Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы

Начальный этап систематического изучения бесконечных абелевых групп пришелся на 20−30-е годы XX века и был связан главным образом с периодическими абелевыми группами. Уже к середине 30-х годов была получена полная классификация счетных примарных (а значит, и периодических) абелевых групп, основанная на результатах Прюфера [36], Ульма [38] и Цыпи-на [43]. Во второй половине 30-х годов были также заложены основы для изучения абелевых групп без кручения. Бэр [8] на языке типов дал характе-ризацию групп без кручения ранга 1, а А. Г. Курош [29], А. И. Мальцев [55] и Дерри [13] с помощью матриц с р-адическими элементами получили важное с теоретической точки зрения, но почти не имеющее хороших приложений описание групп без кручения конечного ранга. Очевидный на сегодня факт, что группы без кручения далеко не исчерпываются прямыми суммами и произведениями групп ранга 1, также можно считать одним из важнейших достижений начального этапа изучения абелевых групп.

Интерес к абелевым группам в 40−50-е годы был менее высок, чем в предыдущие и последующие десятилетия, однако именно в это время была осознана самобытность методов теории абелевых групп, что привело к ее выделению из общей теории групп в самостоятельное направление алгебры. Большая заслуга в этом принадлежит Л. Я. Куликову, особенно следует отметить его знаменитую работу «К теории абелевых групп произвольной мощности» [52].

В 60−70-е годы теория абелевых групп достигла пика своего развития. Особенно бурно в это время развивались два ее направления: примарные группы и группы без кручения (преимущественно конечного ранга). Рост интереса к теории абелевых групп был обусловлен в том числе и выходом монографий Капланского [28], Фукса [22] и Гриффита [26], в которых освещались последние ее достижения. О высоких темпах развития теории абелевых групп в это время говорит и тот факт, что, задумав второе издание своей книги [22], Фукс написал совершенно новую двухтомную монографию [64].

В последующие годы интерес к примарным группам постепенно снизился, уровень же внимания к группам без кручения и в настоящее время остается стабильно высоким. Во многом это объясняется особенностями прямых разложений групп без кручения. Так, например, существование «аномальных» прямых разложений, открытых Йонссоном [27], вызвало несколько новых направлений дальнейших исследований. Во-первых, это само изучение таких аномальных прямых разложений (особенно значительных результатов здесь достигли Корнер [12], Е. А. Благовещенская и А. В. Яковлев [44], [67]), во-вторых — изучение почти вполне разложимых групп (бурное развитие данного направления отражено в монографии Мадера [33]), и в третьих — исследование групп без кручения конечного ранга с точностью до квазиизоморфизма.

К изучению смешанных групп существует два основных подхода. Первый, выраженный в книге Фукса [64], говорит о том, что теория смешанных групп вторична по отношению к теории периодических групп и групп без кручения. В таком контексте большое внимание уделяется условиям рас-щепляемости, а также описанию классов смешанных групп с определенными периодическими частями или определенными факторами по периодическим частям. Наибольшим успехом данного подхода является описание счетных смешанных групп ранга без кручения 1, полученное Ротманом [37], Меджиб-беном [34] и В. И. Мышкиным [56]. Другой взгляд на смешанные группы выразил Уорфилд в своей известной программной статье [40]. По его мнению, главным является не перенос результатов с периодических групп и групп без кручения на смешанные группы, а построение самостоятельной теории смешанных групп со своими собственными проблемами и методами их решения. В частности, из этого следует, что изучение смешанных групп, в свою очередь, можно рассматривать и как метод изучения групп без кручения (или периодических групп).

На сегодняшний день разделение абелевых групп по методам изучения на периодические, группы без кручения и смешанные группы выглядит весьма условным. Это’связано с тем, что в рассмотрение вводятся все новые и новые довольно широкие классы, состоящие из абелевых групп разного типа, имеющие единую технику исследования. Примерами таких классов являются алгебраически компактные группы и рассмотренные Л. Я. Куликовым в [53] обобщенно примарные группы (сейчас их называют р-локальными). Другой важный пример — это класс факторно делимых групп, построенный Уиклессом и A.A. Фоминым как обобщение факторно делимых групп без кручения конечного ранга, введенных Бьюмонтом и Пирсом [9]. Последний-пример интересен еще и тем, что, как показали Уиклесс и A.A. Фомин [18], категории факторно делимых групп и групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов двойственны. Класс факторно делимых групп, несмотря на двойственность Уиклесса-Фомина, в целом сравнительно мало изучен. Список работ, посвященных этому классу, [5], [6], [18], [20], [42], [45], [60], [63], [70], [73] близок к полному. Такое положение дел связано прежде всего с тем, что двойственность Уиклесса-Фомина дает примерное представление о свойствах факторно делимых групп, но, как правило, не дает технических средств для работы с ними. В настоящей работе разработаны некоторые приемы работы с факторно делимыми группами, основанные на идее А. А. Фомина о возможности привлечения для этих целей модулей над кольцом псевдорациональных чисел R. Дело в том, что любую факторно делимую группу можно вложить в конечно порожденный Д-модуль. Это позволяет вводить для факторно делимых групп новые понятия и инварианты (такие как псевдорациональный ранг, модуль псевдорациональных отношений, кослед кольца псевдорациональных чисел и др.) и строить доказательства теорем о факторно делимых группах на основе техники работы с модулями над кольцом псевдорациональных чисел.

Важную роль при изучении абелевых групп играет использование модулей над какими-либокольцами. Выше говорилось, что уже на начальном этапе для описания групп без кручения конечного ранга существенно использовались модули над кольцами целых р-адических чисел (вообще на связь между группами без кручения и р-адическими модулями впервые указал еще Леви в 1917 г. [32]). Докторская диссертация JI. Я. Куликова, основное содержание которой отражено в [53],. посвящена изучению счетно порожденных модулей над кольцами Ър (целых р-адических чисел) и-(рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р), однако полученные им результаты легко* переносятся на случай произвольных областей дискретного нормирования'(теория модулей над областями дискретного нормирования очень близка к теории абелевых групп по технике исследования и результатам, ее систематическое изложение приведено в-монографии П. А. Крылова и A.A. Туганбаева-[51]). Л. Я. Куликов при работе с абеле.

Ч /Ч выми группамииспользовал также кольцо Ъ — J~J Ър, которое он называл рЕР кольцом универсальных чисел. Модули над этим кольцом естественно возникают, например, при работе с Z-адическими пополнениями абелевых групп. Обобщая целые р-адические и универсальные числа, А. А. Фомин построил класс колец целых т-адических чисел. С их помощью он получил ряд новых важных результатов, касающихся групп без кручения конечного ранга (см., например, [61], [62]). При изучении аддитивных групп регулярных и тг-регулярных колец Фукс, Гальперин и Рангасвами [23], [24] использовали модули над кольцами Rx (подробно об этих кольцах написано в § 1 настоящей работы), частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел. Позже П. А. Крылов [47], [48] и A.A. Фомин [19] использовали Rx-модули для изучения абелевых групп из класса Q, состоящего из всех таких самомалых групп G, что G/t (G) — делимая группа без кручения конечного ранга.

Самостоятельный интерес представляет изучение абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов. Это направление является одним из основных разделов теории, изучающей соотношения между свойствами абелевых групп и их колец эндоморфизмов. Некоторые результаты, связанные с кольцами эндоморфизмов, приводятся в XV главе книги Фукса [64]. Целиком рассмотрению данной теории посвящена недавно вышедшая монография П. А. Крылова, А. В. Михалева и A.A. Туганбаева [50]'.

Выдающийся советский алгебраист А. Г. Курош в заключении к первому изданию своей известной книги [54] главнойцелью общей теориигрупп называл «задачу полного описания всех существующих в природе групп или хотя бы достаточно широких классов групп•. достигаемого заданием' групп системами инвариантов», но ниже, анализируя ситуацию в абелевых группах, признавал, что «трудно вообще ожидать, что во всех случаях можно было бы задавать группы инвариантами, использующими более простые и более привычные понятия, чем сами эти группы». В этом смысле показательна ситуация с абелевыми группами без кручения конечного ранга. Долгое время многие алгебраисты (и А. Г. Курош в том числе) возлагали большие надежды на существующие тогда описания групп без кручения конечного ранга, однако все эти описания многие годы не имели почти никаких серьезных применений, пока наконец в 1976 году А. В. Яковлев не доказал [66], что задача описания абелевых групп без кручения конечного ранга является «дикой» в том смысле, что она содержит в качестве подзадачи тестовую задачу о паре матриц. Из этого не следует, что вообще бесполезно изучать группы без кручения. Просто этот класс настолько богат различными объектами, что невозможно построить для него единой хорошей системы инвариантов. Аналогичная ситуация наблюдается и в других достаточно широких классах абелевых групп. Из этого следует, что расширение знаний о строении абелевых групп должно прежде всего идти путем выделения и изучения узких классов, имеющих хорошую структурную теорию, опираясь на которые можно будет получать содержательные результаты и для более широких классов. Так, например, при помощи описания групп без кручения ранга 1 были построены довольно содержательные теории вполне разложимых, векторных и сепарабельных групп.

Помимо групп без кручения ранга 1, фундаментальную роль в теории абелевых групп играют р-адические модули ранга 1, а точнее их аддитивные группы. Большинство структурных результатов так или иначе опирается именно на эти группы.

Во введении к главе XIII книги [64] Фукс писал: «. классы', групп без кручения с достаточно разработанной структурной теорией немногочисленны и относительно невелики. Речь идет о группах без кручения ранга 1 и о прямых суммах этих групп — но не больше». В настоящее время описаны и другие классы с хорошей структурной теорией, причем не только в группах без кручения. Примерами таких классов являются* блочно-жесткие почти вполне разложимые группы кольцевого типа с циклическим регуляторным фактором (описаны Е. А. Благовещенской [11]), квадратичные р-локальные группы без кручения (введены В. X. Фарукшиным, описаны им совместно с Л. Н. Самсоновой [57]), факторно делимые группы ранга 1 (описаны О. И. Давыдовой [45]). Интересно отметить, что приведенные выше группы изоморфны (почти изоморфны) своим группам эндоморфизмов. По-видимому, данное свойство само по себе является очень сильным. В последней главе настоящей работы нами исследуется класс, многие группы которого обладают этим свойством.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Красной нитью через всю работу проходят факторно делимые группы. В пер

1. U. F. Albrecht, H. P. Goeters, W. Wickless, The flat dimension of mixed abelian groups as ?^-modules, Rocky Mountain J. Math., 25, No. 2, 1995, 569−590.

2. U. F. Albrecht, J. Hansen, Mixed abelian groups with the summand intersection property, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 182, Marcel Dekker, New York, 1996, 123−132.

3. U. F. Albrecht, Mixed abelian groups with artinian quasi-endomorphism ring, Comm. Algebra, 25, No. 11, 1997, 3497−3511.

4. U.F. Albrecht, J.-W. Jeong, Homomorphisms between^-projective abelian groups and left Kasch rings, Czechoslovak Math. J., 48 (123), No. 1, 1998, 31−43.

5. U. F. Albrecht, W. Wickless, Finitely generated and cogenerated QD groups, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Marcel Dekker, New York, 2004, 13−26.

6. U. F. Albrecht, S. Breaz, C. Vinsonhaler, W. Wickless, Cancellation properties for quotient divisible groups, J. Algebra, 317, No. 1, 2007, 424−434.

7. D. M. Arnold, A duality for quotient divisible abelian groups of finite rank, Pacific J. Math., 42, No. 1, 1972, 11−15.

8. R. Baer, Abelian groups without elements of finite order, Duke Math. J., 3, No. 1, 1937, 68−122.

9. R. Beaumont, R. Pierce, Torsion free rings, Illinois J. Math., 5, 1961, 61−98.

10. R. Beaumont, R. Pierce, Subrings of algebraic number fields, Acta Sci. Math. (Szeged), 22, No. 3−4, 1961, 202−216.

11. E.A. Blagoveshchenskaya, Classification of a class of almost completely decomposable groups, Lecture Notes in Pure and Applied Math., 236, Marcel Dekker, New York, 2004, 45−54.

12. A. L. S. Corner, A note on rank and direct decompositions of torsion free abelian groups, Proc. Cambridge Philos. Soc., 57, 1961, 230−233- 66, 1969, 239−240.

13. D. Derry, Uber eine Klasse von abelschen Gruppen, Proc. London Math. Soc., 43, 1938, 490−506.

14. S. Files, W. Wickless, The Baer-Kaplansky theorem for a class of global mixed abelian groups, Rocky Mountain J. Math., 26, No. 2, 1996, 593−613.

15. S. Files, W. Wickless, Direct sums of self-small mixed groups, J. Algebra, 222, No. 1, 1999, 1−16.

16. A. A. Fomin, W. Wickless, Categories of mixed and torsion free abelian groups, Abelian Groups and Modules, Kluwer, Boston, 1995, 185−192.

17. A. A. Fomin, W. Wickless, Self-small mixed abelian groups G with G/T (G) finite rank divisible, Comm. Algebra, 26, No. 11, 1998, 3563−3580.

18. A. A. Fomin, W. Wickless, Quotient divisible abelian groups, Proc. Amer. Math. Soc., 126, No. 1, 1998, 45−52.

19. A.A. Fomin, Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers, Abelian Groups and Modules, Trends in Math., Birkhaeuser, Basel, 1999, 87−100.

20. A. A. Fomin, Quotient divisible mixed groups, Contemp. Math., 273, 2001, 117−128.

21. A.A. Fomin, Quotient divisible and almost completely decomposable groups, Contributions to Module Theory, Walter de Gruyter, Berlin-New York, 2007, 1−21.

22. L. Fuchs, Abelian groups, Publ. House of the Hungar. Acad. Sei., Budapest, 1958; Pergamon Press, New York-Oxford-London-Paris, 1960.

23. L. Fuchs, I. Halperin, On the imbedding of a regular ring with identity, Fund. Math., 54, 1964, 285−290.

24. L. Fuchs, K. M. Rangaswamy, On generalized regular rings, Math. Z., 107, No. 1, 1968, 71−81.

25. S. Glaz, W. Wickless, Regular and principal projective endomor-phism rings of mixed abelian groups, Comm. Algebra, 22, No. 4, 1994, 1161−1176.

26. P. A. Griffith, Infinite abelian group theory, The University of Chicago Press, Chicago-London, 1970.

27. B. Jonsson, On direct decompositions of torsion free abelian groups, Math. Scand., 5, 1957, 230−235- 7, 1959, 361−371.

28. I. Kaplansky, Infinite abelian groups, The University of Michigan Press, Ann Arbor, 1954, 1969.

29. A. G. Kurosch, Primitive torsionsfreie abelsche Gruppen vom endlichen Range, Ann. Math., 38, No. 1, 1937, 175−203.

30. E. L. Lady, On classifying torsion free modules over discrete valuation rings, Lect. Notes in Math., 616, Springer, New York, 1977, 168−172.

31. E. L. Lady, A seminar on splitting rings for torsion free modules over Dedekind domains, Lect. Notes in Math., 1006, Springer, New York, 1983, 1−48.

32. F. W. Levi, Abelsche gruppen mit abzahlbaren Elementen, Habilitationsschrift, Leipzig, 1917.

33. A. Mader, Almost completely decomposable groups, Algebra, Logic and Applications, 13, Gordon and Breach, Amsterdam, 2000.

34. C. Megibben, On mixed groups of torsion free rank one, Illinois J. Math., 11, 1967, 134−144.

35. C. E. Murley, The classification of certain classes of torsion free abelian groups, Pasific J. Math., 40, No.3, 1972, 647−665.

36. H. Prufer, Untersuchungen uber die Zerlegbarkeit der abzahlbaren primaren abelschen Gruppen, Math. Z., 17, No. 1, 1923, 35−61.

37. J. Rotman, Torsion free and mixed abelian groups, Illinois J. Math., 5, 1961, 131−143.

38. H. Ulm, Zur Theorie der abzahlbar-unendlichen abelschen Gruppen, Math. Ann., 107, 1933, 774−803.

39. C. Vinsonhaler, W. Wickless, Realizations of finite dimensional algebras over the rationals, Rocky Mountain J. Math., 24, No. 4, 1994, 1553−1565.

40. R. B. Warfield, Jr., The structure of mixed abelian groups, Lect. Notes in Math., 616, Springer, New York, 1977, 1−38.

41. W. Wickless, A functor from mixed groups to torsion free groups, Con-temp. Math., 171, 1995, 407−419.

42. W. Wickless, Multy-isomorphism for quotient divisible groups, Houston J. Math., 31, No. 1, 2005, 1−20.

43. L. Zippin, Countable torsion groups, Ann. of Math., 36, No. 1, 1935, 86−99.

44. E. А. Благовещенская, А. В. Яковлев, Прямые разложения абелевых групп конечного ранга без кручения, Алгебра и анализ, 1989, т. 1, № 1, с. 111−127.

45. О. И. Давыдова, Факторно делимые абелевы группы ранга 1, Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, № 3, с. 25−33.

46. Е. Г. Зиновьев, Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел, Вестник ТГУ, Томск, 2006, т. 290, с. 46−47.

47. П. А. Крылов, Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп, Сиб. матем. ж., 2002, т. 43, № 1, с. 108−119.

48. П. А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев, Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов, М.: Факториал Пресс, 2006.

49. П. А. Крылов, А. А. Туганбаев, Модули над областями дискретного нормирования, М.: Факториал Пресс, 2007.

50. JI. Я. Куликов, К теории абелевых групп произвольной мощности, Матем. сб., 1941, т. 9, № 1, с. 165−181- 1945, т. 16, № 2, с. 129−162.

51. JI. Я. Куликов, Обобщенно примарные группы, Труды ММО, 1952, т. 1, с. 247−326- 1953, т. 2, с. 85−167.

52. А. Г. Курош, Теория групп, М.: Наука, 1967.

53. А. И. Мальцев, Абелевы группы конечного ранга без кручения, Матем. сб., 1938, т. 4, № 1, с. 45−68.

54. В. И. Мышкин, Счетные абелевы группы ранга 1, Матем. сб., 1968, т. 76, № 3, с. 435−448.

55. Л. Н. Самсонова, В. X. Фарукшин, Квадратичные р-локальные группы без кручения, Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005, с. 32−33.

56. В. X. Фарукшин, Эндоморфизмы редуцированных Q^-rpynn без кручения, Вычисл. математика и матем. физика, М.: МГПИ, 1985, с. 129−137.

57. К. Фейс, Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1, 2. М.: Мир, 1977, 1979.

58. A.A. Фомин, Абелевы группы со свободными подгруппами бесконечного индекса и их кольца эндоморфизмов, Матем. заметки, 1984, т. 36, № 2, с. 179−187.

59. A.A. Фомин, Абелевы группы с одним т-адическим соотношением, Алгебра и логика, 1989, т. 28, № 1, с. 83−104.

60. A.A. Фомин, Абелевы группы без кручения ранга 3, Матем. сб., 1989, т. 180, № 9, с. 1155−1170.

61. A.A. Фомин, Категория матриц, представляющая две категории абеле-вых групп, Фунд. и прикл. матем., 2007, т. 13, № 3, с. 223−244.

62. JI. Фукс, Бесконечные абелевы группы, т. 1, 2. М.: Мир, 1974, 1977.

63. С. В. Чеглякова, Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел, Фунд. и прикл. матем., 2001, т. 7, № 2, с. 627−629.

64. А. В. Яковлев, К проблеме классификации абелевых групп без кручения конечного ранга, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1976, т. 57, с. 171−175.

65. А. В. Яковлев, Абелевы группы без кручения конечного ранга и их прямые разложения, Зап. науч. сем. ЛОМИ АН СССР, 1989, т. 175, с. 135 153.

66. А. В. Царев, Конечно порожденные Д-модули, Научные труды математического факультета МПГУ, М.: Прометей, 2000, с. 285−289.

67. А. В. Царев, Модуль псевдо-рациональных отношений группы, Чебы-шевский сборник, 2002, т. 3, № 1, с. 120−134.

68. А. В. Царев, Псевдорациональный ранг абелевой группы, Сиб. матем. ж., 2005, т. 46, № 1, с. 217−229.

69. А. В. Царев, Псевдорациональный ранг факторно делимой группы, Фунд. и прикл. матем., 2005, т. И, № 3, с. 201−213.

70. А. В. Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Абелевы группы, Труды Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2005, с. 49−51.

71. А. В. Царев, Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы, Алгебра и анализ, 2006, т. 18, № 4. с. 198−214.

72. А. В. Царев, Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел, Матем. заметки, 2006, т. 80, № 3, с. 437−448.

73. А. В. Царев, Группы без кручения конечного ранга, факторно делимые группы и конечно порожденные Д-модули, Абелевы группы, Материалы Всероссийского симпозиума, Бийск: РИО БПГУ, 2006, с. 44−47.

74. А. В. Царев, Псевдогомоморфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Тезисы докладов, Красноярск, 2007, с. 142−143.

75. А. В. Царев, Псевдорациональный тип факторно делимой группы, Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию Д. К. Фадде-ева, Тезисы докладов, С.-Петербург, 2007, с. 75−77.

76. А. В. Царев, Двойственность конечно порожденных плоских Л-модулей, Вестник СамГУ, Самара, 2008, № 2, с. 102−114.

77. А. В. Царев, Некоторые морфизмы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, Сиб. матем. ж., 2008, т. 49, № 4, с. 945−953.

78. А. В. Царев, Некоторые сервантные подкольца ранга 2 колец Zx, Международная алгебраическая конференция, поев. 100-летию А. Г. Куроша, Тезисы докладов, Москва, МГУ, 2008, с. 247−248.

79. А. В. Царев, Квазиизоморфизм факторно делимых групп, Всероссийская конференция по математике и механике, поев. 130-летию ТГУ и 60-летию мех.-мат. факультета, Тезисы докладов, Томск, ТГУ, 2008, с. 66−67.

80. А. В. Царев, Сервантные подкольца колец Zx, Международная научная конференция «X Белорусская математическая конференция», Тезисы докладов, Минск, 2008, с. 60.

81. А. В. Царев, Кослед кольца псевдорациональных чисел, Международная конференция «Мальцевские чтения», Тезисы докладов, Новосибирск, 2009, с. 98.