Математическое и программное обеспечение для исследования систем со сложной динамикой

В современной технике все более широкое применение находят системы, динамика основных рабочих или же вредных режимов которых крайне сложна. Одним из видов таких систем являются системы с колебательными режимами, например, вибровозбудители промышленных и экспериментальных вибрационных установок, различного рода тросовые системы, генераторы релаксационных колебаний в системах связи, лазерные системы и так далее. Необходимо отметить, что в процессе функционирования таких систем могут проявляться и периодические, и хаотические колебания. Например, при низких уровнях энергии накачки в лазерных системах генерируются когерентные периодические колебания, тогда как при высоких уровнях энергии эти системы могут переходить в хаотический (многомодовый) режим. Таким образом, динамика этих систем оказывается чрезвычайно сложной.

Условия и причины возникновения колебаний того или иного типа в технической системе могут быть различны. Более того, колебания разных типов могут возникать, в одной и той же системе при различных ее параметрах. При этом в ряде случаев решение задачи синтеза регулятора для системы управления оказывается крайне затруднительным без предварительного выяснения особенностей динамики объекта управления, таких как положение и вид предельных множеств, особенности точечных отображений, значения показателей Ляпунова и т. п. [27, 49, 37].

Кроме того, большинство из перечисленных выше примеров систем со сложной динамикой являются нелинейными. Известно [19, 50, 51], что аналитическое исследование нелинейных динамических систем очень часто оказывается чрезвычайно сложной задачей, приводящей 6 к необходимости применения методов имитационного моделирования. Существующие же в настоящее время программные средства для исследования систем со сложной динамикой не полностью удовлетворяют возросшим требованиям [5, 18].

Необходимо также отметить, что в настоящее время существенно возрос интерес к практическому применению одного из видов систем со сложной динамикой — хаотических систем. Построение же систем управления объектами с динамикой указанного типа без применения методов имитационного моделирования и соответствующих программных средств обработки результатов экспериментов по сути невозможно [1, 43, 44, 45].

Вопросы исследования систем со сложной динамикой, в том числе нелинейных колебательных систем, достаточно давно и детально рассматривались как в отечественной, так и в зарубежной литературе (см. труды Ф. М. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколова [20]- И. И. Блехмана [10]- Ю. И. Неймарка и Л. П. Ланды [16]- А. Найфе [17]- Т. Паркера и Л. Чуа [50, 51] и др.). Однако соответствующие программные средства для проведения исследования таких систем до сих пор не разработаны. Таким образом, существует задача разработки специализированного математического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

Другой существенной проблемой, возникающей при исследовании систем со сложной динамикой является разработка математических моделей исходной системы. В частности, известные методы построения математических моделей механических объектов [4, 32] громоздки и сложны. Следствием этого является возможность возникновения значительного числа ошибок при разработке математических моделей и увеличение сроков исследования. В настоящее время разработан ряд новых методов построения математических моделей меха7 нических объектов, включая объекты со сложной динамикой. Один из таких методов основан на разработанной д.физ.-мат.наук, профессором В. А. Коноплевым агрегативной теории. Указанный метод позволяет производить разработку математических моделей, ориентированных на проведение в дальнейшем имитационного моделирования исходных объектов. Разработка методики применения указанного метода для создания программ для имитационного моделирования, ориентированной на использование современных средств автоматизации научных и инженерных расчетов, в частности пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM, является важной задачей.

Не менее актуальной является и задача синтеза систем управления объектами со сложной динамикой, поскольку задачи управления колебаниями в нелинейных системах, в том числе задачи управления хаотическими колебаниями, имеют много приложений в различных областях техники [46, 1, 6, 31, 44]. Указанные задачи приходится решать при управлении вибрациями, синхронизации механических и электрических хаотических процессов. Вследствие неполноты априорной информации об объекте управления в реальных системах при решении этих задач возникает необходимость применения адаптивных регуляторов [22, 45].

В 90-х годах в совместной научно-исследовательской лаборатории Балтийского государственного технического университета и Института проблем машиноведения «Управление сложными системами» под руководством д.т.н. профессора А. Л. Фрадкова был разработан общий подход к синтезу непрерывных систем управления нелинейными процессами в условиях неопределенности, основанный на применении принципов адаптации, методов функций Ляпунова и скоростного градиента. Однако вопросы возможности применения указанного общего подхода к решению задач управления механическими системами со 8 сложной, в том числе хаотической, динамикой были рассмотрены не полностью.

Необходимо отметить, что в настоящее время все большее применение в системах управления находят средства электронной вычислительной техники, в частности специализированные и универсальные ЭВМ. При этом возникает необходимость в разработке соответствующих управляющих программ. Однако анализ литературы показал [9, 21], что в ряде случаев разработка таких программ затруднена в силу их высокой сложности и недостаточности методического обеспечения разработки. Следовательно, для снижения трудоемкости и сложности разработки программного обеспечения ЭВМ, управляющих системами со сложной динамикой, целесообразно создать соответствующую методику разработки.

Таким образом, разработка специализированного программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой, а также адаптивных алгоритмов управления колебаниями механических систем является актуальной проблемой. Исходя из вышеизложенного, целью настоящей диссертации является разработка математического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой и алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной, в том числе хаотической, динамикой.

Для достижения поставленной цели в работе решались следующие задачи:

1. Разработка математического обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

2. Разработка программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой.

3. Разработка и исследование алгоритмов управления колебательными режимами механических систем со сложной динамикой. 9.

4. Разработка методики применения агрегативного метода для создания программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой, ориентированная на использование средств автоматизации научных и инженерных расчетов.

5. Разработка экспериментальной лабораторной установки для исследования систем управления колебательным механическим объ ектом.

6. Создание методики разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанной на методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

7. Исследование разработанных алгоритмов управления методом численного моделирования и с использованием разработанной экспериментальной лабораторной установки с целью подтверждения работоспособности алгоритмов и оценки качества управления.

Настоящая работа состоит из четырех глав, введения и заключения. В первой главе работы представлен анализ существующих задач, возникающих при исследования систем со сложной динамикой с использованием электронно-вычислительных машин. Такими задачами являются: расчет траекторий динамических систем с непрерывным и дискретным временем, расчет бифуркационных диаграмм, построение фазовых портретов, построение точечных отображений, а также задачи вычисления показателей Ляпунова и размерностей притягивающих множеств. Кратко проанализированы назначение и методы решения указанных задач. Кроме того, представлен обзор существующих программных средств, позволяющих автоматизировать процесс исследования. Показано, что в настоящее время программ.

10 ные средства решения ряда задач, например, таких как расчет траекторий динамических систем, существуют, доступны и полностью удовлетворяют современным требованиям, предъявляемым к ним, тогда как программы решения других задач (например, построения точечных отображений, вычисления размерностей) отсутствуют, недоступны или же не соответствуют предъявляемым к ним в настоящее время требованиям. Показана необходимость разработки новых адаптивных алгоритмов управления колебаниями механических систем.

Во второй главе представлены основные алгоритмы, разработанные для решения перечисленных выше задач, возникающих при исследовании динамики систем методами математического моделирования. На основе анализа основных задач, перечисленных в первой главе, и соответствующего программного обеспечения произведен отбор алгоритмов, требующих реализации в разрабатываемом комплексе программ для исследования динамики. Таковыми являются алгоритмы построения точечных отображений (сечений Пуанкаре), вычисления показателей Ляпунова, вычисления фрактальной размерности притягивающих множеств и алгоритмы восстановления притягивающих множеств. Показано, что в качестве основного средства для разработки комплекса программ целесообразно выбрать пакет прикладных программ MATLAB, нашедший широкое распространение для автоматизации научных и инженерных расчетов и предоставляющий широкие возможности для самостоятельной разработки дополнительных модулей специализированного назначения и пакет программ ADAM, разработанный в Балтийском Государственном Техническом университете. Пакет ADAM позволяет упростить процедуру математического описания исследуемого объекта и получать итоговую информацию в стандартной форме MATLAB. Представлено описание разработанного комплекса программ для решения задач анализа динамики си.

11 стем управления.

В третьей главе представлены результаты разработки адаптивных алгоритмов управления механическими колебательными системами. Алгоритмы управления разработаны на основе метода скоростного градиента. При этом в качестве объекта управления рассматриваются механические системы типа многозвенных маятников, нашедшие широкое применение в технике (манипуляторы промышленных и экспериментальных робототехнических комплексов и т. д.). В качестве цели управления выбрана стабилизация заданного уровня колебаний системы. Такая постановка задачи позволила решить как проблему гашения колебаний, так и их возбуждения. И та, и другая задачи часто встречаются в различных механических системах. Кроме того, разработан алгоритм обеспечения заданных значений отдельных показателей динамики механической системы, таких как показатель Ляпунова. Решение этой задачи может найти применение при разработке перспективных смешивающих установок [46], различных вибрационных устройств. Представлены результаты исследования системы управления двойным маятником, построенной с использованием разработанных алгоритмов, их работоспособность подтверждена методами математического моделирования. Для исследования динамики разработанной системы использовано представленное в главе 2 программное обеспечение.

В четвертой главе представлены результаты разработки экспериментальной лабораторной системы управления колебательной механической системой с использованием ЭВМ. Закон управления разработан на основе представленных в главе 3 результатов, а программные средства для управляющей ЭВМ разработаны на основе представленной в данной главе методики разработки управляющих программ. Приведены результаты лабораторных экспериментов, под.

12 тверждающих работоспособность разработанных алгоритмов. Кроме того, представлена математическая модель системы управления и результаты математического моделирования, также подтверждающие полученные ранее выводы. Приводятся также результаты применения созданного программного комплекса для исследования динамики вибрационного стенда СВ-1. Показано, что предложенный программный комплекс позволяет уже на этапе проектирования выявить ряд существенных особенностей динамики объекта управления, например таких, как переход от периодических колебаний к нерегулярным и хаотическим под влиянием различных факторов.

В целом, в работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен систематический набор показателей, позволяющих производить классификацию типов движения нелинейных колебательных систем.

2. Предложен комплекс алгоритмов численного определения ряда показателей, характеризующих поведение систем со сложной динамикой.

3. Показана возможность применения метода скоростного градиента для разработки алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной динамикой.

4. Получено решение задачи достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова путем стабилизации полной энергии колебаний для механических колебательных систем.

5. Предложена методика применения агрегативного метода для создания программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой, ориентированная на использование средств автоматизации научных и инженерных расчетов — пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM.

6. Предложена методика разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанная на методе деком.

13 позиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

7. Разработана экспериментальная лабораторная установка, предназначенная для исследования систем управления механическим объектом со сложной динамикой.

Научная новизна проведенного исследования заключается в следующем:

1. Обеспечена возможность проведения классификации типов поведения механических колебательных систем по результатам имитационного моделирования и лабораторных экспериментов на базе единого комплекса алгоритмов исследования и программ обработки экспериментальных данных.

2. Впервые поставлена и решена задача достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова для механических колебательных систем.

3. Показана возможность применения метода скоростного градиента для решения задачи достижения заданного показателя Ляпунова.

4. Разработан новый алгоритм возбуждения колебаний в механических системах со сложной динамикой, обеспечивающий достижение заданного значения показателя Ляпунова.

5. Показана возможность применения число-импульсных алгоритмов для управления механическими колебательными системами.

6. Предложена методика применения агрегативной теории для разработки МАТЬАВ-программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой.

7. Предложен систематический подход к разработке циклически исполняемых программ для управляющих ЦВМ, основанный на.

14 методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

Практическая ценность проведенного исследования заключается в следующем:

1. Разработанный комплекс программ позволяет ускорить получение результатов численного исследования систем со сложной динамикойвычислять значения отдельных специфических параметров таких систем.

2. Разработанные алгоритмы управления режимами колебаний механических систем позволяют обеспечить заданное значение динамических характеристик механических колебательных систем, в частности, заданную степень нерегулярности колебаний.

3. Разработанная экспериментальная лабораторная установка для исследования динамики механической системы позволяет проводить исследование различных алгоритмов управления как в разомкнутом, так и в замкнутом контуре управления. Указанная экспериментальная установка может быть использована при проведении лабораторных работ по курсу «Теория автоматического управления» и в ходе ряда фундаментальных научно-исследовательских работ.

Разработанные методы, модели и программы являются частью работ, проводимых в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция» (проект 2.1−589 «Развитие и поддержка Санкт-Петербургского учебно-научного центра «Проблемы машиностроения, механики и процессов управления»), а также госбюджетной НИР У4−03−5527. Ряд полученных результатов использован при разработке перспективных управляющих комплексов в КБ АО «Арсенал» им. М. В. Фрунзе.

Комплекс математических моделей и методика их применения переданы на кафедру Систем автоматического управления БГТУ им.

Д.Ф.Устинова. Результаты исследований использованы при дипломном проектировании и при проведении занятий по специальности «Испытания и эксплуатация информационно-вычислительной техники» .

Основные результаты работы докладывались на Пятой международной Балтийской студенческой олимпиаде по автоматическому управлению, Санкт-Петербург, 2−4 октября 1996 г., Зеи Международной конференции по управлению движением и вибрацией (МОУ1С'9б), Чи-ба, Япония, 10 -14 июня 1996 г., Международной конференции «Информатика и управление», Санкт-Петербург, 9−13 июня 1997 г. По материалам диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ.

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ И СИНТЕЗА АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ОБЪЕКТАМИ СО СЛОЖНОЙ ДИНАМИКОЙ.

Нелинейные системы часто демонстрируют очень сложное поведение, хотя описывающая их математическая модель может быть достаточно простой [1]. Кроме того, попытки аналитически найти решение системы нелинейных дифференциальных уравнений не всегда успешны. Следовательно, при изучении таких систем особенно высока роль методов математического моделирования [49]. Необходимо также отметить возрастание интереса к исследованию нелинейных систем, обусловленное появлением недорогих и мощных средств вычислительной техники, а также открытием новых явлений динамики этих систем [45].

В последние годы активно проводится изучение нелинейных систем с хаотической динамикой [1, 6], причем их исследование проводится, в основном, методами математического моделирования. Существует ряд алгоритмов, предназначенных для оценки важных динамических характеристик (показателей Ляпунова, фрактальной размерности и т. п.) этих систем. Однако, далеко не все такие алгоритмы реализованы или же, что встречается наиболее часто, их программные реализации недоступны в силу ряда причин.

В то же время, задачи адаптивного управления колебаниями в нелинейных системах, в том числе задачи управления хаотическими колебаниями, имеют много приложений в различных областях техники, например, при управлении технологическими процессами [46], в физике [1, 6], химии [31], биологии, системах связи [44]. Указанные.

17 задачи приходится решать при управлении вибрациями, синхронизации механических и электрических хаотических процессов, в целях обеспечения конфиденциальной связи, в медико-биологических задачах и др. Необходимость применения адаптивных регуляторов при решении этих задач является следствием неполноты априорной информации об объекте управления в реальных системах [22, 45].

4.7. Выводы.

На основании полученных в настоящей главе результатов можно сделать следующие выводы:

1. Представленная методика разработки программных реализаций математических моделей с использованием средств ППП MAT-LAB позволяет снизить число ошибок в программной реализации и трудоемкость разработки. Указанный эффект достигается снижением общего числа выполняемых вручную математических выкладок. Снижение числа выкладок становится возможным за счет того, что агрегативная теория предполагает использование матричных операций, которые реализуются ППП MATLAB.

2. Показана работоспособность нетрадиционных алгоритмов управления колебательными механическими системами — число-импульсных алгоритмов.

3. Предложенное программное обеспечение для исследования динамики позволяет на этапе проектирования выявить ряд особенностей поведения системы, указать источники резких качественных изменений в поведении исследуемого объекта.

4. Полученные результаты могут быть применены в учебном процессе при обновлении учебно-лабораторной базы (цикл из 4−7 лабораторных работ), а также при проведении научно-исследовательских работ для изучения импульсных систем управления колебаниями.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей работе представлены результаты разработки алгоритмического и программного обеспечения для исследования систем со сложной динамикой и алгоритмов управления колебательными механическими системами с хаотической динамикой.

В целом, в работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен систематический набор показателей, позволяющих производить классификацию типов движения систем со сложной динамикой.

2. Предложен комплекс алгоритмов численного определения ряда показателей, характеризующих поведение систем со сложной динамикой. К числу таких алгоритмов относятся: алгоритм, обеспечивающий построение сечений Пуанкареалгоритм вычисления оценки максимального показателя Ляпуновавычисления фрактальной размерности и восстановления притягивающих множеств. Указанные алгоритмы сложны для реализации с использованием средств автоматизации инженерных и математических вычислений и требуют от разработчика глубоких знаний в предметной области и значительного опыта в создании программ.

3. Разработанный комплекс программ позволяет ускорить получение результатов численного исследования систем со сложной динамикой и при использовании возможностей пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM практически полностью автоматизировать процесс исследований. Обеспечена возможность проведения классификации типов поведения механических колебательных систем по результатам имитационного моделирования на базе единого комплекса алгоритмов исследования и программ обработки экспериментальных данных.

Ill.

4. Показана возможность применения метода скоростного градиента для разработки алгоритмов управления колебательными механическими системами со сложной динамикой.

5. Впервые поставлена задача достижения заданного значения максимального показателя Ляпунова путем стабилизации полной энергии колебаний для механических колебательных систем и получено ее решение. Показана возможность применения метода скоростного градиента для решения задачи достижения заданного показателя Ляпунова.

6. Разработан ряд новых алгоритмов возбуждения колебаний в механических системах со сложной динамикой, в частности, алгоритм, обеспечивающий достижение заданного значения показателя Ляпунова. Показана возможность применения числоим-пульсных алгоритмов для управления механическими колебательными системами. Указанные алгоритмы могут найти применение при разработке перспективных систем управления компонентами химико-технологических комплексов, бытовой техники.

7. Предложена методика применения агрегативной теории для разработки программ, реализующих математические модели механических объектов со сложной динамикой. Методика ориентирована на использование пакетов прикладных программ MATLAB и ADAM. Указанная методика позволяет снизить трудоемкость разработки программ для проведения имитационного моделирования и сократить число ошибок.

8. Предложена методика разработки циклически исполняемых программ для управляющих ЭВМ, основанная на методе декомпозиции-синтеза и анализе временных диаграмм функционирования системы.

9. Разработана экспериментальная лабораторная установка, предназначенная для исследования систем управления механическим объектом со сложной динамикой. Указанная экспериментальная установка позволяет проводить исследование различных алгоритмов управления как в разомкнутом, так и в замкнутом контуре управления. Экспериментальная установка может быть использована при проведении лабораторных работ по курсу «Теория автоматического управления» и в ходе ряда фундаментальных научно-исследовательских работ.

10. Разработанные методы, модели и программы являются частью работ, проводимых в рамках Федеральной целевой программы «Интеграция» (проект 2.1−589 «Развитие и поддержка Санкт-Петербургского учебно-научного центра «Проблемы машиностроения, механики и процессов управления»). Ряд полученных результатов использован при разработке перспективных управляющих комплексов в КБ АО «Арсенал» им. М. В. Фрунзе.

11. Комплекс математических моделей и методика их применения переданы на кафедру Систем автоматического управления БГ-ТУ им. Д. Ф. Устинова. Результаты исследований использованы при дипломном проектировании и при проведении занятий по специальности «Испытания и эксплуатация информационно-вычислительной техники» .