Математические модели процесса теплообмена со свободными границами с использованием спектральных представлений

Аналитический подход при решении краевых задач теплообмена в* системах с фазовым переходом и со свободными границами относится к числу труднейших проблем в современной аналитической теории математической физики, и эти проблемы нуждаются, во всесторонних и глубоких теоретических исследованиях. Вследствие зависимости положения характеристического раздела области от времени к этому классу задач неприменимы классические методы дифференциальных уравнений математической физики. Так, например, оставаясь в рамках этих методов, не удается совместить решения уравнения теплопроводности с движением свободной границы. Предлагаемые диссертационные исследования являются продолжением теоретических, исследований, посвященных изложенным проблемам современной аналитической теории математической физики.

В работе изучаются одномерная двухфазная"задача Стефана с границами, перемещающимися по идентичному закону (с точностью до постоянного множителя), и двумерная однофазная задача Стефана. Задачи преобразуются к области с неподвижными границами с неоднородной правой частью и переменными коэффициентами в исходном уравнении, но с однородными краевыми условиями, и далее, для решения преобразованных задач строится конечное интегральное преобразование по каждой пространственной координате с неизвестным ядром, нахождение которого связано с постановкой и решением соответствующей спектральной задачипричем собственные функции выражаются через вырожденные гипергеометрические функции (ВГГФ), а собственные числа в зависимости от величины введенного безразмерного параметра находятся тремя различными способами, два из которых асимптотические, а два — сочетаются с численными методами. При слишком больших значениях названного параметра асимптотика может быть использована повторно. Новый подход в развитии интегральных преобразований в конечном счете приводит к получению формулы обращения, что позволяет выписать приближенно-аналитическое решение задачи.

Актуальность. Краевые задачи для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях являются предметом необозримого числа исследований, охватывая все новые содержательные математические объекты и все большее число самых разнообразных приложений. Наличие движущихся границ вносит серьёзные трудности в попытках получить аналитические решения такого рода задач, и поиск подходов для этих целей продолжается, и более того, находится в самом начале этого пути. В этом смысле тема диссертационного исследования является актуальной по существу.

Многие задачи теплообмена, широко используемые* в гидромеханике, физике, технике, химической технологии и др. связаны с процессами затвердевания или плавления. Исследования таких задач принимают всё более неоценимое значение во многих отраслях народного хозяйствамашиностроительной, автомобильной, авиационной промышленностив развитии сырьевой базы металлургической, топливной, химической промышленностипри сооружении гидроэлектростанции, метрополитенов, баз и хранилищ различного назначения. Проблема совершенствования технологических процессов в данных отраслях промышленности неизбежно приводит к задачам интенсификации процессов механической обработки материалов, а это требует выявления влияния режимных, технологических и конструктивных факторов на тепловое состояние изделий. Например, для повышение надежности и безопасности функционирования летательных аппаратов необходима информация о внутреннем температурном режиме вдоль всего ланжерона с учетом фазового переход, происходящего в период изготовления изделия, поэтому роль теоретических исследований в этой области очень велика.

Строительство многих подземных объектов осуществляется в сложных метеорологических и гидрогеологических условиях. Это связано с тем, что работы ведутся в водоносных грунтах в районах Крайнего Севера и Антарктиды, и проведения строительства осложняется процессами промерзания и оттаивания грунта. Успешное проведение этих работ невозможно без понимания Тепловы процессов, происходящих в зоне вечной мерзлоты. Поэтому задача построения температурных полей для таких процессов весьма актуальна и имеет большое практическое значение.

Цель работы. Целью диссертационной работы является построение и исследование математической модели, адекватно описывающей процессы нестационарного теплообмена с фазовым переходом.

Поставленная цель достигается в результате решения следующих задач:

1. Получение приближенно-аналитического решения изучаемых задач нестационарного теплообмена с фазовым переходом.

2. Доведение полученного приближенно-аналитического решения до компактных вычислительных формул с хорошо сходящимися рядами с помощью функциональных и рекуррентных соотношений и асимптотических представлений для* вырожденных гипергеометрических функций.

3. Оценка сходимости алгоритма численного расчета.

Научная новизна.

1. Предложена новая математическая модель процесса нестационарного теплообмена с фазовым переходом со специальными начальными условиями в постановке задачи, обеспечивающими возможность применения интегральных преобразований.

2. Впервые получено приближенно-аналитическое решение одномерной и двухмерной задач Стефана в неавтомодельных постановках методом разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора с доведением до числовых результатов для одномерной задачи.

3. Развита теория интегральных преобразований на основе вырожденных гипергеометрических функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретическийинтерес для специалистов^ занимающихся в областях моделирования, процессов, связанных с. фазовыми переходами.- Они могут быть использованы, прирешении соответствующих, задач как аналитическими и численными методами.

Получены формулы вычисления! нормирующих множителей исходя из свойств уравнениявторого порядка.

Применение полученных результатов представляет значительный практический интерес. Напримерзадача об образовании' льда имеет чрезвычайно большое значение как в геофизике, так и при производстве льдав последнее время большое внимание уделяется' вопросу затвердевания отливокизучение охлаждения больших масс изверженных горных пород имеет большое значение в геологии и т. д.

Достоверность результатов диссертации обеспечивается обоснованностью, математической модели процесса фазового перехода, вытекающей из общей теориш математической физики и данных натурного** эксперимента, применением аналитических методов, основанных на общей схеме метода разделения переменных и интегральных преобразований. Корректность численной схемы обусловлена проверкой её сходимости.

Апробация работы и* публикации. Результаты работы опубликованы в 15 научных статьях (2 из них в изданиях, рекомендованном ВАК, 4 в материалах конференций). Вклад соавторов публикации равнозначен. Список публикации по теме диссертации приведен в конце автореферата. Основные результаты диссертационной работы представлены и обсуждались:

— на конференции молодых учёных БФАН СССР «Исследования по математике, физике, механике и процессам управления» (Уфа, 1987 г.);

— на IV Уральской региональной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения» (Уфа, 1989 г.);

— на III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998 г.) — на-международной научной конференции «Моделирование, вычисление, проектирование в условиях неопределенности» (Уфа, 2000 г.) — на научно-практической конференции, посвящённой году здоровья^ и 70-летию БГМУ (Уфа- 2002 г.);

— на международной математической конференции, посвященной памяти А. Ф. Леонтьева.(Уфа, 2007 г.);

— на международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и сложные проблемы» (Стерлитамак, 2008 г.);

— на III международной научной, конференции' «Современные проблемы прикладной' математики и математического моделирования» (Воронеж, 2009 г.);

— на VI Всероссийской научной4 конференции с международным участием «Математическое моделирование и кривые задачи» (Самара, 2009 г.);

— на II международной научной конференции «Математическое моделирование и дифференциальные уравнения» (Минск, 2009 г.);

— на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений Уральского,. Башкирского, Куйбышевского, Саратовского, Казанского, Московского госуниверситетов, института математики с ВЦУНЦ РАН, Стерлитамакского филиала Уфимского БГПУ (1990;2000г.г.). Основные положения, выносимые на защиту:

1. Новая математическая модель процессов нестационарного теплообмена с фазовым переходом, описываемые уравнениями в. частных производных параболического типа со специальными краевыми условиями, задаваемыми на свободных и фиксированных границах.

2. Приближенно-аналитическое решение одномерной и двухмерной задач нестационарного теплообмена с фазовыми переходами, основанное на методе разложения по собственным функциям самосопряжённого дифференциального оператора, выражающимися через вырожденные гипергеометрические функции.

3. Численная схема описания температурных полей и вычисления скорости движения свободной границы на основе приближённо-аналитического метода с использованием функциональных, рекуррентных и асимптотических соотношений для вырожденных гипергеометрических функций.

4. Асимптотические и численные методы нахождения спектральной функции, основанные на использовании специальных функций, параметры которых зависят от собственных чисел: это вырожденные гипергеометрические функции, функции параболического цилиндра и функции Эйри.

Классическим примером проблемы, связанной с решением уравнения теплопроводности в области, граница которой или ее часть вследствие имеющего место фазового перехода перемещается по неизвестному ранее закону, является задача о плавлении твердого тела, которое в начальный момент времени находится при температуре фазового перехода и заполняет полупространство 0 < к < X, а в области 0 < х < к это же вещество находится в жидкой фазе, где имеет место некоторое начальное распределение температуры ф (х) > 0- ф (/г) = Тп — температура плавления. На неподвижной границе х = 0 задается тепловой поток или температура. Требуется найти распределение температуры в жидкой фазе и движение поверхности раздела фаз. Задачи подобного типа возникают при изучении различных процессов, связанных с фазовыми превращениями, таких как, например, плавление или затвердевание, кристаллизация, испарение, диффузионные процессы и другие.

Так как на движущейся поверхности происходит фазовый переход, то на ней задается дополнительное условие специального вида. Последнее обстоятельство делает задачу существенно нелинейной даже в том случае, когда уравнение, описывающее физические процессы в среде, и остальные граничные условия линейны.

Используемый метод решения задач дляуравнения теплопроводности с подвижной границей, который для краткости принято называть методом ВГГП, основан на идеях профессора М. Н. Шафеева, изложенных в, работах [92]-[95]. Этот метод, подобно методам интегральных преобразований по пространственнымпеременным, основывается на возможности разложения решения как элемента некоторого гильбертова пространства по собственным функциям соответствующего краевой задаче-оператора Штурма-Лиувилля.

Теоретической основой разложения по собственным функциям некоторой спектральной задачи является спектральная теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. Весьма общие результаты поспектральному разложению дифференциальных операторов, получены в работах [55], [60]-[62] и др. В работах [73] путем предельного перехода даны основные теоремы решения в* регулярном" и сингулярном случаях, исследован спектр. Одним из естественных конструктивных подходов можно назвать метод Э: Ч. Титчмарша [79], [80].

Автор выражает большую благодарность и глубокую признательность доктору технических наук, профессору М. Н. Шафееву за постоянную поддержку и за постоянное внимание к даннойработе, докторам физико-математических наук, профессорам А. В. Жиберу за руководство работой над диссертацией, Г. Т. Булгаковой, а также признательность участникам семинаров кандидату физико-математических наукА. М. Абдрахманову и др. за ряд полезных советов и рекомендаций.

АНАЛИЗ РАБОТ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Классическая линейная задача теплопроводности для областей простой конфигурации и стандартных краевых условий может быть решена с помощью хорошо разработанных и известных аналитических методов.

Введение

дополнительных факторов, таких как условность формы тела, движение границ области и т. п., приводит к необходимости разработки специального математического аппарата, который, как правило, дает приближенное решение задачи и оказывается эффективным только в определенной ситуации. Решение уравнения теплопроводности в такого рода задачах включает случаикогда движение границ области задано, а также случаи, когда это движение требуется определить из дополнительных условий задачи (задача Стефана).

С математической точки зрения краевые задачи теплопроводности в области с движущейся границей принципиально отличны от классических. Вследствие зависимости характеристического размера области переноса теплоты от времени к этому типу задач в общем случае не применимы методы разделения переменных и интегральных преобразований Фурье, так как, оставаясь в рамках классических методов математической физики, не удается согласовать решение уравнения теплопроводности с движением границы области теплопереноса. Попытки осуществить такое согласование приводили уравнение теплопроводности в конечном счете к бесконечной системе совокупных дифференциальных уравнений 1-го порядка с заданными^ начальными условиями, что представляло определенное неудобство в числовой реализации полученных решений.

Точные решения задач подобного типа удавалось получить с помощью удачных догадок, искусственных приемов, причем для весьма ограниченного числа случаев движения границы (линейного или параболического) и для частного вида граничных условий (постоянных и I рода) [47]. С другой стороны, на этих задачах при весьма их общей постановке отрабатывались классические методы решения дифференциальных уравнений математической физики и их модификаций: тепловых потенциалов, контурного интегрирования, функций Грина, обобщенных рядов, дифференциальных рядов, продолжений, «мгновенных» собственных функций Гринберга, а также методы, основанные на использовании интегральных, интегродифференциальных или обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотические и численные.

46]. Эти методьь будут рассмотрены ниже более подробно. При этом точные решения аналитическимшутем удалось получить лишь для простейших законов движения? границы, а именно,^ равномерного и параболического:. Всякие-попыткиполучить" аналитическим путем точное решение: краевой, задачи-обобщенного типав области с границей, движущейсяпо произвольному, закону, приводили к системе интегральных уравнений Вольтерра II рода [86], разрешить^ которую не удавалось, вследствие сложности ядер уравнения системы. Устанавливались лишь качественные результаты для такого рода системы, доказывались существованиерешенияи его единственность [46]-, [86], [108].

Решение этой проблемы значительно? продвинулось. вперед в 70-х годах после выхода в свет серии фундаментальных работ чл.-корр. АН СССР F. А. Гринберга с сотрудниками [14], [15], [48], [69]-, [89]'. [90]- Им, было* получено функциональное преобразование, переводящее краевую задачу теплопроводности — обобщенного* типа, в подвижную систему координат, в которой преобразованное: уравнение теплопроводности допускало бы точное, решение классическимметодомфазделения переменных для весьма широкого класса новых законов движения границы, при, соответствующих граничных условиях .

В дальнейшем^- [50] было получено точное решение первой обобщенной краевой задачи в, конечной области с границей, движущейся по" произвольному закону в декартовой, цилиндрической исферической (радиальный случай) системах координат. Для полуограниченной области точное решение удалось получить при любом виде граничных условий, включая и случай произвольной зависимости коэффициента внешнего теплообмена от времени в законе Ньютона на границе, движущейся также по произвольному закону.

Что же касается второй и третьей краевых задач обобщенного вида, то их решение во многих случаях приводится, в конечном счете, к классическим задачам, но с переменными коэффициентами в граничном условии III рода.

23], [81]. Постановка рассматриваемых вглаве задач теплопроводности в общем случае состоит в следующем. Пусть П — нецилиндрическая область в фазовом пространстве (п 4- 1) измерений (п — координат и I — времени, t > 0), сечение которой плоскостью-характеристикой t — const > 0 представляет собой пространственную область Gt (конечную или частично ограниченную) п измерений с границей St, зависящей от времени t. Пусть п — внешняя нормаль к границе (направлена изнутри Gy), a P (xjточка п-мерного пространства Gt. Требуется найти в области Г2 дважды непрерывно дифференцируемое по пространственным координатам (лг19., л: и) и непрерывно дифференцируемое по времени t решение Т = уравнения ы п xjy J.

Г-непрерывна изнутри в области GyQ (t = 0), Р eGt, t> 0,.

Т (Р, 0) = [/(Р), Р G GtQ, а на боковой поверхности St непрерывна, в каждой ее точке (St) имеет предельное значение нормальной производной и удовлетворяет граничному условию: а3 -cp (P, i), t > 0.

Набор а{ 2? з определяет вид краевой задачи.

В декартовой системе координат область (0² гДе Уг (0 ~ законы одного класса, во многих случаях может быть сведена к области [0,у (?)] путем введения подвижной системы координат z = x — y-[{t) с соответствующим изменением исходного типа задачи. Заметим также, что с помощью несложных преобразований переменное по координате начальное распределение температуры можно свести к нулевому с соответствующим.

— а1ЯШ+агПР, о on изменением граничных функций [54]. При этом характер краевой задачи остается тем же.

В отношении каждой из краевых задач обобщенного типа в области с движущейся границей возникают следующие вопросы [46]: существование решения, единственность решения, устойчивость решения.

Рассмотрим более подробно традиционные аналитические методы решения указанного класса задач.

Выводы и заключения.

1. Методом разложения по собственным функциям самосопряженного дифференциального оператора получены приближенные аналитические решения нестационарных одномерной и двумерной задач теплообмена с фазовым переходом. Метод основан на конечных интегральных преобразованиях с ядрами, нахождение которых связано с постановкой и решением соответствующих спектральных задач через ВГГФ. Установлено, что свободная граница движется по параболическому закону. Для одномерной задачи при данных краевых условиях и теплофизических характеристиках среды положение свободной границы определяется соотношением ^(т) =0.512 950″ 3 7 т в Международной системе СИ единиц физических величин. Значение параметра А, когда т = 0, совпадает с результатом работы Г. Гребера, С. Эрка, У. Григулль, опубликованный для двухфазных задач Стефана с однофазным начальном состоянием среды при условии, если температура в промерзшем слое меняется по линейному закону.

2. Представлен приближенно-аналитический' метод построения температурных полей и определения положения свободной границы, основанный на функциональных и рекуррентных соотношениях между вырожденными гипергеометрическими функциями. Получены компактные вычислительные формулы, содержащие быстросходящиеся ряды, которые.

Численные эксперименты показывают, что в зоне промерзания для получения значения температуры в градусах Цельсия с относительной погрешностью, не превышающей 0,005, достаточно четырех слагаемых, а в зоне охлаждения — восьми слагаемых. Исследовано поведение решения при малых и больших значениях времени Т. При больших значениях.

00 на бесконечности абсолютно сходятся не хуже числового ряда времени погрешность определения скорости движения свободной границы 1 ^ для полученного решения имеет порядок малости О —?= .

— JtJ.

3. В зависимости от скорости движения свободной границы собственные значения находятся тремя различными методами, два из которых асимптотические, а два из них используются совместно с численными методами. При необходимости возможно использование вторичной асимптотики. Способы отличаются тем, что собственные функции выражаются через специальные функции с различным числом параметров, зависящих от собственных значений. Это вырожденные гипергеометрические функции, функции параболического цилиндра, а также функции Эйри.

Как видно из (3.1.2) и (3.1.6), нами получены компактные вычислительные формулы, и они содержат ряды, которые хорошо сходятся, что является очень удобным при построении температурных полей. Аналогично одномерному случаю тем же самым способом можно было бы построить температурное поле и для двухфазной задачи, но при этом объем излагаемого материала заметно увеличится. Числовые результаты для двухмерной задачи получаются аналогично одномерной задаче, только решения будут содержать двойные ряды.