. 6. 155−181.

110. Eberhard B., Greiner G. Baillon’s theorem on maximal regularity // Acta Appl. Math. 1992. 27. 47−54.

111. El-Mennaoni O., Keyantuo V. Trace theorems for holomorphic semigroups and the second order Cauchy problems // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124, N 5. 1445−1458.

112. Ethier S. N. and Kurtz T. G. Markov processes. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics: Probability and Mathematical Statistics. John Wiley Sz Sons Inc. New York, 1986. Characterization and convergence.

113. Fattorini H. O. Un teorema de perturbacion para generatores de func-tiones coseno // Revista de la Union Mathematica Argentina. 1971. 25. 199−211.

114. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces, I // J. Different. Equat. 1969. 5. N 1. 72−105.

115. Fattorini H.O. Ordinary differential equations in linear topological spaces, II // J. Different. Equat. 1969. 6. 50−70.

116. Fattorini H. 0. Uniformly bounded cosine functions in Hilbert spaces // Indiana Univ. Math. J. 1970. 20. 411−425.

117. Fattorini H.O. A note of franctional derivatives of semigroups and cosine functions // Pacif. J. Math. 1983. 109, N 2. 335−347.

118. Fattorini H.O. Second order linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam: North Holland, 1985.

119. Fattorini H.O. The Caucliy problem. Enciclopedia of Mathematics and its Application, Reading mass. e. a.: Addison Wesley, 1983.

120. Fujita H. and Mizutani A. On the finite element method for parabolic equations. I. Approximation of holomorphic semi-groups // J. Math. Soc. Japan. 1976. 28, N 4. 749−771.

121. Gavrilyuk I.P. and Makarov V.L. Exact and approximate solutions of some operator equations based on a Cayley transform // Linear Algebra and its Applications. 1998. 282. 97−121.

122. Gavrilyuk I.P. and Makarov V.L. Representation and approximation of the solution of an initial value problem for a first order differential equation in a Banach space // Z. Anal. Anwencl. 1996. 15. 495−527.

123. Giusti E. Funzioni coseno perioclische // Boll. Union. Mat.Ital. 1967. 22. 478−485.

124. Grimmer R., Pruss J. On linear Volterra equations in Banach spaces // Comp. Math, and Appl. 1985. 11. 189−205.

125. Goffman C., Pedrick G. First course in Functional Analysis. New Jersey, 1965.

126. Goldstein J. A. The universal addability problem for generators of cosine functions and operator groups // Houston J. Math. 1980. 6, N 3. 365−373.

127. Goldstein J.A., Radin C., Schowalter R.E. Convergence rates of ergoclic limits for semigroups and cosine functions // Semigroup Forum. 1978. 16. 89−95.

128. Grigorieff R.D. Zur Theorie linearer approximationsregularer Operatoren. III // Math. Nachr. 1973. 55. 233−249.

129. Grigorieff R. D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. I. Qualitative Konvergenz // Numer. Math. 1975. 24. N 4. 355−374.

130. Grigorieff R.D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. II. Konvergenzordnung //. Numer. Math. 1975. 24, N 5. 415−433.

131. Grigorieff R. D. Uber diskrete Approximationen nichtlinearer Gleichungen 1. Art. // Math. Nachr. 1975. 69. 253−272.

132. Grigorieff R. D. Diskrete Approximation von Eigenwertproblemen. III. Asymptotische Entwicklungen // Numer. Math. 1975/76. 25, N 1. 79−97.

133. Grigorieff R.D. Zur Charakterisierung linearer approximationsregularer Operatoren / Mathematical papers given on the occasion of Ernst Mohr’s 75th birthday, pp. 63−77. Tech. Univ. Berlin, Berlin, 1985.

134. Grigorieff R.D. and Jeggle H. Approximation von Eigenwertproblemen bei nichlinearer Parameterabhangigkeit // Manuscripta Math. 1973. 10. 245−271.

135. Guidetti D. The parabolic mixed Cauchy-Dirichlet problem in spaces of functions which are Holder continuous with respect to space variables // Atti Accad. Naz. Lincei CI. Sei. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 1996. 7, N 3. 161−168.

136. Guo B.Z. On the exponential stability of Co-semigroups on Banach spaces with compact perturbations // Semigroup Forum. 1999. 59, N 2. 190−196.

137. Hersh R. Explicit solutions of a class of hihger order abstract Cauchy problem //J. Different. Equat. 1970. 8, N 3. 570−579.

138. Hersh R. and Kato T. High-accuracy stable difference schemes for well-posed initial value problems // SIAM J. Numer. Anal. 1979. 16, N 4. 670−682.

139. Hess P. Periodic-parabolic boundary value problems and positivity.1.ngman Scientific & Technical, Harlow, 1991.

140. Hieber M. Integrated semigroups and differential operators on LP (IRN)-spaces // Math. Ann. 1991. 291. 1−16.

141. Honig C.S. Volterra Stiltjes-Integral Equations. Amsterdam: NorthHolland, 1975.

142. Hoppe R. H. W. A constructive approach to the Bellman semigroup // Nonlinear Anal. 1985. 9, N 11. 1165−1181.

143. Hormander L. Estimates for translation invariant operators in Lp spaces 11 Acta Math. 1960. 104. 93−140.

144. Jung Chan Chang, Shaw S.-Y. Perturbation theory of abstract Cauchy problems and Volterra equations // Nonlin. Anal. Theory Meth. and Appl. 1997. 30, N 6. 3521−3528.

145. Kalton N.J. and Lancien G. A solution to the problem of ZAmaximal regularity // Math. Z. 2000. 235, N 3. 559−568.

146. Kalton N. and Weis L. The H00 calculus and sums of closed operators 11 Math. Ann. 2001. 231, N 2. 319−345.

147. Karatzas I., Shreve S.E. Brownian motion and stochastic calculus. Berlin: Springer-Verlag, 1991. Graduate texts in Mathematics, 113.

148. Keyantuo V. The Laplace transform and the ascent method for abstract wave equations //J. Diff. Equations. 1995. 122. 27−47.

149. Keyantuo V. Intagrated semigroups and related partial differential equations // J. Math. Anal. Appl.// 1997. 212. 135−153.

150. Krendel U., Lin M. On the range of the generator of Markovian semigroup // Math. Z. 1984. 185. 553−565.

151. Kurepa S. A cosine functional eqation in Hilbert space // Can. J. Math. 1960. 12. 45−49.

152. Kurepa S. A cosine functional equation in Banach algebras // Acta. Sci. Math. Szeged. 1962. 23. 255−267.

153. Kurepa S. Semigroups and cosine functions // Func. Anal. Lect. Notes Math. 1982. 948. 47−72.

154. Kurtz T.G. A general theorem on the convergence of operator semigroups 11 Trans. Amer. Math. Soc. 1970. 148. 23−32.

155. Largillier A. A numerical quadrature for some weakly singular integral operators // Appl. Math. Lett. 1995. 8, N 1. 11−14.

156. Lax P.D. and Richtmyer R.D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math. 1956. 9. 267−293.

157. Le Merdy Ch. The semilarity problem for bounded analytic semigroups on Hilbert space // Semigroup Forum. 1998. 56. 205−224.

158. Le Merdy Ch. Counterexamples on Lp-maximal regularity // Math. Z. 1999. 230. 47−62.

159. Li Y.-C., Shaw S.-Y. Integrated C'-cosine functions and the abstract Cauchy problem // 1991, preprint.

160. Liang Jin, Xiao Tijun. Norm continuity (for t > 0) of propagators of arbitary order abstract differential equations in Hilbert spaces // Journal of Math. Anal, and Appl.- 1996 .- 204 .- p.124−137.

161. Linden H. Starke Konvergenz im verallgemeinerten Sinne und Spektra // Math. Z. 1975. 134. 205−213.

162. Linden H. Uber die Stabilitat von Eigenwerten // Math. Ann. 1973. 203. 215−220.

163. Lizama C. A characterization of periodic resolvent operators // Results in Math. 1990. 18. 93−105.

164. Lizama C. On positivity strongly continuous cosine functions // Math. Balcanica. 1990. 4. 43−49.

165. Lizama C. Uniform continuity and compactness for resolvent families of operators / Seminar Notes in Func. Anal, and Partial Diff. Equations, Baton Rouge, USA. 1992;1993. 29−43.

166. Lubich Christian. On dynamics and bifurcations of nonlinear evolution equations under numerical discretization. (English. English summary) /313Ergodic theory, analysis, and efficient simulation of dynamical systems, 469−500, Springer. Berlin, 2001.

167. Lunardi A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, volume 16 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhauser Verlag. Basel. 1995.

168. Luo Z.H., Guo B.Z. and Morgul 0. Stability and Stabilization of Infinite Dimensional Systems with Applications. London-Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1999.

169. Lutz D. Compactness properties of operator cosine functions // C. r. math. Rept. Acad. sci. Canada. 1980. 2. 277−280.

170. Lutz D. Periodische operatorwertige cosinusfunktionen // Result. Math. 1981. 4, N 1. 75−83.

171. Lutz D. Strongly continuous operator cosine functions // Functional Analysis, Lect. Notes Math. 1982. 948. 73−97.

172. Melnikova I. V. Well-posedness of differential-operator problems. I. The Cauchy problem in spaces of distributions // J. Math. Sci. (New York). 1999. 93, N 1. 1−21. Functional analysis, 2.

173. Jr. Mills, W. H. The resolvent stability condition for spectra convergence with application to the finite element approximation of noncompact operators // SI AM J. Numer. Anal. 1979. 16. 695−703.

174. Miyadera I. A generalization of the Hille-Yosida theorem // Proc. Jap. Acacl. 1988. 64, Ser. A., N 7. 223−226.

175. Nair M. T. On strongly stable approximations // J. Austral. Math. Soc. Ser. A 1992. 52, N 2. 251−260.

176. Nagel R. et all. One parameter semigroups of positive operators // Lect. Notes in Math. 1986. N 1184.

177. Nagy B. Approximation theorems for cosine operator functions // Acta math. Acad, sci Hung. 1977. 29, N 1−2. 69−76.

178. Nagy B. Cosine operator functions and the abstract Cauchy problem // Period. Math. Hung. 1976. 7, N 3−4. 213−217.

179. Nagy B. On cosine operator functions in Banach spaces // Acta sci. math. 1974. 36, N 3−4. 281−289.

180. Nagy B. On the generation of cosine operator functions // Pubis, math. 1974. 21, N 1−2. 151−154.

181. Neubrander F. On the relation between the semigroup and its infinitesimal generator // Proc. Amer. Math. Soc. 1987. 100, N 1. 104−108.

182. Nguyen Thanh Lan. On the mild solutions of higher-order differential equations in Banach spaces // Abstr. Appl. Anal. 2003. N 15. 865−880.

183. Nguyen Thanh Lan. On nonautonomous second-order differential equations on Banach space // Int. J. Math. Math. Sci. 2001. 26, N 1. 45−54.

184. Oka H. A class of complete second order linear differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124, N 10, 3143−3150.

185. Paguet, Luc Semi-groupes generalises, semi-groupes et operateurs paraboliques // (French) C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 286. 1978, N 11 A507-A510.

186. Paquet, Luc Equations d’evolution pour operateurs locaux et equations aux derivees partielles // (French) C. R. Acad. Sci. Paris Ser. A-B 286. 1978, N 4. A215-A218.

187. Palencia C. A stability result for sectorial operators in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. 1993. 30, N 5. 1373−1384.

188. Palencia C. On the stability of variable stepsize rational approximations of holomorphic semigroups // Math. Comp. 1994. 62, N 205. 93−103.

189. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New-York: Springer-Verlag, 1983.

190. Phillips R.S. Perturbation theory for semigroups of linear operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. 74. 199−221.

191. Prilepko A.I., Orlovsky D.G. and Vasin I.A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. Pure and Applied Mathematics, Marcel Dekker. 231. New York, NY: Marcel Dekker. 2000.

192. Pruss J. Positivity and regularity of hyperbolic Volterra equations in Banach spaces // Math. Ann. 1987. 279. 317−344.

193. Rao B.P. Uniform stabilization of a hybrid system of elasticity / / SI AM J. Control & Optim. 1995. 33. 440−445.

194. Robinson D. W. The approximation of flows // J. Func. Anal. 1977. 24. 280−290.

195. Russell D.L. Controllability and stabilizability theory for linear partial differential equations: recent progress and open questions. SIAM Review. 1978. 20. 639−739.

196. Saff E. B., Schonhage A., and Varga R. S. Geometric convergence to e~z by rational functions with real poles // Numer. Math. 1975/76. 25, N 3. 307−322.

197. Saff E. B. and Varga R. S. On the zeros and poles of Pade approximants to e3 // Numer. Math. 1975/76. 25, N 1. 1−14.

198. Samarskii Alexander A., Gavrilyuk Ivan P., Makarov Vladimir L. Stability and regularization of three-level difference schemes with unbounded operator coefficients in Banach spaces // SIAM J. Numer. Anal. 2001. 39, N 2. 708−723.

199. Samarskii A. A., Matus P. P., Vabishchevich P. N. Difference schemes with operator factors. Mathematics and its Applications, 546. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2002.

200. Stummel F. Diskrete Konvergenz linearer Operatoren. Ill // Linear operators and approximation (Proc. Conf., Oberwolfach, 1971), pages 196−216. Internat. Ser. Numer. Math., Vol. 20. Birkhauser, Basel, 1972.

201. Tanaka N. and Okazawa N. Local C-semigroups and local integrated semigroups // Proc. London Math. Soc. (3). 1990. 61, N 1. 63−90.

202. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Springer, Berlin, 1997.

203. Thomee V. Galerkin finite element methods for parabolic problems. Lecture Notes in Math., 1054, Springer, Berlin, 1984.

204. Travis C. C. Differentiability of weak solutions to an abstract inhomoge-nious differential equation // Proc. Amer. Math. Soc. 1981. 82. 425−430.

205. Travis C.C., Webb G.F. Second order differential equations in Banach space // Nonlin. Equat. in abstract space. 1978. 331−361.

206. Travis C.C., Webb G.F. Compactness, regularity and uniform continuity properties of strongly continuous cosine families // Houston J. Math. 1977. 3, N 4. 555−567.

207. Travis C. C., Webb G. F. Cosine families and abstract non-linear second order differential equations // Acta math. Acad. Sci. hung. 1978. 32, N 3- 4. 75−96.

208. Travis C. C., Webb G. F. Perturbation of strongly continuous cosine family generators // Colloq. math. 1981. 45, N 2. 277−285.

209. Triggiani R. Lack of uniform stabilization for noncontractive semigroups under compact perturbation // Proc. Amer. Math. Soc. 1989. 105. 375 383.

210. Triggiani R. On the stabilizability problem in Banach space // J. Math. Anal. Appl. 1975. 52. 383−403.

211. Trotter H. Approximation of semigroups of operatiors // Pacific J. Math. 1958. 8. 887−919.

212. Ushijima T. Approximation theory for semigroups of linear operators and its appliations to approximations of wave equations // Japan J. Math. 1975. 1, N 1. 185−224;

213. Vainikko G. Uber die Konvergenz und Divergenz von Naherungsmethoden bei Eigenwertproblemen // Math. Nachr. 1977. 78. 145−164.

214. Vainikko G. Uber Konvergenzbegriffe fur lineare Operatoren in der numerischen Mathematik // Math. Nachr. 1977. 78. 165−183.

215. Vainikko G. Funktionalanalysis der Diskretisierungsmethoden. Leipzig. B. G. Teubner Verlag, 1976. Mit Englischen und Russischen Zusammenfassungen, Teubner-Texte zur Mathematik.

216. Vainikko G. Approximative methods for nonlinear equations (two. approaches to the convergence problem) // Nonlinear Anal. 1978. 2. 647 687.

217. Vainikko G. Foundations of finite difference method for eigenvalue problems // The use of finite element method and finite difference method in geophysics (Proc. Summer School, Liblice, 1977), pages 173−192. Cesk. Akad. Ved, Prague, 1978.

218. Vidav I. Spectral of perturbed semigroups with applications to transport theory // J. Math. Anal. Appl. 1970. 30. 264−279.

219. Voigt J. On the convex compactness property for the strong operator topology // Note Mat. 1992. 12. 259−269. Dedicated to the memory of Professor Gottfried Ivothe.

220. Watanabe M. A new proof of the generation theorem of cosine families in Banach spaces // Houston J. Math. 1984. 10, N 2. 285−290.

221. Watanabe M. A perturbation theory for abstract evolution equations of second order // Proc. Jap. Acad. 1982. 58. 143−146.

222. Watanabe M. Cosine families of operators and applications // Different. Equat. in Banach spaces: Lect. Notes Math. 1986. N 1223. 278−292.

223. Webb G.F. An operator-theoretic formulation of asynchronic exponential grouth // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. 303. 751−763.

224. Webb G.F. Compactness of bounded trajectories of dynamic systems in infinite dimensional systems // Proc. of the Royal Soc. of Edinburg. 1979. 84A. 19−33.

225. Weis L. A new approach to maximal Lp regularity / Proc. of the 6th Internat. Conf. on Evolution Equations. Marcel Dekker, 2001. Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 215. 195−214.

226. Weis L. Operator-valued multiplier theorems and maximal Lp regularity // Mathematische Annalen. 2001. 319. 735−758.

227. Weis L. and Wrobel V. Asymptotic behavior of Co-semigroups in Banach spaces // Proc. Amer. Math. Soc. 1996. 124, N 12. 3663−3671.

228. Wolf R. Uber lineare approximationsregulare Operatoren // Math. Nachr. 1974. 59. 325−341.

229. Xiao Т., Liang J. Analyticity of the propagators of second order linear differential equations in Banach spaces // Semigroups Forum. 1992. 44. 356−363.

230. Xiao Т., Liang J. Entire solutions of higher order abstract Cauchy problems // J. Math. Anal, and Appl. 1997. 208. 298−310.

231. Xiao Т., Liang J. Differential operators and C-welposedness of complete second order abstract Cauchy problems // Pacific J. Math. 1998. 186, N 1. 167−200.

232. Zheng Q. and Lei Y. S. Exponentially bounded C-semigroup and integrated semigroup with nondensely defined generators. I. Approximation 11 Acta Math. Sci. (English Ed.) 1993. 13, N 3. 251−260.

233. Вайникко Г., Пискарев С. И. Регулярно согласованные операторы // Изв. ВУЗов. Мат. 1977. № 10. 25−36.

234. Васильев В. В., Крейн С. Г., Пискарев С. И. Полугруппы операторов, косинус-операторные функции и линейные дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Мат. Анализ / ВИНИТИ. 1990. 28. 87−202.

235. Васильев В. В., Пискарев С. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория полугрупп операторов. Москва. Издательство МГУ, 1996.

236. Васильев В. В., Пискарев С. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Теория косинус оператор-функции / Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ. Journal of Math. Science. 2004. Vol. 122, № 2. 3055 3174.

237. Пискарев С. И. Аппроксимация голоморфных полугрупп // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1979. № 492. 3−14.

238. Пискарев С. И. Дискретизация абстрактного гиперболического уравнения // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1979. № 500. 3−23.

239. Пискарев С. И. Оценки погрешности аппроксимации полугрупп операторов дробями Падэ // Изв. ВУЗов. Мат. 1979. № 4. 33−38.

240. Пискарев С. И. Компактная сходимость при аппроксимации дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Уч. зап. Тартус. ун-та. 1982. № 633. 11−18.

241. Пискарев С. И. Периодические и почти периодические косинус оператор-функции // Мат. сб. 1982. 118, JNs 3. 386−398.

242. Пискарев С. И. Почти периодические решения дифференциальных уравнений второго порядка // Сиб. Мат. Ж. 1984. 25, № 3. 137−147.

243. Пискарев С. И. Устойчивость разностных схем в задачах Коши с почти периодическими решениями // Дифференц. уравнения. 1984. 20, № 4. 689−695.

244. Пискарев С. И. Оценки скорости сходимости решения некорректных задач для эволюционных уравнений // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1987. 51, № 3. 676−687.

245. Пискарев С. И. Сходимость разностных схем решения нелинейных параболических уравнений // Мат. заметки. 1988. 44, № 1. 112−123.

246. Пискарев С. И. Метод повышения точности решения задач Коши в банаховом пространстве // Ж. вычисл. мат. и мат. физ. 1988. 28, № 6. 211−212.

247. Пискарев С. И. Аппроксимация положительных Co-полугрупп операторов // Дифференц. уравнения. 1991. 27, № 7. 1245−1250.

248. Пискарев С. И. Свойства компактности в теории косинус оператор-функций // Мат. заметки. 1992. 51, № 5. 151−153.

249. Пискарев С. И. Об аппроксимации возмущенных Co-полугрупп // Дифференц. уравнения. 1994. 30, N°. 2. 339−341.

250. Пискарев С. И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве и их аппроксимация. Москва: Издательство МГУ, 2005.

251. Ashyralyev A., Piskarev S. and Weis L. On well-posedness of difference schemes for abstract parabolic equations in, T]E) spaces // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2002. 23, N 7 & 8. 669 693.

252. Bobylev N. A., Kim J. K., Korovin S. K., Piskarev S. Semidiscrete approximations of semilinear periodic problems in Banach spaces // Nonlinear Anal. 1998. 33, N 5. 473−482.

253. Burrage K., Piskarev S. Stochastic methods for ill-posed problems // BIT. 2000. 40, N 2. 226−240.

254. Carvalho A. N., Piskarev S. A general approximation scheme for attrac-tors of abstract parabolic problems // Cadernos de Matematica. 2004. 5, N 1. 71−120. Доступна также в интернетеhttp: //www.icmc.sc.usp.br/ anclcarva/cadernos/tcvol5.1.html.

255. Chang D.-K., Shaw S.~Y., Piskarev S. On maximal regularity and semivariation of cosine operator functions //J. London Math. Soc. II. 1999. 59, N 3. 1023−1032.

256. Ergens Т., Karasozen В., Piskarev S. Approximation for semilinear Cauchy problems involving second order equations in separable Banach spaces // Nonlin. Anal. 1997. 28. 1157−1165.

257. Guidetti D., Karasozen B. and Piskarev S. Approximation of abstract differential equations / Итоги науки и техники, М.: ВИНИТИ. Journal of Math. Science. 2004. Vol. 122, № 2. 3013 3054.

258. Guidetti D. and Piskarev S. Stability of Rothe’s scheme and maximal regularity for parabolic equations in C9(Г2) // Progress in partial differential equations, Vol. 1 (Pont-a-Mousson, 1997), C. 167−180. Longman, Harlow, 1998.

259. Guidetti D. and Piskarev S. On real interpolation, finite differencies and estimats depending on a parameter for discretizations of elliptic boundary value problems // Abstract and Applied Analysis. 2003. N 18. 1005 -1035.

260. Guidetti Davide, Piskarev Sergei Stability of the Crank-Nicolson scheme and maximal regularity for parabolic equations in Ce (Q) spaces // Nu-mer. Funct. Anal. Optim. 1999. 20, N 3−4. 251−277.

261. Jefferies B. and Piskarev S. Tauberian theorems for Co-semigroups // Supplemento ai Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, Ser II. 2002. Num. 68. 513−521.

262. Jefferies В., Piskarev S. Tauberian theorems for cosine operator functions // Труды математического института им. В. А. Стеклова. 2002. 236. 474 480.

263. Li Miao, Guo B.-Z. and Piskarev S. Compactness and norm continuity of the difference of two cosine functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2003. 7, N 4. 575−589.

264. Kantorovitz S., Piskarev S. Mean stability of semigroups and cosine operator functions // Taiwaness Journal of Mathematics. 2002. 6, N 1. 89 103.

265. Palencia C., Piskarev S. On the Multiplicative perturbations of Co-groups and Co-cosine operator functions // Semigroup Forum. 2001. 63, N 2. 127−152.

266. Piskarev S. Rational approximations of analytic semigroups // Evolution equations, control theory and biomathematics (Han Sur Lesse, 1991). Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 1994. 155. 467−471.

267. Piskarev S., Shaw S.-Y. On certain operator families related to cosine operator functions // Taiwanese J. Math. 1997. 1. 527−546.

268. Piskarev S., Shaw S.-Y. Perturbation and comparision of cosine operator functions // Semigroup Forum. 1995. 51. 225−246.

269. Piskarev S., Shaw S.-Y. Perturbation of cosine operator functions by step response and cumulative output / Proceedings of the conference on evolution equations. University of Strathclyde, July, 25−29, 1994.325.

270. Piskarev S., Shaw S.-Y. On some properties of step responses and curing lative outputs // Chinese J. Math. 1994. 22, N 4. 321−336.

271. Piskarev S., Shaw S.-Y. Multiplicative perturbations of Co-seinigroups and some applications to step responses and cumulative outputs // J. Func. Anal. 1995. 128, N 2. 315−340.