Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме

ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

При численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических… Читать ещё >

Алгоритмы расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

ГЛАВА 1. Обзорная часть. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия
- 1. 1. Краткий обзор методов решения задач теории упругости
  - 1. 1. 1. Аналитические методы
  - 1. 1. 2. Численные методы
- 1. 2. Теоретические основы метода диагонализации системы уравнений равновесия
  - 1. 2. 1. Уравнения равновесия в напряжениях
  - 1. 2. 2. Уравнения, связывающие деформации с перемещениями
  - 1. 2. 3. Система уравнений граничных условий
  - 1. 2. 4. Граничные условия в перемещениях
  - 1. 2. 5. Матричная форма физических соотношений
  - 1. 2. 6. Постановка задач теории упругости в перемещениях
  - 1. 2. 7. Преобразование системы уравнений равновесия
  - 1. 2. 8. Выражения собственных векторов через перемещения
  - 1. 2. 9. Об эквивалентности диагонализированной системы уравнений равновесия и системы Коши-Римана
ГЛАВА 2. Решение задач аналитическими методами
- 2. 1. Решение задач в декартовых координатах
  - 2. 1. 1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону
  - 2. 1. 2. Простое растяжение полосы
  - 2. 1. 3. Случай, когда к полосе приложены нормальные и сдвиговые напряжения
  - 2. 1. 4. Другой способ задания растягивающих и сдвиговых напряжений
  - 2. 1. 5. Изгиб моментами, приложенными к боковым граням
  - 2. 1. 6. Задача о нагружении пластины сложной нагрузкой
  - 2. 1. 7. Расчет плотины треугольного профиля
  - 2. 1. 8. Задача Файлона
- 2. 2. Решение задач с использованием функции напряжений
  - 2. 2. 1. Расчет функций в, со, к, х по известной функции напряжений (р
  - 2. 2. 2. Изгиб консоли силой, приложенной на конце
  - 2. 2. 3. Изгиб двухопорной балки равномерно распределенной нагрузкой
  - 2. 2. 4. Изгиб консоли равномерно распределенной нагрузкой
- 2. 3. Решение задач с использованием функции напряжений в полярных координатах
  - 2. 3. 1. Преобразование метода для решения задач в полярных координатах
  - 2. 3. 2. Задача Митчела
  - 2. 3. 3. Изгиб кривого бруса
  - 2. 3. 4. Задача Кирша
- 2. 4. Решение задач с использованием граничных условий для 6, к,%
  - 2. 4. 1. Растяжение полосы нагрузкой, распределенной по треугольному закону
  - 2. 4. 2. Расчет пластины, нагруженной нормальными и касательными усилиями
  - 2. 4. 3. Задача Файлона
Выводы по главе
ГЛАВА 3. Решение задач численными методами
- 3. 1. Цели и средства исследования
  - 3. 1. 1. Методика исследования
- 3. 2. Общий вид постановки задачи
- 3. 3. Обобщенный ход решения. Вариант А
- 3. 4. Численная процедура решения
  - 3. 4. 1. Нанесение сетки на пластину
  - 3. 4. 2. Применение численного дифференцирования
  - 3. 4. 3. Решение СЛАУ и обработка результатов
- 3. 5. Тестовая задача
  - 3. 5. 1. Постановка задачи
  - 3. 5. 2. Решение
  - 3. 5. 3. Результаты
- 3. 6. Задача с квадратичной функцией нагрузки
  - 3. 6. 1. Постановка задачи
  - 3. 6. 2. Решение
  - 3. 6. 3. Результаты
- 3. 7. Обобщенный ход решения. Вариант Б
- 3. 8. Задача с тригонометрической функцией нагрузки
  - 3. 8. 1. Постановка задачи
  - 3. 8. 2. Решение
  - 3. 8. 3. Результаты
Выводы по главе

Задачи теории упругости — традиционный раздел механики деформируемого твердого тела, имеющий достаточное количество приложений в научных исследованиях и инженерных расчетах прочности конструкций. Задачи проведения анализа прочности материалов и конструкций в своем подавляющем большинстве опираются на классические математические модели, в основе которых лежат системы дифференциальных уравнений теории упругости, полученные еще в первой половине XIX века. Это системы уравнений упругого равновесия в перемещениях (Лямэ) и в напряжениях (Бельтрами-Мичелла) [83]. Исходная форма записи данных уравнений преобразованиям практически не подвергалась, по крайней мере, преобразованиям, которые не повышали бы порядок дифференциальных уравнений.

В настоящее время в связи с развитием вычислительной техники наблюдается интерес исследователей к развитию и применению численных методов. Проблемы повышения эффективности и быстродействия ЭВМ (как и проблема экономичности расчетов), возникающие при численной реализации решений задач теории упругости, не являются завершенными. В то же время хорошо известно, что развитие теоретических методик благотворно сказывается на модификации концепций и технологий вычислительных подходов.

В данной диссертации рассматривается возможность использования нового метода решения задач по расчету конструкций на прочность. Он основан на преобразовании системы уравнений упругого равновесия к диагональному виду.

Актуальность темы

Решение задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами, сопряжено с проблемой интегрирования системы дифференциальных уравнений в частных производных при заданных условиях на границе [52], [77]. В случае аппроксимации частных производных с помощью конечно-разностного или конечно-элементного методов и перехода к решению системы алгебраических линейных уравнений (СЛАУ) хорошо известны преимущества, которые дают преобразования матрицы СЛАУ, в частности — ее приведение к диагональному виду [97]. Оказывается, что система дифференциальных уравнений равновесия теории упругости допускает приведение к диагональной форме [84], [86] на основе собственных преобразований в дифференциальном виде, минуя процедуру перехода к приближенной СЛАУ. При этом диагонализированная система в новых переменных имеет вид п. независимых друг от друга уравнений Лапласа (или Пуассона при наличии объемных сил), где празмерность решаемой задачи. Сведение к гармонической проблеме облегчает процедуру интегрирования и удовлетворения граничным условиям, поскольку аппарат решения краевых задач для уравнения Лапласа является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике. Здесь следует назвать аналитические методы, включая методы теории функций комплексного переменного [47], [61], численные методы, в том числе методы конечных разностей, конечных элементов, граничных элементов, а также итерационные методы [101].

Использованный в диссертации подход, основанный на методе диагонализации системы уравнений равновесия, является одним из возможных вариантов решения как проблемы повышения эффективности аналитических методов реализации, так и проблемы повышения эффективности и экономичности численных решений на ЭВМ, возникающих при проведении прочностных расчетов в рамках плоской теории упругости [85].

Актуальность исследований состоит в практическом применении метода диагонализации в решениях ряда задач плоской теории упругости.

Преимущества метода диагонализации следующие:

1) Решение системы двух дифференциальных уравнений с частными производными заменяется решением двух независимых друг от друга уравнений Лапласа. Математический аппарат решения уравнений Лапласа как аналитическими, так и численными методами, является одним из наиболее хорошо разработанных в математической физике.

2) При численной реализации (с помощью конечно-разностного или конечно-элементного подходов) дифференциальные уравнения приближенно заменяются алгебраическими соотношениями. Матрица получаемой системы линейных алгебраических уравнений имеет ленточную структуру. В случае, когда система уравнений равновесия приведена к диагональному виду, ширина ленты соответствующей системы линейных алгебраических уравнений уменьшается в несколько раз, что сокращает количество операций по определению численного решения.

Цель диссертационной работы — показать применимость метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методамина основе полученных решений оценить точность метода и его практическую применимость.

Основные задачи работы заключаются в следующем:

1) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах с помощью аналитических методов;

2) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах с помощью аналитических методов;

3) разработка алгоритмов применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости с помощью конечно-разностного подхода.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1) предложены новые алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) метод диагонализации был использован для решения плоских задач в полярных координатах;

3) предложены новые алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

4) экспериментально подтверждена применимость метода диагонализации для численного решения задач.

Достоверность результатов исследования подтверждается: строгой математической постановкой и использованием математического аппарата теории упругости и математической физикипрактически полным совпадением результатов аналитического решения плоских задач с известными в литературе решениямималой погрешностью результатов численного решения задач при сравнении с известными из литературы аналитическими решениями.

Практическая ценность заключается в том, что результаты исследований, изложенные в диссертации, могут быть использованы:

— при решении широкого класса задач плоской теории упругости как аналитическими, так и численными методами;

— в педагогическом процессе — для подготовки курса лекций по теории упругости, основанной на диагональной форме уравнений равновесия, дополненного примерами решения задач;

— в вычислительных технологиях — для проектирования пакетов прикладных программ, использующих модифицированную постановку плоской задачи теории упругости.

Основные положения, выносимые на защиту:

1) алгоритмы и примеры их применения для аналитического расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме;

2) постановка метода диагонализации для решения плоских задач в полярных координатах;

3) алгоритмы численного расчета напряженно-деформированного состояния упругих тел на основе уравнений теории упругости в диагональной форме.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

— на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006 г.;

— на V Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», Томск, 2006 г.;

— на научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Томского политехнического университета, Томск, 2004,2007 г. г.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано пять статей.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений.

Выводы по главе

Программно реализовано решение граничной задачи в напряжениях методом конечных разностей на основе метода диагонализированной системы уравнений равновесия. Получена серия численных решений (прямоугольная полоса с линейной, квадратичной и тригонометрической функциями нагрузки), совпадающих с известными аналитическими решениями. Установлена хорошая сходимость решений при сгущении сетки.

Таким образом, экспериментально подтверждается применимость метода решения задач теории упругости с помощью диагонализированной системы уравнений равновесия к граничной задаче в напряжениях для прямоугольной полосы при линейных и нелинейных функциях нагрузок.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной диссертационной работе была решена научно-техническая проблема, заключающаяся в разработке алгоритмов применения метода диагонализации системы уравнений равновесия для решения задач плоской теории упругости аналитическими и численными методами.

Сформулируем полученные в работе результаты:

1. Разработан ряд алгоритмов применения метода диагонализации для аналитического решения задач плоской теории упругости в декартовых координатах.

2. Получено преобразование метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

3. Разработан алгоритм применения метода для решения плоских задач теории упругости в полярных координатах.

4. Разработаны алгоритмы применения метода диагонализации для численного решения плоских задач теории упругости.

5. С использованием указанных алгоритмов получены: a. аналитические решения плоских задач теории упругости в декартовых координатахb. аналитические решения плоских задач теории упругости в полярных координатахc. численные решения плоских задач теории упругости в декартовых координатах.

6. На основе полученных решений показана применимость метода диагонализации для решения плоских задач теории упругости как аналитическими, так и численными методами.

Показать весь текст

Список литературы

Абовский Н.П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. — 287 с.
Абовский Н.П., Андреев Н. П., Деруга А. П., Савченков В. И. Численные методы в теории упругости и теории оболочек. Учебное пособие. -Красноярск: Изд-во Красноярского ун-та, 1986.-384 с.
Агарев В.А. Метод начальных функций для двумерных краевых задач теории упругости. Киев: Изд-во АН УкрССР, 1963. — 201 с.
Аладьев В.З., Шишаков M.JI. Введение в среду пакета Mathematica 2.2. -М: Филинъ, 1997. 368 с.
Александров А.В., Потапов А. В. Основы теории упругости и пластичности: Учебник для строительных специализированных вузов. -М.: Высшая школа, 1990. 400 с.
Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. /Пер. с англ. М.: Мир, 1969. — 368 с.
Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1987. — 598 с.
Бахвалов Н.С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-640 с.
Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. — 511 с.
Ю.Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. Изд-е 11-е. М.: Физматлит, 2007. — 312 с.
П.Бенержи Б., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. — 494 с.
Бердичевский B.JI. Вариационные принципы механики сплошной среды. -М.: Наука, 1983.-448 с.
Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1987. 524 с.
Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. /Пер. с англ. М.: Мир, 1982. -248 с.
Бугров Я.С., Никольский С. Н. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1984. — 192 с.
Вайнберг Д.В., Синявский А. Л. Методы численного анализа в теории упругости // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической м прикладной механике. 1964, С. 83−94.
Верижский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. Киев: Вища школа, 1978. — 183 с.
Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: Методы, алгоритмы программы. Киев: Наука думка, 1986. — 544 с.
Власов В.В. Метод начальных функций в задачах теории упругости и строительной механики. М.: Стройиздат, 1975. — 223 с.
Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982. — 254 с.
Воробьев Е.М. Введение в систему символьных, графических и численных вычислений «Математика-5». -М.: Диалог-МИФИ, 2005. -368 с.
Воробьев Н.Н. Теория рядов. 5-е изд. — М.: Наука, 1986. — 408 с.
Галлагер Р. МКЭ: Основы. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984. — 215 с.
Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977.-440 с.
Давыдов Е.Г. Введение в интегрированную систему Mathematica 2. Технология работы и практика решения задач. М.: Радио и связь, 1997. -72 с.
Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1979.-432 с.
Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы высоких порядков // Пространственные конструкции в Красноярском крае. Красноярск: КИСИ, 1994.-С. 133−143.
Деруга А.П. Вариационно-разностные схемы на основе сверхсходимости // Проблемы оптимального проектирования сооружений. Доклады IV-ro Всероссийского семинара. Новосибирск: Изд-во НГАСУ, 2002. — С. 118 130.
Дьяконов В.П. Системы .символьной математики Mathematica 2 и Mathematica 3. Справочное издание. М.: СК ПРЕСС, 1998. — 328 с.
Дьяконов В.П. Mathematica 4: учебный курс. СПб: Питер, 2001. — 656 с.
Дьяконов В.П. Mathematica 4 с пакетами расширений. М.: Нолидж, 2000.-608 с.
Жемочкин Б.Н. Теория упругости. М.: Госстройиздат, 1957.-256 с.
Ильин В.П., Кузнецов Ю. И. Алгебраические основы численного анализа. Новосибирск: Наука, 1986. — 182 с.
Капустина Т.В. Компьютерная система Mathematica 3.0 для пользователей. М: СОЛОН, 1999. — 240 с.
Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.
Каплун А.Б., Морозов Е. М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство. Изд. 2-е, нспр. М.: Едиториал УРСС, 2004. -272 с.
Кирпичев B. J1. Беседы о механике. M.-JL: Гостехиздат, 1951. — 360 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1973. 832 с.
Кулиев В.Д. Некоторые математические вопросы плоской теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сборник статей к 75-летию Е. И. Шемякина. М.: Физматлит, 2006.-864 с.
Лаврентьев М.А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. — 688 с.
Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов. Новосибирск: НГУ, 1999. -166 с.
Лейбензон Л.С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.: ОГИЗ ГТТЛ, 1942.-304 с.
Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.-492 с. •
Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. — 940 с.
Ляв А. Математическая теория упругости. М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.-674 с.
Маделунг Э. Математический аппарат физики: Справочное руководство. -М.: Наука, 1968.-620 с.
Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981.-216 с.
Мищенко П.Д., Терновской Б. П. Решение плоской задачи теории упругости методом последовательных приближений. Учебное пособие. -Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 1975. 47 с.
Муравьев В.А., Бурланков Д. Е. Практическое введение в пакет Mathematica. Н. Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. — 124 с.
Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1956. — 708 с.
Мэтыоз Дж., Уокер Р. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1972. — 396 с.
Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. — 872 с.
Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. /Пер. с англ.-М.: Мир, 1981.-304 с. 65.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.
Папкович П.Ф. Теория упругости. М.: Оборонгиз, 1939. — 640 с.
Партон В.З., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упругости. -М.: Наука, 1977.-312 с.
Партон В.З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. -М.: Наука, 1981.-688 с.
Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. Изд-е 2-е. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 366 с.
Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. -М.: Физматлит, 2001. 576 с.
Понтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. М.: ГИТТЛ, 1953. — 420 с.
Поручиков В.Б. Методы динамической теории упругости. М.: Наука, 1986.-328 с.
Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Наука, 1978. -392 с.
Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1966. 228 с.
Рекач В.Г. Руководство к решению задач прикладной теории упругости. -М.: Изд-во Высшая школа, 1973, 384 с.
Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. -М.: Мир, 1972.-418 с.
Розин Л.А. Задачи теории упругости и численные методы их решения. -СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.
Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1987. -459 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. Изд. 2-е, перераб. М: Наука, 1983.-616 с.
Самарский А.А., Гулин А. В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.
Самарский А.А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.
Светашков А.А. Диагональная форма уравнений теории упругости в перемещениях // Международная конференция по матемтике и механике: Избранные доклады. Томск: Изд-во ТГУ, 2003. — С. 188−192.
Светашков А.А. О преобразовании системы уравнений Бельтрами-Мичелла к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика. 2006. — № 6. — С. 124−127.
Светашков А.А. О приведении системы дифференциальных уравнений пространственной теории упругости к диагональному виду // Известия высших учебных заведений. Физика.-2005.-№ 11.-С. 116−120.
Светашков А.А. О решении плоских задач теории упругости с помощью диагонализованной системы уравнений равновесия // Вычислительные технологии.-2007.-Т. 12.-№ 2.-С. 110−114.
Светашков А.А. Собственные преобразования системы уравнений теории упругости // Известия высших учебных заведений. Физика. 2004. — № 10.-С. 98−101.
Светашков А.А., Махов А. В. Формулировка уравнений двумерной теории упругости в виде краевой задачи для системы Коши-Римана // Известия Томского политехнического университета. 2005. — № 6. — С. 136−140.
Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. /Пер. с англ. М.: Мир, 1979.-392 с.
Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. М.: Наука, 1964. — 208 с.
Тимошенко С.П. Курс теории упругости. Киев: Наукова думка, 1972. -870 с.
Тимошенко С.П. Теория упругости. M.-JL: ОНТИ 1934.-451 с.
Турчак Л.И. Основы численных методов. -М.: Наука, 1987. 320 с.
Угодников А.Г., Хуторянский Н. М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанского университета, 1986. — 296 с.
Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. Изд. 2-е, доп. Л.: Наука, 1967. — 402 с.
Уфлянд Я.С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. -Л.: Наука, 1977.-220 с.
Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. /Пер. с англ. -М.: Мир, 1969. 168 с.
Хазанов Х.С., Савельев Л. М. Метод конечных элементов в приложении к задачам строительной механики и теории упругости. Конспект лекций. -Куйбышев: Куйбышевский авиационный институт, 1975. 128 с.
Хемминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. /Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1968. — 400 с.
Чигарев А.В., Кравчук А. С., Смалюк А.Ф. ANSYS для инженеров: Справочное пособие. -М.: Машиностроение-1,2004. 512 с.
Шешенин С.В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых задач механики деформируемого твердого тела // Известия РАН. Механика твердого тела. 1997. — № 2. — С. 21−26.
Benthem J.P. A Laplace transform method for the solution of semi-infinite and finite strip problems in stress analysis // Quart. J. Mech. and Appl. Math., 1963, — № 4. — p. 413−429.

Заполнить форму текущей работой