Некоторые математические проблемы теории упругих и вязкоупругих конструкций

Актуальность исследований. Математическое исследование задач теории упругости и вообще механики сплошной среды имеет столь продолжительную и насыщенную событиями историю, что для ее написания потребовалось бы много томов. Дополнительная проблема здесь заключается в том, что зачастую решение частной задачи механики сплошной среды является прорывом в области качественного математического исследования общих задач. Достаточно вспомнить классические исследования устойчивости стержня Эйлером или исследования Сен-Венана. Поэтому в данной работе, в качестве исторической справки, уместно упомянуть лишь одну ветвь математических исследований задач механики сплошной среды, основанную на общей современной теории уравнений в частных производных и методах функционального анализа и объединенную, в основном, методами и аппаратом исследования. Общепризнанным родоначальником этого направления является выдающийся отечественный математик С. Л. Соболев, с классических работ которого в обиходе исследователей появились понятия обобщенных производных, соболевских пространств и теорем вложения. Упомянем здесь его классическую книгу «Приложения функционального анализа в математической физике» (1951) и его раннюю работу по механике 1939 г. Впрочем, корни этого аппарата прослеживаются в работах выдающихся математиков прошлого века. Ограничимся этой более частной областью методов исследований механики.

В дальнейшем исследовании математических проблем механики сплошной среды приняли участие как отечественные, так и зарубежные специалисты. Под термином «математические проблемы механики», которое здесь поневоле приходится сузить, мы будем понимать исследование математической постановки задач механики сплошной среды, их разрешимость в различных классах, единственность и неединственность решения, качественные свойства решений такие, как их дифференциальные свойства, поведение решений в определенных условиях, в частности, неисчерпаемая проблема устойчивости решений и состояний объекта исследований. С этим кругом вопросов неразрывно связана теория приближенных методов решения соответствующих задач механики сплошной среды. Здесь возникают вопросы сходимости приближенных методов, решение которых часто дает ответ на чисто математические проблемы, такие как проблема разрешимости задачи или качественного поведения ее решения. Проблема математического исследования приближенных методов, как, впрочем, и вся общая математическая теория механики сплошной среды, весьма далека от своего завершения.

Основой современного подхода к изучению математических вопросов механики является метод обобщенных решений. Существуют различные способы введения этого понятия в конкретных задачах. В западной литературе отправной точкой для техники обобщенных решений являются чисто формальные математические преобразования и теория распределений Л. Шварца. В данной диссертации используется один из наиболее последовательных подходов к обобщенной постановке задач, который был разработан И. И. Воровичем в серии работ по теории оболочек [17, 18]. Он характеризуется тесной привязкой постановки задачи к её механическому содержанию, к вариационным принципам механики, а также использованием в качестве пространств, в которых рассматривается соответствующая задача, так называемых энергетических пространств, нормы которых образованы путем выделения из функционала внутренней энергии его квадратичной части. Данный подход удачно сочетается с методами функционального анализа, в частности теорией соболевских пространств. Получаемые результаты, как правило, имеют очевидную механическую трактовку и наглядность. Топологический подход, развитый в [17, 18], позволяет, практически не меняя средств исследования качественных вопросов соответствующих краевых задач, рассматривать вопросы сходимости широкого круга вычислительных методов, применяемых в механике сплошной среды.

Целью работы является математическое исследование постановки задач динамики и статики упругих и вязкоупругих нелинейных оболочек, а именно, исследование определяющих соотношений теории и обобщенной постановки задач, доказательство теорем разрешимости, обоснование приближенных методов решения данных задач, а также изучение некоторых аспектов проблемы устойчивости решений.

Научную новизну составляют следующие результаты, полученные автором:

1. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости с определяющими соотношениями в дифференциальной форме (динамика и квазистатика).

Введение

понятия устойчивости вязкоупругого материала.

2. Дается полная обобщенная постановка задач для вязкоупругих пологих и непологих оболочек при дифференциальной форме определяющих соотношениях. Доказаны теоремы разрешимости для нескольких вариантов данной теории в задачах динамики и квазистатики. Получены теоремы единственности для задач динамики при некоторых дополнительных ограничениях. Обоснованы проекционные методы решения данного класса задач, в том числе метода конечного элемента.

3. Для упругих пологих оболочек доказаны теорема разрешимости для случая оболочек с устранимой особенностью координатной системы на срединной поверхности при общих краевых условиях.

4. Получены достаточные условия устойчивости решения для упругих нелинейных оболочек. Отмечена зависимость устойчивости решений упругих задач от термодинамических режимов нагружения оболочек.

5. Доказана корректность постановки задач нелинейной теории упругих оболочек по отношению к слабым изменениям формы оболочки и типа ее краевых условий.

6. Дается обобщенная постановка задач для пластины с подкрепляющими ребрами и получена теорема разрешимости задачи в общем случае.

Методика исследований. В работе использован традиционный аппарат нелинейной теории дифференциальных уравнений частных производных в модификации, разработанной, в основном, в [17, 18]. Основой методики служит введение понятия обобщенных решений, основывающееся на вариационных принципах механики. В дальнейшем обобщенное решение задач и некоторые численные методы его нахождения исследуются с использованием вариационной и топологической техники.

Практическое значение диссертации. Дается строгое обоснование возможности применения различных моделей теории упругих и вязкоупругих оболочек в теоретических и практических исследованиях.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на семинаре кафедры теории упругости Ростовского госуниверситета, руководимой академиком И. И. Воровичем, семинаре, руководимом проф. Н. Ф. Морозовым (Ленинградский государственный университет), а также на следующих конференциях и семинарах:

11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977;

Семинар по некл. пробл. теории пластин и оболочек, Ивано-Франковск,.

1980;

Всесоюзн. семинар «Проблемы нелин. механики сплошной среды», 1987; 5th National Congress on Mechanics, Greece, Ioannina, 1998; Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи", 1998.

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 19 работах, из которых 10 опубликовано в центральной печати.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка используемой литературы, содержащего 131 наименование. Полный объем диссертации — 296 стр. машинописного текста.

1. Агранович М. С., Вишик М. И., Эллиптические задачи с параметром ипараболические задачи общего вида, УМН, 1964, т. 19, вып. 3.

2. Андрейчиков И. П., Юдович В. И., Об устойчивости вязкоупругихстержнейИзв. АН СССР, МТТ 1974, № 2, с.79−87.

3. Андрейчиков И. П., Юдович В. И., Об автоколебаниях вязкоупругихстержнейИзв. АН СССР, МТТ, 1974, № 6, с.126−134.

4. Бердичевский В. Л., Вариационные принципы механики сплошной средыНаука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1983, 448 с.

5. Бубнов И. Г., Отзыв о работе С. 11. Тимошенко «Об устойчивости упругихсистем» — Сб. Института инженеров путей сообщений, 1913, вып. XXXI.

6. Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, М., 1959,578 с.

7. Власов В. З., Общая теория оболочекМ., Гостехиздат, 1949.

8. Ворович И. И., О поведении круглой плиты после потери устойчивости-Уч. зап. Ростовского ун-та, 1955, т.32, № 4.

9. Ворович И. И., О некоторых прямых методах в нелинейной теориипологих оболочекДАН СССР, 1955, т. 105, № 1, с. 42−45.

10. Ворович И. И., О существовании решений в нелинейной теории оболочекЯзе. АН СССР, сер. матем., 1955, т. 19, № 4, с. 173−183.

11. Ворович И. И., О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочекПрикладная математика и механика, 1956, т.20, вып.4, с. 449−474.

12. Ворович И. И., О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний пологих оболочекДАН СССР, 1956, т. ПО, № 5, с. 723−726.

13. Ворович И. И., О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочекИзв. АН СССР, сер. матем., 1957, т. 21, № 6, с. 747−784.

14. Ворович И. И., О существовании решений в нелинейной теории оболочекДАН СССР, 1957, т. 117, № 2, с. 203−206.

15. Ворович И. И., Некоторые вопросы устойчивости оболочек в большомДАН СССР, 1958, т. 122, № 1.

16. Ворович И. И., О некоторых свойствах операторов вязко-упругости, в сб. «Избранные проблемы прикладной механики», посвящ. 60-летию акад В. Н. Челомея, Москва, ВИНИТИ, 1974, с. 225−244.

17. Ворович И. И., Некоторые математические вопросы нелинейной теории оболочекДокторская диссертация, Ростов-на-Дону, 1957.

18. Ворович И. И., Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочекМ., Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1989, 374 с.

19. Ворович И. И., Лебедев Л. П., О существовании решений в нелинейной теории пологих оболочекПрикладная математика и механика, 1972, вып.4, с. 691−704.

20. Ворович И. И., Лебедев Л. П., О методе Бубнова-Галеркина в нелинейной теории колебаний вязкоупругих оболочекПрикладная математика и механика, 1973, вып. 6, с.1117−1124.

21. Ворович И. И., Лебедев Л. П., Шлафмаи Ш. М., О некоторых прямых методах и существовании решения в нелинейной теории упругих непологих оболочек вращенияПрикладная математика и механика, 1974, вып. 2, с. 339−348.

22. Ворович И. И., Лебедев Л. П., О задаче квазистатики вязкоупругого тела с перемещающейся границейИзвестия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1976, № 2, с. 16−19.

23. Ворович И. И., Лебедев Л.II., О разрешимости нелинейной задачи равновесия пологой оболочкиПрикладная математика и механика, 1988, вып.5, с. 814−820.

24. Ворович И. И., Лебедев Л. П., Минакова Н. И., Царюк Л. Б., Некоторые вопросы устойчивости тонкостенных конструкций из материалов, обладающих вязкоупругостью и текучестьюТез. докл. 11-й Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977.

25. Ворович И. И., Лебедев Л. П., О методе конечных элементов в нелинейной теории оболочекРусский журнал вычислительной механики, 1993, т. 1, № 1, с. 1−21.

26. Ворович И. И., Лебедев Л. П., К задаче равновесия пластины, подкрепленной ребрами жесткости, Прикладная математика и механика (принято к печати).

27. Ворович И. И., Лебедев Л. Г1., О корректности задачи статики нелинейной теории упругих пологих оболочек, Прикладная математика и механика, 1998, вып.4, 678−682.

28. Ворович И. И., Минакова Н. И., Шепелева В. Г., Некоторые вопросы устойчивости вязкоупругих и вязкопрластических систем на примере фермы МизесаИзв. АН СССР, МТТ, 1979, № 4, с. 120−132.

29. Гантмахер Ф. Р., Теория матрицИзд. 3- Наука, Гл.ред.физ.-мат. литры, М., 1967, 575 с.

30. Гиббс Дж.В., Термодинамика. Статистическая механикаНаука, М, 1982, 584 с.

31. Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочекМ., Гостехиздат, 1953.

32. Гольденгершель Э. И., Об устойчивости по Эйлеру вязкоупругого стержняДАН СССР, 1972, т.207, № 2.

33. Гольденгершель Э. И., Об устойчивости по Эйлеру вязкоупругого стержняПрикладная математика и механика, 1974, вып. 1, с. 187−192.

34. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложенияНаука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1967, 508 с.

35. Григолюк Э. И., Липовцев Ю. В., Устойчивость оболочек в условиях ползучестиПМТФ, 19 965, № 4.

36. Григолюк Э. И., Липовцев Ю. В., Локальная устойчивость вязкоупругих оболочек вращенияИзв АН СССР, Механика твердого тела, 1969, № 1.

37. Доннел Л. Г., Балки, пластины и оболочкиНаука, Гл.ред.физ.-мат. литры, М, 1982, 567 с.

38. Еремеев В. А., Лебедев Л. П., Об устойчивости пологой фермы Мизеса при термосиловом нагруженииИзвестия СКНЦВШ, сер. естеств. наук, 1991, № 3, с. 22−26.

39. Ильюшин A.A., Победря Б. Е., Основы математической теории термовязко-упругостиНаука, М., 1970, 280 с.

40. Иосида К., Функциональный анализМир, М., 1967, 624 с.

41. Като Т., Теория возмущений линейных операторовМир, М., 1972, 740 с.

42. Келлер Дж. Б., Антмаи С., редакторы, Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значенияМир, М, 1974, 254с.

43. Киндерлерер Д., Стампаккья Г., Введение в вариационные неравенства и их приложенияМир, М., 1983, 256 с.

44. Красносельский М. А., Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравненийМ, Гостехиздат, 1956.

45. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко ПЛ., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я., Приближенное решение операторных уравненийНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1969, 455 с.

46. Кристенсен Р., Введение в теорию вязкоупругостиМир, М., 1974, 338 с.

47. Ладыженская O.A., Краевые задачи математической физикиНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1973, 408 с.

48. Ладыженская O.A., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкостиНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1970, 288 с.

49. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типаНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1967, 736 с.

50. Ладыженская O.A., Уральцева H.H., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типаНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1973,576 с.

51. Лебедев Л. П., Об однозначной разрешимости и некоторых приближенных методах решения задачи линейной вязкоупругостиПрикладная математика и механика, 1973, вып. 3, с. 505−514.

52. Лебедев Л. П., Некоторые математические вопросы теории упругости и ползучестиКандидатская диссертация, Ростов-на-Дону, 1973, 146 с.

53. Лебедев Л. П., Об устойчивости естественного ненапряженного состояния вязкоупругих телПрикладная математика и механика, 1975, вып. 6, с. 1110−1117.

54. Лебедев Л. П., О равновесии свободной нелинейной пластиныПрикладная математика и механика, 1980, вып.1, с. 161−165.

55. Лебедев Л. П., О поведении вязкоупругой пластиныТез. докл. семинара по некл. пробл. теории тастин и оболочек, Ивано-Франковск, 1980.

56. Лебедев Л. П., О решении динамической задачи вязкоупругих оболочекДАН СССР, 1982, т. 267, № 1, с. 62−64.

57. Лебедев Л. П., Устойчивость и эффект многомерности в теории вязкоупругостиТез. докл. Всесоюзн. семинара Проблемы нелин. механики сплошной Среды, в журн. Известия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1988, № 3.

58. Лебедев Л. П., О свойствах решений нелинейной задачи квазистатики вязкоупругих оболочекИзвестия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1983, № 2, с. 36−37.

59. Лебедев Л. П., К термодинамике и устойчивости фермы МизесаИзв. АН СССР, Механика т. е. тела, 1991, № 2, с. 177−178.

60. Лебедев Л. П., Глэдвел Ж.М.Л.: Lebedev L.P., Gladwell G.M.L., Spatial effects of modeling in linear viscoelasticity, Journal of Elasticity, 1997, т.47, № 3, с. 241−250.

61. Лебедев Л. П., Семигук В.M., О некоторых свойствах операторов термовязкоупругостиИзвестия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1978, № 4, с. 27−28.

62. Лебедев Л. П., Семигук В. М., О поведении решения задачи линейной вязкоупругостиИзвестия СКНЦ ВШ, сер. естеств. наук, 1980, № 2, с. 20−22.

63. Лебедев Л. П., О разрешимости нелинейных задач динамики вязкоупругих оболочек, Доклады Академии Наук, 1998, т. 361, № 2, 201 203.

64. Лебедев Л. П., К вопросу о разрешимости нелинейных задач статики упругих пологих оболочек, Доклады Академии Наук (принято к печати).

65. Лебедев Л.II., О некоторых математических вопросах нелинейной теории пологих оболочек, Тезисы докл. «Восьмая межвузовская научная конференция Математическое Моделирование и Краевые Задачи 1998.

66. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задачМир, М., 1972, 588 с.

67. Лионе Ж.-Л., Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производнымиМод М., 1972, 414 с.

68. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э., Неоднородные граничные задачи и их приложенияМод М, 1971, 372 с.

69. Лурье А. И., Теория упругостиНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1970, 940 с.

70. Лурье А. И., Статика тонкостенных упругих оболочекМ, 1947.

71. Мазья В. Г., Михлин С. Г. О спектре Коссера уравнений теории упругостиВестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1967, вып. З, с. 5863.

72. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физикеНаука, Глред. физ. -мат. лит-ры, М., 1970, 512 с.

73. Михлин С. Г., Проблема минимума квадратичного функционалаГИТТЛ, М.-Л., 1952,216 с.

74. Михлин С. Г., О функциях Коссерав сб. «Проблемы матем. анализа. Краевые задачи и инт. ур-я «, Изд. ЛГУ, 1966, с. 59−69.

75. Михлин С. Г. Дальнейшее исследование функций КоссераВестник ЛГУ, сер. матем., мех. и астр., 1967, вып.2.

76. Михлин С. Г., Спектр Коссера плоской задачи теории упругости- «Исследования по упругости и пластичности», 1969, № 8.

77. Михлин С. Г., Спектр пучка операторов теории упругостиУспехи Мат. Наук, т. 28, 1973, № 3, с. 43−82.

78. Морозов II.Ф., К нелинейной теории тонких пластинДАН СССР, 1957, т.114,№ 5.

79. Морозов Н. Ф., Нелинейные задачи теории тонких анизотропных пластинИзв. ВУЗов, Математика, 1960, № 6.

80. Морозов Н. Ф., К вопросу о существовании несимметричного решения в задаче о больших прогибах круглой пластинки, загруженной симметричной нагрузкойИзв. ВУЗов, Математика, 1961, № 2.

81. Морозов Н. Ф., К нелинейным задачам теории тонких пластин с р осями симметрииДАН БССР, 1963, т.7, № 6.

82. Морозов Н. Ф., Существование гладкого решения задачи о нелинейных колебаниях тонкой пластиныЖВМи МФ, 1966, т. 6, № 4.

83. Морозов Н. Ф., О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращенияДАН СССР, 1967, т. 176, № 3.

84. Мосолов ПЛ., Мясников В. П., Доказательство неравенства Корна, ДАН СССР, 1971, т.201, № 1.

85. Муштари Х. М., Галимов К. З., Нелинейная теория упругих оболочекКазань, 1957.

86. Новожилов В. В., Теория тонких оболочекСудпромгиз, 1951.

87. Оден Дж., Конечные элементы в нелинейной механике сплошных средМир, М., 1976, 464 с.

88. Пановко Я. Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания упругих системНаука, М., 1979, 384 с.

89. Победря Б. Е., О сходимости метода упругих решений в нелинейной вязкоупругостиДАН СССР, 1970, т. 195, № 2.

90. Работнов Ю. Н., Механика деформируемого твёрдого телаНаука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1979, 744 с.

91. Работнов Ю. Н., Ползучесть элементов конструкцийНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1966, 752 с.

92. Работнов Ю. Н., Элементы наследственной механики твёрдых телНаука, Гл.ред.физ.-мат. лит-ры, М., 1977, 384 с.

93. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник. Под ред. В.И. МяченковаМашиностроение, М., 1989, 520 с.

94. Скрыпник И. В., Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задачНаука, Гл.ред. физ. -мат. лит-ры, М., 1990, 442 с.

95. Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физикеИзд. 3- Наука, Гл.ред. фт. -мат. лит-ры, М., 1988, 333 с.

96. Срубщик СЛ., Выпучивание и послекритическое поведение оболочекИзд-во Ростов-на-Дону ун-та, 1981.

97. Срубщик СЛ., Юдович В. И., Замечание об устойчивости мембранных решений в нелинейной теории пластин и оболочекПрикладная математика и механика, 1966, т.30, вып. 1, с. 116−123.

98. Сьярле Ф., Метод конечных элементов для эллиптических задачМир, М., 1980, 512 с.

99. Треногин В. А. Функциональный анализНаука, Гл.ред.физ. -мат. литры, М., 1980, 496 с.

100. Трусделл К., Первоначальный курс рациональной механики сплошных средМир, М., 1975,592 с.

101. Фридрихе К. О., Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространствеМир, М., 1969.

102. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравненийНаука, М., 1973, 232 с.

103. Юдович В. И., Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивостиРГУ, Ростов-па-Дону, 1984, 192 с.

104. Alexandrescuiosifescu О., Existence and regularity of the solution of Koiter nonlinear, 2-dimensional shallow-shell model, Comptes Rendus de V Academic des Sciences serie i-Mathematique, 1995, Vol. 321, No.9, pp. 1269−1274.

105. Antman S.S., The influence of elasticity on analysis: Modern developments, Bull. Amer. math. Soc., 1983, No. 9, pp.267−291.

106. Antman S.S., Nonlinear problems of elasticity, Springer-Verlag, Berlin, 1996.

107. Arango J.A., Lebedev L.P., Vorovich 1.1., Some boundary value problems and models for coupled elastic bodies", Quarterly of Applied Mathematics (Providence, USA), 1998, том LVI, № 1, pp. 157−172.

108. Berger M. S., Von Karman’s equations and the buckling of a thin elastic plateComm. Pure Appl. Math., 1967, part 1: v.20, № 4 pp. 687−719.

109. Berger M. S., Fife P. С., Von Karman’s equations and the buckling of a thin elastic plateComm. Pure Appl. Math., 1968, part 2: v.21, pp. 227−241.

110. Bernadou M., Methodes d’elements finis pour les problemes de coques mincesMasson, Paris, 1994, 384 pp.

111. Bernadou M., Ciarlet P.O., Miara В., Existence theorems for two-dimensional linear shell theories, J. of Elasticity, 1994, 14pp.

112. Bernadou M., Oden J.T., An existence theorem for a class of nonlinear shallow shell problemsJ. Math, pures et appl, 1981, v.60, pp.285−308.

113. Ciarlet P.O., Plates and junctions in elastic multi-structures, North Holland, 1988.

114. Ciarlet P.O., Paumier J.C., A justification of the Marguerre von Karman equations for shallow shells, Comptes Rendus de I ' Academie des Sciences serie 1-Mathematique, 1985, Vol.301, No. 18, pp.857−860.

115. Cibula J., Von Karman equations in. Solvability of the von Karman equations with conditions for geometry of the boudary of the domainApplications of mathematics, 1991, v.36, no.5, pp. 368−379.

116. Cosserat Eugene et Francois, Sur la deformatin infiniment petite d’un ellipsoide elastique soumis a des efforts donnes sur la frontiereComptes Rendus des seances de VAcad. dSciencesFrancaise, 1901, 133, pp.361−364.

117. Dafermos C.M., An abstract Volterra equation with applications to linear viscoelasticityJ. of Differ. Equations, 1970, v.7, no.3, p.p. 554−569.

118. Dafermos C.M., Asymptotic stability in viscoelasticityArch. Rational Me.ch.Anal, 1971, p.p.297−308.

119. Dikmen M., Recent advances for the general theory of thin elastic shellsInternat. J. Engrg. Set, 1979, v. 17, pp. 235−250.

120. Figueiredo I. M. N., Local Existence and Regularity of the Solution of the Nonlinear Thin Shell Model of Donnell-Mushtari-VlasovApplicable Analysis, 1990, v.36, pp. 221−234.

121. John Q., Naumann J., On regularity of variational solutions of the von Karman equationsMath. Nac.hr., 1976, v.71, pp. 23−36.

122. Kavian O, Rao B.P., A remark on the existence of nontrivial solutions to the Marguerre-von Karman equations, Comptes Rendus de V Academie des Sciences serie I-Mathematique, 1993, Vol.317, No. 12, pp.1137−1142.

123. Knightly G. H., An existence theorem for the von Karman equationsArch. RationalMech. Anal, 1968, v.27, pp. 223−242.

124. Koiter W.T., The energy criterion of stability for continuous elastic bodiesProc. K. Akad. Wet., 1965, B 68, pp. 178−202.

125. Koiter W.T., On the nonlinear theory of thin elastic shells. IProc. Kon. Ned. Akad. Wetensch, 1966, B 69, pp. 1−54.

126. Koiter W.T., A sufficient condition for the stability of shallow shellsProc. K. Akad. Wet, 1967, B 70, pp. 367−380.

127. Kubrusly R.S., On the existence of post-buckling solutions of shallow shells under a certain unilateral constraint, International Journal of Engineering Science, 1982, Vol.20, No. l, pp.93−99.

128. Orlov V.P., Stability of zero solution of mathematical model of multidimensional barotropic viscoelastic medium, Nonlinear Analysis, Theory, MethodsSApplicaiions, 1996, v. 26, No. 12, pp. 1937;1950.

129. Sanders J.L., An improved first approximation theory for thin shellsNASA Reports, 1959, 2.