Параллелограмм, вершины которого являются середины сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым. Кроме того, параллелограмм Вариньона обладает следующими свойствами:
Центр параллелограмма лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. Помимо перечисленных свойств внешний вид параллелограмма Вариньона зависит от вида четырехугольника. Так, например, для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник.
1.6. 2 Доказательство теоремы Вариньона
Формулировка теоремы: четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. Эту теорему можно интерпретировать иначе: середины сторон произвольного четырёхугольника — вершины параллелограмма. Изображение параллелограмма Вариньона для выпуклого, невыпуклого и самопересекающегося четырехугольника. На ниже предложенных рисунках видно, что вне зависимости от вида четырехугольника, фигура вершинами которой являются середины сторон четырехугольника является параллелограммом (на рисунках выделено красным цветом).
1.6. 3 Применение теоремы Вариньона при решении задач
Задача.В выпуклом пятиугольнике ABCDE середины сторон AB и CD, BC и DE соединены отрезками. K, L — середины этих отрезков. Доказать, что отрезок KL параллелен пятой стороне AE и составляет ¼ от неё. Решение: Отрежем четырёхугольник ABCD и пусть Р — середина AD, тогда по теореме Вариньона A1B1C1P — параллелограмм, А1С1 — его диагональ и К — середина А1С1, значит, К — середина и второй диагонали параллелограмма В1Р. Значит, KL — средняя линия треугольника PB1D1, поэтому KL—PD1 и KL=½ PD1. Но PD1 — средняя линия треугольника ADE, значит, PD1—AE и PD1=½AE, поэтому KL—AE и KL=¼ AE. 1.7 Теорема Брахмагупты1.
7.1 Дополнительные сведения
Брахмагуптапредполагал, что Земля неподвижна (не вращается вокруг своей оси), также в своей работе Брахма-спхута-сиддханта отметил, что продолжительность года составляет 365 дней 6 часов 5 минут и 19 секунд, в то же время в последующей работе Кхандакхадьяка продолжительность года указана как 365 дней 6 часов 12 минут и 36 секунд. Возможно, что второе значение было взято у Ариабхаты. Астрономические представления Брахмагупты, перечисленные в Брахма-спхута-сиддханта, указывают на высокий уровень его исследований и научной прозорливости. Так, в седьмой главе труда, которая называется «О затмении Луны», Брахмагупта опровергает представление о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце.
1.7. 2 Формулировка теоремы
Пусть имеется вписанный четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны. Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикуляр на одну из его сторон. Будучи продолженным по другую сторону от точки пересечения диагоналей, этот перпендикуляр делит противоположную сторону четырёхугольника на две равные части.
2 Задачи на применение теорем
Задача 1. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки M и N так, что. Отрезки BN и CM пересекаются в точке K. Найдите отношение отрезков Решение.
Применим теорему Менелаяк и секущей CM. Получим, Решение задачи используя подобие треугольников. Проведём прямую BD параллельную стороне АС. Точка D точка пересечения этой прямой с прямой СМ. Рассмотрим треугольники DKB и CKN. Данные треугольники подобны.;, из условия. Ответ: Задача 2: Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).(немецкий учёный Нагель Христиан Генрих фон (1803−1882 г. г)).Чтобы доказать данную теорему, необходимо ввести определение вневписанной окружности.
Определение: Окружность называется вневписанной, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон. Сделаем чертёж. Центр вневписанной окружности, лежит в точке пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Доказательство:
Тогда, из прямоугольных треугольников ОВС1, ОАС1 получим: ;из прямоугольных треугольников О2В1С, О2АВ1 получим: ;из прямоугольных треугольников О1ВА1, О1А1Сполучим:, составим произведение соответствующих отрезков с использованием равенства из теоремы Чева: Т.о. данные прямые пересекаются в одной точке. Таким образом, мы добавили к замечательным точкам треугольника ещё две: точку Жергонна и точку Нагеля. Задача 3. (прямая Симпсона). Основания перпендикуляров, проведенных к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки, описанной около него окружности, лежат на одной прямой. Решение. Пусть PA1, PB1, PC1 перпендикуляры, проведённые к прямым, содержащим стороны треугольника АВС. Запишем теорему Менелая для, А теперь докажем, что это равенство верно. Следовательно, в силу теоремы Менелая точки А1, В1.
С1 лежат на одной прямой. Задача 4. (Теорема Дезарга).Прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке О. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1, BC и B1C1, AC и A1C1 лежат на одной прямой. Решение. Пусть A2, B2, C2 — точки пересечения прямых BC и B1C1, AC и A1C1, AB и A1B1. Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и секущем:
Перемножив равенства получим. Следовательно в силу теоремы Менелая точки А2, В2, С2Лежат на одной прямой. Заключение
В данной работе исследованы и приведены истории возникновения некоторых теорем геометрии. Многие из представленных теорем названы именем своих создателей, и навсегда увековечили их имена в истории математики. Для представленных теорем даны варианты записи ихформулировки, а также варианты их доказательств. Поскольку основной задачей теорем, является их дальнейшее применение в геометрии, тригонометрии, при нахождении длины сторон фигур или площадей. В целом считаю, что в данной работе достигнуты поставленные цели и выполнены поставленные задачи. В заключении можно указать, что несмотря на то что, суть многих теорем имеет достаточно простое понимание, применение этих теорем, а также их обобщений охватывает обширную область математических (и не только) проблем.
Теоремы геометрии до сих пор являются источником для множества обобщений, а также плодородных идей. Глубины древних истины, по-видимому, далеко не исчерпаны, и по сей день вдохновляют математиков на все новые и новые открытия.
Список использованных источников
Бронштэн В.А. «Клавдий Птолемей"// «Астрономия» П. И. Попова, К. Л. Баева, Б. А. Воронцова-Вельяминова и Р.
В. Куницкого, Москва, «НАУКА», 1988;Глейзер Г. И. «История математики в школе». — М: Просвещение 1982;Затакавай В. «
Теорема Птолемея и некоторые тригонометрические соотношения"// «Квант», 1991 г. № 4;Прасолов В. В. «Задачи по планиметрии», 2003 г. Смирнова И., Смирнов В. «Вписанные и описанные многоугольники» // «Квант», 2006 № 4.Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класс: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/Л. С. Атанасян, В.
Ф. Бутузов, С. Б. Кадошцев, И.
И. Юдина.
М.:Просвещение, 1997
Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.
Б. Кадошцев, И. И. Юдина, С.
А. Шестаков.
М.:Просвещение, 1998
Факультативный курс по математике:
Учебное пособи для 7−9 классов средней школы/Сост. И. Л. Нидольская.
М.:Просвещение, 1991
Математические кружки в 8−10 классах/Петраков И. С.-М.:Просвещение, 1987
Геометрия 7−9 класс.:Учебник для общеобразовательных учреждений — 7-е издание/Шарыгин И. Ф.-М.:Дрофа, 2004
Учебник для 7−9 класса средней школы/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г.
Позняк, И. И. Юдина. — 4-е издание.—М.:Просвещение, 1994.
