Методика обобщающего повторения при изучении математики в 4-5 классах средней школы

Коммунистическая партия и правительство СССР, осуществляя реформу общеобразовательной и профессиональной школы, поставили задачу «растить, обучать и воспитывать молодые поколения с максимальным учетом тех общественных условий, в которых они будут жить и работать» /5, с. 3/.

В свете решения этой задачи особенно акчуальной стала проблема овладения школьниками не просто суммой знаний об изучаемом предмете, а их системой, состоящей из частей, которые находятся в отношениях и связях друг с другом и образуют определенную целостность, единство /23/. Причем, эта система должна формироваться на таком уровне теоретического обобщения, который обеспечил бы понимание учащимися закономерностей развития общества и природы, сущности научной теории /67, с. 61/.

Один из путей повышения систематичности и обобщенности знаний учащихся заключается в педагогически полноценной реализации возможностей обобщающего повторения пройденного материала в процессе изучения предмета. Данный путь становится возможным лишь при условии разработки единой системы обобщающего повторения, позволяющей постепенно, шаг за шагом систематизировать и обобщать приобретаемые школьниками знания, приводить их в систему, адекватную логической стргукчуре содержания учебного материала.

Актуальность проблемы обобщения и систематизации знаний учащихся в процессе изучения курса математики 4−5 классов обусловлена рядом причин. Прежде всего, это причины, связанные со спецификой учебного содержания данного курса, с психолого-педагогическими особенностями его усвоения, а также причины социального характера.

Социальные факторы предопределяют особенности задач школьного обучения в условиях научно-технической революции, когда бурный рост научной информации требует умелого распоряжения приобретенными знаниями, постоянного их совершенствования, систематизации. Развитие науки и техники, управление народным хозяйством требуют от человека системы глубоких и прочных знаний, умения самостоятельно пополнять знания, ориентироваться в стремительном потоке научной и политической информации /4/, умения применять накопленный багаж знаний для решения практических задач.

Эти умения станут достоянием школьников лишь в том случае, когда они четко представляют себе структуру усвоенного учебного материала, умеют устанавливать связи и отношения между отдельными событиями или явлениями, конкретными научными фактами, большими совокупностями элементов знаний. Процесс обобщения и систематизации знаний при повторении обладает большими возможностями для развития этих умений.

В психолого-педагогическом плане необходимость систематизации и обобщения знаний при повторении обусловлена системностью умственной деятельности школьников, характеризующейся образованием обобщенных ассоциаций и включением их в связи более высокого порядка /122, 123, 154, 157/.

В исследованиях психологов и педагогов /22, 39, 52, 62, 78, ПО, 121, 128/ установлено, что своевременное обобщение и систематизация усвоенного не только повышает прочность знаний и оперативность умений, но и развивает память, повышает ее информационную емкость, способствует формированию навыков теоретического мышления, выработке умений ориентации в учебной информации.

Следовательно, обобщение и систематизация знаний учащихся в процессе обучения не есть что-то навязываемое ученицу, а является необходимым этапом процесса усвоения, обусловлены природой мышления, объективными законами психологии и физиологии.

На возможность эффективного использования процесса повторения пройденного материала для обобщения и систематизации знаний учащихся указывалось в работах многих психологов и дидактов: Д. Н. Богоявленского /22/, М. А. Данилова /38, 39, 40/, Б. П. Есипова /48/, Ш. И. Ганелина /31/, Л. В. Занкова /52, 53/, Н. А. Менчинской /93/, А. А. Смирнова /127, 128, 129/, В. П. Стрезикозина /135, 136/, М. Н. Шардакова /154/ и др.

Необходимость разработки системы обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов обусловлена, прежде всего, спецификой строения математической науки, особенностями содержания данного курса, целями его изучения.

Для современной математики характерно установление взаимосвязей между различными ее разделами, структурирование содержания этих разделов, разработка обобщающих теорий, позволяющих с единых позиций рассматривать обширные области математических знаний /7, с. 137/. Показательно в этом отношении высказывание Д. Гильберта: «Математическая наука, в моем понимании, есть неделимое целое, организм, жизненность которого обусловлена связью его частей» /6, с. 23/.

Предмет математики 4−5 классов конгломеративен по своей струи туре и включает в себя довольно много разнообразной информации из арифметики (числа, действия с числами, законы действий, и т. п.), алгебры (элементы буквенной символики, учение об уравнениях и неравенствах, об элементарных тождественных преобразованиях), геометрии (фигуры, измерение величин, элементарные построения на плоскости и т. д.), а также некоторых других разделов математики (функциональная пропедевтика, элементы математической логики и др.).

Выделение главных понятий, установление внутренних связей и отношений, между ниш, систематизация сведений, связанных с этими понятиями, будут способствовать образованию целостного представ-ния учащихся 4−5 классов об изучаемом предмете, формированию их диалектикоматериалистического мышления.

Познание совокупности предметов всегда сопряжено с изучением их взаимосвязей." Взаимодействие,-писал Ф. Энгельс, — вот первое, что выступает перед нами, когда мы рассматриваем движущуюся материю в целом с точки зрения теперешнего естествознания" /]!, с.199/.

Особая значимость обобщения и систематизации математических знаний учащихся 4−5 классов при повторении обусловлена тем, что приемы обобщения и систематизации учебного материала у учащихся данной возрастной группы еще не достаточно сформированы.

Акцентирование внимания на их отработке и доведении до нужного уровня сформированности сопряжено с большими временными затратами /27, 36/. Поэтому здесь необходима специальная организация учебной деятельности школьников по систематизации и обобщению приобретенных знаний. Не случайно в этой связи школьные учебные программы из года в год в качестве одной из важных целей обучения математике в 4−5 классах выделяют задачу систематизации знаний учащихся, приобретенных ими в начальной школе, и обобщение, углубление их на новом материале /115, с. 4/. В соответствии с этим, система обобщения и систематизации знаний учащихся при повторении должна, превде всего, способствовать достижению основных целей обучения математике в 4−5 классах, а именно, подготовке школьников к изучению систематических курсов алгебры и геометрии и углублению знаний учащихся о числовых множествах.

В диссертационных работах по методике преподавания математики данная проблема исследована недостаточно /8,36,142/.Какой-либо методической концепции обобщающего повторения в них не построено.

В большинстве публикаций, касающихся повторения пройденного при изучении математики, обобщающее повторение рассматривается с узко методических позиций как своего рода «довесок», добавляемый к учебно^ процессу в конце учебного года. Такой подход нам представляется односторонним, не учитывающим специфику формирования системы знаний учащихся по изучаемому предмету.

Недостаточная теоретическая разработка вопросов обобщающего повторения отразилась на постановке этого вида учебной работы в практике школьного обучения. Так, в проведенном нами анкетировании выявлена не совсем верная установка большинства учителей математики обследуемого региона в отношении целей и задач организации учебного повторения в условиях развивающего обучения (см. § 3 гл. I).

Изучение состояния проблемы обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов показало, что (в отличии от курсов начальной математики, алгебры и геометрии) для него еще не разработана методика проведения уроков обобщающего повторения, не построены системы обобщающе-систематизирующих упражнений, не раскрыты пути систематизации и средства обобщения усвоенного учащимися материала.

Успешное решение сформулированных выше задач лишь путем анализа и обобщения существующего педагогического опыта не представляется возможным, поскольку при таком подходе трудно выбрать оптимальные варианты обобщения и систематизации знаний учащихся при повторении, которые наикратчайшим путем ведут к достижению планируемых результатов.

Все вышесказанное обусловливает актуальность проблемы методики обобщающего повторения при изучении математики в 4−5 классах средней школы.

Проблема данного исследования состоит в выявлении путей систематизации и обобщения усвоенных учащимися знаний по курсу математики в 4−5 классах в процессе повторения пройденного материала.

Цель исследования заключается в разработке методических основ системы обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов, позволяющей постепенно, по мере изучения предмета систематизировать и обобщать приобретаемые учащимися знания.

В ходе исследования была выдвинута гипотеза, что повышению эффективности обобщающего повторения будет способствовать такая его организация, которая обеспечивает целенаправленную, постепенную перекомпановку усвоенных учащимися знаний в определенную систему, адекватную логической структуре содержания учебного материала, и позволяет постепенно переходить от частных (локальных) обобщений к более широким обобщениям — поурочным, тематическим и итоговым.

Объектом данного исследования является процесс повторения пройденного материала при изучении математики в 4−5 классах, а его предметом — процесс систематизации и обобщения усвоенных учащимися знаний в ходе повторения пройденного материала.

Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутого предположения в процессе исследования предстояло решить следующие задачи:

— изучить дидактическую сущность обобщающего повторения при изучении математики в 4−5 классах и дать его психолого-физиологическое обоснование;

— провести анализ содержания учебного материала математики 4−5 классов с целью установления возможных путей систематизации и обобщения усвоенных школьниками знаний и умений при повторении;

— обосновать и разработать систеьу обобщающего повторения при изучении математики в 4−5 классах ;

— разработать методические основы обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов;

— провести экспериментальную проверву предложенной методики.

Для решения поставленных задач были привлечены различные методы педагогических исследований, такие как: изучение партийных и правительственных документов по вопросам народного образования с целью уяснения требований, предъявляемых на современном этапе к советской школеизучение и анализ психологической, дидактической и методической литературы по вопросам, относящимся к предмету исследованияанализ и обобщение опыта работы учителей массовой школы по исследуемой проблеме (наблюдение школьных уроков математики, интервьюирование учителей и учащихся, анкетирование) — теоретическое исследование проблемыпоисковый, констатирующий и обучающий экспериментыколичественная и качественная обработка результатов эксперимента.

Научная новизна исследования заключается в том, что разработан и теоретически обоснован один из возможных вариантов методики обобщающего повторения при изучении математики в 4−5 классах средней школывыявлены пути систематизации и обобщения математических знаний учащихся при повторенииустановлены принципы отбора учебного материала для обобщающего повторения и логическая последовательность обобщающе-систематизи-рующей работы с ним.

На защиту выносятся:

I. Пути систематизации математических знаний учащихся 4−5 классов посредством формирования представлений школьников об узловых элементах структуры учебного материала и взаимосвязях между ниш.

2. Основные направления обобщения математических знаний учащихся 4−5 классов при повторении: использование буквенной символики в записи объектов изучения и выполнении действий с нимивыявление родо-видовых и других отношений между изученными понятиямирешение обобщающих задачформулирование обобщающих выводовпостроение сжатого (обобщенного) изложения учебного материаласоставление обобщающе-систематизирующих таблиц, схем, записей и т. п.

3. Методика поурочного, тематического и итогового этапов обобщающего повторения по нурсу математики 4−5 классов средней школы, разработанная в диссертации.

Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанные в диссертации методические рекомендации по проведению поурочного, тематического и итогового этапов обобщающего повторения могут быть использованы учителями математики при организации повторительной работы в 4−5 классах средней школы. В школьной практике обучения могут быть использованы также обобщающе-систематизирующие упражнения к темам «Сравнение десятичных дробей», «Положительные и отрицательные числа» и комплекс упражнений для итогового обобщающего повторения по числовой линии курса математики 4−5 классов.

Исследование проводилось в период с 1979 по 1984 гг. и состояло из четырех этапов.

На первом (подготовительном) этапе работа автора заключалась, главным образом, в изучении состояния проблемы обобщающего повторения в теории и практике обучения математикев выборе методики исследования* и ее уточнении в ходе поискового эксперимента. В результате проделанной работы обнаружилась необходимость и возможность совершенствования методики обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов.

На втором этапе осуществлялось теоретическое исследование вопросов методики обобщающего повторения при изучении математики. Теоретическому анализу были подвергнуты, прежде всего, такие аспекты обобщающего повторения, как место и значение обобщения и систематизации в комплексе (функций учебного повторения, виды, формы и методические приемы обобщающего повторения при изучении математики, способы организации учебного материала для обобщающего повторения. В итоге была разработана система обобщающего повторения и определены конкретные пути и методические средства ее реализации по курсу математики 4−5 классов.

На третьем этапе исследования осуществлялась разработка методики педагогического эксперимента, подготавливались необходимые материалы и методические рекомендации и было проведено экспериментальное обучение.

Четвертый этап работы заключался в обобщении полученных результатов, формулировании окончательных выводов и написании практических рекомендаций учителям математики.

По теме исследования опубликовано в печати пять работ.

Материалы и результаты исследования были апробированы в докладах на августовских педагогических чтениях учителей Арзамасского района (1981), на республиканской научной конференции в г. Уфе.

1982), на X научно-практической конференции аспирантов и младших научных сотрудников НИИ СиМО АПН СССР (1983), на научно-мето дичее-ком семинаре при кафедре методики математики МГПИ им. В. И. Ленина.

1983), на республиканской научно-методической конференции в г. Даугавпилсе (1984).

— 12.

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ П.

— Обобщающее повторение занимает особое место в системе повторительной работы при изучении школьных предметов. Его функции играют роль связующего звена в комплексе функций учебного повторения. Реализация функций сохранения, совершенствования и подготовительной функции становится более эффективной, если она проводится на обобщающе-систематизирующей основе.

— Обобщающее повторение многочисленными связями пронизывает все другие виды учебного повторения, объединяет их в единую систему. Оно должно осуществляться постепенно-, по мере изучения учебного материала предмета с тем, чтобы заранее подготовить обобщение и систематизацию всего учебного курса.

— Обращение к ранее пройденному материалу при обобщающем повторении может происходить в форме восприятия, воспроизведения или оперирования ранее усвоенным материалом. Эти формы обращения к ранее пройденному материалу нельзя противопоставлять друг другу, поскольку они имеют разные психологические и организационные основы и различную дидактическую ценность. В реальном педагогическом процессе следует рационально сочетать использование этих форм на основе всестороннего учета преимуществ каждой из них в решении конкретных задач повторения.

— Для организации обобщающего повторения в той или иной форме имеется широкий арсенал методических приемов, позволяющих разнообразить этот вид учебной работы, повышать познавательный интерес учащихся.

— Применительно к курсу математики 4−5 классов система обобщающего повторения должна предполагать реализацию поурочного, тематического и итогового его этапов, каждый из которых имеет свою специфику и позволяет выполнять лишь определенную часть обобщающе-систематизиругощей работы. Система обобщающего повторения должна обеспечивать поэтапцую перекомпоновку приобретаемых учащимися знаний в систему, постепенно усложняющуюся и охватывающую материал одного урока, ряда уроков, целого раздела и всего учебного курса.

— Для полноценного отражения в сознании учащихся логической структуры учебного предмета система обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов должна обеспечивать реализацию поэлементной, вертикальной и горизонтальной систематизации учебного материала этого предмета.

Поэлементная систематизация позволяет формировать относительно узкие системы знаний, ограниченные рамками одного структурного узла учебного материала. Вертикальная систематизация призвана формировать представления учащихся о довольно значительных объемах содержания предмета, посредством объединения нескольких его структурных узлов в вертикальные цепочки. Горизонтальная систематизация состоит в выявлении межузловых связей по каждой совокупности родственных узлов, что позволяет завершить образование целостного представления учащихся о логической структуре учебного материала всего курса и поднять их знания на более высокую ступень абстракции.

ГЛАВА Ш МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБОБЩАЮЩЕГО ПОВТОРЕНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ В 4−5 КЛАССАХ.

Методическую реализацию системы обобщающего повторения по 1сурсу математики 4−5 классов будем осуществлять на основе установленных в главе П этапов обобщающего повторения.

Заметим, что повторение является частью учебного процесса, которая в значительной мере зависит от качества первоначального овладения учащимися программным материалом, уровня развития умственных способностей учеников данного класса, методов первоначального изучения и т. п. Поэтому представляется нецелесообразным создание какой-либо единой системы повторительных упражнений, одинаково пригодной для всех учеников и классов. Куда более полезной задачей методики повторения будет являться задача отыскания объективных закономерностей отбора содержания для повторения. логики его развертывания в обучении, способов повышения мыслительной активности учащихся при повторении, наиболее эффективных форм и методических приемов обращения учащихся к пройденному материалу.

Решение этих вопросов будем проводить по каждому этапу обобщающего повторения. При этом в осноеу организации учебного материала для проведения обобщающе-систематизирующей работы нами положены результаты анализа содержания ¡-офса математики 4−5 классов, полученные в § 4 гл. П.

§ I. Методика поурочного обобщения и систематизации.

Поурочное обобщение и систематизация является первым этапом повторительной работы над системой знаний учащихся, формирующейся в ходе изучения предмета. К нему относятся обобщения и связи, реализуемые по мере усвоения школьниками материала одного или нескольких взаимосвязанных уроков. Поурочное обобщение и систематизация осуществляется в рамках текущего повторения, одной из задач которого является, как известно, приведение в связь ближайшего родственного материала.

Текущее повторение является наиболее распространенным и в тоже время наиболее сложным по организации видом повторения на уроках математики. Сочетание изучения нового материала с повторением ранее изученного — задача непростая. Учитель должен четко представить себе, что, когда и как следует повторять с наименьшей затратой сил учеников и наибольшей пользой для них. Методика текущего повторения на уроках математики требует от учителя проявления гибкости в выборе средств и методов повторения, осуществления непрерывного контроля за уровнем сохранности знаний учащихся, умения проводить анализ содержания изучаемого материала.

Общими организационными особенностями текущего повторения (и, следовательно, поурочного обобщения и систематизации) является то, что оно не вносится в календарные планы, для него не выделяется специального времени (уроков или отдельных их этапов). Тогда как этот вид работы, сопровождая изучение нового материала или логически завершая его, является органической частью большинства уроков. Выделение данного вида обобщающего повторения продиктовано необходимостью сведения в единую систему всего усвоенного учащимися на уроке.

Поскольку целью обобщающего повторения является, в конечном счете, формирование в сознании учащихся системы знаний по изучаемому предмету, адекватной логической структуре содержания учебного материала, то раскрытию методических основ поурочного обобщения и систематизации должно предшествовать выяснение его роли в реализации этой цели.

В предыдущей главе было установлено, что формирование системы знаний учащихся, адекватной логической структуре учебного содержания можно осуществить посредством трех видов систематизации: поэлементной, вертикальной и горизонтальной. Относительно двух последних можно заметить, что их возможности в реализации поурочного обобщения и систематизации ограничены временными рамками урока.

Поэлементная же систематизация, напротив, неизбежно присутствует на большинстве школьных уроков математики. Как отмечалось выше, она направлена на организацию микросистем знаний, представляющих собой узловые элементы структуры содержания учебного материала. Проводимая единицами знаний и умений по конкретному учебному материалу, она призвана ввести вновь изучаемые знания и умения в систецу, сформированную в сознании учащихся предшествующим ходом обучения, т. е. реализует задачи поурочного обобщения и систематизации. Следовательно, роль поурочного обобщения и систематизации по отражению в сознании учащихся системы знаний по изучаемому предмету состоит в формировании микросистем знаний, сопровождающемся необходимыми обобщениями.

Отбор содержания для поурочного обобщения и систематизации следует осуществлять, прежде всего, на основе анализа содержания узлового элемента структуры учебного материала. Важно при этом учитывать особенности предмета математики. Одна из таких особенностей заключается в том, что материал каждого урока математики логически связан с ранее пройденным. Поэтому учащиеся лишь в том случае будут активными участниками учебного процесса, если для получения новых знаний у них будет иметься соответствующая база.

Теоретические знания и практические умения, составляющие эту базу неравнозначны. Условно их можно подразделить на два вида: основные знания и умения (I вид), вспомогательные знания и умения (2-й вид). Основные знания и умения непосредственно связаны с изучаемой темой, являются ее фундаментом или входят в качестве составляющих компонентов во вновь приобретаемые умения. Вспомогательные знания и умения также необходимы школьникам для усвоения нового материала. Однако эта необходимость во многом обусловлена методическими особенностями изложения нового материала, принятого в учебнике.

При различных методических подходах к изложению той или иной темы объем вспомогательных знаний и умений может существенным образом изменяться. Основные же знания и умения более инвариантны в этом смысле, поскольку являются теоретической (а не методической) основой изучения нового материала.

Например, в изложении темы: «Сравнение десятичных дробей» в действующем учебнике для 4-го класса /89/ обоснование равенств типа: 0,6 = 0,60- 0,67 = 0,670 = 0,6700- 0,800 = 0,80 = 0,8 осуществляется на основе взаимосвязи единиц измерения длины. (Длину отрезка, АВ равную 0,6 дм., выражают в сантиметрах и миллиметрах: 0,6 дм = 6 см = 60 мм. Поскольку 1 мм = 0,01 дм, то 60 мм = 0,60 дм. Десятичные дроби 0,6 и 0,60 выражают длину одного и того же отрезка, следовательно они равны, то есть, 0,6 = 0,60).

Понятие длины отрезка, знание единиц измерения длины и их взаимосвязи не является теоретической основой для изучения вопроса равенства десятичных дробей. Их присутствие в материале обусловлено методическим подходом к его изложению, целями упрощения рассуждений. При другом подходе к изложению их привлечение бывает необязательным (см. напр. 15, 16).

Иначе обстоит дело в рассматриваемом примере с основными знаниями и умениями базы: правилом сравнения чисел по их изображению на числовом луче, правилами сравнения натуральных чисел по их десятичной записи, правилом сравнения дробей с одинаковыми знаменателями и правилами приписывания .и&bdquoотбрасывания нуля на конце десятичной дроби. Первое правило, переносимое на десятичные дроби по аналогии с натуральными числами, служит основой для сравнения дробей с разными целыми частями. Вторые-непосредственно работают при сравнении целых частей десятичных дробей. Третье правило обосновывает сравнение дробных частей десятичных дробей. Четвертые правила работают при сравнении десятичных дробей с одинаковыми целыми частями.

При планировании повторительной работы к конкретному уроку учитель должен заботиться о наличии у учащихся прочных знаний и умении обоих видов базы. Однако характер повторительной работы в этих случаях различен. Повторение вспомогательных знаний и умении предполагает их актуализацию в сознании учащихся. Повторение же основных знаний и умений предполагает их систематизацию, включение во взаимосвязь с вновь изучаемыми знаниями и умениями, выявление их сферы применимости в новых условиях (например, на расширенном числовом множестве). Вместе с новыми знаниями они составляют основу микросистемы знаний.

Общий подход к выявлению содержания микросистемы знаний (узлового элемента структуры) кратко можно описать так. Первоначальному анализу подлежат содержательные элементы микросистемы, т. е. конкретные знания и умения. При этом сначала выделяются умения, которыми должны овладеть учащиеся в ходе изучения данного материала. Далее выделяются теоретические положения (определения, правила, утверждения и т. д.), которые обосновывают формируемые умения и усвоение которых предшествует овладению ши. Затем, выясняются умения, являющиеся составной частью первоначально ввделенных умений и теоретические положения их обосновывающие. Далее анализируются умения из прошлого опыта учащихся, на которые опираются ранее выделенные умения и без уверенного владения которыми невозможно овладение основными умениями. Наконец, анализируются все теоретические положения, обосновывающие умения прошлого опыта учащихся.

Логические связи между элементами полученного комплекса знаний и умений будут являться структурными элементами выявляемой системы.

Фиксацию выделенных элементов удобно производить записью в столбик в следующей последовательности: формируемые знания (ФЗ), формируемые умения (ФУ), базовые умения (БУ), базовые знания (БЗ). Например, по теме «Сравнение десятичных дробей» эта последовательность имеет следующий вид:

ФЗ) I. Правило сравнения дробей с разными целыми частями.

ФЗ) 2. Правило сравнения дробей с одинаковыми целыми частями.

ФУ) 3. Умение сравнивать десятичные дроби.

БУ) 4. Умение сравнивать натуральные числа.

БУ) 5. Умение уравнивать число десятичных знаков после запятой в записи десятичной дроби.

БЗ) 6. Правило сравнения натуральных чисел по их изображению на числовом луче.

БЗ) 7. Правила сравнения натуральных чисел по их десятичной записи.

— 100.

БЗ) 8. Правила приписывания и отбрасывания куля на конце десятичной дроби.

БЗ) 9. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Фиксацию связей между этими содержательными элементами удобно осуществлять в схематическом представлении, где наряду с выделенными элементами обозначены связи между ними. Так, для рассматриваемого примера связи между содержательными элементами микросистемы знаний могут быть наглядно представлены в виде следующей схемы. ф ^^ т.

Правило сравнения дробей с разными целыми частями.

Правило сравнения дробей с одинаковыми целыми частями.

Умение сравнивать десятичные дроби.

Умение сравнивать натуральные числа.

Умение уравнивать число десятичных знаков после запятой.

Правило сравнения чисел по их изображению на числовом луче.

Правила сравнения натуральных чисел.

Правила приписывания и отбрасывания нуля на конце десятичной дроби.

Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Рис. 5. Взаимосвязь элементов структурного узла «Сравнение десятичных дробей.

Характер связей между базовыми и формируемыми элементами можно отражать с помощью квадратной матрицы структурирования учебного материала /119/. Она дает полную картину внутренних связей между базовыми элементами, между формируемыми элементами и между базовыми и формируемыми элементами. Для фиксации связей только между базовыми и формируемыми элементами эта матрица может быть существенно упрощена, что создает определенные удобства при использовании ее в учебном процессе. Для этого формируемые элементы располагают по одной стороне матрицы, а базовые по другой. Так, для рассматриваемого примера характер связей между базовыми и формируемыми элементами может быть отражен в виде следующей таблицы.

— 172 -ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Исследование процесса систематизации и обобщения знаний учащихся при повторении пройденного имеет важное значение для школьной практики обучения математике. В ходе решения поставленных в диссертации задач были получены следующие результаты и выводы.

1. Установлена характеристика обобщающего повторения как процесса совершенствования усвоенных учащимися знаний, в результате которого происходит установление связей между отдельными компонентами и реорганизация их в систему, адекватную логической структуре учебного материала.

2. Показано, что функциям обобщающего повторения отведено особое место. Они играют роль связующего звена в комплексе всех функций учебного повторения. Реализация остальных функций повторения становится более эффективной, если она осуществляется на обобщающе-систематизирующей основе.

3. Показано, что обобщающее повторение должно носить не разовый характер (в виде обзора пройденного в конце учебного года или учебной четверти), а поэтапный. Оно должно осуществляться постепенно, по мере изучения учебного материала с тем, чтобы заранее подготовить обобщение и систематизацию всего учебного курса.

4. Обоснована система обобщающего повторения при обучении математике в 4−5 классах, предусматривающая реализацию поурочного, тематического и итогового этапов. Каждый из этих этапов обобщающего повторения имеет свою специфику и позволяет осуществить лишь определенную часть обобщающе-систематизирующей работы. В совокупности они создают условия для достижения всех целей обобщающего повторения.

5. Проведено структурирование содержания учебного материала математики 4−5 классов для организации обобщающего повторения.

В результате этого был выявлен один из возможных вариантов формирования в сознании учащихся системы знаний, адекватной логической структуре содержания учебного материала. Данный вариант предусматривает систематизацию знаний учащихся посредством объединения родственных сведений в узловые элементы структуры содержания (поэлементная систематизация), формирования вертикальных цепочек из этих узловых элементов (вертикальная систематизация Ь. выявления межузловых связей по каждой горизонтали узловых элементов (горизонтальная систематизация).

6. Раскрыты методические аспекты основных характеристик каждого этапа обобщающего повторения: целей, общих организационных особенностей, принципов отбора содержания учебного материала, логической последовательности его рассмотрения, форм и методических приемов повторения.

7. Установлена общность логической последовательности работы над обобщениями и системой знаний учащихся для всех этапов обобщающего повторения, заключающаяся:

— в создании базы для повторительной работы (обозрение, актуализация, воспроизведение учащимися содержания повторяемого материала);

— в выявлении внутренних связей в повторяемом материале (систематизация);

— в обобщении существенного (формулирование выводов, свойств, закономерностей).

— 174.

Эта последовательность приобретает на каждом из этапов обобщающего повторения дополнительные особенности.

8. Обоснован отбор учебного материала математики 4−5 классов, выносимого на обобщающее повторение: а) для поурочного обобщающего повторения — на основе анализа знаний и умений, связанных с узловыми элементами структуры содержания учебного материалаб) для тематического обобщающего повторения — на основе анализа содержания вертикальных цепочек (или их частей) узловых элементов и взаимосвязей между нимив) для итогового обобщающего повторения-на основе анализа содержания горизонтальных цепочек узловых элементов структуры учебного материала и взаимосвязей между ними, а также с учетом особенностей логики обобщающе-систематизирующей работы на каждом этапе повторения.

9. Выявлены основные направления обобщения математических знаний учащихся 4−5 классов при повторении:

— использование буквенной символики в записи объектов изучения;

— выявление родо-видовых и других отношений между изученными понятиями;

— формулирование обобщающих выводов по изученным вопросам;

— решение обобщающих задач;

— составление обобщающе-систематизирующих таблиц, схем, сводок сведений и т. п.;

— построение сжатого (обобщенного) изложения учебного материала. Установлены виды заданий по каждому из этих направлений. Обоснован принцип комплексного использования основных направлений.

— 175 обобщения математических знаний учащихся при повторении.

10. Показано, что система упражнений для каждого из этапов обобщающего повторения должна удовлетворять определенным требованиям. Выделенные требования реализованы в системах упражнений по темам: «Сравнение десятичных дробей», «Положительные и отрицательные числа», а также в упражнениях для итогового обобщающего повторения по числовой линии курса математики 4−5 классов.

11. Экспериментально подтверждено, что разработанная система обобщающего повторения по курсу математики 4−5 классов повышает качество знаний учащихся.

Некоторые результаты исследования (принципы отбора учебного материала для обобщающего повторения, логика обобщающе-системати-зирующей работы, пути систематизации и обобщения математических знаний учащихся) могут быть использованы при построении системы обобщающего повторения по другим математическим дисциплинам. Для этого необходимы дополнительные исследования по выявлению принципов структурирования учебного материала этих предметов.