Некоторые интегральные характеристики уровней гладких отображений

Индикатрисой Банаха числовой функции f называется функция, значение которой в точке J равняется числу корней уравнения. Известная теорема Банаха об индикатрисе утверждает, что если? — непрерывная функция, то.

VCiHjvU^ ще V (^) — вариация функции f. В частности, если f — непрерывно дифференцируема на R. и имеет компактный носитель, то.

I).

Легко доказать, что для любого р>Д и для любой функции класса С/ с компактным носителем справедливо неравенство:

Понятие индикатрисы можно обобщить. Именно, если отображение? действует из Я в R., то через обозначим число компонент связности уровня E (-fiJj)r f&o-jjj • Заметим, что при rt= ft, и регулярном значении tj, число компонент связности уровня Ну,^) совпадает с числом решений уравнения -[(х)^. Возникает вопрос о том, можно ли обеспечить выполнение неравенств (I) и (2) требованием? ? С на отображение? с компактным носителем. Введём в связи с этим следующее обозначение. Пусть <| -натуральное число, «М и fположительные числа. Дудем говорить, что отображениеf принадлежит классу if) Л.

C0 (л, M, f), С;

ЯК, имеет частные производные порядка.

Интерес к вопросу о сходимости интеграла (2) возник в 50х годах в связи с введением А. С. Кронродом и А. Г. Витушкиным понятия вариаций функции нескольких переменных. Так, Витушкин доказал, что при К = 1 и 1ъп интеграл (I) сходится (qhl.CZ]). Л. Д. Ивановым было доказано, что при К — 1 и произвольном ръ 1 требование /у> является достаточным для сходимости интеграла (2) (см. [5]).

В работе [8] А. Б. Мерковым было доказано, что интеграл (2) сходится при К = п, ръ 4 и t>Zn (p-i). В работе [3] был получен более точный результат, обеспечивающий сходимость интеграrn. p-n+4)f>>i ла (2) при (С=п. и С ' 1. Там же была доказана.

L л сходимость интеграла (I) при произвольном ti ± и.

В работе [15] И. Иовдину удалось доказать сходимость интеграла (2) при произвольных п, п. и ръ 1 при условии I > (f>+4.)n — ьс + i. Он вывел этот результат из оценки ?-энтро-пии множества критических значений отображения / (см. С14]). Тот факт, что требование на гладкость у Иовдина не является оптимальным, в то время как оценка энтропии у него наилучшая, показывает, что связь между энтропией множества критических значений отображения / и сходимостью интеграла (2) носит довольно сложный характер.

Интересным является вопрос о минимальном требовании на гладкость, обеспечивающем сходимость интеграла (2). Определим lO^t^iP) как точную нижнюю грань множества тех чисел I, для которых условие? ? С0 является достаточным для сходимости интеграла (2). Простой пример (см. § 4 гл. 5) позволяет оценить величину снизу (р>, I): р) (п-К+l)р (3).

Перечисленные выше результаты позволяют оценить константу l (ri'f6>p) сверху, что в сочетании с неравенством (3) даёт: U^^'P) ~ (Витушкин, Иванов). р < 1(*>, плр) < Zn (p-i) (Мерков). njр)=р при и р* 4 при 1Улевич). С (ъ? (Иовдин).

Основным результатом настоящей диссертации является доказательство следующей теоремы. р

Теорема! Пусть /б Ц. t>р * .

Тогда.

Доказательство этой теоремы опубликовано в работе [Q. Теорема I позволяет установить точное значение константы в случае п — к. : — f3. Таким образом, для этого случая остаётся пока открытым вопрос о достаточности условия t~для сходимости интеграла (2). Однако, если р? Z, то положительный ответ на этот вопрос даёт уже упоминавшийся результат из работы [3J:

Теорема 2. Пусть fC С f t j4 2, .

Тогда [l^ih^Y1^.

Приведём некоторые соображения, поясняющие интерес к исследуемому вопросу. Так как величина может стремиться к бесконечности лишь при приближении tj ко множеству критических значений отображенияf, то можно трактовать как некоторую характеристику регулярности уровня В• Определим некоторые другие величины, которые такяе характеризуют регулярность уровня Е •.

1) d (f, tj) = jzfy, Qf) — расстояние от точки? до множества критических значений отображенияf.

2) mQ,^) — минимальное значение Якобиана отображения f в точках уровня ?(-ft.

3) Щ) = Нлк (E (-fjjJ) — (п-/г) -мерная мера Хаусдор-фа уровня ?(-fjj) .

Какова связь между этими величинами?

— /i.

В работе ?157 доказывается оценка ft].

Если П = hС и g — ре1улярное значение отображения f, то.

Следующая теорема устанавливает связь между и М (fg) при /гК .

Теорема 3. Пусть — произвольное число, t> р, f € Cffort-) • Пусть ос±-). — произвольный набор решений уравнения. Товда среди точек х*/ найдётся точка х такая что JltS-fC*) 6 J/F1 .

Следствие.

Теорема 3 допускает следующую интерпретацию.

Теорема 3*. В условиях теоремы 3 справедлива оценка:

При рассмотрении величины встаёт вопрос о том, какое требование на гладкость отображенияf обеспечивает выполнение неравенства: < ^ (4).

К этому вопросу впервые обратились А. С. Кронрод и Е. М. Ландис. Кронрод дал его решение при ri~ I, к,= р = 1 (см. Ландис — при yi~ Z, 1, 1 — произвольном (см. [7]).

Впоследстви выяснилось, что используя понятие вариаций (а именно то обстоятельство, что т.-мерный объём^{чяерной} поверхности совпадает с её wi-й вариацией), задачу о сходимости интеграла (4) легко свести к частному случаю отображения, действующего из 11 в И. Впервые такого рода доказательство дал Витушкин в работе {.2]. Но так как в случае п= функция совпадает с функцией то простым следствием теоремы I является следующий результат: с.

Теорема 4. Пусть ^? С0 (и 1 $ р <: Ь.

Тоща J ^ оо .

Простые примеры показывают, что при > t эта теорема неверна.

Ещё одно соображение, быть может самое главное, которое стимулирует интерес к случаю чьК, .А именно, хорошо известна формула J МШ 9 (/(*)) d* = f ЯЫ.

UL Q ° являющаяся обобщением формулы замены переменных для случая невзаимнооднозначного отображения? (см. [13], теорема 3.2.5). В связи с использованием этой формулы иногда возникает вопрос об интегрируемости функции со степенью р. Следствия, приведённые в главе 5 настоящей работы, могут дать некоторое представление о возможных применениях основного результата. Перечислим эти следствия.

Теорема 5. Пусть $ Q. С0(^> 1), и.

Определшл ^СЦ) как площадь сферического отображения поверхности (^ - регулярное значение).

Тогда J6^) ^ ^ 00.

Теорема 6. Пусть? € С^Чи-, 1), l> ^.

Тогда <

Заметим, что теорема 6 — это несколько ослабленный результат Витушкина, упоминавшийся выше.

Теорему 5 удаётся обобщить на случай отображения? , действующего из ЙЛ в (см. теорему 5.3). Следствием этой теоремы является следующий результат.

Теорема 7. Пусть |? Cj, t> ^i.

Тогда схз.

Завершая разговор о применении понятия индикатрисы Банаха, укажем на работу [9], в которой изучается классический случай функции одного переменного. Там же можно обнаружить ссылки и на другие работы, касающиеся этого случая.

Основным техническим средством, используемым для доказательства теоремы I, являются следующие две теоремы, которые, на наш взгляд, интересны и сами по себе.

Теорема 8. Пусть — многочлен от ипеременных с действительными коэффициентами, d — положительное число,?" -{*:С? Тогда найдётся многочлен, удовлетворяющий условиям:

1. Степень GL зависит только от п~, ? и степени многочлена Q,.

2. .

3. Для каждой ограниченной компоненты множества N Е" каждая из компонент множества Я^л '• 0.6с) = оказываетсявыпуклой вСЗ, т. е. любые две её точки можно соединитьпутём, лежащим в и обладающим тем свойством, что множество касательных направлений к этому пути образует в единичной сфере множество диаметром не больше %t .

Теорема 9. Пусть GL — многочлен от rt переменных с действительными коэффициентами, й — ограниченная компонента множества: , А —. х^} с ^.

Тогда для почти всех полиномиальных отображений Ч'-С'Т .Тп), не имеющих на Q критических точек, найдётся многочлен Q., степень которого зависит лишь от кг и степеней многочленов Ф, Т1!. ТЛ и для которого выполнены следующие условия: а. | •.

1. ДО (х: §(х.)-о) = 0 .

2. I4m[||x: х j] для всех j = d,. а/.

3. Отображение Т однолистно на каждой компоненте множества.

• О, (х) ^ 0^г, содержащейся в.

В настоящее время за рубежом появилось довольно много работ, посвящённых изучению свойств полуалгебраических множеств (см.

12]). Интересно взглянуть на теоремы 8 и 9 в свете этих работ.

Приведём теперь расположение материала по главам. В главе I доказывается теорема 8. В главе 2 доказывается теорема 9.

В главе 3 строится некоторая техническая конструкция, используемая при доказательстве основной теоремы. В главе 4 доказываются теоремы I, 3, З1. В главе 5 доказываются теоремы 2, 4 — 7 и строится пример.

Подводя итог вышесказанному, хочется отметить, что результаты диссертации могут быть использованы в различных областях теории функций нескольких действительных переменных, а также при изучении полу алгебраических множеств и полиномиальных отображений.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научных семинарах в Калининском, Московском и Ленинградском Университетах, а также на конференциях в Калининском государственном университете.

В заключение автор хочет выразить благодарность своему научному руководителю Л. Д. Иванову и всем, кто принимал участие в обсуждении результатов диссертации.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОБЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ.

В диссертации без дальнейших ссылок используются следующие факты.

1. Теорема Сарда, утверждающая, что множество критических значений отображения ft С, t>r*w".(il"t-x.+i), имеет меру нуль (см. [10]).

2. Следствие из теоремы Петровского — Олейник, утверждающее что разность двух алгебраических множеств в R.*1 не может иметь число компонент связности, превосходящее некоторую константу, зависящую лишь от к, и степеней многочленов, задающих это множество.(см. [12]).

3. Некоторые сведения из алгебраической геометрии (см. [I], [II]) и полилинейной алгебры (см. [13]) в минимальном объёме.

Перечислим обозначения, используемые наиболее часто. означает модуль определителя матрицы Якоби отображения.

Lj^.-.e^ -подпространство, натянутое на векторы.. — vyvмерная мера Хаусдорфа. {-сужение отображения? на множество, А Р^ - ортогональная проекция на подпространство U .

— компонента связности множества, А, содержащая связное множество Ь .

L1 — ортогональное дополнение к множеству L, при этом вместо ly¹ будем писать u ^ .

— единичная сфера в Я^ с центром в начале координат.

1. Брёкер Т. Ландер Л. Дифференцируемые ростки и катастрофы. М.: Мир, 1977.

2. Витушкин А. Г. О многомерных вариациях. М.: ГТТИ, 1955.3. 1улевич С. А. О достаточном условии интегрируемости индикатрисы Банаха гладкого отображения.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1983, т. 47, й 5, с. III4-II34.

3. Гулевич С. А. Об интегрируемости индикатрисы Банаха гладкого отображения.- Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т. 48, № 4, с. 676−704.

4. Иванов Л. Д. Вариации множеств и функций, М.: Наука, 1975.

5. Кронрод А. С. О функциях двух переменных. УМН, 1950, 5, J6 I, с. 24−134.

6. Ланд и с Е. М. О длине линий уровня функций двух переменных.-ДАН СССР, 1951, 79, В 3, с. 393−396.

7. Мерков А. Б. О некоторых свойствах гладких отображений.-Вестник МГУ. Сер. матем., 1979, $ 2, с. 63−69.

8. Севастьянов Е. А. Наилучшая кусочно-монотонная аппроксимация и индикатриса Банаха. Мат. заметки, 1979, 26, М, с. 77−87.

9. Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.

10. Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии, т. I -3. М.: ИЛ, 1954, 1955.

11. Cos-te, М, ЕV4. Sе"" iUs Semi. яХ^еъ rlc^weS. -Ucl. Volt’s Maik.- ig#Z9 3f9j i03.

12. F^cLer-er* \. Greome-irix ifvceo-sure, -LKeor'j. fteftin.:SprW^r, И 69.

13. Yo*ioLvu V. TWe (jeowie-trij crCtlca^ an.

14. Vo*vcU/i Y. Grto feat louvicLSforbke веШ /ил^гь MaxPtay^X— Us-tctu-t Jjar Ma-fcViema-U*, 13*3, preprintМРТ/ьрь яь-зъ.