Ренормализационная группа в иерархических и р-адических моделях математической физики

С математической точки зрения евклидова квантовая теория поля является теорией случайных полей на «¿—мерном евклидовом пространстве. Условно назовем такие теории моделями типа или когда речь идет о статистической физике (здесь — целочисленная решетка в Д^). О том, насколько трудна проблема строгого анализа таких моделей, дают представление работы по так называемой конструктивной теории поля [19],[85]. Полученные здесь результаты являются, как правило, теоремами существования или несуществования нетривиальных полей. Позже обнаружилось, что когда поля принимают значения не в Л, а в алгебре Грассма-на Г (фермионные поля), математическая структура таких моделей упрощается. Модель Гросса-Неве в двух измерениях явилась первой перенормируемой моделью, в которой удалось методами ренормали-зационной группы строго проконтролировать проблему непрерывного предела (К.Гавендзки, А. Купяйнен [69], см. также-[63]). Условно назовем такие модели моделями (Л^, Г)-типа. Следующим шагом напрашивается изменение области определения поля. Согласно теореме Островского, любая норма на поле рациональных чисел ф эквивалентна либо обычному абсолютному значению, либо р-адической норме для некоторого простого числа р. При замене Я? на «¿—мерное р-адическое пространство (?^ мы приходим к моделям типа (С^р. Я).

Р-адическим аналогом целочисленной решетки является т.н. иерархическая решетка Тр С С, Модели типа (ТД К) (правда, без упоминания их связи с р-адическими числами) были введены в статистическую физику Ф. Дайсоном [62] и носят название иерархических моделей. Предложение рассматривать модели типа {С^^Щ в контексте теории струн впервые появилось в работе И. В. Воловича [15], хотя мысль об использовании р-адических моделей в математической физике высказывалось ранее В. С. Владимировым и Воловичем [13]. Переход от Zd к Т^ и от В? к также привел к упрощению математической структуры моделей статистической физики и квантовой теории поля. Отметим, что только в рамках иерархических моделей П. М. Блехеру и Я. Г. Синаю [53],[54] удалось строго и детально обосновать Вильсоновскую картину критических явлений.

Логически напрашивается еще один шаг: рассмотреть модели типа (Тр, Г) и (<5р, Г), так называемые фермионные иерархические и р-адические модели. Сочетание принципа Паули с ультраметрич-ностью р-адического расстояния привело к дальнейшему, радикальному упрощению математической структуры. Задачи статистической физики и квантовой теории поля становятся задачами конечномерных динамических систем. Нетривиальный функциональный интеграл вычисляется с помощью функционального уравнения, проблема ультрафиолетовых расходимостей трактуется как проблема малых знаменателей, поток ренормализационной группы позволяет дать глобальное описание и даже (с помощью компьютера) визуализируется.

Диссертация в основном посвящена фермионным и бозонным иерархическим и р-адическим моделям. Основным методом исследования является метод ренормализационной группы.

Э.Штюкельберг и А. Петерман в 1953 году указали на существование непрерывных преобразований, осуществляющих репараметриза-цию перенормированной теории возмущений. М. Гелл-Манн и Ф. Лоу, Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков и А. А. Логунов развили эти наблюдения, изобретя метод ренормализационной группы (в квантовой теории поля) [8],[10] .

В начале 70-х годов К. Г. Вильсон [9], исходя из аналогии между теорией поля и критическими явлениями, заложил основы метода ренормализационной группы (РГ) в статистической физике. Важную роль в новом методе РГ сыграла идея Л. П. Каданова [71] о представлении спиновых блоков как отдельных спинов с простым взаимодействием между собой. По Вильсону поведение статистической системы с бесконечным числом степеней свободы в критической точке определяется универсальным эффективным гамильтонианом, являющимся неподвижной точкой нелинейного преобразования (преобразования РГ), а критические индексы системы вычисляются по дифференциалу этого преобразования для эффективного гамильтониана.

Если квантовая теория поля привнесла в теорию критических явлений концепцию универсальности и методы вычисления критических индексов, то обратное влияние привело к лучшему пониманию мистических, по выражению некоторых математиков, свойств теоррш перенормировок.

Но теория РГ в статистической физике также поставила ряд сложных математических проблем. Некоторые аспекты теории, такие например, как (4 — <�аГ)-разложение (с? — размерность пространства), до сих пор не имеют полноценного математического обоснования. Основной математической проблемой при строгом обосновании Виль-соновской картины критических явлений является нелокальность преобразования РГ. Последнее означает, что даже если первоначальный гамильтониан имеет простой вид и зависит от конечного числа констант связи, то итерации РГ-преобразования порождают все более сложные взаимодействия спинов в гамильтониане и в конечном итоге приходится иметь дело с очень сложной бесконечномерной динамической системой.

Определим иерархическую решетку Л как множество натуральных чисел, на котором задано иерархическое расстояние с?(г, г, ] Е, А = N. Пусть п > 1 — натуральный параметр и У^ = {] Е N: (к — 1) пй < ] < кп8} к Е А/", 5 Е N. Определим иерархическое расстояние ¿-¿-(г, как мощность минимального блока Уь, содержащего точки г и 2- Если? — поле на Л, то его РГ-преобразование определим как = (г («Ю (0 = п~» п Е Ш). (0−1) уЛ{пг, Ц)<�п здесь абй — параметр РГ.

Гамильтониан иерархической модели в объеме А^ = определим как.

Нн = -1 Е Е я°(«|)), (0.2) г^еАм ieAN где / > 0, 1 < а < 2, Н°(у) — функция одночастичного взаимодействия. РГ-преобразование переводит поле в объеме Лдг в поле в объеме Ам~1, при этом вид гауссовской части гамильтониана (0.2) воспроизводится, а функция одночастичного взаимодействия Н°(у) заменяется на функцию (Ш10)(у), где Я — нелинейный интегральный оператор. Другими словами, РГ-преобразование в иерархической модели обладает свойством локальности. Это обстоятельство впервые было замечено Г. Бейкером [49]. Блехер и Синай [53],[54] применили методы общей теории бифуркаций динамических систем к исследованию нелинейного оператора Я. Эффективная функция одночастичного взаимодействия Н+ ищется из уравнения неподвижной точки.

Я° = RHi. (0.3).

В частности, было показано, что при 1 < а < 3/2 квадратичное (гаус-совское) решение уравнения (0.3) возникает в критической точке иерархической модели. При, а >3/2 у уравнения (0.3) появляются новые неквадратичные решения, которые могут возникать устойчивым образом в критической точке иерархической модели. Все эти результаты позволили дать описание фазового перехода второго рода в иерархической модели.

Исследование различных аспектов теории иерархических моделей далее проводилось в работах Блехера и Блехера с соавторами [3],[6],[50], Д. Галлавотти и Х. Кнопса [67], П. Колле и Ж.-П.Экманна [60], М. Кассандро и Д. Иона-Лазинио [58], Гавендзкого и Купяйнена [68] и многих других авторов.

Отметим, что бесконечномерная динамическая система, порождаемая РГ-преобразованием в бозонной иерархической модели, достаточно сложна, и поэтому многие теоремы носят локальный характер. Например, негауссовская неподвижная точка строится в виде асимптотического ряда по параметру бифуркации.

В первых двух главах мы изучаем фермионную иерархическую модель (мы будем также называть ее (фф)2-моделью). Спин в этой модели задается набором из четырех компонент.

Ф*(г) = № (О («'))> являющихся образующими алгебры Грассмана Г. Гауссовское фер-мионное поле задается состоянием ро (а) на алгебре Г с бинарной корреляционной функцией.

ШШЛ) = {ШЫз)) = const da~2(ij),.

ШгШ)} = (МШЛ) = 0, (0.4) а негауссовское поле строится как гиббсовская перестройка гауссов-ского состояния ро (а) с помощью потенциала.

Цф*(г)-г, д) = г^г'Щг) + й (г'ШО) + дФг{г)Фг{г)Ф2(г)ф2(г). (0.5).

РГ-преобразование фермионного поля задается формулой (0.1) (если в ней поле? заменить на поле ф*). Состояние ро (а) РГ-инвариантно, а действие РГ в пространстве констант связи (г, д) вычисляется явно и является рациональным отображением. Все неподвижные точки РГ находятся явно, причем, как и в бозонном случае, при, а — 3/2 происходит бифуркация одной из неподвижных точек («-(-» —ой НТ) от тривиальной гауссовской. Кроме того, имеется еще одна конечная неподвижная точка («—» -ая НТ), аналог которой в бозонном случае неизвестен и которую, вообще говоря, невозможно обнаружить методами теории возмущений. Наконец, имеется бесконечно удаленная неподвижная точка, «плотность» свободной меры которой является «грассмановой» ¿—функцией и которую нельзя описать в (г, д)-координатах.

В главе 1-ой изучаются устойчивые РГ-инвариантные кривые для различных неподвижных точек. Выделяются РГ-инвариантные области в верхней и нижней полуплоскостях констант связи, что позволяет расклассифицировать точки плоскости по способу ухода их (при РГ-итерациях) на бесконечность. Мы изучаем асимптотику РГ-итераций и показываем, что она определяется спектром дифференциала РГ-отображения в нуле. Приводятся результаты компьютерных экспериментов, показывающие сложное глобальное поведение инвариантных кривых.

В главе 2-ой все эти результаты используются при изучении вопроса о термодинамическом пределе и критическом поведении в фф)2-модели. Критические явления описываются в терминах предельного поведения грассмановозначной плотности распределения суммарного спина с подходящей нормировкой. Если зафиксировать константу г и трактовать константу д как обратную температуру, мы получаем необычную картину критических явлений, в которой поведение предельной плотности суммарного спина меняется бесконечно много раз на конечном интервале температур. Мы также вычисляем некоторые критические индексы. Непрерывным аналогом иерархической (фф)2~моделя является р-адическая (фф)2-модель. Мы показываем, что константы связи гамильтониана дискретизации р-адической модели на иерархическую решетку вычисляются по константам связи гамильтониана р-адической теории с помощью преобразования, которое является нормализующим преобразованием к отображению РГ в нуле. Вычисление функционального интеграла, задающего процедуру дискретизации, сводится к решению 2-мерного функционального уравнения, а серия ультрафиолетовых полюсов р-адической (фф)2-теории трактуется как серия резонансных значений этого уравнения. Обратимость РГ-преобразования позволяет дать простое решение проблемы непрерывного предела. Более того, показано, что если параметр РГ не является резонансным значением, то можно восстановить константы связи непрерывной теории по константам связи решетчатой теории.

Отметим, что некоторый вырожденный вариант иерархической фермионной модели изучался Т. Дорласом [61]. Эта модель описывалась не в гиббсовской форме, и поэтому вопрос о критическом поведении не ставился. Значения, а я п также были фиксированными, что привело к некоторым артефактам.

Формализм ренормализационной группы, применявшийся при исследовании иерархических моделей, отличается от формализма квантовополевых методов в теории критических явлений, который использует язык теории перенормировок, уравнений Каллана-Симан-зика,^{-разложений} и пр. Эти методы развивались в работах Вильсона, М. Фишера, К. Ди Кастро, Г. Мака, Э. Врезана, Ж. Ле Гийо, Ж. Зинн-Джустена, Д. Паризи и многих других (см. монографии [46], [92]).

Попытка понять, что общего между этими формализмами, привела нас к идее поля на р-адическом пространстве как непрерывной версии поля на иерархической решетке [28]. Подсказкой послужило замечание Блехером [50] о том, что множество дробных р-адических чисел является примером иерархической структуры.

После работ Воловича [15],[91] появилось много публикаций, в которых рассматривались р-адические аналоги различных объектов математической физики. Вообще идея о том, что теория чисел должна играть большую роль в математической физике, эстетически очень привлекательна и вызывает несомненный интерес (см. высказывания Ю. И. Манина [75] и Р. Ботта [55]). Маниным выдвинута идея о том, что вещественная теория и все ее р-адические аналоги могут объединиться в одну модель на группе ад елей. Ряд теоретиков предполагает, что дискретно-нормированные поля типа р-адических могут оказаться полезными при описании структуры пространства-времени на малых расстояниях. Другая гипотеза состоит в том, что адельный синтез вещественных и р-адических моделей может обладать красивыми аналитическими свойствами и пролить свет на некоторые сложные вопросы квантовой теории поля. Третий аргумент в пользу изучения р-адических моделей состоит в том, что р-адические теории (как и иерархические) могут оказаться полезными с методологической точки зрения в сложных задачах математической физики.

Отметим работы Воловича [15],[91], Л. Брекке, П. Фройнда, М. Олсо-на и Э. Виттена [57],[66] (см. также обзор [56]), И. Я. Арефьевой, В. Драговича и Воловича [47],[48], Паризи [84], П. Фрэмптона и И. Ока-ды [65], в которых изучались р-адические и адельные струнные амплитуды в низших порядках теории возмущений. Р-адические многопетлевые амплитуды на дереве Брюа-Титса (р-адическом аналоге плоскости Лобачевского) рассматривались Л. О. Чеховым, А. Д. Мироновым и А. В. Забродиным [59].

В цикле работ Владимирова, Воловича и Е. И. Зеленова развивался аппарат функционального анализа и псевдодифференциальных операторов над полем р-адических чисел, изучались различные аспекты р-адической квантовой механики. Изложение полученных результатов, а также подробный библиографический разбор работ по р-адической математической физике приводится в книге [14]. Проблема регуляризации адельных амплитуд рассматривается в работах Владимирова [11],[12]. Интересным является направление исследований, в которых не только аргумент, но и значение поля является р-адическим (А.Ю.Хренников [72]).

В первых работах Э. Ю. Лернера и автора рассматривались скалярные модели квантовой теории поля на р-адическом пространстве, обсуждалась их связь с иерархическими моделями, разрабатывалась теория р-адических фейнмановских интегралов [28],[73]. Был предложен алгоритм, который позволяет в принципе вычислить произвольную фейнмановскую амплитуду, и получены явные и простые формулы для фейнмановских р-адических интегралов.

В главе 3-ьей изучается трансляционнои скейлинг-инвариантные (автомодельные) гауссовские случайные поля над ¿—мерным р-адическим пространством. Показано, что дискретизация этих полей приводит к иерархическим гауссовским полям. Изучается процедура дискретизации р-адической (р4-теории, гауссовская часть которой задается автомодельным с параметром, а гамильтонианом. Показано, что также как и в фермионном случае, плотность распределения спина в дискретизованной модели может быть найдена как решение функционального уравнения, которое в бозонном случае уже является интегральным. Процедура решения этого уравнения автоматически суммирует подклассы р-адических фейнмановских амплитуд. В конце 3-ьей главы мы вводим понятие ренормализационной группы для обобщенных случайных полей на группе аделей и строим пример гауссовского автомодельного (т.е. РГ-инвариантного) поля.

Глава 4 посвящена теории р-адических фейнмановских амплитуд и их перенормировок. Ультраметричность р-адической нормы позволяет пол, учить разложение амплитуды в конечную сумму по так называемым иерархическим семействам. Коэффициенты этого разложения могут быть вычислены явно. В конечном счете, все сводится к вычислению интеграла, от р-адической амплитуды по всем переменным по единичному шару. Для последнего интеграла существует явное представление, которое позволяет построить теорию аналитической и размерной перенормировок на уровне фейнмановских амплитуд.

Отметим, что в работах [73],[79] изучались р-адические фейнма-новские амплитуды в координатном представлении. Алгоритмы для вычисления амплитуд в импульсном представлении: и общая теория Д-операции построены в работах Э. Ю. Лернера [25]—[27]. Несколько другие представления для р-адических фейнмановских амплитуд и другие переномировочные схемы в низших порядках теории возмущений рассмотрены в работах В. А. Смирнова [86]>[87].

В разделе 4.4 мы описываем новую процедур}' перенормировок, использующую функциональное уравнение для плотности спина дискретизованной модели. В случае (^^)2-теории процедура перенормировки сводится к обращению оператора дискретизации. В случае же 9?4-теории мы обращаем отображение, задаваемое двумя первыми коэффициентами разложения плотности спина дискретизован-ной модели в ряд по степеням поля (коэффициенты сами представляют собой формальные степенные ряды от констант связи непрерывной теории). Фактически процедура перенормировки позволяет нам построить (локальное) вложение преобразования ренормгруппы в непрерывную полугруппу преобразований. Генераторы этой полугруппы являются /3-функциями р-адической теории, и нетривиальные нули /3-функций задают нетривиальные неподвижные точки РГ. В последнем разделе главы 4 мы изучаем амплитуды формальной адельной безмассовой </?4-теории и показываем перенормируемость этих амплитуд вплоть до 3-го порядка теории возмущений.

В первых разделах главы 5-ой мы возвращаемся к евклидовой теории поля и рассматриваем задачу построения негауссовских РГ-инвариантных полей в рамках различных процедур^{-разложения.} Мы распространяем подходы, развитые в работах Блехера и автора [51],[52], на наиболее интересный физический случай, когда размерность пространства й = 4. В 1-ом разделе негауссовская ветвь неподвижных точек строится как бифуркация от гауссовской ветви по параметру е = а — 3/2с/ = а — 6 (здесь, а — параметр РГ). При построении эффективного гамильтониана мы используем процедуру аналитической перенормировки [77]. Такой вариант^{-разложения} ранее не рассматривался в физической литературе. Во 2-ом разделе рассматривается (4 — ¿-^-разложение, которое изобретено Вильсоном и Фишером [64] и широко используется в различных физических работах ([46],[92]). Ключевыми понятиями в теории РГ Вильсона являются понятия гамильтониана, неподвижных точек, инвариантных многообразий. Однако при построении теории возмущений в рамках (4 — ¿-^-разложения язык гамильтонианов, как правило, забывается и используются такие конструкции как группа перенормировок и уравнения Каллана-Симанзика. В книге Ш. Ма [31] уравнения для эффективного гамильтониана даже в первых порядках теории возмущений выглядят сложными и труднообозримыми. Кроме того, возникают трудности с трактовкой объектов^{-разложения,} когда г не является целым. Мы вводим понятие обобщенного гамильтониана и строим негауссовскую ветвь в пространстве обобщенных гамильтонианов как размерную перенормировку проекционного гамильтониана </?4-теории на шар.

Далее мы рассматриваем р-адические аналоги вышеуказанных е-разложений. По существу, р-адические модели являются одномерными и лишь формально имитируют некоторые характеристики е-разложений в евклидовых моделях, но они дают простые и наглядные иллюстрации к этому методу теории возмущений. В частности, в случае (фф)2-мо, дели? — (4 — в) — и ¿—разложения по существу эквивалентны, поскольку при целых значениях с? приводят к одной и той же негауссовской неподвижной точке.

Перейдем к точной формулировке основных результатов диссертации. Некоторым разделам, отходящим от основных тем диссертации, мы дадим лишь краткую характеристику.

Пусть ф*(ъ) = (/01 (г), ф (г), ф2(г), ^(О) — спин, сидящий в узле г Е А, компоненты которого являются образующими алгебры Грас-смана, Адг = Гдг — грассманова подалгебра, порожденная 4 ¦пм компонентами поля ф*(г), ъ Е Адг, Р (ф*) Е Гдг, ро (а) —гауссовское состояние на Г с корреляционной функцией (0.4). Тогда где (-)о обозначает интеграл по Березину [2] на алгебре IV,.

Н0^{ф*-а) =? скМьЛФИЖз.), (0−6).

Ф{г)ФЦ) = Ф1^)Ф{з) + ФъфФъЦ), = • + г ^ о. лКм)' = где е^ = ¿-^(а, п), = с?2(а, п, АГ), = — некоторые константы, 2лг (о:) = (ехр{—")})оЛокальный потенциал (самодействие) 4-х-компонентного фермионного поля задается формулой (0.5). Определим гиббсовское состояние р^(а-, г, д) на IV как рм (а] г, д)(Г) = ¿-^(аг'9){РехР{~Но^(Ф*'1- Нм (ф*- г, р)})0, где Нм{ф*-г>д)=? Цф*(г) — г, д) и ел^ гм (а-г, д) = (ех-р{-Н0,м (ф*- а) — Нм (ф*-г, д)})0.

Наряду с гиббсовским потенциалом ?(?/>*- г, д) мы используем не-гиббсовское представление взаимодействия в виде грассмановознач-ной «плотности» ¡-(ф*- с0, сь с2) = Соответствующее этой плотности состояние обозначим с)¦> где с = со, сь с2). Если со Ф 0, то мы можем записать / в гиббсовской форме /(</¦*- со, сьс2) = со ехр{—£(?/>*- г©, д (с))}, где г © = -сх/со, #© = (с^ — сос2)/сд. Поскольку плотности /(г/-*- с) и а/(ф*-с), а ?

Д1. а ф 0 задают одно и то же состояние, мы будем рассматривать набор коэффициентов (со, сх, с2) как точку двумерного проективного пространства ДР2.

Если р — состояние на Г//, то ренормированное состояние р' определено наГ^-1 соотношением р'(Г{ф*)) = р (Г{г (а)(ф*)), где преобразование ренормгруппы в пространстве «реализаций» определяется по аналогии с бозонным случаем формулой ф*'(г) = т (а)ЫП (г)^п-а/2? ф*(3).

Тогда действие РГ в пространстве плотностей (с-пространстве) определяется следующими формулами:

Теорема 1.1 Пусть для точки с — (с0,с!, с2) € ИР2 выполнено условие ф 0. Тогда р’м (ас) = Л (а)с), где РГ-отображение В,(а) задано формулами (с^с'^с^) = Л (а)(со, С, С2):

Со = (С1 — с0)2 + (с0с2 — с)/п, с[ = А1 ((С1 — с0)(с2 — Со) + (с0с2 — с1)/п), с'2 = А2 ((с2 — С1)2 + (С0С2 — с2)/п), Л! = па~ (0.7).

Далее обсуждаются вопросы о нулях статсуммы 2к (ас) и об обратимости отображения Ща).

В (г, р)-пространстве отображение действия РГ задается соотношением рх (аг, д) = рмх (аг1, д1), где (гд') =Я (а)(г, д): л ((г + 1)2-д, (0.8).

Отметим, что формально отображение (0.8) не определено на критической параболе д — п (г + I)2, но оно может быть доопределено с помощью формул (0.7).

РГ-отображение Ща) имеет четыре неподвижные точки, которые в с-пространстве записываются как (1,0,0), (0,0,1) (1, -г+(а), (г+(а))2 — д+(а)): (1, -г (а), (г (а))2 — д-(а)), где Л =Ь п1'2-па-1,. 1 =р па3/2 (1 — па12 оф 1 и в «+» -ом случае считаем, что, а ф ½. Заметим, что точка (0,0,1) не может быть записана в координатах (г, д), она соответствует плотности, которая является грассмановой ¿—функцией.

6(ф) — ФхФхФъФъ Мы будем обозначать эту неподвижную точку (НТ) <5-НТ, а 3-ью и 4-ую НТ — «+» -ой и «-» -ой НТ соответственно. НТ (1,0,0) в (г,^{-координатах} записывается как (0,0), и мы будем называть эту точку тривиальной (или гауссовской) НТ. «+» -ая НТ бифурцирует от гауссовской НТ при, а = 3/2, а при, а = ½ она бифурцирует от 6-НТ.

Справедливо коммутационное соотношение П1(а) = Я{2 — где Р — грассманово преобразование Фурье. Таким образом, изучение РГ-преобразования при, а < 1 сводится к изучению этого преобразования при, а > 1, и поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что, а > 1.

Исследование спектра дифференциала РГ в неподвижных точках показывает, что тривиальная НТ при, а > 3/2 является неустойчивым узлом, а <5-НТ ¦— устойчивым узлом, а при 1 < а < 3/2 обе эти НТ становятся седловыми. «-ая НТ при всех значениях, а находится в верхней полуплоскости {(г, д): д > 0} и является неустойчивым узлом. «+» -ая НТ при, а > 3/2 принадлежит верхней полуплоскости и также является неустойчивым узлом. При, а < 3/2 она переходит в нижнюю полуплоскость и тоже является неустойчивым узлом или даже при некоторых значениях, а неустойчивым фокусом.

В разделе 1.4 мы рассматриваем обобщение фермионной иерархической (^)2-модели на тот случай, когда спин задается набором из 2 т грассмановых образующих: ф*{г) = (ф^г), ф{г),., фт (г), фт{г)), г? А> 2. Преобразование РГ в этом случае также является рациональным отображением в т-мерном пространстве констант связи, но имеет гораздо более сложный вид. Методами теории бифуркаций мы устанавливаем существование серии ветвей негауссов-ских неподвижных точек.

Вся последующая часть главы посвящена детальному изучению динамики ренормализационной группы в (фф)2-модели.

В разделе 1.5 исследуются устойчивые инвариантные кривые в верхней полуплоскости {{г, д): д > 0}. Замечательным свойством РГ-преобразования (0.8) является то, что РГ-образы некоторых выделенных семейств кривых имеют простое аналитическое описание. Используя это обстоятельство в сочетании с методом интервальной стратегии, разработанной Блехером и Синаем при исследовании бо-зонной иерархической модели, мы получаем информацию о глобальном поведении устойчивых инвариантных кривых. Основным результатом 1.5 является.

Теорема 1.3 Существует гладкая возрастающая функция g — h+(r, сх), 0 < г < со, график является частью 71 устойчивой РТ-инвариантной кривой для «+» -ой НТ при, а > 3/2 и для тривиальной НТ при 3/2 > а > 1. Существует гладкая убывающая функция g = h-(r-a), —00 < г < —1, график является частью 72 устойчивой РГ-инвариантной кривой для и— «-ой НТ при, а > 1. Пусть UY = {(r, g): г > 0,0 < g < h+(r-a)}, 02 = {(r, g): г < —1,0 < g < h-{ra)}. Важным обстоятельством является тот факт, что множества Qi и Q2 РГ-инвариантны (лемма 1.19).

Пусть = RN (r, g). Асимптотическое поведение РГ в областях Oi и определяется следующей теоремой.

Теорема 1.4 Пусть, а > 1 и (г, g) G fii U 0,2- Тогда существуют константы bi (r, g) ub^ir.g) такие, что lim r^Xf = Ьь lim = 62.

N-* со 1 iV—>-oo 1.

При этом bi > 0, если (r, g) G Ь < 0, если (r, g) G Здесь.

Ai = na1, Л2 = n2a~3 —собственные числа дифференциала РГ в нуле.

В разделе 1.7 мы обсуждаем динамику РГ в области между инвариантными кривыми 71 и 72. Пусть гс = — (1 — п-1)/(1—п~а), /3(г, д) = (г + 1)2д~1 ¦ Справедливы следующие утверждения:

Лемма 1.23 Если г > гс и /3(г, д). > п, то за конечное число итераций РГ точка (г, д) попадает в область 0,1.

Лемма 1.24 Пусть г < — (Н-п-½), д > д+{г). За конечное число РГ-итераций точка (г, д) попадает в область.

Лемма 1.25 Если —(1 + п-½) < г < ид достаточно велико, то за конечное число РГ-итераций точка (г, д) попадает в область.

Конечно, существует часть области между кривыми 71 и 72, которая не подпадает под условия лемм 1.23−1.25. Результаты моделирования на компьютере показывают, что почти все точки (в смысле меры Лебега на плоскости) в этой области также классифицируются по способу ухода на бесконечность: либо в область Пх, либо в область 0,2- Кроме того, в области между 71 и 72 располагаются все остальные части устойчивых инвариантных кривых для «-(-» -ой и «—» -ой НТ. Обозначим устойчивые инвариантные кривые для «+» -ой и «—» -ой НТ через 71 и 72 соответственно. Кроме того, в этой области также лежит устойчивая инвариантная кривая 73 для бесконечно удаленной ¿—НТ. Кривые 7ь 72? 7з лежат на границах между областями точек, уходящих при РГ-итерациях налево или направо.

Динамика РГ в нижней полуплоскости обсуждается в 1.8. Предполагается, что, а > 3/2, хотя ряд результатов распространяется и на случай 1 < а < 3/2.

Теорема 1.5 Существует функция д = /гз (г), гс < г <0, график которой является единственной неустойчивой (для тривиальной НТ) РГ—инвариантной кривой 73. лежащей в области, ограниченной по г. Функция h%® монотонно возрастает по г, h$® —"• —оо при г —> гс, Дз (0) = 0.

Пусть Q3 = {(г, д): г > гс, д < hs®}, Q4 = {(r,^): rc < г < 0, /г3(г) < д < 0}U{(r,^): г <�гс, д< 0}.

Теорема 1.6 Пусть, а > 3/2 u (г, д) Е П3и04. Тогда существуют константы bi (r, д), Ъ2(г, д) такие, что lim = Ъъ Yimg^KN = b2. (0.10).

TV—>-со 1 N-^-oo A v '.

При этом b> 0, если (r, g) Е П3, < 0- если (г, д) Е О4.

Области 03 и П4 РГ-инвариантны.

При 1 < а < 3/2 «+» -ая НТ переходит в нижнюю полуплоскость, и является отталкивающей НТ. При достаточно больших п существует область значений а, при которых «-|-» -ая НТ является неустойчивым фокусом. Результаты компьютерного моделирования показывают, что и в этом случае нижняя полуплоскость делится неустойчивой инвариантной кривой для «+» -ой НТ на две РГ-инвариантные области, для которых также справедливы соотношения (0.10).

Заканчивается глава 1-ая обсуждением динамики РГ для вырожденного случая, а = 1.

В 1-ом разделе главы 2-ой изучается вопрос о существовании термодинамического предела в (фф)2-модели. Как было показано в 1-ой главе, достаточно исследовать вопрос о существовании предела для одноточечных корреляционных функций. Сначала рассматриваются неподвижные точки и соответствующие им устойчивые инвариантные кривые. Пусть 71, 72 — устойчивые инвариантные кривые для «+» -ой, «—» -ой неподвижных точек и пусть.

I±(n) = (1 — Д±- 1 + Д£), Ai = logn{a± + (4 — I)½}, а±- = п — I)2 п + 1 4п 2п!/2 причем /(п) = 0 при п < 13 и а (гг) определено при п > 4.

Теорема 2.1 Пусть, а? и (г, <7)? 71 «лад о-? 1(п){1, о-(п)} и и (г, р)? 72. Тогда иерархическая фермионная модель, задаваемая состоянием рм{аг, д), имеет термодинамический предел при N со.

Теорема 2.2 Пусть, а > 1 и? 0Ги02 для некоторого.

N0 > 0 или, а > 3/2 и д (Мо))? 03 и 04 для некоторого Щ > 0. Тогда модель, задаваемая состоянием рм (а-г, д), имеет термодинамический предел при N со.

Доказательство этих теорем использует результаты главы 1-ой об асимптотике итераций РГ и рекуррентные соотношения, связывающие одноточечные корреляционные функции модели в объеме А^ и ренормированной модели в объеме.

Картина критических явлений в (фф)'2-модели определяется через исследование предельного поведения грассмановозначной «плотности» распределения нормированного подходящим образом суммарного спина в объеме Лдг. Пусть х* = (х, Х1, Х2,Х2), 6(ф*) = Ф1Ф1Ф2Ф2 — грассманова ¿—функция где р = lim рмЕсли плотность распределения спина может быть записана в экспоненциальной форме как р (х* r, g) = (г2 — д) 1 х х exp{-L (x*-r, g)}, то мы будем говорить, что rm, дт) — р{х*-г, д), если Jin (rm, 0m) = (г, д).

Теорема 2.4 Пусть, а > 1. Если (r{N°g^)? Г^ U для неко.

Гм, а -¿-Е m VN = РШы, а — X*)), а).

М—юо торого Nq > 0, то lim q^ x*-r, g) = р (х*- 6i (r, g), 0).

Если (r, g) G 72- lini r->Я) = а).

X —ос.

Если (r, g)? 71, > 3/2 lim g) = p+(x*-a),.

N—*oo, а при 1 < а < 3/2 lim r, <7) = p (x*- ao (or), 0).

Здесь негауссовские плотности p+(x*- а) и p (x*-a) определяются «+» -ой и «—» -ой НТ, и для них существуют явные выражения.

Задача о предельном поведении плотности сводится к задаче о предельном поведении одноточечных корреляционных функций. Результаты об асимптотике итераций РГ, полученные в главе 1-ой, позволяют определить подходящие показатели нормировки и получить информацию о предельном поведении корреляционных функций. Утверждения теоремы 2.4 говорят о том, что если точка (г:д) при некоторой итерации РГ попадает в область Qi или Г^ то суммарный спин со стандартной нормировкой в пределе имеет гауссовское поведение, при этом разница между 1-ым и 2-ым случаем состоит в знаке «дисперсии» гауссовского закона. Если же (г, д) лежит на инвариантной кривой 71 или 72, то нижний показатель нормировки задается параметром РГ и негауссовское предельное поведение определяется соответствующей НТ. В разделе 2.2 мы также вычисляем некоторые критические индексы и приводим результаты компьютерных исследований, показывающих сложную картину критических явлений в фермионной иерархической модели.

Последние разделы главы 2 посвящены проблеме непрерывного предела в (фф)2-модели. Этот предел ищется как фермионное поле на d-мерном р-адическом пространстве Q Если х = (xi,., xd) € Qi, то j-^lp — шах |Xjа дробная часть {х} = ({xi},. .,{-г}), дробная часть р-адического числа у = akpk +. .-fa-ip" 1 +ao + aip+. определяется как {у} = +. .-f-a-ip" 1. Пусть Т. р — решетка чисто дробных ci-мерных р-адических векторов:

Т/ = {х€<�Э*:х = -И}.

Рассмотрим гауссовское фермионное поле, которое задается набором образующих ^1(9)^1(9)^2(9)^2(9), где д Е О (С}*) (пространство основных функций на (¿-р), а линейный функционал определяется как.

Фк (9)Ф1{92)) = с1(а)6к!1 У х — уа~м91{х)д2(у) йуйх,.

Фк{д)Ф1{92)) = {Фк{д)Ф1{92)) = О, / = 1, 2, а Е И, где с^а?) — нормирующая константа, С1(а) = /р (2б? — а)//р (а — Л), /р (а) = (1—¿-¿-ж — мера Хаара на Используя менее формальные обозначения фк (х) = фк (6(х)), где ¿-(ж) — р-адическая ¿—функция, можно написать, что это гауссовское поле инвариантно относительно группы скейлинговых преобразований (8Х (а)ф*)(х) = |А|М/2^(Ах), ф*(х) = (ф1(х), ф1(х), ф2(х), ф2(х)). Это поле может быть задано в гиббсовской форме гамильтонианом.

Н0(ф*- а) = с2(а) | х — у~а (ф^ф^у) + ф2(х)ф2(у)) йх йу, с2(а) = ?р{а)/1р (а ~.

Дискретизацией С (з)тЗ € Тр поля ф*(х), х Е С^р назовем поле на иерархической решетке Тр

С (з) = Ш) = IФ*{х)х{х — з) ¿-х, где х (%) — характеристическая функция ^ = {х: хр < 1}. Дискретизация скейлингового преобразования 5д (а) при, А = р~1 Е задается преобразованием иерархической ренормгруппы г (а)еи)=р-°/2 Е пог€Т/:|г-р-%<�Р.

Соответствие с обозначениями, которые мы использовали в главе 1, следующее: п = рс1, и значение параметра РГ, а здесь и в последующем в с1 раз больше значения параметра, а в главе 1.

Дискретизация гауссовского поля ф*(х) приводит к РГ-инвариант-ному гауссовскому полю на иерархической решетке Т^ с гамильтонианом = + 6(060')). ГДе КьГ, 01) = {и (а)/и (<1 — а))(1 — Л" «+ (?р (а)/. Рассмотрим фермионное поле с гамильтонианом.

Н (ф*-а-г, д) = Н0(ф*-а) + ] Ь{ф*(х)]г, д) йх, (0.11) где.

Цф*(х)-, г, д) = г (ф1(х)ф!(х) + ф2(х)ф2(х)) + дф1(х)ф1(х)ф2{х)ф2{х).

Скейлинговое преобразование эр-г (а) действует в пространстве гамильтонианов вида (0.11) как растяжение констант связи:

Н (ф*]а-г, д) — Щф^а-р^р^д).

Обозначим отображение (г, д) —> (ра~йг, р2а~мд) через 5(а). Дискретизация поля ф*, задаваемого гамильтонианом (0.11) приводит к полю ?* с гамильтонианом.

Н'(С-а-г, д) = Н^-а) —? 1п ^ Vг, .

Ш*ШУ)) = ¿-К Ш&trade- - «)/Л (<* - <0)1* ~ Уа~Ы ~ /р (М — «)//,№) .

Лемма 2.1 Функциональный интеграл аг, д) сходится по крайней мере при, а > 2д и аналитически зависит от гиде некоторой окрестности нуля:

Из этой леммы следует, что по крайней мере при, а > 2d гамильтониан дискретизованного поля имеет вид.

Я'" — аи, и) = я-(Га) +? L (C (j) — Щ V), i где L (f*(j) — =-1п.Р (?*-г, р), u — u (r, g), v = v (r, g).

Преобразование Р (а): (7, #) —> (u, г>) будем называть преобразованием дискретизации. Справедливо коммутационное соотношение.

R{a)P (a) =P (a)S (a). (0.12).

Таким образом, задача вычисления функционального интеграла аг, д) сводится к решению 2-мерного функционального уравнения (0.12), а оператор дискретизации P (o?) является нормализующим преобразованием к отображению РГ Д (а) в нуле. Уравнение (0.12) разрешимо, если собственные числа Ai = pa~d и Л2 = p2a~3d дифференциала R (a) в нуле нерезона.нсны. Справедлива.

Теорема 2.5 Константы связи дискретизованного поля м (г, д) = г + ., v (r, д) = д +. однозначно определяются функциональным уравнением (0.12) и сходят, ся по r, g в достаточно малой окрестностей нуля для следующих значений а:

1) а ф 3/2 + (2(2m — I))-1, т = 1,2,.

2) В случае, когда 1 < а < 3/2, существует константа с — с (а, п) >

0 uN (a) такие, что пш^АЗД — Ai|. |AfAg — А2|) > ck + l~N, k, l — k, l неотрицательные целые ч.исла. kf / >'2.

Эта. теорема является следствием теорем Пуанкаре и Зигеля о нормализующем отображении.

Процедура решения функционального уравнения автоматически суммирует подклассы р-адических амплитуд, а их ультрафиолетовые полюса являются резонансными значениями, а для уравнения (0.12).

В разделе 2.4 обсуждается проблема построения непрерывного предела. Рассматривается последовательность все более мелких иерархических решеток = ртТга = 0,1,. Пусть — поле на решетке Tjf с гамильтонианом где m)) = R m (u, v) (здесь мы пользуемся обратимостью РГ-преобразования). Определим последовательность полей заданных на решетках Т*т соотношениями (mU) — Рт^~а^?т (Р~тз), 3 € Трт. Мы показываем, что вычисление любой корреляционной функции непрерывного поля сводится к вычислению корреляционной функции для поля СтО) ПРИ достаточно большом га. Если сводить проблему построения непрерывного поля к построению корреляционных функций, то справедлива.

Теорема 2.6 Для всех точек плоскости констант связи {u, v), для которых доказано существование термодинамического предела в иерархической фермионной модели (см. раздел 2.1), существует фермионное поле на Q^, являющееся непрерывным пределом в (фф)2-модели.

Более того, этот непрерывный предел задается гамильтонианом Н (ф*- аг, д), константы связи которого могут быть восстановлены по константам связи поля ?* на решетке Т^, заданного гамильтонианом гМ = lim SmR-mlU^ д) vj v/.

Пусть U — зона притяжения тривиальной НТ относительно итераций R~l (a).

Теорема 2.7 Пусть, а > 2d. Тогда для всех (и, v) С U предел lim =t (U" m^ оо v v существует и отображение Т удовлетворяет коммутационному соотношению ТЯ = 5 Т.

Отображение Т является обратным к преобразованию дискретизации Р: Т = Р" 1. Как уже отмечалось, отображения Р и Р~г определены и для, а <2(1 (см. теорему 2.5).

В разделе 3.1 мы изучаем стационарные автомодельные поля на ¿—мерном р-адическом пространстве. Как и в вещественном случае, эти поля являются обобщенными случайными полями.

Если И = 0(С2р) — пространство основных функций в <5р> Р = {Р (<£>(/),/ Е — распределение вероятностей обобщенного случайного поля р, то в терминах характеристических функционалов стационарность поля означает, что Ьр (/) = £р (/(- — а)) для любого, а 6 и любой / Е Р)1 а автомодельность поля с параметром, а г означает, что = Ьр (\[~а/2 $(~1х)) для любого? С^рИ любой.

Справедливо.

Предложение 3.1 Гауссовское поле с нулевым средним, задаваемое корреляционным функционалом ./> - уау-2А1{х)д (у)йхйу, (0.13) при в, < а < 2(1 является стационарным автомодельным полем с параметром а.

Пусть = рт (1{р, Хт, з) — дискретизация случайного поля ср на иерархическую решетку ] Е Т^га, Хт^(х) — индикатор шара Дт (^') = {х Е С^р: х —-Л < р~т}. В конфигурационном пространстве комплексно-значных функций = Е Т^то} действуют группа преобразований сдвига Ет = {¿-а, а? = + а) и полугруппа преобразований РГ Д (а), порожденная преобразованием г (а): Ш — Ш = Р~а/2 Е Шет* n: ip-j3p-«.

Дискретное случайное поле £то = С?):/ Е Трт} назовем стационарным, если распределения вероятностей полей £т (- + а), а? совпадают, и назовем его автомодельным с параметром а, если распределение вероятностей поля £т совпадает с распределением вероятностей его РГ-преобразования.

Ш = (г (а)?т)и)=р-а/2 Е Ш.

Пусть £ШС?) = Ртс1{'г>- Хт, 3) — дискретизация случайного поля р на иерархическую решетку ] 6 Хт,](х) — индикатор шара {х? С^р: х —Л < р~т}. Тогда можно утверждать, что справедливо.

Предложение 3.2 Дискретизация гауссовского автомодельного обобщенного случайного поля р> с нулевым средним и бинарным корреляционным функционалом (0.13) есть гауссовское автомодельное с параметром, а случайное поле на с нулевым средним и бинарной корреляционной функцией т (2<1—а) / -I &bdquo—сЛ.

Ьт (и) = (ШШ) = Чг (0−14).

Гауссовское поле с корреляционной функцией (0.14) может быть представлено в гиббсовской форме. Далее мы обсуждаем процедуру непрерывного предела для гауссовских случайных полей.

В разделе 3.3 изучается дискретизация р-адической теории, заданной гамильтонианом.

Я (<�ра- г, д) = а) + / Ц (р (х) — г, д) 6. x, (0.15) где Цср (х)-г, д) = гр2(х) + д<�рх),.

Н0((р-а) = ^(а) | х — у~а<�р (х)(р (у) 6х <1у,.

Гр = (1 — — р~а)~1 — ¿-¿—мерная р-адическая гамма-функция.

Дискретизация £тС/) гауссовского поля <�р (х) с гамильтонианом а) является гауссовским полем с гамильтонианом а) = | ?^а^т^т^),.

Ьт (г — г, а) = р-2ШЦ (а)г — -Р (1 — 0) + мы отождествляем г — 3 с (г — ])то<1 рт.

Лемма 3.1 Гамильтониан Нт (?-а-г, д) дискретизации £т поля р, заданного гамильтонианом (0.15), имеет вид.

Нт (^а-г, д) = Н^(и^)+? ПШ), задается функциональным интегралом Щт{з)) = — 1п (ехр{— I Щт^)+г1гп$(хУ, г: д)(1х})Кс1т}то),.

Ат (0) где среднее берется по гауссовскому полю ^^(х) в шаре Дт (0) = {х Е С^р: х < р~т с нулевым средним и бинарной корреляционной функцией.

ЧтАхЪтМ) = - - Уа~Ы — Рт{Ы-а)и (м — а) Цр (с1).

Экспоненту от негауссовской части гамильтониана д) можно рассматривать как произведение плотностей свободных мер /т (?ти)-ос', г, д), где? т (у, а-г, д) = ехр{-Гт (у-а-г, д)}. Несложно видеть, что /го (уа- г, д) = Мур²'^- атд), где Л1 =.

Pa~d, = р1а~ЫПоэтому в дальнейшем мы будем рассматривать дискретизацию поля <р на иерархическую решетку = и далее будем употреблять обозначения /о = /, г]о, о (х) = rj (x), £о (0 = £(г), /г0 ¦= h, Hq = Щ и т. д.

На самом деле плотность дискретизованной модели можно вычислять, исходя из некоторого интегрального функционального уравнения. Мы показываем, что если гамильтониан иерархической мо.

ОО дели имеет вид Я0(£- а) +? £(Ш))> гДе =? са?2*(Л т0 га" ieT/ *=i мильтониан поля являющегося РГ-преобразованием поля? имеет вид.

Е ¿-'(fИ), где.

771/2 п п I.

27г)(п1)/2 /П ехр{—^г2 + + *<)} dxj, п = Опять, используя коммутационное соотношение R (a)P (a) = P (a)S (a), где J?(a) — РГ-преобразование в пространстве плотностей свободных мер в иерархической бозонной модели, 5(о-) — скейлин-говое преобразование в пространстве гамильтонианов р-адической <�р4-модели, Р (о>) — оператор дискретизации, мы получаем.

Следствие 3.1 Плотность f (yа- г, д) удовлетворяет интегральному функциональному уравнению f (y-or, Pa-dripia-*dg) = 16(? xi) П ехр{-х2г/2}f{ypa/2~d + яг, — аг, g) dx{.

— si-?=1—-. (о.1б).

5(? я") П ex-p{-xy2}f (xi-a-r, g) dxi.

1 г=1.

Далее мы обсуждаем процедуру решения уравнения (0.16) в формальных рядах по у: оо f (y, a-r, g)=Zak (r, g) y2k к=О.

Эта процедура позволяет находить коэффициенты разложения ак (г, д), автоматически суммируя целые подклассы фейнмановских амплитуд.

В последнем разделе главы 3 мы вводим понятие ренормализа-ционной группы для случайных полей на группе (i-мерных аделей Ad. Случайное поле назовем скейлинг-инвариантным с параметром а, если распределение вероятностей поля ср (а) совпадает с распределением вероятностей поля (s (a)(p)(a) = |A|d-a/V (A:.a) для любого иделя, А Е А*. Случайное поле назовем автомодельным с параметром а, если оно трансляционно инвариантно (относительно группы сдвигов на группе аделей Ad) и скейлинг-инвариантно с параметром а. Мы вводим понятие модуля аделя |а| = |а00|00|а2|2 ¦ • • &рр ¦ ¦ где «оо Е Rd, | • |оо — евклидова норма на Rd и показываем, что этот модуль конечен для почти всех, а Е Ad, если d > 1, и не существует для почти всех а, если d = 1. Тем не менее, при всех d корректно определена обобщенная функция (как линейный функционал на пространстве Шварца-Брюа) g (a-a) = c (a-d)aa, c{or, d) = р ^^ + d)' где ((си) —дзета-функция Римана. При d < а < 2d обобщенное гауссовское поле <�р (а) с корреляционной функцией (ip (a)(p (b)) = g (a — bа) является автомодельным с параметром а.

В разделах 1.2 главы 4 мы обсуждаем алгоритмы и явные формулы, позволяющие вычислять р-адические фейнмановские амплитуды в любом порядке теории возмущений. Пусть.

Fg{xv-, v е Vext-a) = / П No ~ xf (i)a' П dxv l€L (G) vevint обобщенная р-адическая фейнмановская амплитуда, соответствующая графу G, V (G) — множество вершин графа G, V (G) = Vext U ¦Vint> Vext (Vint) — множество внешних (внутренних) вершин графа G, L (G) — множество ребер графа G, а = (a/-/ G L (G)) — вектор комплексных степеней пропагаторов этой амплитуды, xv G Q^ v? V (G), — мера Xaapa на Qp. Пусть V — некоторое множество вершин. Иерархией на множестве V назовем систему, А подмножеств множества V, удовлетворяющих следующим условиям:

1)V 6 А, 2) Если V G А, V" G А, то либо V’nV" = 0, либо V' С V", либо V" С V'. Для любого V' € А, V' ф V мы обозначим через r (V) минимальное подмножество в А, содержащее V', но не совпадающее с ним. Пусть K (V') = {V" G, А: г (У") = V'}, k (V') = K (V'). В дальнейшем мы будем рассматривать только такие иерархии, для которых 1 < k (V') < pd, V' в А', где А' = {V' G, А: |У| > 1}. Каждый набор внешних переменных xv, v G Vext порождает иерархию Ах на Vexf'.

Ах = {V С Vext: max xv — xv> < min xv — xV'\. evjv.

Пусть A — некоторая иерархия на множестве Vext. Положим Fq^{xcl) = Fg (x-a), если Ax = А и FctA (x-a) = 0 в противном случае (здесь мы упростили обозначение: Fg (xvv G Vext a) = Fq{xa)).

Справедливо разложение Fo (x-a) — E Fq, a{x] а), где суммирование A ведется по всем возможным иерархиям на Vext.

Далее мы используем обозначения a (V, V) = Е а/, где L (V, V) l€L (V, V') множество всех линий, которые соединяют вершины из V с вершинами из V, a (V) = a (V, V).

Пусть, А —: некоторая иерархия на Vext, А' = {V € А: V' > 1}, I — некоторое разбиение Vint, заиндексированное элементами А'. Обозначим.

V (I) = (U U V, A (FI- а) = a (V (I)) —? a (V'(I))+Ivd,.

XV’CVyeA' J V'€K (V) c (V-IVa) = J П УЩ)-Ута] П (П dyv, leL (iv) veiv V’eK (V) / где L{Iy) — множество всех ребер подграфа G, порожденного вершинами Iy, j ~ {jy, V' € il'(V")} — произвольный набор d-мерных р-адических векторов, таких, что jy> — jv" — 1, если V' ф V' интеграл берется по (Q^)'7^ ((c (VI- а) не зависит от выбора j).

Теорема 4.1 Пусть Ах = А. Тогда.

FG>A (x]a) = 52 П c (V-/-a)maxxv — x^W'W,.

J v, v'?V где сумма берется по всем разбиениям I множества Vint, заиндек-сированным элементами А'.

Вычисление коэффициентных функций c (V- /- а) сводится к вычислению интегралов вида.

Fg{°) = / П Ы~хта' П x (xv)dxv. (o.i7) leL (G) veV (G).

Пусть V = У (G), V' С V, a{V') = ^Е^а, f3(V') = a (V') + d (V'| — 1). Замечательным фактом является то, что для интеграла (0.17) существует явная формула.

Лемма 4.4 Пусть (5(V') > 0 для всех V' С У, V' > 1. Тогда.

Fo (a) = ^ Е Д, • J^^y, (0Л8) где суммирование ведется по всем иерархиям на множестве V.

Таким образом, существует алгоритм, позволяющий вычислить явно произвольную р-адическую фейнмановскую амплитуду. Формула (0.18) задает аналитическое продолжение ^(а) по, а во все комплексное пространство и указывает все полюса этого продолжения.

В разделе 4.3 мы доказываем теорему об аналитической перенормировке для фейнмановской амплитуды.

1еЦС) предполагается, что все переменные х^-и Е У (С) — внешние). Каждому графу? сопоставим полином У (£) от е~называемый вершинной частью (? степени — 1. Набор вершинных частей У = {У (?г'), С (?} определяет переномированную фейнмановскую амплитуду.

Т 2 = 1 где суммирование берется по всем разбиениям 7 г = {У^., Уг} множества вершин У©, С |тг — граф, стянутый по разбиению 7 Г, — подграф порожденный множеством вершин V*. Пусть /Зо (Сгг-) =.

Теорема 4.2 Существует такой набор вершинных частей У, что е) является аналитической функцией от е в некоторой окрестности нуля (как обобщенная функция на Яр). При этом У (Ст,-) = 1, если |К| = 1 и У (вг) = 0- если /50(Сг-) ф 0.

Доказательство проводится индукцией по |У (<2)|.

Так же как и в случае (фф)2-модели, ультрафиолетовые полюса' по а, которые возникают при процедуре дискретизации, являются резонансными значениями в задаче нормализации отображения РГ в нуле. Коэффициенты дискретизованного гамильтониана имеют полюс в точке е = 0. Задачу о перенормировке поставим как задачу поиска таких констант связи г (и, у), д (и, у) непрерывной теории, что дискретизация этой теории не содержит полюсов по е в нуле при разложении гамильтониана в ряд по степеням и и у. Здесь и и V — новые (перенормированные) константы теории. В случае (фф)2-модели г (и, у) и д (и, у) определяются соотношением.

Г!)="->(:)¦

В случае <£>4-теории мы определяем г (и, у) и д (и, у), обращая отображение, заданное двумя первыми коэффициентами разложения плотности /(уа- г, д), в ряд по степеням у:

— а1(г (и, у), д (и, у))=и, -а2(г (и, у), д (и, у)) = у. (0.19) При этом предполагается, что в первом порядке по и и у г (и, у) = и + а]гу + ., д (и, у) = у +————(0.20).

Теорема 4.3 Коэффициенты ак (г (и, у), д (и, у)), к = 3,4,. аналитичны по? в нуле во всех порядках разложения по степеням и и у.

Доказательство этой теоремы мы проводим без ограничения общности для случая п = 2. Из доказательства следует, что дискретизация непрерывной теории с константами связи г (и, у) и д (и, у) на решетку любого масштаба не содержит сингулярностей по г в нуле. Отметим только, что в отличии от фермионного случая г (и, у) и д (и, у) являются формальными рядами от и и у.

В разделе 4.5 мы изучаем фейнмановские амплитуды формальной безмассовой адельной <^4-теории. Мы показываем, что при достаточно большой размерности пространства й существует область в пространстве степеней пропагаторов, в которой адельные амплитуды (как обобщенные функции на пространстве Шварца-Брюа) корректно определены. Делая аналитическое продолжение по степеням пропагаторов, мы экстраполируем полученные формулы на случай произвольных значений й. Далее анализируются полюса этого продолжения и показывается перенормируемость <^4~теории вплоть до 3-ьего порядка теории возмущений.

В разделах 5.1 и 5.2 мы рассматриваем г-разложение в евклидовых моделях. Пусть сг0(&-) — поле в шаре О = {к 6 -В*: к < К}, задаваемое формальным гиббсовским гамильтонианом вида Щ (а) + Я, Я — еН + £2Я2 + • • коэффициенты которого являются конечночастичными гамильтонианами, е — малый параметр, а — вещественный параметр, й < а < 2й, Преобразование РГ Вильсона является композицией двух преобразований: растяжения 5д (а) и сужения (здесь х — характеристическая функция шара О,). Смысл оператора 5д (а) состоит в замене, а о (к) на Аа/2сг0(Ак). Оператор сужения Рх>д ограничивает гиббсовское случайное поле в шаре А£2, заданное гамильтонианом 5д (а)(Яо (а-) + Я), на шар О. Гамильтониан Но (а) является неподвижной точкой РГ-преобразования йХ1д (а-) = Рх>3(а). Уравнения Вильсона возникают при нахождении нетривиальных неподвижных точек РГ-преобразования вблизи точек бифуркации. В случае й < 4, который рассматривался в работах [51]—[52], дифференциал РГ в гауссовской НТ при, а = 3/2с? имеет один собственный вектор

4, о (°" о) = / <5(^1 + • • • + и-ОЫМ • • • ^0(^4) ¿-кА (0.21) с собственным числом 1. При ?1 = 4 появляется еще один собственный вектор с собственным числом 1:

Я2,2Ы = / + ЬШ^к^кэ) йк ¿-к2. (0.22) 2.

Негауссовские решения можно искать в виде степенных рядов по уклонению значения параметра, а от бифуркационного значения а0 = 3/2<1 Решение уравнений Вильсона мы будем искать в виде гамильтониана сужения поля 'сг (к) во всем пространстве на шар П. Поле, а (к) задается гамильтонианом Щ^^+щН^о^+щЩ^сг). Гамильтониан поля сто (к) = сг{к)х (к) имеет вид Но (а)(ао) + Рх (и1Н^о + ^2Я2,2), где.

Рх (и!Я4)0 + П2Я2)2) = -1п{ехр{-«1Я410(с70+СГ1)-М2Я2!2(сг0+СГ1)})/,(с/(Г1), усреднение ведется по гауссовскому полю с^ с корреляционной функцией (01(&-1)сг1(&-2)) = 6{к + к2) к1А~а (1 — Гамильтониан Рх (иН4,о + ^2Я2>2) сингулярен по? в нуле. Пусть Н (щ, щ', е) = АМ. Рх (щН4^—и2Н2,2), где А.Л. обозначает операцию аналитической перенормировки с минимальными вычитаниями (см. [88],[90],[52]). Пусть Л = ехр т. Справедлива.

Теорема 5.1.

0.23).

ДХ)ехргЯ (иь и2- е) = Н (щ (т), и2(т)-е) где динамика констант связи определяется уравнениями п=2,то=0 причем коэффициенты Ъкп т, к ~ 1,2 являются константами, не зависящими от е.

Система уравнений Рг (щ, и2) = 0, /32(и1,и2) = 0 имеет два решения в формальных степенных рядах по е. Тривиальное решение и (е) = щ (е) = 0, описывает гауссовскую неподвижную точку, а второе, нетривиальное решение, описывает негауссовскую неподвижную точку.

Если коэффициентные функции гамильтониана являются гладкими и изотропными, то то же самое верно и для коэффициентных функций его РГ-преобразования (при условии, что мы используем сглаженную характеристическую функцию шара). Пусть (тп = {д = I = 9п} есть множество симметричных положительно-определенных матриц. Тогда изотропная функция Н[к,., кп) однозначно определяет функцию на: = Ь,(к,., кп). Последовательность функций с меткой и: (Цу) = (?2(02)5 ?4(04)5 • • •- где д2п? 02п, и? С, будем называть обобщенным гамильтонианом. Здесь р имеет смысл «дробной» размерности. При натуральных значениях у — с? обобщенный гамильтониан (?- с?) можно трактовать как обычный гамильтониан с коэффициентными функциями • • • 5 &-2п) = С помощью операции аналитического продолжения по (I определение преобразования РГ можно распространить на пространство обобщенных гамильтонианов. В дальнейшем для удобства мы сохраним обычные обозначения гамильтонианов, но понимать их будем как обобщенные (для этого рядом с ними будем писать метку).

Пусть параметр РГ, а = 6 — <5, а параметр «дробной» размерности V — 4 — е. Рассмотрим обобщенный гамильтониан.

Н (щ, и2, ще) = И. ЩНо + Рх (щН⁰ + и2Н2>2 + г/3Я2,о) — 4 — е),.

ГОСУДАРСТВЕ!" БИБЛИОТЕКА где #4,0 и Н2,2 задаются формулами (0.21),(0.22),.

0 = 7², 2, #2,0 = / ?(?1 + к2) а (к1)сг (к2) (1к ¿-й2, оператор проекции Рх задается формулой (0.23), в которой усреднение ведется по полю с корреляционной функцией <5(?-1+&2)|&1|-2(1 — х (к)) — Мы используем здесь оператор размерной перенормировки с минимальными вычитаниями D. it! (см. [90]) для того, чтобы избавиться от сингулярности в точке д — 4. Верна.

Теорема 5.2 Действие преобразования РГ11Х1ехрг (б — 6) на многообразии гамильтонианов Н (и, и2, щ?) задается соотношением.

Ях, ехрг (6 — 6) Н (щ, и2}Щ-,?) = Н (и1(т), и2(т), щ (т)-?), где.

— &(щ, и2, щ- ?), щ (0) = щ, г == 1,2,3, А = 2щ (£ - 6 — р2) + (1 + 2и2)2ри (32 = ½(1 + 2 щ){£ -6- р2), /З3 = щ (2 + е-6- ръ).

Здесь оо оо оо.

Р1 = г (е — д (г)), д (г) =? дпгп, = />з = 1>пЛ г = ^(1 + 2и2)2- коэффициентырп, дп, гп — константы, не зависящие от ?.

Система уравнений на неподвижную точку Д- = 0, г = 1,2,3 имеет два решения в формальных рядах по г: 1) тривиальное решение щ = и2 = щ = 0,? = <5- 2) и2 = щ = 0, щ = и{, где и есть решение уравнения,? = <7(^1), 8 =? — Р1(и*). Последнее решение описывает негауссовскую ветвь неподвижных точек.

В разделе 5.3 мы рассматриваем^{-разложение} в бозонной иерархической модели,? = а — 3/2(1. Без ограничения общности мы будем предполагать с? = 1, р = 2. Пусть г (и, у) и д (и, ь) определяются из соотношения (0.19), (0.20). Тогда из соотношения (0.16) легко получить представление для преобразования РГ в подмногообразии плотностей /(у, аг (и, у), д (и, г>)) в дифференциальной форме: о-)Цу-а-г (щу), д (и, у)) = ехр у)~ + р2(щ } 1(уос, г (и, у), д (и, у)), (0.24) где /3-функции выражаются через ряды г (и, у) и д (и, и).

Теорема 5.3 Коэффициенты формальных степенных рядов (5{и, у) и 02(и, у) аналитичны по е в нуле.

Формула (0.24) определяет формальное вложение РГ-преобразо-вания Л в непрерывную полугруппу, и /3-функции являются коэффициентами векторного поля, порождающего эту полугруппу. Нетривиальный нуль этого векторного поля задает негауссовскую неподвижную точку в бозонной иерархической модели.

Наконец, мы рассматриваем (4 — ¿-)-разложение в бозонной иерархической модели. Обобщенным гамильтонианом мы будем называть последовательность где коэффициенты t задают гауссовскую часть автомодельного иерархического гамильтониана, а коэффициенты определяют оо, самодействие? ?' «¿-(О? ^ — полиномы конечной степени, е — ма-к=1 лый параметр, с1 — дробная размерность. Действие РГ определяется в пространстве обобщенных гамильтонианов. Дискретизация р-адического гамильтониана.

Гр (2 + (3) I х — у-2-афМу) дхду + г1^2дх + д1 <�рх) Ах после аналитического продолжения по й может рассматриваться как обобщенный гамильтониан. Этот гамильтониан имеет сингулярность по г в нуле,? = 4—й. Применяя операцию р-адической размерной перенормировки и записывая действие РГ в дифференциальной форме, мы получаем «негауссовскую» неподвижную точку как нетривиальный нуль соответствующего векторного поля.

Содержание диссертации отражено в статьях [5], [28−30], [35−39], [73−74],[77−83]. Теорема 5.2, содержащаяся в статье [5], написанной в соавторстве с П. М. Блехером, получена непосредственно автором. Статьи [28−30],[73−74] написаны в соавторстве с моим учеником Э. Ю. Лернером, которому я выражаю искреннюю признательность за многолетнюю совместную работу. Постановка задач и основные идеи доказательств теорем, содержащихся в этих работах, принадлежат автору.

В заключение отметим основные положения диссертации:

1) Предложена новая фермионная иерархическая модель. Показано, что преобразование ренормгруппы в пространстве констант связи этой модели является конечномерным рациональным отображением, и изучена глобальная динамика этого отображения.

2) Исследована проблема термодинамического предела и описана картина критических явлений в фермионной иерархической модели. Построен непрерывный предел в этой модели.

3) Показано, что дискретизация случайных полей на р-адических пространствах приводит к моделям на иерархической решетке. Проблема вычисления нетривиального функционального интеграла, задающего плотность свободной меры в дискретизованной модели, ставится как проблема теории функциональных уравнений. Проблема ультрафиолетовых расходимостей трактуется как проблема малых знаменателей. 44 —.

4) Получены явные формулы для р-адических фейнмановских амплитуд во всех порядках теории возмущений и построена теория аналитической перенормировки таких амплитуд. Предложена новая процедура перенормировок, основанная на анализе функционального уравнения для плотности свободной меры. В случае фермионной иерархической модели эта процедура сводится к построению нормализующего отображения к преобразованию ренормгруппы в нуле.

5) Построены различные процедуры^{-разложений} на языке формальных гамильтонианов в евклидовых и р-адических моделях статистической физики.

1. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

2. Березин Ф. А. Метод вторичного квантования. М.: Наука, 1965. С. 236.

3. Блехер П. М. Фазовый переход второго рода в некоторых моделях ферромагнетизма. Труды Моск. матем. общ-ва. 1975. Т.ЗЗ. С. 155.

4. Блехер П. М. Интегрирование функций в пространствах комплексного числа измерений. ТМФ. 1982. Т.50. N3. С.370−382.

5. Блехер П. М., Миссаров М. Д. Инвариантные многообразия ренорм-группы Вильсона. ТМФ. 1988. Т.74. N2. С.203−209.

6. Блехер П. М., Сургайлис Д. Автомодельные случайные поля. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Теория вероятностей. Мат. Стат. Теор. кибернет. 1983. Т.20. С.3−51.

7. Боголюбов H.H., Петрина Д. Я., Хацепг Б. И. Математическое описание равновесного состояния классических систем на основе формализма канонического ансамбля. ТМФ. 1969. Т.1. N2. С.251−274.

8. Боголюбов H.H., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984.

9. Вильсон К. Г., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.

10. Владимиров А. А., Ширков Д. В. Ренормализационная группа и ультрафиолетовые асимптотики. УФН. 1979. Т.129. С. 407.

11. Владимиров B.C. Обобщенные функции над полем р-адических чисел. УМЫ. 1989. Т.43. С. 17−53.

12. Владимиров B.C. Адельные формулы Фройнда-Виттена для амплитуд Венециано и Вирасоро-Шапиро. УМН. 1993. Т.48. N6. С. 3−38.

13. Владимиров B.C., Волович И. В. Суперанализ. Дифференциальное исчисление. ТМФ. 1984. Т.59. С.3−27.

14. Владимиров B.C., Волович И. В., Зеленое Е. И. р-адический анализ и математическая физика. М: Наука, 1994.

15. Волович И. В. р-адическое пространствовремя и теория струн. ТМФ. 1987. Т.71. С.337−340.

16. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции, вып.1. М.: Физматгиз, 1959.

17. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я. Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства. Обобщенные функции, вып.4. М.: Физматгиз, 1961.

18. Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий Шапиро И. И. Теория представлений и автоморфные функции. Обобщенные функции, вып.6. М.: Наука, 1966.

19. Глимм Дж., Джаффе А. Математические методы квантовой физики. Подход с использованием функциональных интегралов. М.: Мир, 1984.

20. Добрушин Р. Л. Автомодельность и ренормгруппа обобщенных случайных полей. Многокомпонент. случайные системы. М., 1978. С.179−213.

21. Добрушин Р. Л. Гиббсовские поля. Общий случай. Функц. анализ и его при лож. 1969. Т.З. N1. С.27−35.

22. Завьялов О. И. Перенормированные диаграммы Фейнмана. М.: Наука, 1979.

23. Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982.

24. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982.

25. Лернер Э. Ю. Фейнмановские интегралы от р-адического аргумента в импульсном пространстве I. Сходимость. ТМФ. 1995. Т. 102. N3. С.367−377.

26. Лернер Э. Ю. Фейнмановские интегралы от р-адического аргумента в импульсном пространстве II. Явные формулы. ТМФ.1995. Т. 104. N3. С.371−392.

27. Лернер Э. Ю. Фейнмановские интегралы от р-адического аргумента в импульсном пространстве III. Перенормировка. ТМФ.1996. Т.106. N2. С.233−249.

28. Лернер Э. Ю., Миссаров МД. Скалярные модели р-адической квантовой теории поля и иерархическая модель Дайсона. ТМФ. 1989. Т.78. N2. С.248−257.

29. Лернер Э. Ю., Миссаров М. Д. Ренормализационная группа в фермионной иерархической модели. ТМФ. 1994. Т. 101. N2. С. 282−293.

30. Лернер Э. Ю., Миссаров М. Д. Глобальный поток ренормализа-ционной группы и термодинамический предел в фермионной иерархической модели. ТМФ. 1996. Т.107. N2. С.201−212.

31. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.

32. Малышев В. А., Минлос P.A. Гиббсовские случайные поля. М.: Наука, 1985.

33. Малышев В. А., Минлос P.A. Линейные операторы в бесконечно-частичных системах. М.: Наука, 1994.

34. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

35. Миссаров М. Д. Функциональные уравнения и теория перенормировок в р-адических моделях. ТМФ. 1996. Т. 109. N1. С.3−16.

36. Миссаров М. Д. Инвариантные многообразия ренормализацион-ной группы и критическое поведение в фермионной иерархической модели. Вестник МГУ. Серия 1 (Математика и Механика). 1996. N6. С.61−63.

37. Миссаров М. Д. РГ-инвариантные кривые в фермионной иерархической модели. ТМФ. 1998. Т. 114. N3. С.323−336.

38. Миссаров М. Д. Критические явления в фермионной иерархической модели. ТМФ. 1998. Т.117. N3. С.471−488.

39. Миссаров М. Д. Непрерывный предел в фермионной иерархической модели. ТМФ. 1999. Т. 118. N1. С.40−50.

40. Ниренберг JI. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1977.

41. Риордан Дою. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.

42. Синай Я. Г. Автомодельные распределения вероятностей. Теория вероятностей и ее применения. 1976. Т.21. N1. С. 63.

43. Синай Я. Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука, 1980.

44. Смирнов В. А. Перенормировка и асимптотические разложения фейнмановских амплитуд. М.: Изд-во МГУ, 1990.

45. Титчмарщ Е. К. Теория дзета-функции Римана. М.: ИЛ, 1953.

46. Amit D. Field theory, the renormalization group, and critical phenomena. New York: McGraw-Hill. 1978.

47. Aref’eva I.Ya., Dragovic B, Volovich I.V. On the adelic string amplitudes. Phys. Lett. 1988. V. B209. P.445−450.

48. Aref’eva I. Ya., Dragovic B, Volovich I. V. P-adic superstrings. Phys. Lett. 1988. V. B214. P.339−346.

49. Baker J. Ising model with a scaling interaction. Phys. Rev. 1972. V. B5. N7. P.2633.

50. Bleher P.M. Construction of Non-Gaussian self-similar random fields with hierarchical structure. Commun. Math. Phys. 1982. V.84. N3. P.557−578.

51. Bleher P.M., Missarov M.D. The equations of Wilson’s RG and analytic renormalization. I. General results. Commun. Math. Phys. 1980. V.74. N3. P.235−254.

52. Bleher P.M., Missarov M.D. The equations of Wilson’s RG and analytic renormalization. II. Solution of Wilson’s equations. Commun. Math. Phys. 1980. V.74. N3. P.255−272.

53. Bleher P.M., Sinai J a. G. Investigation of the critical point in models of the type of Dyson’s hierarchical models. Commun. Math. Phys. 1973. V.33. P.23.

54. Bleher P.M., Sinai J a. G. Critical indices for Dyson’s asymptotically-hierarchical models. Commun. Math. Phys. 1975. V.33. N3. P.247.

55. Bott R. On the shape of the curve. Advances in Mathematics. 1975. V.16. P. 144−159.

56. Brekke L., Freund P.G.O. P-Adic numbers in Physics. Phys. Rep. 1993. V.233. N1. P.2−66.

57. Brekke L., Freund P.G.O., Olson M., Witten E. Non-archemedean string dynamics. Nucl. Phys. 1988. V. B302. P.365−402.

58. Cassandro M., Jona-Lasinio G. Critical point behaviour and probability theory. Adv. Phys. 1978. V.27. N6. C.913−941.

59. Chekhov L.O., Mironov A.D., Zabrodin A. Multiloop calculations in p-adic string theory and Bruhat-Tits trees I, II. Mod. Phys. Lett. 1989. V. A4. P.1127−1235.

60. Collet P., Eckmann J.-P. A renormalization group analysis of the hierarchical model in statistical mechanics. Lecture Notes in Physics. V.74. Berlin Heidelberg — New York: Springer-Verlag, 1978.

61. Dorlas T.C. Simple hierarchical fermion model. Commun. Math. Phys. 1991. V.136. P.169.

62. Dyson F.J. Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet. Commun. Math. Phys. 1969. V.12. N2. P.91.

63. Feldman J., Magnen J., Rivasseau V., Seneor R. A renormalizable field theory: The massive Gross-Neuveu model in two dimensions. Commun. Math. Phys. 1986. V.103. P.67.

64. Fisher M.E., Wilson KG. Critical exponents in 3.99 dimensions. Phys. Rev. Lett. 1972. V.28. N4. P.240.

65. Frampton P.H., Okada Y. The p-adic string N-point function. Phys. Rev. Lett. 1988. V.60. P.484−488.

66. Freund P.G.O., Witten E. Adelic string amplitudes. Phys. Lett. 1987. V. B199. P.191−194.

67. Gallavotti G., Knops E.J.F. The hierarchical model and the renormalization group. Nuovo Cimento. 1975. V.5. P.341−368.

68. Gawedzki K., Kupiainen A. Non-Gaussian fixed points of the blockspin transformation. Hierarchical model approximation. Commun. Math. Phys. 1983. V.89. P.191.

69. Gawedzki K., Kupiainen A. Gross-Neveu model through convergent perturbation expansions. Commun. Math. Phys. 1985. V.102. P.l.

70. Gawedzki K., Kupiainen A. Renormalization of a non-renormalizable quantum field theory. Nuclear Physics. 1985'. V. B262. P.33−48.

71. Kadanoff L.P. Scaling laws for Ising models near Tc. Physics. 1966. V.2. N6. P.263−272.

72. Khrennikov A.Yu. P-Adic-valued distributions in mathematical physics. Kluwer. Dordrecht. 1994.

73. Lerner E.Yu., Missarov M.D. P-adic Feynman and String Amplitudes. Commun. Math. Phys. 1989. V.121. P.35−48.

74. Lerner E. Yu., Missarov M.D. Fixed points of renormalization group in the hierarchical fermionic model. J. Stat. Phys. 1994. V.76. N¾. P.805−817.

75. Manin Yu.I. Reflections on Aritmetical Physics. In «Conformal Invariance and String Theory», eds. P. Dita and V. Gergescu. Boston: Academic Press. 1989. P.293−303.

76. Missarov M.D. Convergence of Feynman Integrals. Reports on Math. Physics. 1984. V.19. P.101−116.

77. Missarov M.D. I The equations of Wilson’s renormalization group in dimention 4 and analytic renormalization. Journal of Stat. Phys. 1985. V.38. N5/6.

78. Missarov M.D. Random fields on the adele ring and Willson’s renormalization group. Ann. Inst. H.Poincare. 1989. V.49. P.357−367.

79. Missarov M.D. Renormalization group and renormalization theory in p-adic and adelic scalar models. Dynamical systems and statistical mechanics, ed. Ya.G. Sinai (Adv. Sov. Math. V.3, Amer. Matn. Soc., 1991). P.143−161.

80. Missarov M.D. Adelic^-theory. Phys. Lett. 1991. V. B272. P.36−38.

81. Missarov M.D. Invariant manifolds of p-adic renormalization groups. Lett, in Math. Phys. 1993. V.27. P.149−154.

82. Missarov M.D. Functional integral via functional equation. Lett, in Math. Phys. 1994. V.32. P.347−356.

83. Missarov M.D. P-adic </?4-theory as a functional equation problem. Lett. Math. Phys. 1997. V.39. P.253−260.

84. Parisi G. On p-adic functional integrals. Mod. Phys. Lett. 1988. V. A4. P.369−374.

85. Rivasseau V From perturbative to constructive renormalization. Center de Physique Theorique de l’Ecole Polytechnique, 1990.

86. Smirnov V.A. Renormalization in p-adic quantum field theory. Mod. Phys. Lett. 1991. V. A6. P. 1421−1427.

87. Smirnov V.A. Calculation of General p-Adic Feynman Amplitude. Commun. Math. Phys. 1992. V.149. P.623−636.

88. Speer E.R. Generalized Feynman Amplitudes. Ann. of Math. Study N62, Princeton Univ. Press, 1969.

89. Speer E.R. Ultraviolet and infrared singulariti structure of generic Feynman amplitudes. Ann. Inst. H. Poincare. 1973. V.23. P. 1−21.

90. Speer E.R. Dimensional and analytic renormalization. In: Renormalization theory. Dordrecht. Reidel. 1976. P.25−93.

91. Volovich I. V. P-adic string. Class. Quantum Grav. 1987. V.4. L83-L87.

92. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Clarendon Press. Oxford. 1996.