Проблема исследования движения жидкости в трубах является классической задачей механики, всегда привлекавшей внимание исследователей. В последнее время возник интерес к явлениям, сопровождающим потерю устойчивости длинной упругой трубы с потоком жидкости. В частности, одним из последствий потери устойчивости является уход подземного трубопровода в сторону от первоначальной трассы и всплытие подводного трубопровода на участке трассы.
Важно, чтобы изменение формы профиля трубопровода было своевременно установлено. В качестве одного из методов контроля было предложено пропускание через поток жидкости импульса давления (гидравлического удара) или акустической волны.
Процесс распространения гидроупругих колебаний в изогнутой трубе, находящейся во внешней среде и нагруженной внутренним потоком жидкости, до сих пор недостаточно хорошо изучен. Исследования волн давления в трубах были начаты еще Н. Е. Жуковским [11]. Упругость трубы учитывалась через поправку к скорости волны в жидкости, инерцией стенки пренебрегалось. Похожий подход был использован и в работе [41], где еще было учтено и трение потока о стенку трубы.
Решение задач о течении жидкости в трубопроводах в переменных «массовая скорость — давление» используется в работах [5], [10], [14], [19], [26], [43]. Этот подход оправдал себя при расчетах стационарных расходов жидкости в сетях трубопроводов и низкочастотных нестационарных процессов. К сожалению, одномерная постановка задачи при этом подходе не позволяет исследовать распределение давления в поперечном сечении (то есть поляризацию проходящей волны), а практически полное пренебрежение динамикой стенки трубопровода делает точность уравнений недостаточной для изучения распространения акустических волн.
Обзор состояния теории гидравлического удара в прямых трубах дан в [13] и [5]. У Л. Н. Картвелишвили [13] приведены основные предположения, которые используются при выводе уравнений гидравлического удара:
1) инерция поперечного перемещения жидкости и оболочки не учитывается;
2) неустановившееся движение рассматривается как одномерное;
3) деформация каждого кольца, вырезанного из оболочки двумя сечениями, нормальными к ее оси и бесконечно близкими друг к другу, рассматривается независимо от деформаций соседних колец.
Эти предположения явно или неявно сделаны во всех работах по гидравлическому удару. Исключением является книга [14], где те же уравнения для тонкостенных цилиндрических труб выведены из без-моментной теории оболочек, что не позволяет применить их в случае изгибных колебаний.
В [5] дан обзор исследований течения сжимаемой жидкости в прямых упругих трубах. Особое внимание уделено течению газожидкостной смеси. Рассмотрена цилиндрическая оболочка, осесимме-тричная одномерная задача.
В последнее время интерес исследователей привлекли задачи, в которых необходим учет упругости стенки трубы, ее изгибных колебаний, инерции, а также кривизны осевой пинии.
Исследование колебаний давления в зависимости от условий закрепления конца трубы, с учетом эффекта Пуассона и инерции стенки проводилось в работах [38], [56], [61]. В работах [62], [55] изучалось влияние закрепления колена трубопровода на распространение волн давления в остановленном потоке идеальной жидкости. Дальнейшие разработки [40],[63] этого направления шли по пути увеличения количества разветвлений и колен трубопровода, оставляя неизменными основные черты исследования: одномерность модели, идеальная жидкость без учета трения о стенку, остановленный поток (гидравлический удар).
Более фундаментальная задача взаимодействия цилиндрической оболочки и заполняющей ее жидкости изучалась в труде А.С.Воль-мира [4]. К сожалению, задачи, связанные с динамикой трубопроводов, почти не были затронуты, основное внимание уделено вопросам обтекания оболочек и их колебаниям. Рассматривались оболочки правильной цилиндрической или конической формы, жидкость считалась несжимаемой. Приведена обширная библиография по задачам гидр оупруго сти.
Движение жидкости в трубах с изгибом профиля изучалось в работах [23], [44]—[50], [52]—[54], [57], [58], [64]. Проводились также и экспериментальные исследования пульсаций давления [59]. Гидравлический удар в движущемся по заданному закону трубопроводе описан в [44], где построена одномерная математическая модель и проведен расчет методом характеристик. В том же сборнике качественно исследована одномерная математическая модель гидравлического удара в изогнутом трубопроводе в [23]. Влияние внешней среды в обеих статьях не учитывалось, использовались уравнения гидравлического удара типа уравнений Жуковского [11].
В группе работ [46]—[49], [52], [53] изучалось течение несжимаемой вязкой жидкости по изогнутым трубам, с приложениями к динамике крови. Одним из первых исследований течения жидкости в трубах постоянной кривизны являются работы [47], [48]. В них изучено стационарное течение при условии малости параметра е — Я0/р0, где.
R0- внутренний радиус трубы, р0~ радиус кривизны осевой пинии.
Нестационарный поток в закрепленной однородно изогнутой (р0 = const) трубе с малым г, движимый зависимым от времени градиентом давления, рассмотрен в работе [53]. Градиент давления колебался по синусоидальному закону с достаточно высокой частотой для того, чтобы толщина слоя Стокса jvjuj0 была мала. Установлено существование поперечного потока, названного автором «эффектом центрифуги» .
В работе [52] получены нелинейные уравнения Навье-Стокса для вязкой несжимаемой жидкости в произвольно изогнутой в плоскости трубе, динамика которой задана. Рассмотрено два частных случая: труба с постоянной по координате, но зависящей от времени кривизной, и труба, синусоидально изогнутая и колеблющаяся с малой амплитудой в окрестности прямой линии. Построены асимптотики решений линеаризованных уравнений.
Более полный обзор работ этого направления до 1982 года приведен в [45]. Наиболее важные частные случаи рассмотрены в [46], [49], [64], [57], [58]. Все полученные результаты основаны на линеаризованных уравнениях Навье-Стокса для несжимаемой жидкости, движение стенки трубы задано или отсутствует.
Волны в прямой упругой трубе в случае идеальной сжимаемой жидкости изучались в [2], [3], [21], [30] и других. Рассматривались нелинейные одномерные уравнения типа уравнений Жуковского. Основное внимание уделялось получению и анализу решений в виде уединенных волн. В [3] получено нелинейное уравнение Шредингера для давления, в [21] рассмотрено влияние кортевеговской волны давления на цилиндрическую оболочку. Областью применения полученных результатов считается медицина.
Коснемся еще работ об устойчивости и поперечных колебаниях трубопроводов. Уравнение колебаний трубопровода типа балки приведено в [42], там же дан пример исследования устойчивости трубопровода с потоком идеальной несжимаемой жидкости. Некоторые абстрактные результаты с использованием того же уравнения для трубопровода, но уже погруженного в вязкую среду и нагруженного потоком вязкой жидкости, приведены в [20].
Обзор исследований динамических характеристик и гидроупругой устойчивости гибких трубопроводов с 50-х годов до 1993 года сделан в [51]. Отмечены фундаментальные результаты по оценке изгибных колебаний трансарабского нефтепровода. Установлены условия возникновения статической (выпучивание) и динамической (флаттер) неустойчивости. Приведена система дифференциальных уравнений, описывающих осевые, радиальные и трансверсальные колебания трубопровода в режимах установившегося и неустановившегося течения жидкости.
Возможность возникновения хаотических поперечных колебаний гибкой трубки с потоком жидкости установлена в [54], что подчеркивает опасность изучаемого явления.
Таким образом, распространение гидроупругих колебаний в изогнутом подземном трубопроводе является теоретически и практически важной темой исследования.
В данной диссертации рассмотрена задача о распространении волны давления в потоке жидкости внутри изогнутого упругого трубопровода, погруженного во внешнюю среду.
Эта задача была поставлена академиком В. П. Мясниковым на семинаре в ПАПУ, г. Владивосток. Она связана с проблемой диагностики изменения формы профиля подземного трубопровода под воздействием внутреннего потока жидкости. Если трубопровод зондировать акустическим сигналом, то в каждой его точке функция давления от времени будет зависеть от кривизны осевой линии. Целью данной работы является построение и апробация такой математической модели, которая позволила бы исследовать эту зависимость.
В первой главе сделаны исходные предположения, гораздо менее ограничительные, чем в [13], введена оригинальная система координат, ранее нигде не встречавшаяся. Похожая система была в [50], но там кривизна оси постоянна и фактически использованы тороидальные координаты.
Приведены компоненты метрического тензора и тензора деформаций, выведены уравнения движения моментной оболочки и жидкости в данных координатах. Выделен малый параметр е — Я0/р0 и уравнения расщеплены на цепочку последовательных приближений по степеням этого параметра. В нулевом приближении получились обычные уравнения распространения волн в жидкости и оболочке (см., например, [11], [39], [4] и др.), уравнения же первого приближения ранее не встречались.
Во второй главе найдено точное решение стационарной задачи равновесия оболочки в нулевом приближении по методу, изложенному в [1]. Затем численно найдено решение задачи первого приближения по методу минимальных невязок из [32] и задачи стационарного движения жидкости в первом приближении разложением по малому параметру, а (см., например, [22]).
В третьей главе решались нестационарные задачи движения трубопровода и жидкости.
Давление в потоке жидкости, найденное в нулевом приближении, в основном совпадает с известными результатами [11], [61], [62] и другими. Отличие заключается в том, что здесь рассматривается наложение колебаний на стационарный поток и рассчитано движение стенки с учетом моментов силы упругости.
Далее по известным методам [22], [9], [33] найдена динамика системы в первом приближении по г. Давление и скорость в жидкости представлены в виде рядов по малому параметру су, коэффициентами которых являются известные функции координат, времени и смещения стенки трубопровода. Движение же стенки найдено численно. Результаты проинтерпретированы и показана адекватность модели изучаемому процессу.
Результаты глав 2 и 3, полученные в первом приближении по ранее нигде не встречались.
Перейдем теперь к более подробному описанию результатов, полученных в диссертации.
В главе 1 из общих уравнений движения трехмерного упругого тела и жидкости выводятся упрощенные уравнения с одной пространственной переменной для трубопровода и с двумя — для потока жидкости. Эти уравнения линеаризованы в окрестности стационарного решения.
В пункте 1.1 дана физическая постановка задачи, сделаны исходные предположения и введена система координат. Найдены компоненты метрического тензора (1.1), коэффициенты Ламе (1.2) и символы Кристоффеля (1.4) для данной системы координат.
В пункте 1.2 получены уравнения движения трубопровода с одной пространственной переменной и краевые условия для них.
Из общих инвариантных уравнений для трехмерного упругого тела получены уравнения в произвольной ортогональной системе координат для физических компонент тензора напряжений (1.8), физические компоненты тензора деформаций (1.9), первый инвариант тензора деформаций (1.10) и элементарное вращение (1.11). Вообще говоря, выражения для этих величин в ортогональной системе координат можно найти в книге [1], но здесь применен другой способ вывода.
Найдены компоненты тензора поверхностных напряжений (1.16), действующих на внутренней и внешней поверхностях трубопровода. Найдены также интегральные по толщине стенки трубы усилия и моменты (1.20).
Приведены уравнения движения трубопровода как моментной оболочки (1.22), (1.23), (1.25) и как технической моментной оболочки (1.25), (1.26). Из общих соотношений на поверхности упругого тепа (1.13) выведены краевые условия на торцах трубопровода (1.31). Далее из (1.25), (1.26) путем введения специального представления (1.33) для решения выведены одномерные уравнения движения стенки трубопровода (1.34)—(1.37). После некоторых дополнительных приближений получена упрощенная система (1.38)—(1.41), сохраняющая основные черты предыдущей.
В пункте 1.3 выписаны уравнения гидродинамики в используемой системе координат (1.43). После этого движение разделено на стационарное и нестационарное и получены соответствующие уравнения (1.52) и (1.53). Затем выбран вид функции сопротивления стационарному потоку и наложены краевые условия, из уравнений стационарного движения путем разложения решения в ряд по уагеряИоп получены уравнения (1.59). Решение системы (1.59) найдено, а в первом приближении по е получена краевая задача (1.63).
Далее, из уравнений нестационарного движения также исключена угловая координата в и получены линейные системы уравнений (1.65) — (1−67) с двумя пространственными переменными. В них в качестве коэффициентов входят функции от решений стационарных уравнений (1.62), (1.63).
Для задания начальных условий для уравнений движения трубопровода (1.38)—(1.41) необходимо знать стационарные решения этих уравнений, так как именно в их окрестности ищутся нестационарные решения.
В главе 2 найдено стационарное решение уравнений движения жидкости и трубопровода.
В пункте 2.1 найдено решение уравнений для жидкости (1.63). Это формулы (2.9), (2.11). Решение получено приближенным методом малого параметра с ошибкой (2.12).
В пункте 2.2 найдено решение уравнений равновесия трубопровода, нагруженного стационарным потоком жидкости и давлением внешней среды.
Прежде всего выписаны уравнения равновесия (2.14)—(2.16) и приведены краевые условия для них (2.17). Определены величины давления грунта (2.19) и касательных напряжений трения потока жидкости о стенку (2.13).
Найдено точное решение краевой задачи нулевого приближения (2.14), (2.17), формулы (2.28), (2.29). Компоненты вектора решения протабулированы и представлены в виде графиков на рисунке 2.2.
Краевые задачи (2.15), (2.17) и (2.16), (2.17), описывающие равновесное положение трубопровода в первом приближении по малому параметру е, решены численно. Для этого интегро-интерполяцион-ным методом построены разностные схемы (2.33), (2.34). Полученные в результате системы линейных алгебраических уравнений решены методом минимальных невязок [32]. Создан алгоритм решения и написана реализующая его программа на ЕОКПЪ^Ше. Приведены графики полученных функций на рисунках 2.3−2.6 и механическая интерпретация некоторых из них. Подтвержден известный факт, что давление внутреннего потока жидкости стремится увеличить первоначальную кривизну трубопровода.
В главе 3 сочетанием методов разложения решения в ряд по малому параметру и разностного метода решения начально-краевых задач были проанализированы и приближенно решены начально-краевые задачи для уравнений движения трубопровода (1.38)—(1.41) и жидкости (1.65)—(1.67).
В пункте 3.1 найдены приближенные решения уравнений нулевого порядка по е (1.38), (1.65). Сначала получены уравнения 3.9 для коэффициентов разложения решений уравнений движений жидкости в ряд по малому параметру, а — R0/iy где Iминимальная длина волны сигнала. В этих уравнениях только одна пространственная координата. Найдено выражение (3.8) для поправки второго порядка к давлению.
Построена разностная схема для численного решения задачи нулевого приближения по ?. Сначала с учетом найденных величин выписана начально-краевая задача (3.11), описывающая движение стенки трубы. Затем для этой задачи построена разностная схема (3.14 а, б).
Введение
м инвариантов (3.15) уравнения (3.9) для жидкости упрощены и для них построена разностная схема (3.17). Установлены порядки аппроксимации и сделаны некоторые замечания относительно выбора вида схемы для уравнений (3.9).
Далее приведен алгоритм нахождения численного решения по формулам (3.14), (3.17). Рассмотрена связь наложенных краевых условий со способом возбуждения колебаний в жидкости. Некоторые результаты расчетов представлены в виде графиков на рисунках 3.13.4. Приведено описание результатов и отмечена их связь с классическими исследованиями гидравлического удара.
В пункте 3.2 методом разложения решения в ряд по малому параметру, а изучаются уравнения движения жидкости в первом приближении по? (1.66), (1.67). Сначала получены замкнутые системы уравнений (3.30), (3.31) относительно коэффициентов разложения.
Затем эти уравнения были решены относительно поправок первого порядка по? к давлению, формулы (3.35), (3.36). Таким образом, давление в жидкости выражено через известные функции и смещение стенки трубопровода.
В пункте 3.3 найдено численное решение начально-краевой задачи (1.39)—(1.41), (1.32), описывающей движение стенки трубопровода в первом приближении по е. Некоторые слагаемые из этих уравнений, описывающие моменты инерции стенки, отброшены в связи с их малостью. После учета ранее найденных функций получена краевая задача (3.39), (3.41), (3.42), (1.32), которая дополнена начальными условиями из решения стационарной краевой задачи (2.15), (2.16), (2.17). Для решения этой начально-краевой задачи построена разностная схема (3.43), (3.44), (3.45), (3.46), дополненная выражениями (3.48), (3.49). Отмечено, что эта схема аппроксимирует исходную краевую задачу со вторым порядком точности. Приведены формулы (3.51), (3.52) для вычисления давления на стенку трубы из результатов счета на каждом шаге сетки по времени.
В пункте 3.4 приведен алгоритм и результаты численных расчетов. Приведена физическая интерпретация поправок первого порядка к давлению и смещению стенки. Показана адекватность модели исследуемому процессу.
Результаты диссертации докладывались на конференциях в Новосибирске (1995), Владивостоке (1995), Находке (1994), опубликованы в статьях [24], [28], [29], [35]-[37], [60].
Автор благодарит своих научных руководителей В. А. Рукавишникова и В. П. Мясникова за постоянное внимание к работе и ценные консультации.
Основные результаты, полученные в данной работе:
1. Построена ортогональная криволинейная система координат, учитывающая особенности геометрии изучаемой механической системы.
2. Получены общие трехмерные уравнения движения трубопровода как упругого тепа и потока идеальной сжимаемой жидкости с учетом сипы сопротивления стационарному потоку в данной системе координат. Уравнения движения трубопровода сведены к уравнениям движения технической моментной оболочки.
3. Использованием специального представления для решений из уравнений движения исключена угловая координата в. В результате получена краевая задача для трубопровода (1.38) -(1.41), (1.32) и краевая задача для нестационарного движения жидкости (1.65) — (1.67). Эти системы уравнений являются основными для дальнейшего анализа.
4. Комбинацией аналитических и численных методов найдено положение равновесия трубопровода.
5. Методом разложения в ряд по малому параметру найдено приближенное решение уравнений стационарного движения жидкости. Указана точность этого решения.
6. Методом малого параметра уравнения движения жидкости сведены к одномерному виду. В нулевом приближении по е получена начально-краевая задача (3.9). В первом приближении поправка к давлению выражена через известные функции нулевого приближения и радиальное смещение стенки трубопровода (формулы (3.35), (3.36)).
7. Численными методами найдено решение уравнений модели. Для этого построены соответствующие разностные схемы и написаны программы для компьютера. Показано, что по крайней мере на качественном уровне построенная математическая модель адекватно описывает изучаемую физическую систему и может быть использована при разработке методов диагностики состояния трубопроводов. Результаты, полученные в нулевом приближении, совпадают с классическими результатами теории гидравлического удара в прямой трубе.
Заключение
.
