О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью

Уравнение у" ± хауп = 0 хорошо известно в математике, астрофизике и в атомной физике. Впервые оно возникло в астрофизических исследованиях Эмдена [18]. В настоящее время это уравнение обычно называют уравнением Эмдена-Фаулера. Многомерный аналог этого уравнения Аи ± хаип = 0, где, А — оператор Лапласа в N — мерном пространстве, так же принято называть уравнением Эмдена-Фаулера.

Такому уравнению посвящено большое число работ и монографий. Это внешне простое, но нетривиальное нелинейное уравнение. Хотя порядок его можно понизить, оно не решается в явном виде, однако поведение его решений можно весьма подробно описать.

Основные вопросы, которые изучались для уравнения Эмдена-Фаулера, — асимптотическое поведение решений при х —У +оо, колеблемость решений, продолжаемость решений на бесконечный промежуток, разрешимость краевых задач. Обзор реультатов по этим вопросам имеется в монографии Дж. Сансоне [13].

Большое влияние в теории уравнения Эмдена-Фаулера имела классическая монография Р. Беллмана [4], в которой уравнению Эмдена-Фаулера посвящена глава, содержащая историю вопроса и исследование асимптотического поведения его решений при х —> +оо.

Существенный вклад в теорию уравнения Эмдена-Фаулера внес F.V. Atkinson [16]. В монографии И. Т. Кигурадзе, Т. А. Чантурия [10] исследуется уравнение Эмдена-Фаулера и его аналог — уравнение высокого (больше второго) порядка у (т) ± хауп = 0. Список работ, посвященных уравнению типа Эмдена-Фаулера, очень широк. Упомянем работы И. В. Асташовой [1], В. А. Козлова [20], В. М. Евтухова [7], JI.A. Беклемишевой [3], Н. А. Изобова [8], Д. В. Изюмовой [9], Z. Nehari [21], J.S. Wong [23]. Во всех этих работах предполагалось п > 0.

Особо отметим работы А. Д. Брюно, изложенные в его монографии б]. А. Д. Брюно применяет новые методы, названные им «степенная геометрия», для исследования различных нелинейных задач, в том числе и для уравнения Эмдена-Фаулера. Его алгоритм позволяет найти возможные степенные асимптотики для решений уравнения Эмдена-Фаулера.

Основная цель настоящей работы — исследование уравнений Эмдена-Фаулера при п < 0. Такие уравнения встречаются в прикладных вопросах, например, R. Aris [15].

Изучаемые в представленной работе уравнения имеют вид с различными ограничениями на функцию Р (х). В качестве решения по определению считается положительная функция. Естественно при, а < 0 возникает вопрос о существовании и единственности решений на (а, 6], удовлетворяющих данным Коши при х —Ь +а.

В § 1.2 исследуется вопрос о существовании и единственности решений уравнений.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1.5. Пусть, а > —2, а < 0, xi > 0. Существует бесконечно много решений уравнения (0.2) на (0,a-i], удовлетворяющих условию у" + Р{х)уа =0, а = const < 0.

0.1) у" + хауа = 0, у" - хауа = 0,.

0.2) (0.3) удовлетворяющих условиям.

2/(0) = Л > 0.

Более того, если, а + а + 1 < 0, то у (х) = С (а,<�т)жЛ (1 + о (1)), х +0,.

С (а,<�т) = а + 2)(а + 1 + сг).

1 а + 2 ' Л 1-сг.

В случае, а < —2 не существует решений уравнений (0.2), (0.3), таких, что lim у (х) = А. 0 < А < сю. ж-Ч-о ~~.

Если, а 4- а 4- 1 < 0, то уравнения (0.2), (0.3) не имеют решений, удовлетворяющих условиям lim у (х) = 0, у'{0) = Л > 0. В случае, а + а + 1 > 0 существует решение уравнения (0.3) у = С (а, а) хх, где.

Л = о+2 > Q 1 — а, а + <т + 1)(а + 2).

I-*)2.

Т^Ъ7.

Показывается, что это единственное решение, такое, что lim ?/(*) = 0, у) = 0. х—>+и.

Сформулируем еще несколько теорем о свойствах решений задачи Коши.

Теорема 1.6. Если у (х) — решение уравнения (0.3) при х > 0 и, а + сг + 1 < 0, а + 2 > 0, то lim у (х) = А > 0.

Теорема 1.7. Если, а + 1 < 0, то уравнение (0.3) не имеет положительных решений на (0,1], удовлетворяющих условиям lim у (а?) =0, у'(0) = 0. 5.

Приведем ряд теорем о свойствах решений задачи Коши для уравнения (0.1).

Теорема 1.2. Если — 1 < а < 0, Р (х) < 0 — непрерывная при 0 < х < 1 функция, то существует единственное решение уравнения (0.1) на (0,1], такое, что limy (®)=0, у 0) = 0. х—.

Ф Единственность доказывается с использованием асимптотической формулы решения при х —> +0, которая так же устанавливается.

В случае, а < — 1 теорема 1.2 неверна. Теорема 1.4. Пусть Р{х) > 0 — непрерывна на 0 < х < 1. Если cr < —1, то существуют решения уравнения (0.1) на (0,1], такие, что lim у (х) = 0, lim y’ix) = +оо.

Х-++0 ' Ж-++0.

В § 1.3 рассматривается вопрос о существовании вертикальных асимптот у решений уравнений (0.2), (0.3).

Теорема 1.9. Если, а + 2 < 0, то всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], имеет вид.

У = а + 2)(1 + а + <т).

I-*)2 1.

7 — 1 2+о.

1 + о (1))ж1—, Ж-Я-О.

Отметим, что решений, определенных на (0, h], бесконечно много.

Теорема 1.10. Всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], при, а + 2 = 0 имеет вид у~ (l-a)1^(-Inx)^(1 + о (1)), х -> +0.

Если, а + 2 > 0, то х = 0 не может быть вертикальной асимптотой у решений уравнения (0.3).

Не существует вертикальных асимптот х — Ь = const > 0 у решений уравнений (0.2), (0.3).

В § 1.4 изучаются решения уравнений вида у (п)(х) = Р (х)хауа (х), а< 0, п> 2, а = const (0.4).

Рассматривается задача limy (s) = 0, у'(0) =. = г/^(0) = 0,.

X—>+и у<*+1>(0) = АЬ 2/(fe+2)(0) = A2,.2/(n-1)(0) = Anfc1, к> 0 (0.5).

Ai > 0, Аг,., Anfe-i — любые постоянные. 1.

Теорема 1.11. Пусть f P (x)xa+a (k+1Ux < оо. Тогда решение задачи о.

0.4) — (0.5) существует и единственно на (0, h], где h — достаточно малая постоянная, зависящая от.

Ai, А2,., Anfci, а, к, п, Р (х).

Теорема 1.12. Если Р (х) — непрерывная положительная функция на [0, /i], а + сг (п — 1) + 1 > 0, то существует решение уравнения (0.4), такое, что lim у (х) = 0, 2/'(0) =. = 2/(п-1)(0) = 0. яг—f+O.

В этой теореме существенное значение имеет знак Р (х). Если Р (х) <0, то не существует решения с условиями.

Km V (*) = 0, У'(0) = ••. = у^Н0) = 0. х—"-+о.

Вторая глава посвящается изучению поведения решений уравнений (0.1)-(0.3) при х -> +оо. Рассмотрено уравнение Эмдена-Фаулера, возмущенное членом с производной первого порядка у" + к (х)у' + Р{х)у<�т = О при х > xq >0. Найдены асимптотические формулы решений. Теорема 2.1. Если, а + а + 1 > 0, то уравнение (0.2) не имеет положительных решений на [жо,+оо) ни при каких хо > 0. Теорема 2.2. При, а + 2 > 0, а + 1 + сг < 0 всякое положительное решение уравнения (0.2) на [1,+оо) имеет один из асимптотических видов: у = С (а, сг)(1 + о (1))жЛ, у = Ах (1 + о (1)), где.

С (а, а) = а + 2) (а + 1 + сг).

1 — *у 1.

СТ-Г.

Теорема 2.4. Если, а + 2 < 0, то всякое положительное решение уравнения (0.2) удовлетворяет условиям lim у (х) = А > 0, lim у'(х) = О,.

-«+оо ж—>-+оо либо lim у'(х) = В > 0.

Ж-++00.

Рассмотрим случай, а + 2 = 0. Теорема 2.10. Всякое решение уравнения у" + аГ V = О при х -> +оо имеет вид у (х) = Ах (1 + о (1)) или у (х) = С (1 + о (1)){пх)^.

Теорема 2.13. Если 1 + а + а > 0, то всякое решение уравнения (0.3), определенное при x>xq — const > 0, имеет вид о + 2)(1 + а + аУ у (х) =.

1 -*у 1 а~г 2+а.

1 -f o (l))a-, ж +оо.

Теорема 2.14. Если, а + <г + 1 < 0, а + 2 > 0, ст < 0, то всякое решение уравнения (0.3), продолжаемое на [1,оо) — имеет вид у (х) = Ах (1 + о (1)), А > 0, х~¥- +оо.

Теорема 2.15. Всякое решение уравнения (0.3) при а4−0″ + 1 = О, о < О, продолжаемое на [1, оо) — имеет вид у (х) = (1 — <г)^х (1пх) ^(1 + о (1)), ж +оо.

В § 2.4 наши исследования применены к изучению решений уравнения третьего порядка у'" + ук = 0, к > 1. Оно имеет решение, такое, что у (х) > 0, lim у (х) = 0, у' (ж) < 0, lim у'(х) = 0, у" (х) > О х—*+оо ж—*-{-оо lim у" (х) = 0. х->+оо.

Доказано, что все такие решения описываются формулой у (х) = Ск (х + Т) где Л = = —Л (Л — 1)(Л — 2), Т — постоянная, зависящая от.

1. Асташова И. В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И. Н. Векуа. — Тбилиси.- 1985. — Т.1, N3. — С. 9−11.

2. Асташова И. В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // УМН. 1985 — Т.40, вып.5(245). — С. 197.

3. Беклемишева JI.A. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Мат. сб. 1962. — Т. 56, N2. — С. 207−236.

4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. Москва: Издательство иностранной литературы, 1954.

5. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1979. — 252 с.

6. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. Москва: Наука, 1998. — 288 с.

7. Евтухов В. М. Об условиях неколеблемости одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Математические заметки. 2000 — Т. 64, N2. — С. 201−210.

8. Изобов Н. А. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Математические заметки. -1984. Т. 35, N2. — С. 189−198.

9. Изюмова Д. В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1966. — Т. 11, N12. — С. 572−586.

10. Кондратьев В. А., Самовол B.C. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения. 1981. — Т. 17, N4. — С. 749−750.

11. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Москва: ИЛ, 1954.

12. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Москва: Мир, 1970.

13. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts. Oxford: Claredon press, 1975. — 444 p.

14. Atkinson F.V. On second-order non-linear oscillations // Pacif.J. Math. 1955. — V. 5, N1. — P. 643−647.

15. Caratheodory C. Vorlesungen uber Funktionen. Leipzig-Berlin: Teubner, 1918.

16. Emden R. Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmtheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. Leipzig-Berlin: Teubner, 1907. — 497 p.

17. Fowler R.H. Further studies of Emden’s and similar differential equations // Quart. Journ. Math. 1931. — V. 2, N2. — P. 259−288.

18. Kozlov V.A. On Kneser solutions of higher order ordinary differential equations. // Department of Mathematiics, University of Linkoping, s-581 83 Linkoping, Sweden, 1997.

19. Nehari Z. On a class of nonlinear second-order differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. — V. 95, N1. — P. 101−123.

20. Sansone G. Sulle soluzioni di Emden della equazione di Fowler, Rend. Sem. Mat. di Roma. 1940. — ser.5 — 163−176.

21. Wong J.S.W. Some stability conditions for x" + a (t)f (x) = 0 // SIAM J. Appl. Math. 1967. — V. 15, N4. — P. 889−892.

22. Wong J.S.W. On the generalized Emden-Fowler equation // SIAM Rev. 1975. — V. 17, N2. — P. 339−360.Публикации автора по теме диссертации.

23. Лысова Т. В. О решениях сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера // Международная молодежная конференция «XXVII Гагаринские чтения». Тез. докл. Москва: РГТУ. — 2001. — Т.2.С. 39.

24. Лысова Т. В. О решениях нелинейного дифференциального уравнения второго порядка типа Эмдена-Фаулера // Научно-практическая конференция «Прикладные математические задачи в машиностроении и экономике». Тез. докл. Самара: СамГУ. — 2001.С. 38−39.

25. Лысова Т. В. Оценка решения сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера на полуоси // «Понтрягинские чтения XIII». Тез. докл. школы. — Воронеж: ВГУ. — 2002. — С. 96.

26. Лысова Т. В. Оценка решения сингулярного уравнения типа Эмдена-Фаулера на полуоси // Международная молодежная конференция «XXVIII Гагаринские чтения». Тез. докл. Москва: РГТУ. — 2002. — Т.2. — С. 78.

27. Лысова Т. В. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // «МАТИ» РГТУ им. К. Э. Циолковского. — Москва, 2002. — 35 с. — Деп. в ВИНИТИ РАН 30.10.02, N1866-B2002.

28. Лысова Т. В. О поведении на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // Международная молодежная конференция «XXIX Гагаринские чтения». Тез. докл. -Москва: РГТУ, 2003. Т.2. — С. 70 •.

29. Лысова Т. В. Асимптотическое поведение на бесконечности решений уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью. //" Понтрягинские чтения XIV". Тез. докл. школы. — Воронеж: ВГУ, 2003. — С. 82−83.

30. Лысова Т. В. О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью // Дифференциальные уравнения. 2003. — Т. 39, N6. С. 857.