Методы построения программных движений для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.

Актуальность темы

.

Вопросы существования управляющих функций и соответвующих им траекторий, соединяющих заданные точки в фазовом пространстве, а так же проблемы точного или приближенного их нахождения составляют основные задачи в проблеме построения программных движений для управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [88]-[91], [99], [114]).

Наряду с этим представляет значительный интерес исследование и оценка множества конечных состояний, в которые возможен переход системы из некоторого начального состояния с учётом ограничений на управление и фазовые координаты (см. [18]-[20], [26], [27], [32]-[36], [40]-[56], [58]-[63], [65]-[68], [71], [72], [74]-[76], [79], [80], [82]-[86], [88]-[93]).

Исследование проблемы построения программных движений в классе управляющи функций суммируемых с квадратом было начато Р. Кал-маном в начале 60-х гг. Им был сформулирован необходимый и достаточный критерий существования управляющих функций, при которых решение линейной нестационарной системы соединяет заданные точки в фазовом пространстве, и предложен метод их нахождения. В работах В. И. Зубова обобщаются результаты Р. Калмана на случай квазилинейных систем.

Значительный научный и практический интерес представляют вопросы, связанные с исследованием проблемы программных движений в классе кусочно-постоянных управлений. Этим исследованиям посвящены [2], [15], [16], [116]-[120].

При проектировании контуров управления различными подвижными объектами (летательными аппаратами, роботами-манипуляторами, гироскопическими системами и т. п.) в реальном времени и их моделировании приходится учитывать запаздывание воздействия управляющего сигнала на объект управления. Указанное обстоятельство послужило толчком появлению работ [92]-[115].

Задачи синтеза программных движений, связанные с проблемой нахождения управления как функции фазового состояния, рассмотрены в работах [21], [23], [29], [33], [73], [81].

В работах Н. Н. Красовского (начало 60-х гг.) решается задача построения программных движений при условии минимизации нормы управляющих функций в различных функциональных пространствах. Р. Габасовым и Ф. М. Кирилловой (середина 60-х гг.) получены критерии существования ограниченных по норме кусочно-непрерывных управления и соответствующих им траекторий для линейных систем.

Задачи, связанные с исследованием структуры множества конечных состояний, для которых существует ограниченное по норме программное управление и соответствующая ему траектория, исследованы в работах JL Маркус (середина 60-х гг.).

В работах (середина 80-х гг.) [57], [64], [68], [124] программное движение для стационарных систем и систем специального вида определяется в виде полиномов от независимых переменных.

Следует отметить, что теория решения граничных задач для нелинейных управляемых систем общего вида слабо разработана и трудности по ее развитию достаточно велики.

Основные усилия автора диссертации были направлены на разработку достаточно простых для численной реализации и устойчивых к погрешностям вычислений и случайным возмущениям алгоритмов решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем с учётом ограничений на управление, а также дискретности и запаздывания управляющего сигнала. Поставленная цель достигнута посредством сведения исходной задачи к задаче стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для вспомогательной системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Краткое содержание работы.

В первой главе разработаны алгоритмы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод линейных, квазиней-ных и нелинейных систем из начального состояния в заданное конечное состояние с учётом ограничений на управление и фазовые координаты, а также случайных воздействий. Получены критерии выбора конечных состояний, ограничений на малый параметр и случайные возмущения, при которых возможен указанный перевод.

Процедура нахождения искомых управляющих функции, гарантирующих указанный пёреход линейных, квазилинейных и нелинейных систем сводятся к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для линейной, квазилинейной и нелинейной систем порядка п + г, где п размерность фазового пространства, г — размерность управляющего вектора.

Во второй главе предложен метод построения кусочно-посто-янных управляющих функций, при которых решение линейных, квазилинейных и нелинейных систем переходит из начального состояния как в заданное фиксированное состояние, так и в произвольную окрестность этого состояния. Получен конструктивный критерий выбора конечных состояний, шага дискретности и малого параметра, гарантирующих существование указанных функций, с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

Алгоритм построения указанных управляющих функций при решении первой задачи сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для линейных, квазилинейных и нелинейных систем порядка ть -(- 2 г, а при решении второй задачи — к системам размерности п + г.

В третьей главе рассмотрены задачи нахождения управляющих функций, осуществляющих перевод линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния как в заданное конечное состояние, так и его произвольную окрестность, с учётом запаздывания управляющего сигнала.

Начальная функция для управляющего сигнала выбирается тождественно равной нулю.

Разработаны алгоритмы построения искомых управляющих функций, и найдены конструктивные критерии выбора конечных состояний, величины запаздывания и малого параметра, при которых возможна реализация указанных алгоритмов.

Поиск искомых управляющих функций сводится к решению задачи стабилизации линейной нестационарной системы специального вида и последующему решению задачи Коши для для линейных, квазилинейных и нелинейных систем. В случае перевода системы в заданную точку фазового пространства порядок вспомогательной системы равен п + 2 г, а в случае перевода в произвольную окрестность — п + г.

В приложении эффективность указанного метода продемонстрирована на численном моделировании решения конкретных практичских задач.

Для краткости изложения во всех главах диссертации рассматриваются граничные условия, при которых начальные состояния совпадают с началом координат, а интервал времени перевода соответствует промежутку [0,1]. Очевидно, что любые граничные условия и интервал перевода опрерацией сдвига и сжатия по зависимым и независимым переменным могут быть сведены к вышеуказанным.

3. Новизна.

В диссертации получены следущие новые результаты:

1. Развит новый подход к решению граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющих практическое значение.

2. Найдены конструктивные методы построения непрерывных управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния в заданное конечно состояние с учётом случайных возмущений и погрешностей вычислений.

3. Получены конструктивные критерии выбора конечных состояний и диапазона изменения случайных возмущений, при которых возможен указанный в п. 2 перевод с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

4. Разработаны конструктивные методы решения граничных задач для широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных управляемых систем в классе дискретных управлений с учётом ограничений на управление и фазовые координаты.

5. Найдены конструктивные критерии выбора шага дискретности и конечных состояний, при которых существуют решения граничных задач, указанных в п. 4.

6. Получены методы построения управляющих функций, гарантирующих перевод широкого класса линейных, квазилинейных и нелинейных систем из начального состояния в заданные конечные состояния с учётом органиченности и запаздывания управляющего сигнала.

7. Сформулированы конструктивные критерии выбора конечных состояний и ограничений на запаздывание управляющего воздействия, при которых возможен перевод указанный в п. 6.

1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. «Очерки по математической теории систем» Мир. Москва, перевод с англ. Под ред. Э. Л. Напельбаума. 1971. 399с.

2. Зубов В. И. «Лекции по теории управления «Москва. Наука.1975. 495с.

3. Варбашин Е. А. «Введение в теорию устойчивости» Москва. Наука. 1967. 223с.

4. Красовский Н. Н. «Теория управления движением «Москва. Нау-ка.1968. 475с.

5. Габасов Р., Ф. Кириллова «Качественная теория оптимальных про-цессов» М. Наука. 1971. 508 с.

6. Зубов В. И. «Математические методы исследования систем автоматического регулирования» Л. 1974. 335 с.

7. Зубов В. И. «Теория колебаний» М. Высшая школа. 1979. 400 с.

8. Зубов В. И. «Проблема устойчивости процессов управления «СПб: НИИ Химии СПбГУ. 2001 г. 354 с.

9. Ли Э. Б., Маркус Л. «Основы теории оптимального управления» М. Наука. 1972. 576 с.

10. Э. Полак «Численные методы оптимизации» Перев. с англ. М. Мир. 1974. 374 с.

11. Месарович М., ТакахараЯ. «Общая теория систем: математические основы «Пер. с англ. М. Мир. 1978. 312 с. 12. «Справочник по теории автоматического управления» / Под ред. А. А. Красовского. М. Наука. Гл. ред. физ, — мат. лит. 1987.

12. Колмановский В. Б., Афанасьев В. Н., Носов В. Р. «Математическая теория конструирования систем управления «М. Высшая школа. 1998.

13. Егоров А. И. «Основы теории управления» М. Физматлит. 2005. 504 с.

14. Верещагин Ф. П. «Методы исследования режимов полета аппарата переменной массы» Пермь .1972.

15. Nguen Than Bang «Numerical solution of the d-control problem for nonlinear systems» // Arch. Autom and telemech. 1983. 28. No3. p.131−143.

16. Fury M., Nistri P., Pera M.P., Zezza P. L «Topological methods for the global controlability of nonlinear systems» // J. Optimize Theory and Apl. 1985. 45. No2 p.231−256.

17. Бердышев Ю. И. «О построении области достижимости в одной нелинейной задаче» // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. No4. с.22−26.

18. Krong В.Н. «Guaranteed stering control» // Proc. Amer. Contr. Conf. Boston. Mass. June 12−21. 1985. Vol.2. Green Valley, p. 950−955.

19. Щербакова А. В. «Об условиях существования решения двухточечной краевой задачи управляемой линейной системы, дотавляющего минимум функционалу» // Вестн. Тамб. Ун-та. Сер. Естествозн. и техн. н. 2004. т.9. No3. с. 314−315.

20. Комаров В. А. «Синтез ограниченных управлений для нелинейных систем» // Автоматика и телемеханика. 1993. No2 с.76−82.

21. ГусарВ.В. «Об одной задаче сплайн управления» // Дифференциальные уравнения. 1998. No9, с1475−1481.

22. Черноусько Ф. Л. «Декомпозиция и синтез управления в нелинейных динамических системах» // Тр.мат. ин-та РАН. 1995 т 211. с.457−472.

23. Черноусько Ф. Л. «Управление системой с одной степенью свободы при ограничениях на управляющую силу и скорость ечизменения» // Докл. РАН 1999 No4 с.464−472.

24. Черноусько Ф. Л. «Декомпозиция управления динамической системой» // Докл. АН СССР. 1990. т.314. No 4. с. 801−805.

25. Айсагалиев С. А. «К теории управляемости линейных систем» //Авт. и Телемех. 1991. No 2. с. 35−41.

26. Brown R.F., Zezza P. «Multiple local solution to nonlinear control processes» // J. Opt. Theory and Appl. 1990. Vol. 67. No 3. p. 463 485.

27. Коврижкин О. Г., Крамаренко ЕЛ. «Встречный метод решения задачи управления конечным состоянием» // Автоматика и телемеханика. 1994. No3. с.37−42.

28. Коробов В. И., Скляр Г. М. «О множестве позиционных ограниченных управлений решающих задачу синтеза» // ДАН, 1990, т. 312, No6, с.1304−1308.

29. Квитко А. Н. «Об одном методе построения программных движений» // ПММ, т. 65, вып 3. 2001 г. с. 392−399.

30. Квитко А. Н. «Об одной задаче управления» // Дифференциальные уравнения, т. 40, вып. 6. 2004 г. с.740−746.

31. Коробов В. И. «Почти полная управляемость линейной стационарной системы» // Укр. мат. ж. 1986. т.38. No2. с. 163−169.

32. Бессонов Г. А., Коробов В. И., Скляр Г. М. «Задача устойчивого синтеза ограниченных управлений для некоторого класса нестационарных систем» // ПММ. 1988.52. Nol. с.9−15.

33. Емельянов С. В., Коровин С. К. «Критерий управляемости нелинейных динамических систем на плоскости при фазовых ограничениях» // Изв. АН СССР. Тех. Кибернет. 1987. No6. с. 108−114.

34. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г. «Критерий управляемости нелинейных систем» // Докл. АН СССР. 1986. т. 290. Nol. с. 18−22.

35. Kawski М. «A nessesary condition for local controlability» // Contrmp. Math. 1987. 68. p. 143−155.

36. Ковалев A.M., Щербак В. Ф. «Решение двухточечной нелинейной задачи управления с использованием множества траекторий» // Тр. междунар. конф. «Мат. в Индустрии». Таганрог. 1998. с. 338−341.

37. Безгласный С. П. «Стабилизация по части переменных при ограниченности решений по неконтролируемым координатам» // Учен. зап. Ульяновск, гос. ун-та. Фунд. пробл. мат. и мех. 1999. Nol. с. 29−39.

38. Aisagaiev Serikbai A. «The contructive theory of boundary problems of optimal control» // Тез. докл. Междунар. конф., поев. 90-летию со дня рожд. А. С. Понтрягина. Москва. 1998. с.16−17.

39. Смирнов А. В. «О глобальной нуль-управляемости билинейных нестационарных CHCTeM» Int. Congr. Math., Berlin. 1998. p. 18−27.

40. Мастерков Ю. В. «К вопросу о локальной управляемости в критическом случае» // Изв. ВУЗов. Мат. 1999. No2. с. 68−74.

41. Бутенина Н. Н. «Построение множества управляемости в произвольную точку плоскости «Методы анализа нелин. систем. МГУ-М. 1997. с. 29−33.

42. Шолохович Ф. А. «Об управляемости и^{-управляемости} линейных динамических систем в бесконечномерных пространствах» // Изв. УРГУ. Мат. и мех. 1998. Nol. с. 102−126.

43. Пантелеев В. П. «Об управляемости нестационарных линейных систем» // Дифф. ур-я. 1985. т.21. No4. с. 623−628.

44. Панасюк А. И. «Дифференциальные уравнения невыпуклых множеств достижимости» // Мат. заметки. 1985. т.37. No5. с. 717−726.

45. Агладзе В. А., Пономарев Ю. П. «Групповой подход к анализу управляемых систем» // Кибернетика. Киев. 1984. No5. с. 8−11.

46. Гозова В. Н. «К вопросу управляемости линейных систем» // Дифф. ур-я и функц. анализ. М. 1984. с. 88−94.

47. Bittanti S. «H-controIlability and obervability of linear periodic systems» // SI AM. J. Contr. and optim. 1984. 22. No 6. p. 889−893.

48. Jlenc Н.Л. «Геометрический метод исследования управляемости билинейных систем второго порядка» // Автомат, и Телемех. 1984. Nol. с. 19−25.

49. Ohta Y., Maeda Н. «Reachability, observability and realizability of continuous-time positive systems» // SIAM J. Contr. and Optim. 1984. 22. No 2. p. 171−180.

50. Isidori A. «Souse-espaces de commandabilite dans les systems non linears» // Outils et modiles math, autom., anal, syst. et trait signal. Vol. 3. Paris. 1983. p. 599−608.

51. Крищенко А. П. «Управляемость и множества допустимости нелинейных стационарных систем» // Киберн. и вычисл. техн. Киев.1984. No62. с. 3−10.

52. Гуденко А. В., Семенов В. Н. «Гладкие ветви многозначных отображений в проблеме локальной управляемости» // Киберн. и вычисл. техн. Киев. 1984. No62. с. 21−28.

53. Челиковский С. «О связи устойчивости и локальной управляемости» // Вестн. МГУ. вычисл. мат. и кибернет. 1984. No4. с. 44−49.

54. Krogh В. «Guaranteed steering control» // Proc. Amer. Contr. Conf.1985. Vol.2, p. 950−955.

55. Gayek I.E. «Aproximating reachable sets for class of linear control systems» // Int. J. Control. 1986. Vol. 43. p. 441−453.

56. Jurdjevic V., Kupka J. «Polynomial control systems» // Math. Ann. 1985. Vol. 272. No 3. p. 361−368.

57. Aeyels D. «Global controlability for smooth nonlinear systems» // SIAM J. Contr. and Optim. 1985. Vol.23. No 3. p. 452−465.

58. Grasser K.A. «Structure of boundary of attainable set in certain nonlinear systems11// Math. syst. theory. 1985. Vol. 18. No 1. p. 57−77.

59. Луценко A.B., Класенко JI.А. «О полной управляемости систем с малым параметром» // Вестн. Харьк. ун-та. 1985. No277. с. 46−52.

60. Айсагалиев С. А., Онайбаев К. О. «Управляемость нелинейных систем управления11// Изв. АН Каз. ССР. Сер. физ.-мат. 1985. Nol. с. 83−87.

61. Qin Huashu «On the controllbility of nonlinear control systems» // Comput. and Math. 1984. Vol. 10. No 6. p.441−451.

62. Константинов Г. И., Сидоренко Г. В. «Внешняя оценка множетв достижимости управляемых систем» // Изв. АН СССР. Техн. кибернет. 1986. No3. с. 28−34.

63. Chang Rong Jen, Jang Shivu-Jien «Solution of two-point boundary value problems by generalized orthogonal polinomials and application to optimal control of lumped and distributed parameter systems» // Int. J. Contr. 1986. Vol. 43. No 6. p. 1785−1802.

64. Hirsehorn Ronald M. «Strong controllability of nonlinear systems» // SIAM J. Contr. and Optim. 1986. Vol. 24. No 2. p. 264−275.

65. Ковалев A.M. «Устойчивость, управляемость нелинейных механических систем с приложениями к задаче динамики твердого тела» // Math, modes and mech. Warshaw. 1985. p. 322−352.

66. Stefani Giann «Polinomial approximation to control systems and local controllability» // Proc. 24th IEEE Conf. Decis. and Contr. New York. 1985. Vol. 1. p.33−38.

67. Ailon A., Langholz G. «More on the controllability of linear time-invariant systems» Int. J. of Control. 1986. Iss. 4 Vol.44, p. 1162−1186.

68. Афанасьев B.H. «Динамические системы управления с неполной информацией» М. 2007.

69. Sastry S. «Nonlinear systems. Analysis, stability and control» // Interdisc. Appl. Math. Vol.10. New York. 1999.

70. Кондратьев Д. Л., Лотов А. В. «О внешних оценках и построении множеств достижимости для нелинейных управляемых систем» // Журн. Выч. Мат. и Мат. Физ. 1990. т.ЗО. No4. с. 483−490.

71. Burgmeier P., Jahn К. «An interval computational method for approximating controllabitity sets» // Computing. 1990. Vol. 44. No 1. p. 35−36.

72. Соколов B.H. «Ограниченное позиционное управление динамической системы большой размености» // ПММ. 1992. т. 56. No6.

73. Seidman Thomas J. «Invariance of the reachable set under nonlinear perturbation» // SIAM J. Contr. and Opt. 1987. Vol. 25. No 5. p. 11 731 191.

74. Sussmann H.J. «Small-time local controllability and continuity of the optimal time function for linear systems» // J. Optim. Theory and Appl. 1987. Vol.53. No 2. p. 287−296.

75. Wicks Mark A. «A energy approach to controllability» // Proc. 27th IEEE Conf. Desic and Contr. New York. 1988. Vol. 3. p. 2072;2077.

76. Мухариямов Р. Г. «Управление программным движением по части координат» // Дифф. Ур-я. 1989. т.25. No6. с. 938−942.

77. Bardi Martino «A boundary value problem for minimum-time function» // SIAM J. Contr. and Opt. 1989. Vol. 27. No.4. p. 776−785.

78. Adda Philippe «Controllability des systemes bilineaires dans le plane» // Publ. Dep. Math. 1985. No 3. p. 1−56.

79. Корнилов Ю. Н., Петров Ю. П. «Области управляемости линейных систем второго порядка и их реализация» // Вестн. ЛГУ. 1986. No3. с. 108−110.

80. Ванюрихин Г. И., Иванов В. М. «Синтез систем управления движением нестационарных объектов» Машиностроение. 1988. 167с.

81. Balachandran К, Krishan «Controllability of class of perturbed nonlinear systems» // Kybernetica. 1988. 24. No 1. p. 61−64.

82. Balachandran K., Dauer J. «Controllability of nonlinear systems to affine manfolds» // J. Optim. Theory and Appl. 1990. Vol. 64. No 1. p. 15−27.

83. Минюк C.A. «К теории управляемости и достижимости линейных стационарных дифференциально-разностных систем» // Дифф. Ур-я. 1988. т.24. No6. с. 899−902.

84. Емельянов С. В., Коровин С. К., Мамедов И. Г., Никитин С. В. «К теории управляемости нелинейных систем при фиксированных ограничениях» // Докл. АН СССР. 1986. т. 290. Nol. с. 18−22.

85. Кирьянен А. И. «Об управляемости систем с последействием «Дифф. Ур-я в Частн. Произв. Л. 1986. с. 111−116.

86. Пак В. Е., Ченцов А. Г. «Об одной задаче управления с неполной информацией» // Автомат. 1990. No 5. с.

87. Underwood R. Chukwu Е. «Null controllability of nonlinear neutral differential equations» J. Math. Anal, and Appl. 1988. 129. No2. p. 328 345.

88. Leiva Hugo «Local null contollability of linear time varying systems» // Notas Mat. Univ. Andes. No 189. 1999. p.1−6.

89. Chukwu E.N. «Null controlability in function space of nonlinear rutarded systems with limited control» // J. Math. Anal, and Appl. 1984. 103. No 1. p. 198−210.

90. Benzaid «Global null controllability of perturbed linear periodic systems» // IEEE Trans. Autom. Contr. 1987. Vol. 32. No 7. p. 623−625.

91. Булатов B.H. «К управляемости одного класса систем с запаздыванием» // Веснт. Белорус, ун-та. Сер. 10. 1990. с. 66−67.

92. Минюк С. А. «О полной нуль-управляемости и наблюдаемости линейных систем с запаздыванием» // Дифф. Ур-я. 1988. т. 24. No6. с. 1058−1061.

93. Минюк С. А. «Управляемость линейных систем с запаздывающим аргументом в функциональных пространствах» // Дифф. Ур-я. 1988. т. 24. с. 1079−1089.

94. Bartosiewize Z. «Closedness of an attainable set of delay system» // Lect. Notes Conf. Sci.1984. 58. p.63−68.

95. Забелло JI.E. «О полной управляемости ленейных стационарных систем с запаздыванием. «//Изв. Вузов мат. 1985 No4. с 26−34.

96. Забелло Л. Е. «К исследованию приближенной нуль управляемости в линейных нестационарных системах с запаздыванием. «Вестник Белорус. Ун-та 1988 cep. l Nol. с 34−38.

97. Somasudaram D., Balachandran К." Controllability of nonlinear systems consisting of bilinear mode with distributed delays in control" .// IEEE Trans. Autom. Contr. 1984. 29. No6 p.573−575.

98. Sinha A.S. «Null-controllability of nonlinear infinite delay systems with restrained controls «//Int. J. Contr.1985. 42. No3.735−741.

99. Balachandran K. Somsundram D. «Relative controllability of nonlinear systems with time varying delays in control» //Kibernetika 1985. 21. p.14−17.

100. Sinha A.S." Controllability of non-linear delay system" // Int. J. Contr. 1986. 43 No4 зю1305−1315.

101. Balachandran K. «On the controllability of class of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control» .// IEE Proc 1986. No6. P297−300.

102. Balachandran К, Somasundram D. «Controllability of nonlinear delay systems with delay depening on state variable» // Kybernetika. 1986.22. No5. p.439−444.

103. Balachandran K. «Relative controllability of nonlinear systems with delays in control» // Journal A. 1987. 28. Nol. p.25−28.

104. Balachandran K. «Controllability of non-linear systems with delays in both state and control variables» // Kybernetika. 1986. 22. No4. p.340−343.

105. Balachandran K., Krishan «Global relative controllability of nonlinear systems with time-varying multiple delays in control «. Int. J. Contr. 1987. 45. Nol. p. 193−200.

106. Balachandran K. «Null controllability of nonlinear delay systems» .// ." Adv. And Simul. 1989. 15. No2. p.13−18.

107. Galizia A." Minimal controllability for systems with delays" .// Int. j. Contr. 1987. 45. No4. p. 1255−1264.

108. Onwua J. U. «Function-space null-controllabillity of nonlinear delay systems with contributed delays.» // Adv. And Simul. 1987. Nol.p.ll-20.

109. Chukwu E.N. «Function space null controllability of linear delay systems with limited power.» // J. Math. Anal. And Appl. 1987. 124. No2. p. 293−304.

110. Balachandran K., Daner J. «Controllability of perturbed nonlinear delay systems» .// IEEE Trans. Autom. Conf. 1987. 32. No2. зю 172−174.

111. Balachandran К «Global relative controllability of non-linear systems with distributed delays in control «. Adv. Modell. And Simuul. 1987. 7. Nol. p. 28−33.

112. Кирьянен A.M., Шаляпина О. В. «Поточечная синтез управляемость систем с запаздыванием.» Вестник ЛГУ cep. l No2. 1989. с 14−18.

113. Карпук В. В. «К теории нуль управляемости систем с отклоняющимся аргументом» .// Изв. АН БССР.Сер. физ. Мат. Минск 1989;12с. Деп. в ВИНИТИ 05.07.89. No4482-B89.

114. Onwua J. «Null controllability of system with delaed state and control» / / Adv. And Simul. 1989.15. No2.p.l9−37.

115. Zezza P. On the reachable set for linear systems with piecewise constant controls // Bol. Unione mat. Ital. 1986. 5. Nol. p.127−137.

116. Allon Amit, Segev Reuven Driving a linear constant system by a piecewise constant control // Int. Contr. 1988. 47. No3. p.815−825.

117. Кухта К. Я. О решении нелинейной, нестационарной непрерывно-дискретной граничной задачи в теории управления.// Автоматика и телемеханика 1991. No6 с.78−83.

118. Лапин С. В. Кусочно-постоянная стабилизация систем линейных относительно управления.// Автоматика и телемеханика 1992. No6. с.37−45.

119. Fury М., Nistri P., Pera М.Р., Zezza P. L «Linear controllability by piecewize constant control with assigned switching times» // J. Optimize Theory and Apl. 1985. 45. No2 p.219−229.

120. Joshi Mogan C., George Reju K. «Controllability of nonlinear systems» // Numer. Funct. Anal, and Optim. 1989. Vol. 10. No 1−2. p. 139−166.

121. Квитко A.H. «Метод построения программных движений для нелинейной нестационарной системы» // Вестник С.-Петербург.Ун-та. сер. 1. вып. 1. 2004. с. 14−21.

122. Квитко А. Н. «Решение задачи построения дискретного программного управления для нелинейной управляемой системы» // Вестник С.-Петербург. Ун-та. серия прикладная математика, информатика, процессы управления, вып. 3. 2004. с. 140−152.

123. Квитко А. Н. «Об одной задаче терминального управления» // Вестник С.-Петербург.Ун-та. сер. 1. вып. 2. 1997. с. 16−21.

124. Демидова A.M., Квитко А.Н." Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем" //Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2006. Вып. 1. с. 140−147.

125. Демидова A.M., Квитко А. Н. «Алгоритм решения граничной задачи для нелинейной нестационарной управляемой системы с учётом случайных возмущений «//Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 3. с. 115−122.

126. Демидова A.M. «Решение задачи управления «//Пр. управл. и устойчивость. Тр. 36 Межвуз. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ. 2005. с. 24−28.

127. Демидова A.M. «Решение граничной задачи для линейной нестационарной системы в классе дискретных управлений11//Пр. управл. и устойчивость. Тр. 37 Междунар. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ. 2006. с. 20−25.

128. Демидова A.M. «Решение граничной задачи для квазилинейных управляемых нестационарных систем в классе дискретных управле-ний» //Пр. управл. и устойчивость. Тр. 38 Междунар. Науч. Конф. Асп. и Студ. СПб, СПбГУ 2007. с. 22−27.