Методические особенности изучения функции в классах гуманитарного направления профильной школы

Сущностью современного этапа развития образования является переход к личностно-ориентированному обучению, цель которого заключается в обеспечении развития и саморазвития личности ученика, основанном на выявлении его индивидуальных особенностей как субъекта познания и учебной деятельности. В новой образовательной парадигме содержание образования, средства и методы обучения структурируются так, что позволяют ученику проявить изобретательность к предметному материалу. Изменяется критериальная база обучения: отслеживаются не только знания, умения и навыки, сколько сформированность личностных новообразований, переносится акцент с узкопредметных на метопредметные методологические знания.

Изменение образовательной парадигмы влечёт не только появление новых предметов изучения в средней школе, но и изменение подходов к изучению традиционных предметов, в частности математики. В современных подходах к модернизации математического образования в нашей стране главная роль отводится обучающей и развивающей функциям обучения, дифференциации и гуманитаризации математического образования. Уже. перестраивается курс геометрии в направлении развития пространственного мышления, более результативного использования взаимосвязей образного и логического компонентов мышления учеников. Перенос акцента с операционных умений учеников на эвристические касается усовершенствований курса алгебры.

Проблемы отбора и обновления содержания образования, математической подготовки на всех уровнях образования постоянно привлекают внимание общественности, причем не только педагогов или специалистов — математиков. Некоторые пути решения этих проблем были рассмотрены в исследованиях Ф. С. Авдеева, Ю. К. Бабанского, М. И. Башмакова, В. В. Ветрова, В. А. Гусева, Г. В. Дорофеева, Ю. М. Колягина, JI.M.

Коротковой, Г. Л. Луканкина, Н. И. Мерлиной, А. Г. Мордковича, С.М.

Никольского, Г. И. Саранцева, В. Д. Селютина, И. М. Смирновой, М. И. Шабунина и др. Развитию новых технологий обучения математике учащихся средней школы уделяли внимание И. Н. Антипов, М. И. Зайкин, В. М. Монахов, А. И. Нижников, П. М. Эрдниев и др.

Анализ работ ведущих психологов: Д. Н. Богоявленского, Л. С. Выготского, В. А. Крутецкого, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской и др., связанных с развитием у школьников самостоятельного мышления, активизации их познавательной деятельности, творческой инициативы показал, что по-настоящему сознается учащимися лишь то содержание, которое является предметом их активных действий, причем эти действия ^ должны соответствовать содержанию изучаемого материала.

Методисты — математики: Ю. М. Колягин, В. Л. Матросов, А. А. Столяр, Л. М. Фридман, А. Я. Хинчин и др. — отмечают, что математика отличается от других предметов школьного курса стилем мышления, который подразумевает доминирование логической схемы рассуждения, лаконизм и точность символики. В зависимости от возрастной группы учащихся учитель должен постепенно формировать у них логические приемы мышления (анализ, синтез, индукция и др.). Эти положения отражены в работах И.Л. % Никольской, Н. Н. Поспелова, Н. Ф. Талызиной и других.

На интеллектуальное развитие человека и, прежде всего таких его компонентов, как способность к усвоению новой информации, сила и гибкость ума, критичность, умение планировать действия, способность к аргументации и др., оказывает большое влияние математический анализ. Отметим также, что курс начал анализа основной школы имеет большую практическую направленность, требующую от учащихся прочного овладения основными понятиями, умения выполнять различного рода преобразования всевозможных выражений, исследовать функции и строить графики и т. д. Школьники должны иметь прочные знания по каждой из указанных тем, т.к. ^ они являются звеном огромной цепи понятий и имеют большое значение в реализации межпредметных связей. Однако, изучение элементов математического анализа в средней школе связанно с рядом трудностей: высокий уровень абстракции понятий, сложная логическая структура их определений, недостаточность учебного времени для осмысления сложности вопросов и др. Минимизация этих проблем традиционно считалось сложной задачей и в связи с этим возникали попытки исключения отдельных вопросов математического анализа из школьной программы. Например, это затронуло рассмотрение понятий действительного числа и предела функции. Однако, наряду с понятием функции они принадлежат к фундаментальным понятиям математического анализа. Их значимость определяется не только предметным и прикладным аспектами, но и общекультурным аспектом. Изучение понятий функции, предела функции не ограничивается рамками одного школьного предмета, поскольку они отражают достаточно широкую область человеческого бытия, причинно-следственные связи, воплощая идеи актуальной и потенциальной бесконечности, непрерывности и др. Реализация различных аспектов формирования функциональных понятий может быть осуществлена за счёт привлечения не только аналитических, но и образных компонентов мышления школьников. В образной форме можно выразить идеи бесконечности, непрерывности и др., лежащие в основе функциональных понятий. Эти понятия и идеи носят характер метапредметных первосмыслов и имеют своё проявление не только в математике, но и в других учебных дисциплинах.

Раскрытие первосмыслов особенно важно для учащихся гуманитарных классов, поскольку это способствует осознанию общекультурной ценности математики, развитию мировоззрения. Рассмотрение физических процессов при изучении математики вызывают затруднения у таких учащихся.

Специфика организации учебного процесса в классах гуманитарного направления рассмотрена в работах Ю. М. Колягина, Н. Е. Федоровой, М. В. Ткачёвой, JLM. Коротковой, Г. Б. Лудиной, А. Г. Гостева, М. И. Немытова, И. О. Соловьёвой и др.

Начиная с середины пятидесятых годов, методика изучения функций в школе разрабатывается в рамках функциональной линии, выделение которой в школьном курсе алгебры признаётся единогласно. «Понятие функциональной зависимости, — писал А. Я. Хинчин, — должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии, тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание."[208]. Однако, до проведения реформы математического образования 60−70 годов понятие функции в школе явно вводилось лишь в старших классах и было оторвано от других разделов курса математикипрактически не использовалось оно и в курсе физики. По существу нельзя было считать, что в школьном курсе математики реализуется «Функциональная линия». Работы B.JI. Гончарова, А. Я. Хинчина, ряда других математиков и методистов, материалы дискуссии, прошедшей в 50-х годах на страницах журнала «Математика в школе» по вопросу о выяснении роли и места в школьном курсе математики понятия функции, выявили возможность и целесообразность ознакомления с этим понятием не только учащихся старших классов, но и учащихся среднего и более младшего школьного возраста. «Главное условие успешного изучения функций, в школьном курсе алгебры, — пишет Ю. Н. Макарычев, — заключается в широком использовании фундаментальных понятий внутри этого курса, в установлении связей с другими понятиями курса алгебры, делающее всю структуру курса легко обозримой"[132].

После введения в 1968 году новой программы по математике были проведены исследования (Н.Н. Шунда, И. М. Степуро, А. А. Ундуск и др.) показывающие, что изучение понятия функции тесно связывается с изучением практически всего школьного курса математики. В работах Р. А. Архонтовой, Т. В. Кожекиной, А. А. Пинского вскрываются резервы взаимосвязи изучения понятия функции в школьных курсах математики и физики.

В исследованиях последующих лет прослеживается стремление к разработке методики ознакомления с понятием функции учащихся ещё более младшего возраста. В этом плане заслуживает внимания исследования Г. Г. Кравцова [ ], который экспериментально доказал возможность введения понятия функции в 4 классе, написал и обосновал геометрически-исходное предметное действие, лежащее в основании деятельности, адекватной содержанию понятия функции — это действие, цель которого — сообщить кому-либо другому местоположение объекта на плоскости при условии, что непосредственный показ невозможен.

Диссертационные исследования Б. П. Бычкова, С. М. Головиной, А. И. Жаворонкова, Е. И. Лященко, И. А. Марьянского, В. И. Севбо, В. М. Чернова и другие затрагивают вопросы методики изучения функционального материалавопросы методики изучения функций и функционального подхода к некоторым разделам алгебры (тождественные преобразования, уравнения, неравенства) — в диссертациях Ю. Н. Макарычева, К. С. Муравина, Н. Н. Шунды и других. Некоторые вопросы изучения функциональнографической линии освещены в работах ученых — педагогов: А. Г. Мордковича, С. А. Теляковского, О. Б. Епишевой, В. А. Гусева, Г. В. Дорофеева, М. В. Ткачевой и других.

Вопросам формирования у учащихся функциональных понятий посвящены диссертационные исследования Б. Б. Беседина, Г. Л. Гукасяна, Н. И. Ковалевича, Н. А. Ильиной, Г. И. Кузнецовой, В. В. Затакавай, М. В. Злобиной, Л. Г. Петерсон, JI.B. Тихоновой и др. Тем не менее, в этих исследованиях, как и в большинстве, других прослеживается некоторая односторонность: разрабатывая некоторую теоретическую модель формирования общего понятия функции или отдельных функциональных понятий и предлагая определенную систему изложения материала, их авторы не ставили задачу изучения образования и развития понятия функции в сознании учащихся. I.

Между тем, усвоение понятий — «сложный процесс, в результате которого содержание понятия, усвоенное учащимися, далеко не всегда соответствует тому, что вкладывается в данное понятие взрослыми и что надо передать учащимся при обучении их этому понятию» [55].

Наиболее значимым в плане соотношения излагаемого учителем функционального материала со знаниями учащихся является исследование Р. А. Майера [131], который изучил функциональные навыки учащихся в 68 классах и представил эти навыки в процессе развития: последовательная их отработка способствует формированию у школьников «функционального стиля мышления».

Следует также иметь в виду, что изложение материала в определённой системе не является достаточным условием для возникновения в сознании учащихся системы понятий, адекватной системе понятий в школьном курсе. B.C. Цетлин отмечает, что часто «учебный предмет предстаёт перед учащимся как конгломерат отдельных, не связанных друг с другом элементов Изучаются понятия, правила, действия одни за другими, и всё внимание сосредоточенно на каждом в отдельности. Связь вновь изучаемого с ранее известным раскрывается только линейно, об объединении, систематизации материала в крупные блоки заботятся мало. Формирование системы понятий реализуется скорее стихийно, чем целенаправленно» [213].

Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий. Роль первосмыслов играют имеющие методологический характер идеи бесконечности, зависимости, соответствия, стремления, непрерывности и др. Они не могут быть изучены учащимися и осмыслены сразу на аналитическом языке. Поэтому важно, чтобы у ученика был сформирован образ, причём на первом этапе обучения — визуальный, который впоследствии развивается до концептуального. Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, т.к. раскрытие первосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, связанного идейно с ним.

Функциональные понятия имеют преимущество перед другими изучаемыми в школе понятиями, т.к. обладают богатыми выразительными возможностями: могут быть использованы различные формы представления содержания этих понятий вербальная (словесная), знаково-символическая, геометрическая (графическая). В качестве средств обучения, использующих эти возможности, могут быть выбраны задачи на представление содержания функциональных понятий в различных формах и их перевод с одного языка представления на другие.

Следует отметить, что использование разных языков для введения функциональных понятий, а также перевода их содержания на различные языки представления ранее не давало желаемых результатов, поскольку место в процессе обучения для применения этих средств было выбрано не совсем удачно. На первом этапе обучения ставилась цель формального усвоения понятий, к осуществлению перевода содержания понятий на различные языки представления учащиеся приступали лишь на следующем этапе обучения, что оказывалось малоэффективным.

Существует возможность использования различных языков представления понятий на самых первых этапах обучения, начиная со знакомства с основными функциональными понятиями, т.к. заложенные в них идеи имеют в качестве приоритетных разные языки представления, доступные для сознательного усвоения учащимися.

Понятие функции в действующем школьном курсе изучается школьниками на протяжении пяти лет, однако, несмотря на это, фактические результаты усвоения ими этого понятия не всегда соответствуют предполагаемым. Об этом свидетельствуют многочисленные проверки знаний учащихся по функциональному материалу, беседы с учителями, анализ школьных выпускных экзаменов.

Таким образом, несоответствие между педагогическим значением и фактическими результатами усвоения учащимися гуманитарных классов профильной школы понятия функции, а также возможности использования житейских представлений гуманитариев при первичном знакомстве с функциональными понятиями, изучение этих понятий во взаимосвязи, организации на первых этапах обучения деятельности по переводу содержания понятий на различные языки представления, позволяющие развивать индивидуальные образы учащихся гуманитарных классов профильной школы адекватно научному смыслу изучаемых математических фактов, определяет актуальность тематики данного исследования.

Исходя из названных положений, может быть сформулирована проблема исследования: поиск средств обучения функциональным понятиям, использующих богатые выразительные возможности этих понятий, обращенных к личному опыту учеников гуманитарных классов профильной школыпозволяющих задействовать логический и образный компоненты мышления школьников.

Объект исследования — процесс обучения математике в старших классах гуманитарного направления профильной школы.

Предмет исследования — средства представления в различных формах и перевода на различные языки содержания функциональных понятий.

Цель исследования состоит в построении и теоретическом обосновании методических основ обучения учащихся гуманитарных классов профильной школы функциональным понятиям с использованием средств представления в различных формах и перевода на различные языки их содержания.

Использование при обучении функциональных понятий разнообразных средств представления и перевода математического содержания на различные языки представления может обеспечить на первом уровне усвоения, адекватное научному смыслу понятий. Экспериментально проверить, адекватны ли индивидуальные образы учеников научному смыслу понятий, не представляется возможным. Теоретическое исследование позволяет обосновать этот факт.

Использование средств представления содержания понятий и его перевода с одного языка на другие (графические наглядные пособия, пособия.

— схемы, целесообразно подобранные задания на представление понятий, задачи на перевод содержания понятий с одного языка на другие, тесты) позволяет достичь сознательного усвоение функциональных понятий учащимися гуманитарных классов профильной школы. Сознательность усвоения выражается в возможности использования разных форм представления содержания при решении задачв возможности переноса деятельности по переводу содержания на различные языки представления в новые ситуации (решение уравнений, неравенств, «нестандартных» задач и т. д.). t.

Гипотеза исследования: если функциональные понятия изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перевода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению учащимися гуманитарных классов профильной школы, повысит качество обучения математике.

В процессе исследования проблемы и проверки достоверности сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие задачи:

1. На основе психофизиологических данных выявить специфику организации учебного процесса в классах гуманитарного направления.

2. Установить причины недостатков усвоения учащимися гуманитарных классов функциональных понятий и определить возможные пути устранения этих причин.

3. На основе анализа литературы, содержания школьного курса математики, изучения опыта работы учителей средних школ выяснить возможность использования в процессе обучения функциональных понятий таких средств обучения, которые позволяют представить изучаемый материал в различных формах, а также переводить содержание с одного языка на другой.

4. Выявить особенности и основные этапы познания функциональных понятий и возможности учета этих особенностей в процессе обучения математике учащимися гуманитарного направления профильной школы.

5. Разработать методику реализации выявленных путей повышения эффективности формирования функциональных понятий в классах гуманитарного направления профильной школы.

6. Осуществить экспериментальную проверку разработанной методики изучения функциональным понятиям и проверку гипотезы.

Для решения представленных задач использовались следующие методы исследования: теоретическое исследование состояния проблемы с использованием анализа физиологической, психолого-педагогической, научно-медицинской литературы по теме диссертации, изучение литературы по истории математики, анализ программ, учебников и учебных пособий по математикеанализ состояния знаний учащихся по функциональным темам в рамках констатирующего экспериментаизучение и обобщение педагогического опыта работы учителей, а также личного опыта обучения учащихся гуманитарных классовизучение и обобщение опыта изучения теоретико-множественного материала в классах гуманитарного направленияанкетирование, беседы с учителями и учащимисяорганизация и проведение констатирующего, поискового и обучающего экспериментов, количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.

Исследование осуществлялось поэтапно в 1999 — 2002 гг.

На первом этапе (1999 — 2000 гг.) осуществлялось изучение и анализ физиологической, психолого-педагогической и медицинской литературы по проблеме исследования, изучение опыта работы учителей в классах гуманитарного направления. Целью этого изучения и анализа являлось выявление предпосылок для разработки теоретических основ проблемы исследования. Были выявлены возможности использования при изучении функциональной линии образных компонентов мышления школьников. Проведена первая стадия констатирующего эксперимента.

На втором этапе (2000 — 2001 гг.) в условиях поискового эксперимента был произведен отбор средств изучения функциональных понятий, разработана методика обучения, ориентированная на учащихся гуманитарных классов и учитывающая результаты констатирующего эксперимента. Подготовлены методические рекомендации для учащихся по использованию различных форм представления функциональных понятий. Проведена первая стадия обучающего эксперимента.

На третьем этапе (2001 — 2002 гг.) был продолжен обучающий эксперимент, обобщены экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.

Методологической основой исследования явились: труды выдающихся физиологов, психологов, педагогов, математиков и методистов, философские положения теории познания, положения теории деятельности в обучении, дидактические принципы обучения, личностно-ориентированная образовательная парадигма, концепция нового гуманитарного курса математики в основной и старшей школе.

Научная новизна данного исследования:

1. Разработаны основные направления совершенствования формирования функциональных понятий у учащихся гуманитарного направления профильной школы.

2. Разработана методика формирования понятия функции на основе использования графической, вербальной и знаково-символической форм её представления и задач по переводу математического содержания функциональных понятий на различные языки представления при изучении алгебры и начал анализа в классах гуманитарного направления профильной школы.

3.Подготовлены методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения, позволяющие обеспечить сознательное обучение математике учащихся гуманитарного направления профильной школы и применение полученных знаний в других областях науки.

Теоретическая значимость исследования заключается в том, что теоретически и экспериментально обоснована целесообразность использования различных форм представления функциональных понятий, организации деятельности учеников по переводу их содержания на различные языки представлениясформулированные положения системы изучения функциональных понятий реализованы при рассмотрении планирования и разработки методики проведения уроков по алгебре и началам анализа, факультативных курсов и самостоятельной активной познавательной деятельности учащихся гуманитарного направления профильной школыреализация основных методических положений данного исследования при изучении математики в классах гуманитарного направления позволяет существенно повысить теоретический уровень и практическую направленность обучения алгебре и началам анализа в профильной школе.

Практическая значимость работы заключается в том, что разработаны наборы задач на представление понятий и перевод их содержания с одного языка представления на другие. Подготовлены методические рекомендации по формированию функциональных понятий в процессе их применения, которые могут быть использованы учителями средних школ при проведении уроков и факультативных занятий по математике.

Обоснованность и достоверность выводов, положений и рекомендаций достигается:

1) согласованностью полученных выводов и конкретных рекомендаций с достижениями современных физиологических и методических наук, лежащих в основе проблемы исследования;

2) использованием различных методов исследования, адекватных поставленным целям и задачам;

3) проведением детальных анализов сложившейся системы проведения функционально-графической линии школьного математического образования в историческом и современном аспектах;

4) результатами экспериментальной проверки, подтверждающей на качественном уровне справедливость основных положений диссертационного исследования.

На защиту выносятся следующие положения:

1) для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия, необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий;

2) формирование функциональных понятий может осуществляться на основе актуализации «житейских» интуитивных представлений, а в дальнейшем — постепенного совершенствования образов этих понятий: от отражения в представлениях математического содержания, выраженного в одной форме, к комплексному представлению в различных формах, а от него — к целостному концептуальному представлению;

3) использование задач по переводу математического содержания функциональных понятий на различные языки представления при изучении курса алгебры и начал анализа позволяет повысить качество обучения математике учащихся гуманитарных классов профильной школы.

Апробация результатов исследования.

Результаты исследования докладывались и обсуждались на международной конференции «Математика. Образование. Экология и здоровье человека» (Воронеж, 2000 г.), на XX Всероссийском семинаре преподавателей математики педвузов и университетов «Формирования духовной культуры личности в процессе обучения математике в школе и вузе» (Вологда, 2001 г.), на научно-практической конференции «Актуальные проблемы обучения математике» (Орел, 2002 г.), на международной научной конференции «Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, 2002 г.), на Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы качества подготовки учителя математики и информатики» (Н.Новгород, 2002 г.), на межвузовской научной конференции «Россия: перспективы прорыва в цивилизацию знаний» (Москва, 2004 г.). Апробация результатов исследования осуществлялась в ходе экспериментальной работы в МОУ средних школах № 6 и № 7 г. Наро-Фоминска Московской области.

Основное содержание работы отражено в публикациях [86−92].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.

Выводы к главе II.

Основные положения методики:

1. Сложное математическое понятие (не такое, как степень с натуральным показателем, а такое, как функция, свойства функций, равномерность уравнений и т. п.) следует вводить при выполнении двух условий:

— у учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия — опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении (вербальный опыт), и опыт использования понятия на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях (генетический опыт);

— у школьников появилась потребность в формальном определении понятия;

2. Для понимания учащимися гуманитарных классов курса алгебры в целом прежде всего важно, чтобы они полноценно усвоили первичные модели — функции. Следовательно, нужно организовать их деятельность по изучению той или иной функции так, чтобы рассмотреть новый объем (конкретную математическую модель — фунцию) системно, с различных сторон, в разных ситуациях.

3. На начальном этапе изучения фундаментальных понятий на образном уровне раскрываются идеи, в них заложенные, имеющие методологический характер (идея измерения, зависимости, движения, идеи бесконечности и стремления). Таким образом, осознание фундаментальных понятий начинается с образного представления первосмыслов этих понятий.

4. При изучении фундаментальных понятий на первом этапе не ставится цель формирования операционных умений. В связи с этим к решению уравнений, неравенств при исследовании конкретных функций, заданных аналитически следует приступить лишь после того, как у ученика сформированы гибкие образы соответствующих свойств функций.

5. Развитие в процессе обучения «житейских» представлений гуманитариев до уровня адекватных научному смыслу понятий с использованием разнообразных форм представлений содержания фундаментальных понятий. В качестве приоритетной выбрана графическая форма, как наиболее доступная учащимся гуманитарных классов (подтверждение этого факта получено на констатирующем этапе эксперимента, что отражено в § 2.4 диссертации).

6. Использование в качестве средств обучения фундаментальным понятиям задач по переводу содержания понятий с одного «языка» представления на другие, заданий по формулированию и переформулированию математических фактов способствует сознательному усвоению фундаментальных понятий.

7. Система специально составленных тестов, применяемая в совокупности с задачами по переводу математического содержания из одной формы представления в другую, может быть эффективно использована для формирования математических понятий у гуманитариев. Являясь определенным нестандартным типом математической задачи и будучи психометрическим инструментом, тест вызывает определенное напряжение, нестандартную психологическую реакцию, и усиливает тем самым активность и сознательность усвоения материала, способствует формированию устойчивой системы образов в сознании школьника.

8. Использование заданий на переформулирование свойств изучаемых понятий, разнообразных формулировок задач, тестовых заданий имеет целью развитие языковой функции учеников, умений рассуждать с использованием различных форм выражения содержания понятий, что в последствии облегчает введение понятия предела функции и других понятий математического анализа.

Заключение

.

В ходе теоретического и экспериментального исследования проблемы изучения функции в классах гуманитарного направления, а также поиска средств обучения функциональным понятиям были использованы богатые выразительные возможности этих понятий, личный опыт учеников и возможность задействовать логический и образный компоненты мышления школьников. В результате проведённого исследования доказано:

1). Для сознательного изучения функциональных понятий, позволяющего в дальнейшем использовать и применять эти понятия необходимо на самых ранних этапах обучения раскрыть первосмыслы, лежащие в основе названных понятий. Роль первосмыслов играют имеющие методологический характер идеи бесконечности, зависимости, соответствия, стремления, непрерывности и др. Они не могут быть изучены учащимися и осмысленны сразу на аналитическом языке. Поэтому важно, чтобы у ученика был сформирован образ, причём на первом этапе обучения — визуальный, который в последствии развивается до концептуального.

2).Функциональные понятия не желательно изучать вне взаимосвязи друг с другом, т.к. раскрытие первосмысла при изучении одного понятия обогащает понимание другого, связанного идейно с ним.

3). Богатые выразительные возможности функциональных понятий позволяют использовать в процессе обучения задания, на представления в различных формах (графической, вербальной, знаково-символической) содержания понятий и задачи на перевод содержания с одного языка на другой, имеющие целью сознательное усвоение изученного материала. Задания на представление содержания понятий в различных формах выполняют ряд функций: а) способствуют усвоению каждого из языков, используемых при решении задачиб) обращают внимание на также существенные свойства понятия, которые наиболее ярко проявляются в той или иной форме и предлагают ученику в соответствующей форме их выразить в) создают ситуации, требующие от ученика перехода от одной формы представления к другой не только по ассоциации, но и произвольно. Приоритетной формы представления функциональных понятий в классах гуманитарного направления выступает геометрическая. В связи с этим на первом этапе изучения начальных понятий математического анализа приходится организовать переход с графического языка на другие. Это диктует выбор соответствующих заданий и задач, использование наглядных средств обучения.

4). Необходимость осуществления в процессе обучения учениками перевода математического содержания на различные языки представления обусловлена тремя группами факторов:

1 группу составляют математические факторы, т. е. вызванные предметом изучения. Каждое из функциональных понятий несёт в своей основе ряд идей, которые в яркой образной форме отражают их суть, важны с методологической точки зрения. Представление этих идей может быть осуществлено в различных формах, среди которых есть приоритетная. Приоритетность определяется по-разному в зависимости от целей, которые в данный момент преследует обучение, и особенностей восприятия этого материала учениками. Осуществление перевода даёт возможность с разных сторон «высветить» ту или иную идею, тем самым давая о ней более глубокое и ясное представление. В процессе перевода в качестве исходной формы представления содержания функциональных понятий выступает приоритетная для понятия.

2 группа содержит психологические факторы, которые позволяют задействовать образный компонент мышления школьников, формируемый при решении интеллектуальных задач по трансформации образов, перекодированию образов из одной модальности в другую и др. связанных с осуществлением деятельности по переводу содержания на различные языки представления. Осуществление этой деятельности способствует развитию гибкость мышления.

3 группа состоит из факторов методического характера. Применение знаний о фундаментальных понятиях при усвоении теоретического материала курса, а также для решения задач невозможно без овладения деятельностью по переводу содержания на различные языки представления. При изучении дифференциального и интегрального исчислений особая роль отводится геометрическому и физическому смыслам понятий производной, интеграла, а также связанных с ними понятий. Если учащиеся к моменту изучения производной будут владеть умениями перевода, то переход от физической модели к геометрической и обратно, а от каждой из них к символической и обратно, будет осуществляться без особых затруднений (произвольно, следовательно с меньшими затратами учебного времени). Важное применение находит перевод в процессе решения уравнений, неравенств, систем уравнений, и систем неравенств.

Рассмотренные положения были использованы при разработке методических рекомендаций по формированию функциональных понятий в классах гуманитарного направления. Перечислим основные методические особенности изучения функциональных понятий в гуманитарных классах.

1. На начальном этапе изучения понятий образно раскрываются методические идеи, первосмыслы этих понятий.

2. При изучении функциональных понятий на первом этапе не ставится цель формирования оперативных умений. В связи с этим к решению уравнений, неравенств при исследовании конкретных функций заданных аналитически следует приступать лишь после того, как у ученика сформированы гибкие образы соответствующих свойств функций.

3. Развитие в процессе обучения житейских представлений школьников до уровня адекватных научному смыслу понятий с использованием разнообразных форм представления содержания функциональных понятий.

4. Использование при обучении перевода содержания функциональных понятий с одного языка представления на другой за счёт использования задач по переводу содержания, заданий по формулированию и переформулированию математических фактов.

Разработанные методические особенности изучения функциональных понятий — прошли опытную и экспериментальную проверку и была подтверждена рабочая гипотеза исследования: если функциональные понятия изучать на основе использования соответствующих средств представления содержания и перехода на различные языки, то это будет способствовать их сознательному усвоению.

Начатое исследование может быть продолжено по следующим направлениям:

1. Разработка методики обучения дальнейшим понятиям начал математического анализа с использованием различных форм представления их содержания и перевода его на различные языки.

2. Разработка методики пропедевтики первосмыслов математического анализа в курсе алгебры неполной средней школы.