Методы решения логических задач и способы их составления

МНОГОПРОФИЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА № 27 АКТОБЕ НАУЧНОЕ ОБЩЕСТВО «ЭВРИКА»

МУРАТОВ СУЛТАНБЕК МАРАТОВИЧ, 9 «А»

ТЕМА: «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧ И СПОСОБЫ ИХ СОСТАВЛЕНИЯ»

СЕКЦИЯ: МАТЕМАТИКА РУКОВОДИТЕЛЬ — ЗИНОВЬЕВА Л.И.

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ — БАЛМАГАНБЕТОВ Е. Б.

АКТОБЕ, 2010

Логические или нечисловые задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания.

Актуальность этой темы: Вся наша жизнь — это непрерывное решение больших и маленьких логических проблем. Без умения правильно, логически рассуждать, поступать разумно, жить трудновато.

Цели и задачи данного курса определяются той ролью, которую играет математическая логика в современных математике и информатике. В первую очередь очевидно большое значение, которое имеет математическая логика в основаниях математики. Строгое, математически точное построение логических исчислений, решение проблемы дедукции, аксиоматические системы и доказательство теорем в их рамках прививают учащимся навыки работы с математическими объектами, математическую строгость мышления, совершенно необходимую для исследовательской работы в области математики и других точных наук. В то же время быстрое развитие вычислительной техники способствует расширению как круга задач, решаемых с помощью математической логики, так и методов, применяемых для их решения. Есть люди, для которых решение логической задачи — увлекательная, но несложная задача. Их мозг как луч прожектора сразу освещает все хитроумные построения, и к правильному ответу он приходит необычайно быстро. Хотя многие культуры выработали сложные системы рассуждения, логика как эксплицитный анализ методов рассуждения получила основательное развитие изначально только в трёх традициях: в китайской, индийской и греческой. Хотя точные даты не слишком достоверны (особенно в случае Индии), скорее всего, логика возникла во всех трёх культурах в IV веке до н. э. Современная логика, разработанная формально изощрённо, происходит в конечном счёте из греческой традиции (аристотелевской логики), которая, однако, была воспринята не напрямую, а при посредничестве и комментаторской деятельности арабо-мусульманских философов и средневековых европейских логиков. Можно выделить следующие исторические и региональные формы логики (приведены также их имена, исторически существовавшие и принятые в литературе по истории формальной логики):

· Древнекитайская логика

· Европейская и ближневосточная логика: традиционная логика (в широком смысле)

· Античная и раннесредневековая логика: диалектика

· Средневековая логика

· Арабская и еврейская средневековая логика

· Восточнохристианская (византийская, грузинская, армянская) средневековая логика

· Западноевропейская средневековая логика: схоластическая логика, диалектика

· Логика европейского Возрождения; диалектика

· Логика Нового времени: традиционная логика (в узком смысле), формальная логика

· Современная логика Логика в своём развитии прошла три порога:

· порог формализации рассуждений (во всех трёх традициях)

· введение условных (символических, буквенных и числовых) обозначений (только европейская традиционная логика)

· научная революция, с которой началась современная логика, — математизация (внесение в логику математических методов).

§ 1. Решение логических задач методом графа

В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т. п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т. е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания.

Логика — это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой. Видеть ход доказательства и решения задач позволяет метод граф — схем, который делает доказательство более наглядным и позволяет кратко и точно изложить доказательства теорем и решения задач.

Задача 1. Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?

Решение. Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит. Тогда с учетом задачи имеем G1 (рис. 1).

Рис.1

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в короб может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф G2, дающий решение задачи.

Задача 2. Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас белокурый, другой брюнет, третий рыжий, но ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?

Решение. Построим граф отношения, заданного в условии задачи. Для этого, прежде всего, выделим множество фамилий М и множество цветов волос К, элементы которых будем обозначать точками. Точки множества М назовем буквами Б, Ч, Р (Белокуров, Чернов и Рыжов); точки второго множества — б, бр, р (белокурый, брюнет, рыжий). Если точке из одного множества соответствует точка из другого, мы их соединим сплошной линией, а если не соответствует — штриховой. Условие задачи указывает лишь на несоответствия, поэтому вначале должен возникнуть граф, изображенный на рисунке 2.

Рис.2

Из условия задачи следует, что для каждой точки из множества М существует одна и только одна точка из множеств К, которая соответствует первой и, наоборот, каждой точке из множества К соответствует одна и только одна точка из множества М. Задача сводится к тому, чтобы найти это единственно возможное соответствие между элементами множеств М и К, т. е. к нахождению трех сплошных линий, соединяющих соответствующие точки множеств.

Принцип решения задачи прост. Если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с его третьей точкой ее необходимо соединить сплошной линией. Поэтому граф на рисунке 2 дополняется сплошными линиями, соединяющими точки Б и р, Р и бр (рис. 3).

Рис.3

Далее остается соединить сплошной линией точку Ч и точку б, так как точка Ч соединена с точкой бр штриховой линией, а точка р уже «занята» (рис. 4).

Рис. 4

Таким образом, на графе этого рисунка автоматически прочитываем ответ: Белокуров — рыжий, Чернов — белокурый, Рыжов — брюнет.

В следующей задаче применение графов помогает обнаружить наличие двух решений.

Задача 3. Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Они же владеют разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским), но каждая только одним. Известно, что:

1. девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански;

2. Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

3. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

4. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели;

5. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение. Условию задачи соответствует граф, изображенный на рисунке

Рис. 5

Проведем последовательно следующие сплошные отрезки: КС, ВЖ, ВФ, АК (рис.6).

Рис. 6

Тем самым образуются два «сплошных» треугольника ЖВФ и КСА. Проводим еще сплошной отрезок РН. Теперь убеждаемся, что условия задачи не обеспечивают однозначности выбора третьей точки для каждой из пар РН и ГИ. Возможны следующие варианты «сплошных» треугольников: МГИ и ЛРН или ЛГИ и МРН. Таким образом, задача имеет два решения. (11,с.89)

§2. Решение логических задач методом рассуждений

Идея метода: последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Задача 2. В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: «Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов». Антон сказал: «Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов» .

Какую фамилию носит каждый из друзей?

• Обозначим высказывательную форму «юноша по имени, А носит фамилию Б» как АБ, где буквы, А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

• Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

• ДМ и БХ;

• АМ и ВБ;

• ВТ и БМ;

• ВБ и ГЧ;

• ГЧ и АТ.

• Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.

• Значит остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно БМ ложно ВТ истинно АТ ложно ГЧ истинно ВБ ложно АМ истинно.

• Ответ: Борис — Хохлов, Вадим — Тихонов, Гриша — Чехов, Антон — Мишин, Дима — Белкин.

Задача 3. из поврежденной книги выпала часть сшитых вместе листов.

Номер первой выпавшей страницы — 143.

Номер последней записан теми же цифрами, но в ином порядке.

Сколько страниц выпало из книги ?

Первая трудность — осознать факт единственности ответа, который надо выбрать из целого ряда ответов.

Однако среди наших конкурсантов мало нашлось таких, кого эта трудность остановила. Все возможные варианты ответов большинство ребят добросовестно перечислили.

Это: шестиклассница из Анкары (Турция) Рафатова Севда, восьмиклассница Карпук Настя из Пущино (Московская область), семиклассница Шушпанова Галя из Братска, восьмиклассницы из Зеленогороска (Красноярской области) Сулимова Женя, Белова Ксюша, Донякина Лена, семиклассник Баранов Дмитрий из г. Сланцы (Ленинградской области) и многие другие.

Второй этап — отсеять ненужные варианты.

Страницу с номером, меньшим, чем номер первой выпавшей страницы, дружно отмели почти все конкурсанты.

И очень многие исключили также оба нечетных варианта номера последней выпавшей страницы (так как первая страница выпавшего блока — нечетная, последняя должна быть четной).

Некоторые ребята перешли к этому этапу, практически минуя первый этап: просто глядя на число 143, выбрали число, которое оканчивается на 4 и превышает номер первой выпавшей страницы.

Задача 4. Двое путников одновременно вышли из пункта, А по направлению к пункту В.

Шаг второго был на 20% короче, чем шаг первого,

но зато второй успевал за то же время сделать на 20% шагов больше, чем первый.

Сколько времени потребовалось второму путнику для достижения цели, если первый прибыл в пункт В спустя 5 часов после выхода из пункта, А ?

Оказалась трудным орешком и вокруг нее разгорелась борьба мнений. Она только с виду казалась простой, но выяснилось, что очень легко в ней сделать ошибку. Эта задача разделила наших конкурсантов на два лагеря. Вот таких мнений придерживались эти лагери: оба путника придут одновременно к цели; второй путник немного отстанет от второго.

Выразителем первого мнения явилась шестиклассница Рафатова Севда из Анкары. Севда предложила провести численный эксперимент: пусть первый путник сделает 4 своих длинных шага. Тогда второй путник на этом же расстоянии сделает 5 шагов. (Так как каждый шаг второго путника на 20% короче). Значит, по ее мнению, никто ни от кого не отстанет, оба путника достигнут цели одновременно. Севда права, что длина 4 шагов первого путника равна длине 5 шагов второго. Но время разное. Ведь, если первый путник сделает 4 шага, то второй за это время сделает только 1, 2 * 4 = 4,8 шага, а не 5. Ему надо еще затратить (5 — 4,8): 5 * 100 = 4% времени, чтобы преодолеть это расстояние.

Задача 5. Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

• Введем обозначения для логических высказываний:

• Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

• Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину» не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

• Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание

• Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Задача 6. Некий любитель приключений отправился в кругосветное путешествие на яхте, оснащённой бортовым компьютером. Его предупредили, что чаще всего выходят из строя три узла компьютера — a, b, c, и дали необходимые детали для замены. Выяснить, какой именно узел надо заменить, он может по сигнальным лампочкам на контрольной панели. Лампочек тоже ровно три: x, y и z.

• Инструкция по выявлению неисправных узлов такова:

• если неисправен хотя бы один из узлов компьютера, то горит по крайней мере одна из лампочек x, y, z;

• если неисправен узел a, но исправен узел с, то загорается лампочка y;

• если неисправен узел с, но исправен узел b, загорается лампочка y, но не загорается лампочка x;

• если неисправен узел b, но исправен узел c, то загораются лампочки x и y или не загорается лампочка x;

• если горит лампочка х и при этом либо неисправен узел а, либо все три узла a, b, c исправны, то горит и лампочка y.

• В пути компьютер сломался. На контрольной панели загорелась лампочка x. Тщательно изучив инструкцию, путешественник починил компьютер. Но с этого момента и до конца плавания его не оставляла тревога. Он понял, что инструкция несовершенна, и есть случаи, когда она ему не поможет.

• Какие узлы заменил путешественник? Какие изъяны он обнаружил в инструкции?

Введем обозначения для логических высказываний:

• a — неисправен узел а; x — горит лампочка х;

• b — неисправен узел b; y — горит лампочка y;

• с — неисправен узел с; z — горит лампочка z.

Правила 1−5 выражаются следующими формулами:

следует, что a=0, b=1, c=1.

Задача 7. Приведите рассуждения и представьте ответ на поставленный вопрос:

Узнику предложены на выбор три комнаты, в одной из которых находилась принцесса, а в двух других сидели тигры. На дверях комнат были вывешены таблицы со следующими надписями: I-В этой комнате сидит тигр

II-В этой комнате находится принцесса

III-Тигр сидит в комнате II

Ответ: Тигр сидит во второй комнате

§3. Решение логических задач методом таблиц

При решении любой задачи могут быть выделены следующие этапы:

1. Анализ условия задачи (выделение исходных данных).

2. Поиск метода решения.

3. Символическая запись задачи.

4. Рассуждения и пояснения к решению.

5. Анализ полученных результатов и запись ответа.

При решении задач данного типа я научился представлять исходные данные и рассуждения в виде схем и таблиц, который облегчает процесс решения своей наглядностью.

Существует следующая последовательность решения задач с помощью схем:

1. Кратко записать условие, вопрос задачи. Элементы условия задачи отобразить при помощи символьных переменных.

2. Приступить к её решению.

— Если по условию между двумя элементами есть соответствие, то они соединяются сплошной линией.

— Если же между элементами соответствия нет, то они соединяются пунктирной линией.

Чтобы наглядно было видно, какие элементы рассуждений даны, а какие получены по доказательству, можно применять разные цветовые решения (проводить линии, например, красным (дано) и зелёным (доказательство) карандашами).

А с помощью таблиц решаются задачи с четырьмя, пятью и более парами элементов, когда использование схем неудобно и не наглядно из-за чрезмерной громоздкости.

Задача № 1. Подруги

Света и Наташа имеют фамилии Иванова и Петрова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Света и Иванова живут в соседних домах?

1. Так как Света не Иванова (по условию), значит,

Надо: Света — Петрова.

Кто какую фамилию имеет?

2. Так как Света — Петрова (по доказательству), значит, Наташа не Петрова.

3. Так как Наташа не Петрова (по доказательству), значит Наташа Иванова.

Ответ: Света имеет фамилию Петрова, а Наташа — Иванова.

Задача № 2. Друзья.

Серёжа и Костя имеют фамилии Белов и Чернов. Какую фамилию имеет каждый из ребят, если Серёжа на два года старше Белова ?

Ответ: Серёжа имеет фамилию Чернов, а Костя Белов.

Задача № 3. В каких квартирах живут котята?

В квартирах №№ 1, 2, 3 живут три котёнка — белый, чёрный, рыжий. В квартирах №№ 1 и 2 живут не чёрные котята. Белый котёнок живёт не в квартире № 1. В какой квартире какой котёнок живёт?

Надо:

Кто где живёт? 1. Так как чёрный котёнок не живёт в квартирах №№ 1 и 2 (по условию), значит, чёрный живёт в квартире № 3.

2. Так как чёрный живёт в квартире № 3 (по доказательству), значит белый и рыжий не живут в квартире № 3.

3. Так как белый котёнок не живёт в квартире № 1 (по условию) и не в квартире № 3 (по доказательству), значит, белый живёт — в № 2.

4. Так как белый живёт — в № 2 (по доказательству), значит, рыжий не живёт — в № 2.

5. Так как рыжий не живёт — в №№ 2 и 3 (по доказательству), значит, рыжий живёт — в № 1.

Ответ: белый живёт в квартире № 2, чёрный — в № 3, рыжий — в № 1 .

Задача № 4. Три поросёнка.

Жили-были три поросёнка — Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Решили они построить на зиму домики: один — из соломы, другой — из веток, третий — из камня. Кто какой домик построил, если известно, что Ниф-Ниф построил домик не из веток и не из камня, Наф-Наф построил домик не из веток?

Дано:

1. Так как Ниф-Ниф построил не из веток и не из камня (по условию), значит, Ниф-Ниф построил из

Надо: соломы.

Кто какой домик 2. Так как Ниф-Ниф построил из соломы построил?

(по доказательству), значит Наф-Наф и НуфНуф построил не из соломы.

3. Так как Наф-Наф построил не из веток (по условию) и не из соломы (по доказательству), значит, Наф-Наф построил из камня.

4. Так как Наф-Наф построил из камня (по доказательству), значит, Нуф-Нуф построил не из камня

5. Так как Нуф-Нуф построил не из камня (по доказательству), значит, Нуф-Нуф построил из веток.

Ответ: Ниф-Ниф построил из соломы, Наф-Наф — из камня, Нуф-Нуф — из веток.

Задача 5. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

• 1) Сергей — первый, Роман — второй;

• 2) Сергей — второй, Виктор — третий;

• 3) Юрий — второй, Виктор — четвертый.

Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

Задача 6. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя — профессия — увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Буква «а», присутствующая в слове «врач», указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно врач — Тимур. В его имени есть буквы «т» и «р», встречающиеся в слове «туризм», следовательно второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени — Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы «ю» и «р». Следовательно, окончательно имеем:

Ответ. Влад — юрист и регбист, Тимур — врач и турист, Юра — физик и бегун.

§4. Решение логических задач методом блок-схем

Как без математических наук проводит свои линии паук.

А. Поуп

В этом разделе рассматривается еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач «на переливание» заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

В зависимости от результатов этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному из двух ключей — «да» или «нет». Такие команды в программировании принято называть командами «условного перехода» и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.

Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После Б—>М будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы. Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы.

Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т. д. Таким образом, действуя по — приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.

Идея метода: описать последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния.

§ 5. Решение логических задач методом математического бильярда

Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением!

Д. Попа

Надеемся, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны — упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни «исчисление» вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Рассмотрим туже задачу, что и в предыдущем разделе (Метод блок-схем).

Задача 1. Имеются два сосуда — трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4,5,6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение: В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали — в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников (см. рис.1).

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т. д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким.

Идея метода: нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксирование состояний в отдельной таблице.

Преимущества метода:

• Наглядность

• Привлекательность идеи бильярда

• Возможность обобщить метод на широкий класс задач.

Заключение

Решение логических задач можно сравнить с решением научной проблемы. Вначале исследователь располагает многими данными, на первый взгляд никак не связанными между собою. В ходе анализа этих данных выдвигаются и сопоставляются с фактами новые и новые гипотезы. И вот, наконец, одна из гипотез совпадает с результатами экспериментов и наблюдений. Разрозненные данные сливаются в целостную картину. Становится ясно, что найденное объяснение фактов является единственно возможным. Задача решена. Похожим методом ищут ответы на логические задачи. Единого правила их решения нет.

1. «Старинные занимательные задачи» С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов, 1988, 153 стр.

2. «В царстве смекалки» Е. И. Игнатьев, 1978, 195 стр.

3. «Занимательная АЛГЕБРА» Я. И. Перельман, 1975, 200 стр.