Математическое моделирование изотермической многокомпонентной фильтрации с фазовыми переходами

Настоящая работа посвящена математическому моделированию изотермической многокомпонентной многофазной фильтрации с фазовыми переходами. Исследуется модель, которая широко используется для прогнозирования разработки нефтеи газосодержащих пластов [1, 9, 41, 50, 51, 58, 21, 70, 69, 76, 84, 85]. Однако, фильтрационные течения растворов, сопровождающиеся фазовыми переходами (особенно с изменением числа фаз), изучены недостаточно.

Исследование изотермической многокомпонентной фильтрации, сопровождающейся фазовыми переходами, в сколь-нибудь общей постановке (флюиды могут быть как сжимаемыми так и несжимаемыми) возможно только с привлечением методов математического моделирования. Однако, при этом необходимо решить ряд методических вопросов:

1) изучить свойства уравнений фильтрации, определить функции, отвечающие за гиперболические и параболические свойства системы (если таковые имеются);

2) установить условия термодинамического согласования модели, т. е. критерии непротиворечивости уравнений состояния фаз и кривых фазового равновесия;

3) построить термодинамически согласованные модели растворов, которые были бы достаточно просты для эффективного численного моделирования сложных фильтрационных течений и в тоже время достаточно точно передавали бы фазовое поведение растворов в некотором диапазоне давлений и концентраций;

4) разработать методы отбора физически недопустимых разрывных решений;

5) разработать вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений многокомпонентной фильтрации с фазовыми переходами, подавляющие физически недопустимые разрывы;

6) разработать способы тестирования вычислительных алгоритмов, позволяющие судить об их эффективности на типичных задачах из рассматриваемого класса.

Модели многокомпонентной многофазной фильтрации изучаются, в основном, в связи с проблемами повышения эффективности добычи природных углеводородов — нефти, газа, газоконденсата. Модель, описывающая двухфазную фильтрацию несжимаемых флюидов без фазовых переходов, была предложена в 1941 г. Баклеем и Левереттом [71] и до сих пор широко используется для моделирования задач вытеснения [19, 20, 51, 41, 70, 76, 50, 84, 85, 88]. В рамках модели Баклея-Леверетта, система уравнений двухфазной фильтрации расщепляется на гиперболическое уравнение для фазовой насыщенности и эллиптическое уравнение для давления.

Свойства системы уравнений, описывающих многокомпонентную многофазную фильтрацию, также хорошо изучены в предположениях, что все фильтрующиеся фазы несжимаемы и для всех компонентов при смешении выполнено правило Амаго (аддитивность парциальных объемов) [70]. В этих предположениях из уравнений, выражающих законы сохранения количеств каждого компонента, вытекает условие бездивергентности поля скорости фильтрации. В одномерной геометрии указанное свойство означает, что полный (объемный) поток фильтрующихся флюидов одинаков через все сечения, хотя, вообще говоря, может зависеть от времени. В связи с этим говорят, что такие модели описывают течения с постоянным полным потоком. При этом уравнения многокомпонентной фильтрации расщепляются на эллиптическое уравнение для давления и систему уравнений первого порядка для концентраций компонентов, в которую давление не входит. Если число компонентов невелико, удается сформулировать условия гиперболичности последней системы и провести анализ допустимости разрывных решений, исходя из условий эво-люционности и/или существования структуры скачка [7, 17]. Однако, правило Амаго выполняется далеко не всегда. Условие несжимаемости фаз также не всегда является удачным приближением. Например, для «газированной нефти» закон Амаго не выполняется, а выделяющийся газ нельзя считать несжимаемым [3, 8, 65].

Нефть, конденсат, природные газы — это залегающие в недрах Земли многокомпонентные растворы (смеси), состоящие, в основном, из углеводородных соединений с добавкой неуглеводородных веществ. Сложное поведение таких смесей, когда нельзя рассматривать каждый компонент в отдельности, описывает физика растворов [4, 40, 47, 63, 64, 66]. Растворами называются физически однородные (гомогенные) смеси двух или нескольких веществ. Из-за взаимодействия молекул при растворении происходят реакции, которые обычно сопровождаются выделением или поглощением тепла, что делает растворы похожими на химические соединения. От химических соединений растворы отличаются тем, что в химические соединения вещества вступают в строго определённых пропорция, тогда как относительные количества веществ в растворах могут меняться в более или менее широких пределах. В зависимости от термобарических условий и от величины полной молярной концентрации раствор находится в однофазном состоянии или расслаивается на несколько фаз. Фазы разделены поверхностями раздела. Сложное фазовое поведение отражают фазовые диаграммы, которые определяют не только границы фазовых областей, но и задают концентрации в фазах.

Относительное содержание компонентов в растворе характеризуется их концентрациями. В теоретических исследованиях особенно удобна молярная концентрация. Это есть отношение числа молей рассматриваемого компонента к общему числу молей раствора. Фиксируя температуру, давление и полные молярные концентрации раствора по фазовым диаграммам можно установить: на какое число фаз расслаивается смесь и каковы молярные концентрации в каждой фазе. Каждая фаза раствора ведет себя как гипотетически чистое вещество. Поэтому для растворов используются те же уравнения состояний, что и для чистых веществ, но эффективные параметры уравнения, рассчитываются по специальным процедурам.

Для моделирования фильтрационных течений таких смесей разработана и применяется иерархия моделей разной степени сложности и подробности. Эти модели описывают фильтрацию многокомпонентных растворов в тех или иных предположениях о характере течения (перепаде давления, диапазоне изменения состава раствора и т. п), термодинамических свойствах фаз, влиянии капиллярных эффектов, свойствах коллектора и т. д. Ясно, что чем подробнее модель, тем сложнее она поддается теоретическому анализу и исследованию с привлечением методов численного моделирования. В настоящее время наиболее исследованными являются модели, объединенные условием сохранения полного потока фильтрующегося флюида. Такие модели описывают фильтрацию квазиидеальных растворов, т. е. для каждой фазы выполнен закон Амаго (парциальные объемы компонентов не зависят от давления). Предельным случаем таких моделей являются модели типа Баклея-Леверетта, описывающие фильтрацию несжимаемых несмешивающихся флюидов [5].

В настоящей работе рассматривается модель многокомпонентной фильтрации, в которой относительно свойств парциальных объемов компонентов никаких предположений не делается за исключением выполнения неравенств, гарантирующих термодинамическую устойчивость системы. Однако, принята гипотеза, согласно которой все компоненты в том или ином количестве присутствуют во всех фазах [47, 56]. В этом случае условия фазового равновесия выражаются равенством химпотен-циалов компонентов во всех фазах. Отказ от этой гипотезы означал бы, что в некоторой фазе не растворен какой-либо компонент смеси, как это принимается в модели «газированной нефти» [1]. В этом случае химпо-тенциал нерастворимого в данной фазе компонента, не равен химпотен-циалу этого компонента в других фазах. Однако, это обстоятельство не влияет ни на справедливость правила фаз Гиббса, ни на полученные в работе результаты: баланс свободной энергии, условия допустимости разрывов уравнений многокомпонентной фильтрации. В рассматривавмой модели также полагается, что течение является изотермическим и достаточно медленным, чтобы успело установиться локальное фазовое равновесие. Кроме того, считается, что капиллярным скачком давления между фазами можно пренебречь и для скорости фильтрации каждой фазы выполнен закон Дарси.

Изучению свойств растворов, в частности углеводородных, — расслоение на фазы, уравнения состояния фаз, изменение состава фаз при изменении термобарических условий, ограниченная растворимость компонентов и т. д. — посвящено множество работ [4, 40, 47, 64, 66], тем не менее термодинамическое описание сложных многокомпонентных растворов сталкивается с большими трудностями, как теоретического, так и технического характера. Исследования показали, что в гомогенной области раствор ведёт себя как гипотетическое чистое вещество с некоторыми псевдопараметрами. Каждая из фаз многокомпонентного раствора описывается своим уравнением состояния. Разработано много методик, каждая из которых с той или иной точностью описывает раствор, в том или ином диапазоне давлений и температур [4, 43, 44, 64]. Например, широко используется подход, позволяющий по единому уравнению состояния (Ван-дер-Ваальса, Пенга-Робинсона и др.) вычислять термодинамические потенциалы и определять кривые фазового равновесия (конденсации и кипения). Однако, для реального нефтегазового раствора, состоящего из десятков компонент, находящегося под давлением сотни атмосфер, рассчитать коэффициенты единого уравнения часто проблематично. Поэтому в некоторых диапазонах изменения параметров смеси такой подход дает значительные ошибки.

Некоторые авторы полагают [53], что в настоящее время возможно самый перспективный путь — создавать для каждого месторождения свое уравнение состояния, которое бы содержало информацию не только о флюиде, но и о коллекторе (т.е. учитывало влияние пористости и материала коллектора на уравнение состояния).

Информация о термодинамических свойствах углеводородного раствора, залегающей в пласте, обычно недостаточна и носит полуэмпирический характер. Но термодинамические функции, описывающие тот или иной физический процесс, в котором участвует эта смесь, не являются независимыми. Они должны удовлетворять условиям, налагаемым термодинамикой, и не противоречить друг другу. Поэтому применение уравнений состояний, которые не согласованы с другими элементами модели, например, границами многофазных областей, может привести к неверным результатам. Отметим, что задачи теории фильтрации не требуют точного знания уравнения состояния, описывающего всю теоретически возможную область термобарических параметров. Для практических приложений часто требуется знание уравнения состояния в относительно узком диапазоне давлений, температур и состава. При моделировании фильтрационных течений важно иметь термодинамически согласованное и простое уравнение состояния, передающее поведение раствора в конкретных термобарических условиях.

Один из вопросов, изучаемый в настоящей работе, состоит в следующем: какую информацию о свойствах модели изотермической многокомпонентной фильтрации, которая будет описана в главе I, можно получить, опираясь на общие термодинамические соотношения, имеющее место для гетерогенных систем. Так при разработке вычислительных алгоритмов важны «гиперболические» качества системы уравнений. Надежду на результативность такой постановки вопроса дает теория С. К. Годунова, развитая для систем первого порядка, обладающих дополнительным балансным соотношением [15]. Применительно к рассматриваемой здесь модели, выражающей законы сохранения количеств каждого из компонентов, участвующих в фильтрации, таким дополнительным соотношением является уравнение баланса свободной энергии. В отличие от теории С. К. Годунова уравнения сохранения для компонентов не образуют систему первого порядка. В частности по этой причине система не является гиперболической. Тем не менее она обладает некоторыми «гиперболическими» качествами, которые проявляются в конечной скорости распространения возмущений концентрации компонентов и фазовых насыщенностей. Возмущение же давления распространяются мгновенно. Важной задачей теории является изучение разрывных решений уравнений изотермической многокомпонентной фильтрации. В рамках рассматриваемой здесь модели сильные разрывы трактуются как поверхности, на которых претерпевают скачки концентрации компонентов раствора и объемные насыщенности фаз, в то время как давление (одинаковое во всех фазах) остается непрерывным. При этом значения гидродинамических и термодинамических величин по обе стороны от разрывов связаны соотношениями Гюгонио. На самом деле, сильные разрывы концентраций компонентов раствора и фазовых насыщенностей — суть узкие зоны неравновесных фазовых переходов. Процессы, протекающие в пределах этих переходных зон и определяющие их внутреннюю структуру, здесь не рассматриваются. В качестве критерия допустимости разрыва принимается условие невозрастания на нем свободной энергии смеси.

В рамках рассматриваемой модели многокомпонентная многофазная изотермическая фильтрация описывается системой нелинейных уравнений в частных производных, для решений которой характерно присутствие разрывов концентраций компонентов и фазовых насыщенностей.

Как известно из теории систем гиперболических уравнений, не все скачки, удовлетворяющие условиям Гюгонио, являются физически допустимыми, часть из них должна быть запрещена. Для этого необходимо использовать дополнительные условия. Таких условий в газовой динамике может быть сформулировано, по крайней мере, три [14, 45, 42, 59]:

1) эволюционность скачка;

2) существование структуры скачка;

3) энтропийное условие.

Аналогичные дополнительные условия используются и для выделения допустимых разрывов решений уравнений многокомпонентной многофазной фильтрации.

Эволюционность скачка. В моделях многокомпонентной фильтрации с постоянным полным потоком широко используется условие «априорной эволюционности скачка» или «условие Лакса» [45, 82], которое связывает количество приходящих на разрыв и уходящих с разрыва характеристик.

Существование структуры скачка. В работах [7, 17, 70] для модели двухфазной фильтрации несмешивающихся флюидов с межфазным обменом активной примесью условия существования структуры скачка используются для выделения допустимых разрывов решений. Наряду с учетом капиллярного скачка давлений между фазами, приводящего к появлению диффузионных слагаемых в уравнениях переноса компонентов, в работе [7] учитывается также неравновесная адсорбция. Энтропийное условие. В подземной гидродинамике оно не было сформулировано и поэтому ранее не использовалось. Это условие не зависит от типа уравнений, описывающих систему, и выражает термодинамический закон — неубывание энтропии: неравновесные процессы могут увеличивать (создавать) энтропию, но не могут уменьшать (уничтожать её). Как отмечено в работе [56]: «Основной проблемой, стоящей перед термодинамикой неравновесных процессов, является точное вычисление возрастания энтропии». Отсутствие таких точных выражений приводит к тому, что энтропийное условие обычно формулируется в виде неравенств, что несколько снижает эффективность отбора нефизических решений. Для изотермических задач вместо энтропийного условия рассматривается условие на свободную энергию: неравновесные процессы могут уменьшать свободную энергию, но не могут увеличивать её [47, 56].

Хотя уравнения многокомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов не попадают под классификацию на эллиптические, параболические или гиперболические, они демонстрируют некоторые свойства этих типов уравнений. Поэтому в настоящей работе был принят подход, в рамках которого вычислительные алгоритмы для численного интегрирования этих уравнений, строились по аналогии с алгоритмами, разработанными для решения классических типов уравнений. Однако, как отмечено авторами монографии [45]: «прямое применение даже хорошо проверенных численных методов для моделирования недостаточно понятных физических проблем может привести к неверным результатам». В этом случае особое значение приобретает тестирование вычислительных алгоритмов, которое, по крайней мере в принципе, позволяет выявить их недостатки и установить область их надежного применения. Тестирование вычислительных алгоритмов естественно проводить на относительно простых задачах, решения которых тем не менее содержат особенности, характерные для решений общего случая. К таким особенностям относится присутствие в решении сильных и слабых разрывов концентраций компонентов и фазовых насыщенностей. Появление разрыва решения сопровождаются потерей локальной аппроксимации, что приводит к необходимости использования консервативных разностных схем. Другой особенностью уравнений многокомпонентной фильтрации является невыпуклость функции потока и соответственно распространение разрывов в режиме Жуге. Эта особенность рассматриваемого класса моделей содержится уже в уравнении Баклея-Леверетта. Поэтому вычислительный алгоритм, разработанный для общего случая, должен правильно описывать фильтрацию несжимаемых несмешивающихся флюидов в модели Баклея-Леверетта, когда система расщепляется на эллиптическое уравнение для давления и гиперболическое уравнение для насыщенности.

Классической задачей теории двухфазной фильтрации является задача Баклея-Леверетта о вытеснении одного несжимаемого флюида другим. Эта задача допускает решение в квадратурах, хотя оно и не является автомодельным в обычном смысле. Для построения этого решения важно, что модель Баклея-Леверетта относится к классу моделей с постоянным полным потоком и расщепляется на эллиптическое уравнение для давления и гиперболическое уравнение для насыщенности. Указанное решение для насыщенности становится автомодельным после соответствующей перенормировки времени и может быть построено стандартными методами, а давление затем находится из условия постоянства полного потока. Этот прием расщепления системы на эллиптическую и гиперболическую подсистемы широко используется для построения и анализа решений уравнений многокомпонентной фильтрации в моделях с постоянным полным потоком. В рамках такого подхода исследовались процессы вытеснения несжимаемых флюидов, были построены автомодельные (в указанном выше смысле) решения уравнений многокомпонентной фильтрации о распаде разрыва [11, 8, 2, 49]. За пределами этого подхода находится работа [8], в которой построены и проанализированы автомодельные решения задачи взаимного вытеснения двух несмешива-ющихся фаз с учетом сжимаемости одной из них.

Основные принципы, положенные в основу построения вычислительного алгоритма, состояли в следующем:

1) консервативность разностной схемы для каждого компонента раствора;

2) второй порядок пространственной аппроксимации в областях гладкости решения;

3) аппроксимация доли компонент в потоке против скорости фильтрации;

4) аппроксимация градиента давления на неявном временном слое.

Первое требование необходимо для моделирования разрывных решений, характерных для рассматриваемого класса задач. При численном интегрировании уравнений двухкомпонентной фильтрации консервативность обеспечивалась дивергентным замыканием схемы. Второй порядок аппроксимации по пространственной переменной достигался введением в противопоточный алгоритм специальным образом ограниченных антидиффузионных добавок. Третье и четвертое требования позволяют проводить расчеты с шагом интегрирования по времени, ограниченным только условием Куранта.

В разработанном вычислительном алгоритме реализована процедура уточнения значений давления, основанная на анализе свободной энергии в каждом расчетном интервале. Используются экстремальные свойства термодинамического потенциала свободной энергии: в состоянии термодинамического равновесия свободная энергия системы, имеющей фиксированные температуру, объем и состав, достигает минимума. Процедура позволяет: 1) сократить количество итераций по времени, что особенно важно при моделировании пространственных фильтрационных течений- 2) на каждом шаге по времени термодинамически согласовывать систему.

Предложенный вычислительный алгоритм для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации с фазовыми переходами был отработан и протестирован на ряде задач, решения которых содержат характерные для рассматриваемого класса проблем особенности. Для этого построены автомодельные решения уравнений двухкомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов с фазовыми переходами. В результате тестирования вычислительного алгоритма на автомодельных решениях были выявлены некоторые особенности моделирования скачков концентрации компонентов и фазовых насыгценностей и уточнены схемы вычисления некоторых шаблонных коэффициентов.

Актуальность.

Актуальность темы

диссертации обусловлена тем обстоятельством, что фильтрационные течения растворов, сопровождающиеся фазовыми переходами (особенно с изменением числа фаз), изучены недостаточно. В то же время, даже небольшое выпадение новой фазы в какой-то области пласта изменяет режим течения, может резко увеличить или уменьшить гидродинамическое сопротивление, вызвать колебания на скважине [53, 55, 86]. Выделение пузырьков газа из добывамой нефти в мелких порах иногда приводит к полной закупорке коллектора [62]. Непредсказуемые изменения состава, возникновение колебаний на скважине — это типичные проблемы разработки залежей «газированной» нефти и газоконденсата. Вследствие этого в пласте безвозвратно теряются значительные запасы углеводородов. На Вуктыльском конденсатном месторождении 70% конденсата осталось в пласте. При понижении давления на скважинах Уренгойского газоконденсатного месторождения, через некоторое время после начала эксплуатации наблюдалось значительное облегчение и осветление добываемого конденсата и т. д.

Цель работы.

Построение термодинамически согласованных моделей растворов для их использования при моделировании изотермической многокомпонентной многофазной фильтрации с фазовыми переходамиизучение свойств математической модели, широко используемой для моделирования фильтрации многокомпонентных растворов, сопровождающейся фазовыми переходамиразработка и тестирование вычислительных алгоритмов для численного интегрирования уравнений многокомпонентной изотермической фильтрации, проведение вычислительных экспериментов для выяснения эффективности предложенных алгоритмов.

Научная новизна.

Разработан подход, позволяющий строить термодинамически согласованные полуэмпирические модели растворов для изотермического случая. В подходе используются соотношения, связывающие уравнения состояния, кривые фазового равновесия (конденсации и испарения) и потенциалы Гиббса. Построенные модели адекватно передают физические свойства реальных многокомпонентных растворов в некотором диапазоне давлений и концентраций.

Рассматриваются простые модельные уравнения состояния, позволяющие получить в аналитическом виде кривые конденсации и кипения, а также другие термодинамические величины для растворов.

Из уравнений изотермической многокомпонентной фильтрации получено уравнение баланса свободной энергии (потенциала Гельмгольца) и на его основе сформулировано термодинамическое условие для выделения допустимых разрывов концентраций и фазовых насыщенностей.

Предложен графический метод анализа термодинамического условия для уравнений двухкомпонентной фильтрации и с его помощью получены явные условия допустимости сильных разрывов.

Разработаны вычислительные алгоритмы для численного интегрирования уравнений двухкомпонентной фильтрации сжимаемых флюидов.

Построены автомодельные решения уравнений двухкомпонентной фильтрации. С их помощью проведено тестирование разработанных вычислительных алгоритмов, уточнены схемы расчетов некоторых шаблонных коэффициентов.

Практическая ценность.

Результаты настоящей работы использовались при разработке современных гидродинамических симуляторов, в частности при создании симулятора, созданного в ИПН им. М. В. Келдиша РАН и получившего авторское свидетельство. Разработанные алгоритмы могут найти применение для моделирования сложных фильтрационных течений, сопровождающихся фазовыми переходами.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались автором на IX Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова, 2002; на XIV Всероссийской конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященной памяти К. И. Бабенко, 2002; на конференции «Ломоносовские чтения», МГУ, 2003; in International conference «New Trends in Continuum mechanics», Constatza, Ruminia, 2003; на XI школе — семинаре «Современные проблемы аэрогидромеханики», Сочи, «Буревестник», 2003; на конференции «Ломоносовские чтения», МГУ, 2004; на XII школе — семинаре «Современные проблемы аэрогидромеханики», Сочи, «Буревестник», 2004; на X Всероссийском совещании по проблемам построения сеток для решения задач математической физики, посвященной памяти академика А. Ф. Сидорова, 2004; на конференции «Ломоносовские чтения», МГУ, 2005; на XIII школе — семинаре «Современные проблемы аэрогидромеханики», Сочи, «Буревестник», 2005.

Публикации по теме диссертации.

Результаты диссертация изложены в 15 печатных работах автора, приведенных в списке литературы. Из них журнальных статей — 2, статей в сборниках или трудах конференций — 9, препринтов — 4.

Объем и структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Объем диссертации составляет 113 стр., включает 32 рисунка, 3 таблицы, список литературы из 90 наименований.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Установлены условия термодинамического согласования уравнений состояния фаз и фазовых диаграмм для двухкомпонентных смесей. Предложена термодинамически согласованная модель смеси, допускающая вычисление кривых фазового равновесия в явном виде. Развитый подход позволяет на основе имеющихся экспериментальных данных для газированной многокомпонентной нефти получить в аналитическом виде термодинамически согласованную систему (уравнения состояния, кривые конденсации и испарения, потенциал Гиббса и т. д.), которая аппроксимирует сложное поведение смеси с фазовыми переходами.

2. В рамках модели изотермической многокомпонентной фильтрации с фазовыми переходами получено уравнение баланса свободной энергии и на его основе сформулировано термодинамическое условие для выделения допустимых разрывных решений. Предложен графический метод, упрощающий анализ этого условия. Проанализирован случай двухком-понентной фильтрации и выделены допустимые сильные разрывы концентраций.

3. Для уравнений двухкомпонентной фильтрации построены автомодельные решения степенного типа и типа «бегущей волны», которые передают основные особенности исследуемых нелинейных задач фильтрации.

4. Предложен и реализован вычислительный алгоритм для численного решения задач двухкомпонентной фильтрации растворов с произвольными термодинамическими свойствами с учетом фазовых переходов. Предложена процедура коррекции давления, которая позволяет контролировать сходимость итераций по нелинейности. Разработанный вычислительный алгоритм апробирован на автомодельных решениях и на решениях тестовых задач.