Математическое моделирование течений неоднородной несжимаемой жидкости

Гидродинамика несжимаемой и невязкой жидкости в настоящее время представляет собой сильно развитый раздел науки, в котором изучается движение и равновесие жидкостей, и их взаимодействие с твердыми телами. В ней разработаны эффективные теоретические и, главным образом, математические методы исследования. Наиболее развитые методы решения относятся к безвихревым течениям, когда отсутствует вращение частиц, т. е. когда имеет место потенциальное течение, и скорость V = grad Ф, где Ф — потенциал скорости. Для потенциальных течений найдены решения многих частных задач: о безотрывном обтекании плоских контуров, о струйных течениях, о волновых движениях жидкости, об источниках, стоках и вихрях, о потенциале простого и двойного слоя, и других. Успешно решены задачи о вихревых нитях и слоях, о вихревых цепочках и системах вихрей. Все эти успехи теоретической гидродинамики относятся к случаю, когда считается, что плотность жидкости всюду постоянна. Для описания движения несжимаемой {р = const) жидкости используется уравнение неразрывности и уравнение движения. Для решения этих уравнений необходимо задавать еще начальные и граничные условия. Граничные условия зависят от вида границ. В идеальной жидкости, не обладающей вязкостью, на твердой границе применяется условие 'непротекания': в нуль обращается только нормальная к стенке составляющая скорости. На свободной поверхности, граничащей с пустотой или с воздухом (газом), должно выполняться условие постоянства давления. Поверхность, удовлетворяющая такому условию, в ряде случаев моделирует поверхность раздела жидкости с газом или паром. Задачи со свободной поверхностью обычно ассоциируются с волнами на поверхности воды. Теоретическая гидродинамика неоднородной жидкости развита в значительно меньшей степени. Она имеет дело с принципиально вихревыми течениями, которые с большим трудом поддаются математическому анализу. Вихри в неоднородной несжимаемой жидкости возникают из-за нарушения баротропии, когда не совпадают нормали к поверхностям постоянного давления и плотности. Уравнение неразрывности и условие несжимаемости для неоднородной жидкости не совпадают друг с другом и записываются как независимые уравнения. Поэтому в поведении течений однородной и неоднородной жидкости имеются существенные различия. Природным примером неоднородных жидкостей является атмосфера и океан, а также и грунтовые воды. Эти среды никогда не находятся в состоянии покоя, так как малейшее нарушение локальной плотности приводит к тому, что одни участки жидкости всплывают под действием архимедовой силы, а другие опускаются. Это сопровождается образованием кольцевых вихрей, как, например, при подъеме нагретых масс воздуха — 'термиков'. Таким образом, сила тяжести в гидродинамике неоднородной жидкости играет основную роль, и такие течения по своей природе являются нестационарными. Теоретическое изучение подобных течений наталкивается на большие математические трудности, и поэтому примеров точных решений не встречается в литературных источниках. Этим и объясняется актуальность всяких исследований в области гидродинамики неоднородной жидкости, направленных на изучение ее свойств. Существует достаточно много публикаций, относящихся к гидродинамике неоднородной жидкости. В подавляющем большинстве из них показывается, что эффективным способом нахождения приближенных решений является линеаризация уравнений и соответственно граничных условий (метод малых возмущений). Получающиеся при этом линейные уравнения в частных производных являются уравнениями типа Соболева. Они описывают сложную структуру внутренних волн в неоднородной жидкости. Эти внутренние волны сильно отличаются от упругих и акустических волн, и, по своим свойствам, больше похожи на волны, движущиеся на поверхности тяжелой жидкости. Для них характерна анизотропность и сильная дисперсия. Численные методы решения общих, не линеаризованных уравнений неоднородной жидкости применялись только к случаю установившихся движений. Эти публикации относятся к 50−60 годам 20-столетия. Из них следует, что при обтекании эллипса потоком неоднородной жидкости линии тока получаются волнистыми. В более поздних публикациях, направленных на изучение конкретных задач, например, на расчет терминов в атмосфере, система дифференциальных уравнений сильно усложняется. В нее добавляется уравнение энергии, уравнение состояния, теплопроводности, переноса излучения, химической кинетики. Решение большинства таких усложненных конкретных задач осуществлялось, главным образом, с применением численных методов. В разработке современных численных методов для решения задач со свободной границей впечатляющие достижения получены Кемеровской школой гидромеханики, возглавляемой К. Е. Афанасьевым [62]. Сферой практических приложений гидродинамики неоднородной жидкости является, в первую очередь, физика атмосферы, океанография, геофизика, а также известное в теории теплопереноса явление естественной конвекции [71, 72, 73]. Ввиду того, что крупные вихри в значительной мере определяют перенос на значительные расстояния примесей в атмосфере и в океане, гидродинамика неоднородной жидкости оказывается полезной также и в экологических науках. Целью диссертационной работы является разработка новой математической модели, позволяющей достаточно простыми средствами осуществлять расчет различных плавучих эффектов, проявляющихся в неоднородной жидкости, таких как: всплывание плоских и осесимметричных термиков, явление тейлоровской неустойчивости, распространение волн вдоль границы раздела двух жидкостей с разной плотностью, и другие. Предлагаемая математическая модель позволяет приближенно исследовать также и поведение волн на свободной поверхности тяжелой жидкости. Научная новизна работы. В первой главе, посвященной установившемуся течению неоднородной жидкости, впервые было получено аналитическое решение, определяющее функцию тока, для частного случая, когда плотность жидкости р (Ч*) распределена по экспоненциальному закону. Во второй главе диссертации впервые получена формула, представляющая собой закон генерации вихрей на линии, разделяющей несмешивающиеся жидкости с разной плотностью. На основе этого соотношения построена новая вихревая математическая модель движения границы раздела двух сред. Несмотря на такое упрощение, состоящее в рассмотрении только двухкомпонентной жидкости, предлагаемая математическая модель оказалась достаточно содержательной, чтобы с ее помощью можно было вычислять различные физические эффекты, рассмотренные в диссертации. Впервые было выяснено, что приближенное решение нестационарных задач со свободной границей осуществляется на много легче, если рассматривать ее как границу, разделяющую две жидкости с разной плотностью. Практическая значимость. Создан комплекс компьютерных программ, позволяющих проводить вычисление движения границ разделяющих разнородные жидкости. На примере решения задачи о нефтяной скважине показано, что разработанная математическая модель применима и к случаю нестационарного движения неоднородных грунтовых вод. При дальнейшем естественном обобщении предлагаемого метода круг решаемых им задач может быть существенно расширен. Степень достоверности результатов проведенных исследований. Для проверки непротиворечивости предлагаемого метода в диссертации приводится много примеров численного решения частных задач. Там, где только возможно, приводятся экспериментальные фотографии, подтверждающие качественное совпадение теоретического материала с реальным физическим явлением. Достоверность результатов, полученных с помощью вихревой модели, подтверждается их сопоставлением с экспериментальными данными и численными исследованиями других авторов [3]. Автор защищает: 1. Новую математическую вихревую модель, позволяющую вычислять движение границы между двумя жидкостями с различной плотностью.2. Численный метод, в основе которого лежит простой закон изменения циркуляции вихрей возникающих вдоль границы раздела.3. Аналитическое решение задачи об установившемся течении неоднородной жидкости, описанное в первой главе диссертации.4. Распространение полученных результатов на случай движения жидкости в пористой среде. Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на XI Всероссийской научно-технической конференции под редакцией Шрагера Э. Р. (Томск, 2005) — на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (Томск, 2006) — на III Всероссийской конференции молодых ученых «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2007) — на VI Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики «, посвященной 130-летию Томского государственного университета и 40-летию НИИ ПММ ТГУ (Томск, 2009) Публикации. Основные результаты диссертации представлены в трудах вышеперечисленных конференций, а также в журнале: «Известия Вузов. Физика» [97, 98]. Содержание работы. Первая глава освещает современное состояние теории установившегося течения неоднородной жидкости. Такие течения можно описать с помощью единственной функции тока Ч*(х, у). Показано, что если течение не зависит от времени, то плотность жидкости должна зависеть только от значений функции тока, т. e.:p = pQ?). Следовательно, линии тока в установившемся течении всегда являются также и линиями постоянной плотности. Сама функция тока, при этом, удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка. После ряда преобразований это нелинейное уравнение сводится к виду, который допускает получение аналитического решения. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости, при обтекании различных тел, получаются волни7 стыми. Этот факт показывает, насколько расслоенная по плотности жидкость отличается по своему поведению от однородной жидкости. Первые численные эксперименты с применением указанной вихревой модели показали ее пригодность для решения многих задач, недоступных при использовании других методов. Всплывание или опускание термиков сопровождается образованием 'грибовидного облака', как при сильном взрыве, которое со временем закручивается в два параллельных вихревых шнура. Всплывание слоя более легкой жидкости из-под жидкости более тяжелой (неустойчивая граница раздела по Тейлору) также происходит в виде спиральных вихревых образований. Если же проводить расчет для устойчиво стратифицированной жидкости, когда более тяжелая жидкость находится ниже чем легкая, то расчет по вихревой модели не приводит к образованию спиралей. Граница раздела в таких случаях ведет себя как обычная нелинейная бегущая волна, сопровождаемая шлейфом из-за влияния дисперсии. В подразделе 2.5 второй главы описывается вспомогательная программа, позволяющая эффективно вычислять значения мгновенной функции тока и поля скоростей. Здесь, вместо последовательности изолированных вихревых точек, вихревой слой представляется непрерывно завихренными отрезками ломаной линии. С помощью этой программы осуществлялся расчет линий тока в поле течения. Подраздел 2.6 посвящен осесимметричной задаче о термиках и о тейлоровской неустойчивости границы раздела. Здесь вместо бесконечных вихревых шнуров применяются вихревые кольца конечной толщины, и вычисление функции тока и скоростей производится с применение эллиптических интегралов. Основное уравнение генерации вихрей на линии раздела остается таким же, как и для плоско-параллельной задачи. В подразделе 2.7 исследуется поведение волн вблизи наклонного берега. Для объяснения разрушения волн вблизи берега и поглощения их энергии обычно применяют различные приближенные теории. Эта задача все еще является мало изученной в математическом отношении. С точки зрения линейной теории, комплексный потенциал должен иметь логарифмическую особенность в точке пересечения уровня воды и береговой линии. Вихревая модель объясняет большие всплески волн у берега влиянием зеркально отраженной от берега вихревой системы. В подразделе 2.8 показывается, что генерация вихрей на линии раздела может получаться не только под влиянием ускорения силы тяжести, но и изза неравномерности течения в основном потоке (конвективное ускорение).Конвективное ускорение появляется, например, в поле течения от источника, или при обтекании различных препятствий. Уравнение генерации вихрей здесь соответствующим образом обобщается. Рассматривается задача о поведении термиков, которые находятся в потоке, обтекающем эллиптическое препятствие. Данная задача позволяет оценить дальность распространения загрязнений в атмосфере под влиянием ветра. Очевидно, что таким же способом можно решать и другие задачи, например, задачу о подводном крыле. Такие задачи характеризуются необходимостью использования метода конформных отображений. В подразделе 2.9 показывается, что предлагаемая в диссертации вихревая модель движения границы разделяющей жидкости с разной плотностью, пригодна и для теории грунтовых вод. В этом случае уравнением движения является закон Дарси: У = -к — + i. Закон генерации вихрей на границе KPg J раздела плотностей грунтовых вод принимает вид ds р} + р2 Таким образом, здесь он получается более простым, чем для обычной жидкости. В него входит не производная по времени от циркуляции вихрей, а сама их циркуляция. Это отличие определяет специфику поведения термиков в пористой среде. Они могут также всплывать или опускаться, но уже без образования 'грибовидного облака' и спиральных структур. В пористой среде также проявляется явление неустойчивости границы раздела по Тейлору. Численное решение задачи о выравнивании бугра на поверхности грунтовых вод хорошо совпало с решением из книги П. Я. Полубариновой-Кочиной [86]. В этом же подразделе рассматривается и задача 'о нефтяной скважине'.В отличие от ее классической математической постановки, в вихревой модели могут учитываться две фракции жидкости, что в большей степени отвечает действительности. В заключении подведены основные итоги проведенных исследований.

Основные результаты и выводы диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Установившееся течение в неоднородной жидкости возможно только в случае, когда плотность зависит лишь от функции тока. Если, например, плотность зависит от декартовых координат (х, у), то такое течение может быть только неустановившимся. Это объясняет тот факт, что неоднородная атмосфера не может находиться в состоянии покоя.

2. В отличие от течения однородной жидкости, линии тока в неоднородной жидкости получаются волнистыми, и внутренние волны распространяются на большие расстояния.

3. Моделирование неустановившихся течений заменой границы раздела плотности вихревым слоем позволяет решать многие задачи, недоступные при использовании других математических моделей. В частности,.

124 естественным образом моделируется процесс закручивания границы раздела в спиральную линию.

4. Тот факт, что устойчиво стратифицированная жидкость в численных экспериментах не закручивалась в спираль, говорит о том, что вихревая модель правильно описывает рассматриваемое явление. Следовательно, ее можно применять и для изучения волн на поверхности воды.

5. Предлагаемая в диссертации вихревая модель оказывается пригодной и для течений жидкости в пористой среде, для которой справедлив закон Дарси.

6. Предполагается, что дальнейшее обобщение вихревой модели будет осуществляться с учетом вязкости жидкости, и пространственного случая завихренной поверхности раздела.

В завершении диссертации автор выражает признательность своему научному руководителю, ведущему научному сотруднику НИИПММ ТГУ Э. Е. Либину, коллегам по лаборатории: профессору И. Б. Богоряду, старшему научному сотруднику Н. П. Лавровой за их неизменную помощь в течение всего периода работы над диссертацией, а также за моральную поддержку и теплоту человеческих отношений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В настоящей работе рассмотрено две задачи о течении неоднородной несжимаемой и невязкой жидкости. В первой задаче рассматривается случай установившихся (стационарных) течений, а во второй задаче предполагается, что течение жидкости носит нестационарный характер. В первой задаче вводится функция тока, дифференциальное уравнение для которой получается нелинейным и затруднительным для решения. Поэтому в диссертации рассмотрен только такой частный случай, когда плотность жидкости распределена по показательному закону в зависимости от значений функции тока. При таком предположении определяющее уравнение получается линейным, и это дает возможность довести решение задачи о течении неоднородной жидкости до аналитического решения.

Во второй задаче предполагается, что жидкость имеет кусочно, постоянную плотность и четкую границу раздела. Для ее решения в настоящей работе применяется достаточно простой численный метод, который основан на замене границы раздела плотностей вихревым слоем. Обе задачи имеют практическое значение в метеорологии или в океанологии.