Математическое моделирование двумерных фильтрационных течений к водозабору в кусочно-неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения

Актуальность темы

исследования и обзор литературы. Общие запасы воды на земном шаре составляют 1386 млн. км3 [56]. Из них большая часть значительно минерализована или солёная. Объём пресных вод составляет 35 млн. км3, т. е. 2,5% общего запаса воды на Земле, причём их основная часть представляет собой ледники и снежные покровы Антарктиды, использование которых в промышленности и быту крайне осложнено. Потребление же пресной воды во всём мире неуклонно возрастает. Открытые водные бассейны уже не могут удовлетворить потребности в пресной воде. Поэтому в последнее время всё более широко и интенсивно потребляются подземные воды.

Подземные воды издавна используются человеком как источники питьевой воды. Без них не получили бы освоение и развитие обширные территории Австралии, засушливые районы Африки, Азии и Америки. На использовании подземных вод основывается современное водоснабжение крупнейших городов европейской части России. Такие города, как Курск, Брянск, Тула, Рязань получают воду, главным образом, из подземных горизонтов. Сейчас всё большую и большую роль подземные воды начинают играть даже в тех районах, где ранее водоснабжение основывалось на поверхностных водах. Связано это в первую очередь с тем, что в поверхностные воды попадают загрязнённые стоки с предприятий, животноводческих ферм, возделываемых полей. Сотни рек во всех развитых в промышленном отношении странах загрязнены настолько, что не могут уже служить источниками водоснабжения. К таким рекам, частично или полностью, относятся все большие реки европейской части России — Дон, Волга, Ока, Кама. Не менее важным фактором, определяющим преимущество использования подземных вод над поверхностными, является то обстоятельство, что они значительно лучше защищены от любого вида загрязнения, не имеют механической загрязнённости и в ряде случаев не требуют специального обеззараживания.

Таким образом, важнейшая роль подземных вод в жизни человечества определяет необходимость надёжной их охраны. Если профилактические мероприятия по предупреждению загрязнения подземных вод оказались не эффективными, или они вообще не проводились, то в области фильтрации появляются участки распространения загрязнённых вод — очаги загрязнения. Источники загрязнения, из которых в подземные воды поступают загрязняющие вещества, могут быть весьма разнообразны. Это и хранилища промстоков, и участки складирования нефтепродуктов или газовой продукции и сырья химической промышленности, и многие другие участки скопления жидких и твёрдых отходов. Источниками загрязнения могут быть также загрязнённые реки, горные выработки, районы техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий. Потребление же подземных вод выдвигает важную проблему изучение условий, обеспечивающих их чистоту. Прогноз процесса загрязнения, выявление областей (очагов) загрязнения, изучение условий работы водозаборов без загрязнения и другие направления исследований относятся к числу основных гидрогеологических задач [15].

Впервые работа водозаборных скважин с учётом естественного потока подземных вод была рассмотрена Форхгеймером [152]. Им было показано, что наличие потока подземных вод приводит к существенным изменениям фильтрационного течения к скважинам, а при работе береговых скважин вблизи поверхностного водоёма наличие естественного потока, стекающего в водоём, препятствует проникновению поверхностных вод в пласт. Форхгеймером даются условия, наложенные на дебит одиночной скважины и скважин линейного ряда, при которых не происходит подтягивания воды из загрязнённого водоёма. Опираясь на проведённые исследования [152] и моделируя скважины точечными стоками, задача об установившейся фильтрации к водозаборным скважинам в однородном пласте сводится к задаче о наложении прямолинейно-поступательного потока на систему точечных стоков. Эта задача разбирается в курсе гидродинамики [74] и для её решения применяется один из наиболее мощных средств математического анализа — аппарат теории функций комплексного переменного [35, 163, 110]. При решении задач в простейших кусочно-однородных средах используется метод подбора особых точек. Так, в работах В. П. Пилатовского [127−129], С. Д. Осятинского [102], М. И. Хмельника [155 — 160], М. Ф. Бариновой [5] и других, непроницаемые включения или каверны имитируются соответствующим образом подобранными особыми точками. Для кусочно-однородных сред с каноническими границами (окружностью, прямой) в работах Г. Б. Пыхачёва [138], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], В. Н. Щелкачёва [165, 166], A.M. Пирвердяна [131, 132] применяется метод изображения особых точек. Разработанный Н. Е. Жуковским [54] метод конформных отображений позволил решить большое число задач для однородного грунта. Применительно к кусочно-однородным и кусочно-неоднородным средам лишь некоторые частные задачи решены этим методом [35, 36, 139, 110]. Используя известные решения фильтрационных задач, метод конформных отображений позволяет строить новые течения, однако, полученные результаты не всегда могут представлять практический интерес [35].

Нахождению эффективных решений задач фильтрации при частном предположении о характере течения посвящено большое число работ [139]. В них изучаются поступательные фильтрационные потоки, течения, обусловленные точечными источниками или стоками при наличии разнообразных межзональных границ. Все известные работы, посвященные граничным задачам в неоднородных средах, можно разделить на плоскопараллельные и двумерные, частным случаем последних являются осесимметричные. Проведённые рядом авторов исследования плоскопараллельных задач фильтрации можно разделить на три группы. К первой относятся фильтрационные задачи, в которых межзональные границы моделируются прямыми линиями. Этим исследованиям посвящены работы М. А. Лукомской [83], В. Н. Шелкачёва и Б. Б. Лапука [166], Г. Г. Тумашева [148], О. В. Голубевой [33 -35, 139], Л. В. Костицыной [73], И. А. Чарного [162], A.M. Пирвердяна [131], Г. Б. Пыхачёва [138], А. Н. Куликова [75]. Моделирование межзональных границ окружностями рассмотрены в работах П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], М. А. Лукомской [84], О. В. Голубевой [34, 35, 41, 139]- Н. В. Ламбина [76−79], М.А. Гусейн-Заде [48], Л. И. Костициной [72]. Для произвольных межзональных границ общие методы решения предложены Н. В. Ламбиным [76−79], В. П. Пилатовским [130]. Исследованию частных задач посвящены работы Г. Г. Тумашева [148, 149], Г. В. Голубева [29 — 32], Ш. И. Георгице [169, 170], И. А. Чарного [162, 163], О. В. Голубевой и А. Я. Шпилевого [41], В. Ф. Пивня [109, 103], М. И. Хмельника [155].

Так как реальные фильтрационные слои имеют сложную геологическую структуру, то большой интерес представляют двумерные течения в этих слоях. В работах А. Вайнштейна [174- 176] разработан аппарат обобщённых осесимметричных функций. О. В. Голубевой развита теория двумерного движения идеальной жидкости в слоях на криволинейных поверхностях [35]. Г. С. Салеховым [143] и А. Г. Тукаевым [147] рассмотрена фильтрация в пластах, для которых проводимость Р удовлетворяет уравнению Aj~P — ал[Р = 0 {а = const). В слоях со степенным законом изменения проводимости развит метод построения решений в работах Ю. А. Гладышева [27] и Н. И. Гайдукова [26]. Для пласта с экспоненциальным законом изменения проводимости найден ряд частных решений в работах В. А. Юрисова [167]. В работах [16, 17] К. Н. Быстровым предложен способ нахождения частных решений основанный на использовании операции Е-дифференцирования и Е-интегрирования. В дальнейшем К. Н. Быстров разработал метод изучения течений в пластах с переменной проводимостью, основанный на использовании теории квазианалитических функций [18−21]. Изучению течений в пластах с переменной проводимостью посвящены исследования Г. Б. Пыхачёва [137, 138], P.M. Насырова [97, 98], Н. С. Пискунова [133], Г. Г. Вахитова [22, 23], Ф. М. Мухаметзянова [96], Т. Оровяна [171], П.Я. Полубариновой-Кочиной [134, 135], О. В. Голубевой [35], В. Ф. Пивня [104, 105, 112, 113, 116, 172],.

С.Е. Холодовского [161] и других авторов. Развивая теорию двумерных задач, в своих работах такие авторы, как И. И. Данилюк [51, 52], В. Ф. Пивень [106 -108, 111, 112], Ю. А. Гладышев [28] изучают осесимметричные течения. Эти исследования обогащают класс решённых в конечном виде трёхмерных фильтрационных задач в неоднородных и кусочно-неоднородных слоях.

Обладая известным преимуществом, отмеченные аналитические методы решения граничных задач весьма «чувствительны» к изменению области фильтрации. При сложных формах её границ применение этих методов связано со значительными (часто непреодолимыми) трудностями. Поэтому, разрабатываются и усовершенствуются, обладающие большей универсальностью, приближённые методы решения граничных задач. Так, в аэродинамике широкое распространение получил метод дискретных особенностей [80 — 82, 49, 68, 145]. К интегральным уравнениям сводятся и решаются численными методами краевые задачи электродинамики [70, 54, 25]. В неоднородных фильтрационных слоях грунта В. Ф. Пивнем и его учениками задачи сопряжения исследуются численными методами [115−123, 101, 153, 67, 60, 63].

Богатый опыт, накопленный в решении граничных задач, является прочной основой для дальнейших исследований в области подземной гидродинамики. В силу отмеченной актуальной проблемы защиты подземных вод от загрязнения насущной задаче об эксплуатации водозаборов в слоях (пластах грунта), содержащих очаги загрязнения, посвящены работы [11 — 15, 36 — 40, 42−46, 85, 87−91, 93−95, 99, 140, 141, 150, 154]. Большой вклад в развитие указанного направления исследования в гидродинамике сделан такими учёными, как В. М. Гольбергом, E. JL Минкиным, О. В. Голубевой, Ф. М. Бочевером, А. Е. Орадовской, И. Г. Бобковой, И. С. Муродовым и другими. Для обоснования качества отбираемых эксплуатационными скважинами подземных вод в работах В. М. Гольберга [42−44] исследуется структура фильтрационного потока к совершенным скважинам с учётом потока подземных вод. Определению зон санитарной охраны водозаборов посвящены труды E.JI. Минкина [88, 89]. Критерии работы берегового водозабора без загрязнения для различных частных случаев рассмотрены И. Г. Бобковой [7 — 9], А. Н. Куликовым [75] В. Д. Бабушкиным [4] О. В. Голубевой и И. С. Муродовым [39]. Максимальный дебит скважины, работающей вблизи водного бассейна с границей в виде окружности, рассчитан в работе [10]. Фильтрационные течения в пласте-полосе с непроницаемыми границами изучены В. М. Гольбергом [44], в полосе между двумя водоёмами — А. В. Романовым [142], С. Ф. Аверьяновым [1]. В. М. Шестаковым рассматриваются две принципиально различные постановки задачи оценки условий загрязнения подземных вод [164]. В первой постановке оцениваются условия загрязнения водозабора подземных вод за счёт подтягивания воды из известного очага загрязнения. Во второй — оценивается характер распространения загрязнения в подземных водах (при фильтрации из бассейнов промстоков и при закачке промстоков в подземные водоносные горизонты).

В первой постановке, при изучении возможностей загрязнения водозабора, прежде всего оценивается область захвата подземных вод водозабором, из которой вода может поступать в эксплуатационные скважины. В пределах этой области устанавливается зона санитарной охраны водозабора [88], территория на которой ограничивается хозяйственное использование земли требованием предотвращения загрязнения подземных вод. Область захвата определяется как область, в которой линии тока направлены к водозаборным скважинам. Эта область ограничена, так называемой, нейтральной линией тока. Расчёт области захвата обычно производится в условиях стационарного или квазистационарного режима (см. работы [164, 88, 11, 44]).

Во второй постановке, при изучении распространения загрязнения, искусственно подаваемого в водоносные слои грунта или находящегося в них в виде захоронения (могильника), оценивается развитие его области во времени. Причем ставится условие, чтобы это загрязнение не могло достигнуть мест возможного использозания воды.

Систематические исследования и решение конкретных задач о течениях к скважине в сложных гидрогеологических условиях и определение условий работы скважины без загрязнения, проведено О. В. Голубевой. В её работе [36] изучены задачи о течениях к скважине в условиях поступательного потока грунтовых вод в слоях с «различными границами загрязнённого бассейна. Здесь же указаны общие математические методы решения задач о загрязнении скважины. В работах [7, 10, 36, 39, 75, 139] поставлены и решены задачи об определении критического дебита водозабора, работающего в слое с очагами загрязнения, моделируемыми каноническими кривыми (прямой, окружностью). С счётом особенностей рассмотренных задач (задачи обладают симметрией или в качестве очага загрязнения рассмотрен бассейн со свободной жидкостью) удаётся предсказать характер области захвата водозабора, а следовательно — использовать простой критерий для определения критического дебита: критическая точка течения расположена на границе загрязнения.

Таким образом, в подавляющем большинстве известных работ при изучении течений и определении условий, исключающих возможность подтягивания загрязнения к эксплуатационной скважине проводились для загрязнённых или засолённых водоёмов. Расчёты предельно допустимого дебита водозабора, работающего без загрязнения в основном проводились для слоёв постоянной проводимости и границ загрязнения в виде прямых, окружностей.

При этом, в задачах об определении предельно допустимого дебита водозабора не рассматривались вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Известны работы [109], в которых определены вымываемые только поступательным потоком грунтовых вод шлейфы из очагов загрязнения, ограниченных кривыми второго порядка. Другая, важная в практическом отношении задача об определении зон санитарной охраны водозаборов решена в предположении однородности грунта. Естественные же фильтрационные слои имеют сложную структуру, да и границами загрязнения в общем случае являются произвольные кривые, которые лишь в грубом приближении можно считать прямыми и окружностями. К тому же, в фильтрационном слое могут находиться очаги загрязнения, проводимость которых конечна и отличается от проводимости соприкасающегося с ним грунта. Границами очагов загрязнения в общем случае являются произвольные кривые. В частности такие очаги загрязнения появляются в районах техногенных катастроф и чрезвычайных происшествий.

Таким образом, в известных трудах не исследованы задачи о работе эксплуатационных скважин без загрязнения в неоднородных слоях при наличии в них произвольных границ загрязнения и в этих условиях не рассмотрены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. В связи с этим, в сложном по геологической структуре фильтрационном слое поставим задачу об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение и исследование этой задачи, помимо самого шлейфа, позволяет найти условия при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора в области фильтрации, его критический (предельно допустимый) дебит), а в случае загрязнения водозабора — определить относительное загрязнение вод в водозаборе (коэффициент загрязнения водозабора).

Целью работы является построение и исследование новых математических моделей двумерных течений к водозаборам в неоднородных слоях, содержащих очаги загрязнения, исследование вымываемых загрязнённых шлейфов, определение условий работы водозаборов без загрязнения, а в случае загрязнения — коэффициента загрязнения водозабора.

Научная новизна и теоретическое значение работы определяются следующим:

1. Построены и изучены новые математические модели двумерных течений к водозаборам, работающим без загрязнения в сложных по геологической структуре слоях. Проводимость слоёв моделируется степенной функцией координат, а границы загрязнения — кривыми класса Ляпунова.

2. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения. Решение этой задачи позволяет указать условия, при которых водозабор не загрязняется (указать расположение водозабора и его критический дебит), а в случае загрязнения — определить коэффициент загрязнения водозабора.

3. Для канонических границ (прямая, окружность) получены в конечном виде новые решения задач об определении шлейфа вымываемого загрязнения, найден критический дебит водозабора, работающего без загрязнения. Эти решения используются в качестве тестовых при численных расчётах задач в случае сложных границ загрязнения.

4. Для сложных границ загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование шлейфа вымываемого загрязнения сводится к решению интегрального уравнения второго рода типа Фредгольма. Для его решения используется метод дискретных особенностей (МДО). Этот метод позволил значительно расширил класс исследуемых задач и рассмотреть очаги загрязнения, ограниченные кусочно-ляпуновскими кривыми.

5. Построены вымываемые из очагов загрязнения шлейфы. Указаны условия, при которых водозаборы, расположенные в кусочно-неоднородных слоях работают без загрязнения: найдены их местоположения в слое и критические дебиты. Исследовано влияние различных параметров фильтрационного течения на размеры вымываемых шлейфов загрязнения, на предельно допустимый дебит водозабора.

Сведение задачи к интегральному уравнению и применение МДО позволили значительно расширить класс решаемых задач. Построенные и исследованные модели граничных задач двумерных фильтрационных течений могут быть применены к другим физическим процессам, описываемыми аналогичными уравнениями.

Практическая значимость работы. В работе построен и изучен широкий класс новых двумерных (в том числе осесимметричных) моделей фильтрационных течений. Эти модели применены к расчёту конкретных природных слоев (пластов), содержащих очаги загрязнения и имеющие сложную геологическую структуру.

Найден вымываемый шлейф загрязнения, указаны условия работы водозаборов без загрязнения, определены области захвата эксплуатационных скважин (зоны их санитарной охраны). Исследованы влияния на размеры вымываемых шлейфов и на предельно допустимую мощность работающего без загрязнения водозабора неоднородности слоя, формы, размера и проницаемости очагов загрязнения, удалённости водозабора от загрязнённой области. Исследовано влияние симметрии задачи на предельно допустимый дебит водозабора. Результаты этих исследований позволили определить условия, при которых вместо сложных численных расчётов на основе интегральных уравнений, можно использовать простые (в ряде случаев известные) формулы для нахождения предельно допустимого дебита.

Результаты исследований могут быть использованы в природоохранных мероприятиях, в частности, для определения зон санитарной охраны водозаборов и расчёта их предельно допустимых дебитов.

Достоверность результатов работы обеспечивается строгостью проведённых математических исследований, подтверждена сопоставлением полученных аналитических и численных решений конкретных задач с известными результатами, которые являются частными случаями полученных решений.

Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: «Проблемы гидродинамики» Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), «Интегральные уравнения» факультета ВМК МГУ им. М. В. Ломоносова (рук. профессор Е. В. Захаров, профессор И. К. Лифанов), на заседании кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (зав. кафедрой профессор В.Ф. Пивень).

По мере получения основные результаты работы докладывалась на семинарах «Проблемы гидродинамики» в ОГУ (1999 — 2003 г.), ежегодных конференциях преподавателей ОГУ (1997;2003 г.), на Международной научно-практической конференции «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, ОрёлГТУ, 1999 г.), на IX Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (г. Орёл, ОГУ, 2000 г.), на X Международном симпозиуме «Методы дискретных особенностей в задачах математической физики» (посёлок Лазурное Херсонской области, ХГПИ, 2001 г.), на VIII Четаевской международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением», (г. Казань, Казанский гос. техн. ун-т, 2002 г.).

Кроме того, основные результаты работы представлены в виде опубликованных докладов и тезисов докладов на Всероссийской научно-практической конференции «Новое содержание образования и проблемы готовности сельской школы к его реализации» (г. Орёл, 20 -23 мая 1996 г.) — на международной конференции «Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов)» (г.Красноярск, 25−30 августа 1997 г.) — на «VII Международной научной конференции им. академика М. Кравчука» (Украина, Киев, 1998 г.) — на международных конференциях: «Математическое моделирование систем: методы, приложения и средства» (г. Воронеж, 12−16 октября 1998 г.), «Modem approaches to flows in porous media» (г. Москва, 6−8 сентября 1999 г.), «Современные проблемы промышленной экологии» (г. Орёл, 17−19 ноября 1999 г.).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях и тезисах [58 — 67,120−126,173].

На защиту выносятся: постановка новой задачи об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-неоднородных слояхполученные в конечном виде новые решения для границ загрязнения в виде прямой и окружностирешение на основе интегрального уравнения поставленной задачи в случае сложных границ очага загрязненияразработанная схема численного эксперимента по определению критического дебита водозаборанайденные: зоны санитарной охраны водозабора, условия работы водозаборов без загрязнения, коэффициенты загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем предельно допустимое значениеисследованные зависимости размеров и формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины предельно допустимого дебита водозабора от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора, симметрии задачи.

Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Библиография содержит 176 наименований. Общий объём работы составляет 200 страниц.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Поставлена новая задача об определении шлейфа вымываемого загрязнения в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях. Проводимость кусочно-неоднородных слоев моделируется степенной функцией координат.

2. Получены в конечном виде новые решения этой задачи для канонических границ: прямая, окружность. Эти решения используются в качестве тестовых при исследовании задач с границами общего вида.

3. В случае сложных границ очага загрязнения, моделируемых кривыми класса Ляпунова, исследование поставленной задачи сведено к интегральному уравнению. Это уравнение решается численно на основе метода дискретных особенностей. Такой подход к решению интегрального уравнения позволил исследовать задачи с границами загрязнения, моделируемыми кривыми ку-сочно-ляпуновского класса.

4. Разработана схема численного эксперимента по определению критического дебита водозабора.

5. Решение поставленной задачи позволило получить следующие, значимые для практики, результаты: определена зона санитарной охраны водозаборауказаны условия при которых водозабор работает без загрязнениявычислен коэффициент загрязнения водозабора, работающего с дебитом, превышающем критическое значение.

6. Изучена зависимость размеров, формы вымываемых шлейфов загрязнения, величины критического дебита водозабора и коэффициента его загрязнения от неоднородности слоя, размеров и формы очага загрязнения, расположения водозабора и симметрии задачи. Эти исследования позволили указать простые формулы для расчёта критического дебита в случае границ загрязнения в виде прямой и окружности, указать условия применимости этих формул в случае не канонических границ.

Проведённые исследования значительно расширяют класс решённых двумерных граничных задач фильтрации в кусочно-неоднородных слоях (пластах) грунта и вносят вклад в теорию их решения. Поставленная и исследованная задача позволяет моделировать возникающие при чрезвычайных происшествиях и экологических катастрофах очаги загрязнения и вымываемые из них шлейфы, указать условия, при которых водозабор может работать без загрязнения.

Исследованные в работе двумерные задачи не исчерпывают возможностей метода интегрального уравнения. Этот метод может быть применён к широкому кругу процессов различной физической природы, описываемых уравнениями вида (1.1.1) — (1.1.3).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.