Моделирование управления маневрирующими объектами в условиях конфликта

Диссертация посвящена численному исследованию дифференциально-игровой задачи преследования — уклонения на плоскости, моделирующей воздушный бой двух самолетов. Цель проведенных исследований заключается в разработке и применении численных алгоритмов оптимизации управления для реализации субоптимального синтеза во всем фазовом пространстве исходной задачи.

Для моделирования процесса управления двумя или несколькими движущимися объектами в условиях конфликта, когда перед маневрирующими объектами стоят противоположные цели, а их возможности различны, широко используется аппарат теории дифференциальных игр, получивший значительное развитие в последние десятилетия [1,15,30,31,44, 46, 55]. В этих задачах традиционно рассматриваются интегральные или терминальные функционалы, которые обеспечивают применимость метода динамического программирования во всей рассматриваемой области [1, 46]. Однако для практики представляют большой интерес также задачи оптимального управления и дифференциальных игр, в которых минимизируемым (максимизируемым) функционалом является максимальное (минимальное) значение некоторой скалярной функции фазового вектора вдоль траектории динамической системы. Интервал времени может быть конечным или бесконечным. Оптимальные траектории таких задач лишь частично удовлетворяют принципу оптимальности Беллмана. Если у рассматриваемой траектории и ее последнего фрагмента минимум функции качества достигается в будущем, то принцип оптимальности выполнен, а в противном случае он, как правило, не имеет места. Поэтому метод динамического программирования приводит здесь к задаче со свободной границей.

При моделировании воздушного боя двух самолетов с помощью диф-л < ференциальной игры с функционалом типа минимума одной из возможных трактовок упомянутой скалярной функцией является вероятность поражения противника при применении некоторого средства поражения (оружия) в данной точке фазового пространства. Тогда атакующий самолет стремится занять позицию с максимально возможной вероятностью поражения и затем применить оружие.

Исследование задач подобного типа не было достаточно интенсивным вследствие их большей сложности, по сравнению с задачами, использующими функционалы традиционного типа. В последнее десятилетие завершен серьезный этап в обосновании метода динамического программирования для задач оптимального управления и дифференциальных игр [31, 67]. Появились эффективные методы анализа и построения особых (сингулярных) траекторий [18, 57], решения задач с неизвестными границами [48, 51].

Некоторые необходимые условия оптимальности для игровых задач с подобным функционалом рассмотрены в [48, 57], задачи оптимального управления со свободной границей (имеющей иную природу) решены в [51]. В [57, 59] с помощью метода сингулярных характеристик построена неизвестная граница в игровой задаче сближение на конической поверхности с простым движением игроков.

Точное решение задач теории дифференциальных игр, с указанным выше функционалом, представляет большие трудности, особенно для нелинейных систем. В некоторых случаях для разработки алгоритмов численного построения синтеза управления бывает полезным рассмотреть ряд упрощенных задач, решение которых удается довести до конца, и на основе полученных результатов продвинуться к решению исходной задачи.

В силу указанной выше специфики, для построения субоптимального синтеза в исходной игровой задаче предлагается использовать численные методы. Эти методы следуют идее, предложенной в [44], и основываются на некотором прогнозе относительно движения преследуемого игрока. Этот прогноз заключаются в предположении, что преследуемый игрок, начиная с текущего момента времени, применяет некоторое заданное программное управление. Такое упрощение позволяет свести исходную игровую задачу к задаче оптимального управления для одного игрока, решение которой в одних случаях удается получить аналитически [4, 5, 10, И, 14, 22], а в других — численно [3, 8, 21, 42, 44, 64]. Далее, на основе построенного синтеза для упрощенных задач, рассматриваются различные стратегии преследования первым игроком второго. Полученные таким образом стратегии используются для построения субоптималь-л ного синтеза в исходной игровой задаче.

Модельные уравнения движения.

В диссертации рассматривается игровая задача на плоскости. В ней участвуют два игрока: преследователь Р (первый игрок) и убегающий Е (второй игрок). Скорости игроков Р и Е постоянны и равны V и V2, а радиусы кривизны траекторий движения ограничены снизу заданными величинами R и R2 соответственно. Предполагается, что оба игрока в каждый момент времени управляют выбором значения кривизны своей траектории, располагая информацией о текущем положении системы в фазовом пространстве координат (г, <р, ^2) и о величинах Vi, V2, R, Я2. Здесь г — расстояние между игроками, а (9²) ~ угол между векторами скорости первого (второго) игрока и отрезком РЕ. Угол.

Такая динамика игроков в рассматриваемой задаче соответствует известной игре двух автомобилей, которая была впервые сформулирована и качественно исследована в книге Р. Айзекса [1].

Используя выкладки, аналогичные проделанным ранее [1], можно показать, что динамика относительного положения игроков описывается нелинейной системой трех дифференциальных уравнений.

Рис. 0.1 г = v2 cos <Р2 — Vi cos ifi,.

0.0.1) щ =.

Vi sin.

——(p2 = —V.

Ri.

R2.

Vi sin (pi + V2 sin < 1, М < 1.

0.0.2).

Здесь и, v — управляющие параметры игроков Р и Е.

Роли игроков фиксированы, а минимизируемым (первым игроком) и максимизируемым (вторым игроком) функционалом является минимальное значение заданной скалярной неотрицательной функции 5(r, ip, 2) (функции качества) фазового вектора вдоль траектории динамической системы на достаточно большом промежутке времени. Функция качества S (r, (pi, (Р2) характеризует вероятность поражения второго игрока первым из текущей позиции. Для рассматриваемой задачи она имеет вид.

S{r,.

Нулевое значение функции качества соответствует ситуации, когда преследователь находится позади преследуемого на заданном расстоянии от него, а векторы скоростей сонаправлены и лежат на одной прямой (см. рис. 0.2).

Отождествляя углы.

Такая задача возникает при исследовании оптимального маневрирования самолетов с установившимися в горизонтальной плоскости скоростями в условиях конфликтной ситуации [10, 13, 45].

Основное отличие рассматриваемой задачи от работ этого направления [1, 10, 13, 28, 29, 38, 39, 45, 49, 50, 54, 56, 60, 66, 69] заключается в структуре функции качества (0.0.3), в состав которой, кроме расстояния, Р.

Рис. 0.2 входит угловое положение векторов скорости относительно линии визирования.

Аналитическое исследование игровых задач подобного типа представляет большие трудности, основная причина которых заключается в структуре минимизируемого функционала и существенной нелинейности уравнений динамики системы.

Следует также отметить, что используемая в работе модель применялась различными авторами для постановок как игровых задач [13, 23, 27, 28, 29, 32, 49, 55, 62, 63, 65, 68], так и для задач оптимального управления [2, 4, 5, 7,17, 25, 26, 66]. В частности, в [4] синтезировано оптимальное управление, обеспечивающее наискорейшее попадание автомобиля из начального состояния в фиксированную точку плоскости движения. Эта же задача, но при более сложной модели движения, описываемой нелинейной системой четвертого порядка, решена в [5].

Подобная игровая задача, известная как «игра двух автомобилей», но с другой скалярной функцией качества рассмотрена в [1, 47, 69], где получена зависимость радиуса захвата, обеспечивающего перехват менее скоростного, но более маневренного преследуемого, от линейных скоростей и максимальных скоростей разворота автомобилей. В [61] рассмотрен частный случай игровой задачи двух автомобилей, в которой и линейные, и угловые скорости обоих игроков полагаются равными.

Кроме того, в [16] исследовалась игровая задача двух автомобилей, в которой скорость преследуемого игрока полагалась малой по сравнению со скоростью преследователя (V2 <С V в (0.0.1)). В этой работе, с помощью метода малого параметра [40, 41], получен синтез, отражающий качественный характер оптимального управления игроков при малых скоростях преследуемого игрока.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения и списка литературы.

1. Айзеке Р. Дифференцальные игры. М.: Мир, 1967. 479 с.

2. Алешков Ю. 3. Оптимальный вывод точки на траекторию, соответствующую требуемому методу наведения // Вестник ЛГУ, матем., мех., астроном., 1963, № 19, С. 85−91.

3. Братусъ А. С. Метод малого параметра для построения приближенных стратегий одного класса дифференциальных игр // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 6. С. 1006−1016.

4. Бердышев Ю. И. Синтез оптимального управления для одной системы 3-го порядка // Вопросы анализа нелинейных систем автоматического управления: Тр. ИММ УНЦ АН СССР Свердловск, 1973. Вып. 12. С. 91−101.

5. Бердышев Ю. И. Синтез оптимального по быстродействию управления для одной нелинейной системы четвертого порядка // ПММ. 1975. Т. 39. Вып. 6. С. 985−994.

6. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. 407 с.

7. Болычевцев Э. М. Одна задача оптимального управления // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1968. Ш. С. 91−98.

8. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления управления. М.: Мир, 1972.

9. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

10. Желнин Ю. Н. Линеаризованная задача преследования и уклонения на плоскости// Ученые записки ЦАГИ. 1977. Т. 8. № 3.

11. Желнин Ю. Н., Утемов А. Е. Построение барьерных поверхностей в одной игровой задаче преследования-уклонения. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2005. № 5. С. 87−95.

12. Желнин Ю. Н, Утемов А. Е. Численный алгоритм реализации субоптимального синтеза в игровой задаче преследования уклонения на плоскости //IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Н. Новгород, 2006. Тезисы докладов.

13. Желнин Ю. #., Шилов Ю. Я. Нелинейная игровая задача преследования на плоскости // Уч. зап. ЦАГИ. 1974. Т. 5. № 5.

14. Желнин Ю. Я., Меликян А. А., Утемов А. Е., Черноусъко Ф. JI. Наискорейшее приведение нелинейного маневрирующего объекта в оптимальную позицию. ПММ, 2005, т.69, вып.2, с. 179−190.

15. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М., Наука, 1974.

16. Корнеев В. А., Меликян А. А. Оптимальный синтез в игровой задаче преследования с малым параметром. Известия академии наук СССР. Техническая кибернетика. 1982, N2 3.

17. Кукушкин А. П. Исследование структуры оптимальных по быстродействию траекторий в плоском поле тяготении // Вопросы оптимизации нелинейных систем автоматического управления. Тр. ИММ УНЦ АН СССР. Вып. 12. Сверловск, 1975.

18. Меликян А. А. Сингулярные характеристики уравнений в частных производных первого порядка// ДАН. 1996. Т. 351. № 1. С. 24−28.

19. Меликян А. А., Овакимян Я. В. Дифференциальная игра простого сближения на многообразиях// ПММ. 1993. Т. 57. Вып.1. С. 41−51.

20. Моисеев Я. Я Численные методы оптимальных систем. М.: Наука, 1977.

21. Моисеев Я. Я. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1975.

22. Пацко В. С., Пятко С. Г., Федотов А. А. Трехмерное множество достижимости нелинейной управляемой системы // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. № 3. С. 8−16.

23. Пацко В. С., Пятко С. Г, Кумков С. И. и др. Оценивание движения воздушного судна на основе информационных множеств при неполных замерах координат // Науч. докл. академии ГА. С.-Петербург. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 1999.

24. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961. 391 с.

25. Проблемы механики управляемого движения // Сб. статей под ред. Верещагина И. Ф. Перм. ун-т. 1976. № 8.

26. Репьях Н. А. Локально оптимальный синтез управления летательным аппаратом // Сб. статей под под ред. Верещагина И. Ф. Перм. ун-т. 1972. т.

27. Розенберг Г. С. Построение траекторий оптимального преследования // Автоматика и телемеханика. Т. 26. 1965. № 4. С. 629−633.

28. Рубинович Е. Я. Дифференциальная игра программного преследования с ограничением на разворот преследуемого // Автоматика и телемеханика. 1996. № 10. С. 76−94.

29. Рубинович Е. Я. Дифференциальная игра программного преследования с ограничением на разворот преследователя // Автоматика и телемеханика. 1978. № 9. С. 38−44.

30. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка: перспективы динамической оптимизации. Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003.

31. Субботин А. И. Обобщенные решения уравнения Гамильтона-Якоби. М., Наука, 1995.

32. Симакова Э. Н. Об одной задаче преследования на плоскости // А и Т. 1968. № 7.

33. Утемов А. Е. Численные алгоритмы оптимизации управления в одной задаче преследования-уклонения. Изв. РАН. Теория и системы управления. 2006. № 3. С. 63−81.

34. Утемов А. Е. Частный случай дифференциальной игры преследования // Тезисы докладов: XLVI научная конференция МФТИ. Москва Долгопрудный: МФТИ, 2003, часть III, с. 42.

35. Утемов А. Е. Численное построение минимального радиуса захвата в дифференциальной игре преследования // Тезисы докладов: XLVII научная конференция МФТИ. Москва Долгопрудный — Жуковский: МФТИ, 2004, часть II, с. 95.

36. Утемов А. Е. Разработка численных алгоритмов расчета управления движением в одной игровой задаче преследования уклонения // Тезисы докладов: XLVIII научная конференция МФТИ. МоскваДолгопрудный: МФТИ, 2005, часть III, с. 239.

37. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

38. Хамса М. X., Колас И., Рунгалъдер В. Оптимальные по быстродействию траектории полета в задаче преследования. В кн.: Управление космическими аппаратами и кораблями. М.: Наука, 1971, с. 410−418.

39. Чериоусъко Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром. ПММ, 1968, т. 32, вып. 1.

40. Чериоусъко Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н. Управление колебаниями. М.: Наука, 1980.

41. Чериоусъко Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и управления. Численные методы. М.: Наука, 1973.

42. Черноусъко Ф. JI., Колмановский В. Б. Вычислительные приближенные методы оптимального управления. В кн.: Итоги науки и техн. Мат. анализ, т. 14. М., ВИНИТИ, 1977.

43. Черноусъко Ф. JI., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука, 1978. 270 с.

44. Ярошевский В. А., Круглое Б. П., Кузьмин В. П. Оптимальные маневры в плоской задаче// Тр. ЦАГИ. 1975. № 1203.

45. Bellman R. Dynamic programming // Princeton, N.J., Univ. PressLondon, Oxford Univ. Press, 1957.

46. Breakwell J. V., Merz A. W. Minimum required capture radius in a copla-nar model of the aerial combat problem// J. American Institute of Aeronautics and Astronautics. 1977. V. 15. № 8.

47. Botkin N. D. Approximation schemes for finding the value functions for differential games with nonterminal payoff functional// Internat. J. Analysis and its Applications. 1994. V. 14. P. 203−220.

48. Cockayne E. Plane Pursuit with Curvature Constraints. SIAM Journal of Applied Mathematics, Vol. 15, Nov. 1967, pp. 1511−1516.

49. Cockayne E. J., Hall G. W. C. Plane motion of a Particle Subject to Curvature Constraints // SIAM J. Control, 1975, Vol. 13, No. 1, pp. 197−220.

50. Dorr oh J. R. and Ferreyra G. A free boundary problem in Rd with both smooth and nonsmooth fit. SIAM J. of Control and Optimization. 1998, V. 36, No 2, pp. 579−589.

51. Dubins L. E. On curves of minimal length with a constraint on average curvature and with prescribed initial and terminal positions and tangents, Armer. J. Math., 79 (1957). pp. 497−516.

52. Ferreyra G., Hijab O. A simple free boundary problem in Rd// SIAM J. Control and Optimization. 1994. V. 32. № 2. P. 501−515.

53. Imado F. Some features of the game between the supersonic ASM and the counterattack AMM.// International Game Theory Review. 2005. V. 7. № 3. P. 245−260.

54. Meier L. A new technique for solving pursuit-evasion differential games // IEEE Trans. Automat. Control. 1969. V. 14. № 5.

55. Maslov E. P, Olshanskiy V. K, Rubinovich E. Ya. On a Piecewise Open-Loop Control Differential Game // Proc. Third IFAC Simposium on Sensitivity, Adaptivity and Optimality. Ischia, Italy. 1973. P. 364−372.

56. Melikyan A. A. Generalized characteristics of first order PDEs: Applications in Opimal Control and Differential Games. Birkhauser, Boston, 1998.

57. Melikyan A., Akhmetzhanov A. A linear 2D differential game with a minimum-type cost function// 11 Internat. Symp. on Dynamic Games and Applications. Proceedings V. 2. Tucson Arisona. 2004. P. 637−649.

58. Melikyan A. A., Hovakimyan N. V. and Harutunian L. L. Games of simle pursuit and approach on two dimensional cone// JOTA, 1998, V. 98, No 3, pp. 515−543.

59. Melzak Z. A. Plane motion with curvature limitations, J. Soc. Indust. Appl., Math., 9 (1961), № 3. pp. 422−432.

60. Merz A. W. The Game of Two Identical Car// J. optimization theory and applications. 1972. V. 9. №. 5.

61. Olsder G. J., Breakwell J. V. Role determination in serial dogfight. International Journal of Game Theory, 1974, Ns 3.

62. Pachter M., Getz W. M. The geometry of the barrier in the «game of two cars». Optimal Control, Applications and Methods, 1980, vol. 1.

63. Patsko V.S., Turova V.L. Level sets of the value function in differential games with the homocidial chauffeur dynamics// International Game Theory Review. 2001. V. 3. № 1. P. 67−112.

64. Patsko V.S., Turova V.L. Homicidal chauffeur game. Computation of level sets of the value fanction // 8th Internat. symp. on dynamic games and applications. Maastricht, 1998.

65. Pecsvaradi T. Optimal Horizontal Guidance Law for Aircraft in the Terminal Area /j IEEE Trans, on Automatic Control. 1972. V. AC-17.№ 6.

66. Subbotin A. I. Generalized Solutions of First Order PDEs: the Dynamicalr Optimization Perspective. Birkhauser, Boston, 1995.

67. Salmon D. M. Policies and controller design for pursuing vehichle // IEEE «Trans. Automat. Control. 1969. V. 14. № 5.

68. Zhang Si-Ying, Wu Han-Sheng, Wang Jing-Cai. An approach to solve the role ambiguity problem in aerial combat, Journal of Spacecraft. Vol. 14, No. 2, 1977. i'.