Математическое моделирование функции влияния упругой сети на основе принципа Хикса

Общая характеристика исследования.

Работа выполнялась в соответствии с паспортом специальности 05.13.18 и посвящена разработке, обоснованию и применению новых математических методов, связанных с таким фундаментальным средством физического моделирования, как функция влияния.

Почему функцию влияния мы называем средством физического, а не математического моделирования? Потому, что функция влияния, как удобное средство описания реальных физических проблем, вошло в физическую науку еще во времена Фарадея и Кулона. Позволяя описать состояние изучаемого объекта в виде и (х) = ?Н (х, б) Д8№ (0.1) п через распределенное по области О возмущение /(х), функция влияния Щхл) (по другому — функция отклика, функция источника) определялась внешне очень легко, как реакция всего объекта на единичное в точке х =? возмущение. Для реальных физических задач факт существования функции влияния не вызывал сомнений, он даже и не постулировался. Действительно, если «в произвольной» точке х =? пространства поместить источник типа электрического заряда, или, к примеру, источник света (обычную свечку), ведь ни у кого даже сомнения не возникнет, что в остальных точках пространства появится некая освещенность или некая ЭДС. Во времена, когда до интегралов Римана оставалось почти два столетия, т. е. во времена царства бесконечно-малых, формула (0.1) представлялась очевидной.

Использовалась функция влияния, как удобный синтезирующий образ, в связи с чем для ее употребления не было нужды знать какие-либо дополнительные свойства. Длительное (несколько поколений) использование в математико-физических текстах этого понятия вызвало прочную привычку к удобному понятию, в связи с чем появление на рубеже XIX—XX вв.еков понятия функции Грина в силу адекватной ее роли в виде формулы (0.1) смешало, по крайней мере в математической литературе, оба понятия. И ныне во многих даже учебниках по уравнениям математической физике термин «функция влияния» используется вместо термина «функция Грина».

Одна из наших главных задач — исследование функции влияния, как средства существенно более глубокого проникновения в суть проблемы. В самом деле, со времен Гильберта, давшего точное определение функции Грина, она может быть определена только для заданной краевой задачи. Следовательно, пока изучаемый объект не описан с помощью некоего дифференциального уравнения в сочетании с какими-либо краевыми условиями, об описании функции Грина и говорить нельзя (согласно недавним результатам Ю. В. Покорного, A.B. Боровских и определение Гильберта, общепринятое в математической литературе, имеет существенные недочеты). Далее, даже если для исследуемой системы удается описать краевую задачу, это бывает возможным только в априорном предположении, что состояние системы и ее параметры достаточно регулярны, что не всякий исследователь может себе позволить.

Поэтому точное математическое определение функции влияния позволило бы существенно расширить класс объектов, допускающих разумное математическое описание.

Математическое определение функции влияния для актуального класса физических систем открывает возможность доказательству корректности соответствующих математических моделей, доказательству их качественной адекватности исходным объектам, открывая дорогу использованию современных математических теорий, связанных с интегральными уравнениями. Применение некоторых теорий в свою очередь подразумевает проверку у функции влияния, как ядра интегрального оператора, весьма специфических чисто математических свойств, «вытаскиваемых» из физической специфики объекта.

Актуальность темы

.

Интересующие нас физические системы внешне описываются довольно просто. Исследуемый объект образован системой одномерных фрагментов по типу сети (графа), как, например, сеть паука, электрическая сеть и т. д. Подобные объекты, называемые инженерными сетями, достаточно характерны для современной технической цивилизацииразнообразные коммуникационные и информационные сети, системы волноводов, электрические цепи, системы газои нефтепроводов, гидравлические сети и многое другое. В такой системе каждый фрагмент адекватен обычному отрезку, на котором объект моделируется обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка в самом общем виде.

-(ри')' + ди = /,.

0.2) для статического состояния и.

— (ри')' + ди = Лти,.

0.2*) для задачи о собственных колебаниях.

Такие уравнения изучены еще Эйлером и Бернулли и поэтому у математиков озабоченности не вызывает. Вся неприятность задачи в целом заключается в том, что уравнений столько, сколько фрагментов у нашей системы. Причем у каждого уравнения свой носитель (свой отрезок), так что в целом набор уравнений вида (0.2) или (0.2*) оказывается для математических теорий весьма нестандартным объектом. Однако главная беда этой задачи — в другом. Все фрагменты исходной системы взаимодействуют друг с другом. И если к конфигурации исходной системы применить термин граф (пространственная или топологическая сеть), то во всех внутренних узлах графа, в которых смыкаются соседние фрагменты, условия взаимодействия этих фрагментов приводят к условиям связи между решениями соответствующих уравнений. Как трактовать эти условия? Как краевые?

Хуже всего, что для корректного описания этих условий во внутренних узлах требуется опора на матрицу инциденций исходного графа. Так что даже сама постановка исходной задачи в математических терминах становится невообразимо сложной. Если же вспомнить о необходимости использования матрицы инциденций при описании как-либо добытых свойств, то только это способно отбить охоту у любого математика.

Описание трудности аналогичного характера объясняют причину того, что при очевидной актуальности задач на сетях у математиков руки серьезно дошли сравнительно недавно — чуть более 20 лет назад. Наиболее продвинутыми здесь оказались работы, подытоженные в монографии [6] воронежской математической школы Ю. В. Покорного. В настоящее время интерес к подобным задачам возрастает во всем мире [45−63].

Цель работы.

В настоящей работе сделан очередной шаг в анализе задач на сетях. А именно: корректное вариационное определение функции влияния для системы упругих континуумов, мы заменяем анализ системы уравнений (0.2) и (0.2*), предполагающей регулярность и решения, и параметров анализом функции влияния физической системы сетеподобной структуры, что позволяет снять отмеченные предположения о регулярности.

Точное определение функции влияния мы даем, исходя из генетически первого физического смысла, а именно. Если Г — сеть, параметризующая данный объект, то для любой точки? еГ через Н (х, ?) определяется состояние объекта относительно хеГ. Реальное состояние объекта мы определяем, следуя одному из главных физических постулатов, а именновариационному принципу. Тем самым мы считаем объект заданным, если задана сеть (граф) Г, определяющая его конфигурацию, и задана величина.

Ф (и (-)) = - iidF (0.3) г 2 г его потенциальной энергии, соответствующей виртуальному состоянию и{х)Г-«Я. Интегралы здесь понимаются в виде суммы интегралов по ребрам, второй интеграл uclF понимается по Стильтьесу, что позволяет г скачкам Р (х) охватить сосредоточенные импульсы внешней нагрузки.

Опора на выражение (0.3) потенциальной энергии используется во многих современных работах, где от (0.3) осуществляется переход к системе уравнений (0.2) и (0.2*) с помощью классических вариационных процедур с выходом в дальнейшем на анализ краевых задач, построение функции Грина. Однако в рамках этой схемы существенно предположение о существовании второй производной неизвестного нам решения, что уже невозможно при наличии импульсов у внешней нагрузки. Мы не предполагаем здесь даже непрерывности у р (х). Относительно допустимого класса функций и (х), описывающих возможные деформации системы, мы предполагаем лишь, что каждая функция и (х) абсолютно непрерывна и ее производная и'(х) имеет о1граниченную вариацию. Последнее предположение, допускающее у и'(х) разрыва (т.е. изломы у исходной формы), вполне физично.

В работе построен анализ описанного объекта, не входя в теорию дифференциальных уравнений второго порядка. Тем не менее, нам удается изучить ведущую частоту собственного колебания исходной системы в тех случаях, когда не слишком хорошие параметры (например, сосредоточенные массы) не позволят применять известные ранее результаты.

Степень обоснования научных положений, выводов и рекомендаций, сформулированных в диссертации.

Все результаты диссертации строго обоснованы в форме четких математических доказательств.

Цель работы. Математическое моделирование функции влияния упругой сети. Разработка соответствующей теории функции влияния с прицелом на принцип Хикса. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

1) Корректное математическое описание функции влияния на основе вариационных принципов. Исходной посылкой описания является задание потенциальной энергии системы в виде.

ФШ= uclF г 1 г.

2) Анализ основных свойств функции влияния как функции Щх. э) двух переменных на Г х Г.

3) Математически корректная мотивация условий трансмиссии (склеивания) в узлах сетки.

4) Выяснение свойств типа регулярности (непрерывность по каждой переменной и совокупная, гладкость по каждой переменной и проч.).

5) Построение эффективного представления функции влияния с помощью вспомогательных простых функций.

6) Установление свойства Хикса.

7) Проверка применимости к изучаемой модели традиционных для классических задач с регулярными параметрами проекционных численных методов.

Методы исследования. В работе использованы методы анализа дифференциальных и интегральных уравнений, теории интеграла Стильтьеса, методы абстрактной теории полуупорядоченных пространств М. Крейна — М. Красносельского, методы теории краевых задач на геометрических графах.

Теоретическая и практическая значимость.

Основные результаты работы показывают, что полученные ранее многими авторами результаты для задач на графах справедливы для значительно более общих задач.

Подчеркнем особо теоретическую и практическую эффективность опоры на функцию влияния, показанную в работе.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в математической физике, теории дифференциальных уравнений, теории меры и интеграла. В работе показана эффективность разработанных методов для теоретического доказательства важнейших физических свойств.

Установленные в работе результаты позволяют сепарировать приближенные методы по степени их пригодности и эффективности в задачах на сетях. •.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Точное определение функции влияния, как минимали функционала (0.3) при сосредоточенной в точке х =? единичной нагрузке.

2. Описание регулярных свойств функции влияния.

3. Комплекс качественных свойств функции влияния, адекватно ее определяющих.

4. Принцип Хикса для упругой сети.

5. Явное представление функции влияния через вспомогательные примитивные функции.

6. Характеристики ведущей собственной частоты.

Личный вклад автора в получении научных результатов, изложенных в диссертации.

Задача диссертационного исследования была поставлена и выполнена совместно с научным руководителем, принимавшим участие, как в обосновании, так и в обсуждении конкретных моделей. Все аналитические и компьютерные расчеты проведены автором самостоятельно.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Ставропольского Института Экономики и Управления имени О. В. Казначеева, высшей математики Северо-Кавказского Государственного.

Технического Университета, на V, VIII региональных научно-технических конференциях «Вузовская наука — Северо-Кавказскому региону» (2001, 2004 г.), на VI Международной конференции «Циклы» (2004г.), на первой и второй международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке и технике» (г. Ставрополь 2004 г., г. Кисловодск 2006 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж 2005г), на Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения — XVII» (г. Воронеж 2006 г.), на семинаре в Ставропольском Государственном Университете.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 10 печатных работ из них 5 статей, в том числе одна в журнале из перечня ВАК, 5 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения, а так же списка литературы и занимает 117 страниц.

§ 3.4. Выводы.

1. На основе уравнения Лагранжа в главе 3 показано, что функция влияния не просто неотрицательная, что следует из интуитивной очевидности податливости исходной системы, но и строго положительная внутри своей области определения. Последнее свойство удается существенно уточнить формально-математически в виде наличия оценок a (s)< H (x, s) < J3(s).

2. Полученные оценки позволяют опереться при анализе исходной физической системы на современные математические методы, связанные с нелинейным анализом полуупорядоченных пространств. В частности именно эти методы позволяют обосновывать и эффективно оценивать сходимость итерационных процессов в окрестности бифуркационных состояний.

3. На основе сеточного метода построен алгоритм и проведены тестовые расчеты для задачи о ведущей собственной частоте упругих колебаний для системы из трех струн. Численный эксперимент реализованный в среде Maple 10 показал хорошее соответствие результатов численного эксперимента точным (аналитическим) решениям полученным на основе построенной модели для системы трех струн, связанных в одной вершине.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Моделирование процессов, происходящих в сложных системах сетеобразной конфигурации чрезвычайно актуально для самых разнообразных направлений инженерной и социально-экономической проблематики. Разработка математических методов, способных сводить подобные проблемы к математическим задачам, достаточно нетривиальна, ввиду зачаточного состояния теории подобных систем и неготовности стандартного математического аппарата к эффективному и емкому описанию подобных задач без угроз утонуть в необозримом море обстоятельств.

Настоящая работа показывает высокую эффективность в математическом моделировании такого понятия, как функция влияния.

Фундаментальное в физической практике понятие функции влияния зародилось еще на заре возникновения физических теорий. Войдя в естествознание на уровне изначальной интуиции, это понятие оказалось вне сферы математических интересов. А много позднее, с возникновением теории краевых задач, т. е. уже в XX веке, оно было подменено понятием функции Грина. Последнее понятие, допускающее разумное определение только в рамках четко поставленной краевой задачи, в рамках теории таких задач оказывается одним из наиболее сложных.

Однако приведение математических моделей в зону применимости современных математических методов полностью опирается именно на использование функции Грина, как ядра соответствующего интегрального оператора. В этом плане изучение возможностей использования функции влияния для построения математических моделей в терминах интегральных уравнений чрезвычайно интересно и актуально.

В работе систематически разработан подход, основанный на описании сетеподобной системы математической моделью с опорой на понятие функции влияния. С этой целью.

— дано корректное определение функции влияния, адекватное классическим физическим представлениям. А именно, предположение, что состояние реальной системы описывается вариационным принципом, т. е. минималью энергетического функционала, функция влияния Н (х,§) определена как минималь этого функционала, соответствующая единичному внешнему усилию, сосредоточенному в точке х = ?. Именно такой подход обеспечивает адекватность введенного понятия функции влияния классическим физическим представлениям.

— показано главное свойство функции влияния — способность определять реальное состояние объекта в интегральном виде и (х)= ?Н (х, 8)/(з)с1з (1) г.

В системе физических представлений эта формула полностью лежит в области интуиции, не имея корректных обоснований, хотя давно уже используется без обиняков (т.е. как само по себе разумеющееся обстоятельство) и используется в сложнейших вопросах математической физики типа осцилляционной теории малых упругих колебаний разнообразных континуумов.

— установлено адекватное описание функции влияния в виде решения интегрального функционального уравнения описанного при любом значении функционального параметра к (х) из класса допустимых возмущений. Именно это последнее свойство, равносильное физическому определению функции влияния, становится ключевым в анализе самых разнообразных математических свойств.

Главное достоинство этого чисто математического описания — то, что сетеподобная структура в виде графа Г спрятана внутрь объекта (она не выпячена наружу). Единственное напоминание здесь о сетеобразной структуре — это область интегрирования Г, причем и интеграл понимается как сумма обычных одномерных интегралов Римана (или Лебега) по ребрам графа Г.

На базе (2) установлена серия (в виде некоей иерархии) важнейших для математического внедрения свойств функции влияния. Именно эти свойства позволяют построить для функции влияния специальное детерминантное представление.

Н{х, х) = к2 т.

К (Х, 5) ЦХ{Х).

92 т (х) Шгт).

Ьт (КМ) 12 т (Я1) — 12 т (Я2т) не только объясняющее само существование функции влияния, но и ее непрерывность, которые необходимы для доказательства корректности представления (1).

Свойства функции влияния позволяют в свою очередь установить, что — функция влияния не имеет нулей нигде, кроме граничных узлов графа Г,.

— максимум ее достигается на диагонали, т. е. при х = что является точным аналогом классического принципа Хикса,.

— функция влияния удовлетворяет специальным двухсторонним оценкам,.

— в свою очередь полученные оценки означают, что порождаемый правой частью (1) интегральный оператор оказывается целиком положительным в терминах теории пространств полуупорядоченных по М.КрейнуМ.Красносельскому.

Последнее свойство по положительности позволяет эффективно оценить кратность ведущего собственного колебания, установить отсутствие внутренних нулей у соответствующей амплитудной функции (стоячей волны), а также объяснить совершенно оригинальные условия наличия нетривиальных форм потери устойчивости при наличии внешних возмущений.

Усиленная положительность отмеченного интегрального оператора открывает дорогу для обоснования самых разнообразных приближенных методов теории нелинейных уравнений.

Главная особенность результатов, полученных в работе — отсутствие предположений об обычной гладкости решений-состояний и гладкости главных исходных параметров. Именно это позволяет говорить о значительном чисто теоретическом усилении стандартных подходов, где необходимо построение краевых задач, в которых интересующие нас объекты оказываются решениями дифференциальных уравнений второго порядка. У нас все ограничивается производными первого порядка. Одновременно это ослабление ограничений на гладкость представляет и существенную практическую значимость, так как расширяет класс объектов и ситуаций, где применимы изложенные методы вплоть до подключения абстрактных теорий, в то время как стандартные методы математической физики способны забуксовать уже на этапе описания соответствующих дифференциальных уравнений, где невозможно обойтись без теории обобщенных функций Шварца-Соболева, делающей недоступными такие физически наглядные и очень важные свойства, как отсутствие нулей у положительной функции.

В работе построен проекционный (сеточный) метод расчета ведущей собственной частоты, правомочность которого обоснована его спектральной простотой.

Таким образом, основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Дано корректное определение функции влияния, с опорой на вариационные принципы естествознания.

2. Показаны регулярные свойства функции влияниягладкость, строгая положительность вне диагонали.

3. Доказан комплекс качественных свойств функции влияния, аналогичных свойствам функции Грина для классических задач.

4. Установлен точный аналог принципа Хикса для упругой сети.

5. Дано представление функции влияния через некоторые простейшие функции.

6. Изучены качественные свойства главной собственной частоты.