Нелинейное взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными волнами в присутствии высокосимметричных статических полей

Развитие таких областей физики и техники, как физика плазмы, астрофизика, мощная релятивистская ВЧ-электроника, ускорительная техника и т. д. обусловливает возрастание интереса к исследованию взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными волнами. Особая роль в таких взаимодействиях отведена релятивистским заряженным частицам в сильных электромагнитных волнах. Это связано, в первую очередь, с необходимостью дальнейшего увеличения мощности, КПД и рабочих частот устройств релятивистской ВЧ — электроники таких, как лазеры на свободных электронах [5−7], циклотронные и синхротронные мазеры, пениотроны [24−27], лазерные ускорители [8−10,18−22] и т. д. Следует отметить, что анализ работы таких устройств требует также учета нелинейности взаимодействия частиц с полем [1−4]- нелинейные эффекты требуется учитывать и при изучении распространения мощных радиоволн в ионосфере (стрикционные эффекты, кроссмо-дуляция) [1,2]. В физике плазмы остаются актуальными исследования коллективных механизмов ускорения заряженных частиц [29,30,87]. В астрофизике актуальность данной проблемы связана с открытием пульсаров и др. источников мощного электромагнитного излучения, а также с генерацией космических лучей [38−42].

Исключительно важное место в такого рода взаимодействиях занимает явление циклотронного авторезонанса, открытого в 1962 г А. А. Коломенским и А. Н. Лебедевым и независимо от них В. Я. Давыдовским [11−13]. Они показали, что существует такой режим взаимодействия релятивистской заряженной частицы с поперечной электромагнитной волной, распространяющейся вдоль постоянного магнитного поля, в котором условие циклотронного резонанса частицы с волной сохраняется автоматически в течение длительного времени, несмотря на существенное изменение гиромагнитной частоты, связанное с релятивистским изменением массы частицы. Это объясняется тем, что при распространении волн с фазовой скоростью, равной скорости света в вакууме (уфаз=с (w = l))> релятивистское изменение гиромагнитной частоты.

Qc = еВ1(тсу) компенсируется доплеровским сдвигом так, что частота воздействия coq = со (1 — и2/с) внешней электромагнитной волны, «подправленная» по отношению к частице, остается равной Qc в течение длительного времени. При этом энергия частицы меняется апериодически: либо монотонно растет, либо монотонно убывает. Здесь п = кс/со, к— волновое число, со-частота электромагнитной волны, е, т— заряд и масса частицы, соответственно, Ввеличина индукции магнитного поля, урелятивистский фактор, игскорость частицы вдоль магнитного поля. При нарушении условий авторезонанса энергия частиц становится периодической функцией времени [11,37].

Отметим, что циклотронный авторезонанс является чисто релятивистским эффектом.

Приложения авторезонанса в ускорительной технике и электронике хорошо известны [14,15], однако в силу относительной простоты и высокой эффективности по энергообмену различные варианты авторезонансного и близких «к нему режимов взаимодействия между заряженными частицами и волнами до сих пор активно изучаются [16,17,28,75]. В частности, в работах [17,28] при рассмотрении стохастического режима было обнаружено увеличение времени фазового синхронизма обусловленное случайными колебаниями направляющего магнитного поля около резонансного значения. В обзоре [75] обсуждаются физический механизм и общие свойства режима циклотронного авторезонанса, а также рассматривается возможность поддержания синхронизма различными способами при нарушении его условий. Отметим также работы [1820], в которых, в приближении плоской волны, было показано, что в авторезонансном режиме взаимодействия заряженных частиц с лазерным излучением на сравнительно небольшом интервале ускорения (около 1 метра) возможен колоссальный набор энергии с незначительными радиационными потерями. В работах [21,22] рассматривается авторезонансный механизм ускорения электронов лазерным гауссовым пучком. Приведенные оценки показывают, что при использовании СОглазера с плотностью потока энергии / = 1019Вт/см2 в синхронизирующем магнитном поле В0 = 100 кГс возможно ускорение электронов до 10 ГэВ на расстояниях порядка 1 м. Дальнейшие исследования в этом направлении могут привести к созданию компактных высокоэффективных ускорителей релятивистских электронов. В работе [16] рассмотрен авторезонансный режим в поперечно — неоднородном поле ТЕМ волны в коаксиальном волноводе в приближении малости ларморова радиуса электрона по сравнению с радиусом внутреннего электрода коаксиала, тем самым было показано, что режим авторезонанса возможен и в коаксиальных волноводах, в которых имеются неоднородные поперечные волны, распространяющиеся вдоль постоянного магнитного поля со скоростью света. Работа [23] посвящена исследованию возможности управления режимом авторезонанса в замедленной или ускоренной поперечной электромагнитной волне с помощью сильного поперечного электростатического поля, в котором скорость электрического дрейфа достигает релятивистских значений.

Очевидно, даже этот неполный перечень цитированных работ свидетельствует о важности рассматриваемых задач.

Особенность настоящей работы заключается в том, что здесь рассматриваются высокосимметричные поля, позволяющие просмотреть до конца простые режимы взаимодействия заряженных частиц с электромагнитными волнами.

Диссертационная работа, с одной стороны, является продолжением тематики, связанной с использованием продольных силовых полей (например, электрического или поля сил инерции) в пространстве взаимодействия устройств ВЧ — электроники в целях оптимизации режимов энергообмена в системе волна — пучок, причем это касается режимов как с ведущим магнитным полем, так и в его отсутствие [31−36,54,56,61,69,88] В этом плане безусловный интерес представляет исследование авторезонансного режима взаимодействия и режимов, близких к нему, в том числе таких, в которых задействованы продольные силовые поля.

С другой стороны, в работе [И] было высказано предположение о том, что открытый авторами механизм авторезонансного взаимодействия «может играть также некоторую роль в космических процессах, приводя к ускорению заряженных частиц радиоволнами и световыми потоками в космических магнитных полях», что стимулировало исследования авторезонансного взаимодействия заряженных частиц с 4 электромагнитными волнами в астрофизических условиях [89,90]. Для астрофизических условий характерно наличие сильных гравитационных полей, и в связи с этим возникает проблема изучения влияния сильного гравитационного поля на авторезонансный режим и вообще на известные режимы взаимодействия частиц с волнами. С учетом значительного интереса, проявляемого в настоящее время к задачам электродинамики в пространствах с ненулевой кривизной (см., напр., [91,92]), упомянутая проблема представляется особенно актуальной.

При исследовании взаимодействия релятивистских заряженных частиц с электромагнитными волнами в присутствии статических полей весьма эффективным является подход, основанный на применении гамильтонова формализма [57]. Применение гамильтонова формализма позволяет подключить к исследованию мощный математический аппарат гамильтоновой механики, что значительно упрощает рассмотрение поставленных задач. Отметим, что в рамках этого формализма простейшему варианту авторезонансного режима взаимодействия (т.е. режиму монотонного энергообмена частицы с волной, распространяющейся вдоль статического магнитного поля при амплитуде волны, А = const, фаз =с) соответствует движение частицы вдоль сепаратрисы, уравнение которой является следствием условий авторезонанса [64]. На основе представления об авторезонансном режиме как о движении частицы вдоль авторезонансной сепаратрисы можно установить возможность реализации этого эффекта в сильном статическом гравитационном поле с метрикой gik (z) = diag (a (z), — J3(z — J3(z), — fi (z)), где a, p > 0 [64]. При выполнении соотношения (eBIтссо)2а I (3 + f5 — const (e, m — заряд и масса частицы, со — частота волны, с — скорость света в вакууме) имеет место циклотронный авторезонанс, условие которого записывается в виде соТ (- uzTlc) = QT, где частота волны сот и циклотронная частота Q. T определяются по отношению к времени Т: dT= (а / /3)dt, t — мировое время, uzT = dz! dTпродольная скорость частиц [64,79]. Таким образом, циклотронный авторезонанс фундаментален и не является специфически евклидовым эффектом.

Нами также был рассмотрен режим, близкий к авторезонансному в сильном статическом гравитационном поле и обнаружена возможность авторезонансной фокусировки частиц, движущихся в окрестности авторезонансной траектории.

При рассмотрении одноэлектронных задач как в присутствии гравитационного поля так и в его отсутствие мы используем, как уже было сказано, наиболее простое описание движения — одномерный гамильтонов формализм. Это позволяет, в частности, относительно легко разделить частицы на захватные и пролетные, и именно такое описание предоставляет максимальные возможности для детального исследования движения частицы.

При рассмотрении взаимодействия частицы с электромагнитной волной, выходящей из области с сильным гравитационным полем в направлении поля магнитостатического было обнаружено, что жесткость удержания частиц, находящихся вдали от границы области захвата, при некоторых условиях возрастает, что приводит к тому, что волна выносит из области с сильным гравитационным полем частицы, которые не смогли бы покинуть эту область в отсутствие электромагнитной волны.

Следует отметить особенность механизма захвата, который состоит в том, что при некотором значении эволюционной координаты z область захвата мгновенно перемещается на фазовой поверхности и накрывает частицу.

Описание движения заряженной частицы в однородной волне, бегущей вдоль постоянного магнитостатического поля с фазовой скоростью, отличной от с (даже в отсутствие гравитационного поля), не является тривиальным. Насколько нам известно, полное детальное описание такого движения в литературе отсутствует. Используемый нами одномерный гамильтонов формализм позволяет рассматривать такое движение на фазовом полуцилиндре. Тем не менее проблемы, связанные с вычислениями параметров траектории, например, координат особых точек или значения функции Гамильтона на сепаратрисе, представляют значительную сложность. Оказалось, однако, что существует простое отображение полуцилиндра в декартову плоскость, при которой фазовые траектории (при некоторых условиях) совпадают с семейством овалов Декарта. Описание траекторий на языке относительно хорошо изученных алгебраических кривых дает возможность описать все детали фазового портрета, а также определить бифуркационное значение параметра, перечисляющего фазовые портреты.

Перечисленным выше одноэлектронным задачам посвящены 1 и 2 главы диссертации.

Далее в гл. 3 рассмотрено бесстолкновительное взаимодействие потока заряженных частиц, переносящих поперечную электромагнитную волну, с продольными магнитным и электрическим полями.

При исследовании самосогласованного взаимодействия бесстолкнови-тельных систем заряженных частиц с электромагнитными полями, когда рассматриваемые системы обладают высокой симметрией, достаточно плодотворным оказывается т.н. динамический подход. Суть его состоит в том, что, заранее задавая симметрию искомых полей, записывают интегралы движения заряженных частиц и строят на их основе модельную функцию распределения, которая автоматически удовлетворяет уравнению Власова, после чего система уравнений поля оказывается замкнутой. Таким образом, например, определяются равновесные конфигурации частиц, взаимодействующих со статическими полями [43−45]. В работах [46⁴⁸] продемонстрированы возможности динамического подхода в более сложных ситуациях, когда состояние системы характеризуется наличием в ней сильной электромагнитной волны и в число интегралов движения частиц включен адиабатический инвариант [48]. В [49,50] показано, каким образом с помощью адиабатического инварианта отслеживается эволюция функции распределения электронов при медленном изменении параметров электромагнитной волны в бесстолкновительной плазме. Собственно динамический (т.е. механический) аспект в цитированных, а также близких к ним работах ограничен рассмотрением движения заряженных частиц в заданном поле.

Очевидно, следующим шагом в направлении «динамизации» самосогласованных задач для бесстолкновительных медленно эволюционирующих в среднем систем с сильной волной является синтез описанного динамического подхода с методом Д. Уизема (см., напр.,[51]), т. е. построение гамильтонова формализма (ГФ), описывающего самосогласованную систему поле-частицы. Ясно, что переход к гамильтонову описанию системы не является самоцелью (такой переход может быть реализован методом удвоения переменных [52]) и представляет интерес лишь в той мере, в которой удается в дальнейшем использовать мощные методы гамильтоновой механики, в том числе и аппарат адиабатических инвариантов.: •.

Возможность использования для исследования коллективных колебаний в системе адиабатических инвариантов возникает лишь тогда, когда исходная гамильтонова задача допускает разделение переменных (хотя бы частичное). Рассматриваемая динамическая система представляет собой набор связанных осцилляторов и возможность разделения переменных возникает тогда, когда можно представить систему поле-частицы в виде другого набора осцилляторов,.

часть из которых оказываются свободными. Эволюцию колебаний этих осцилляторов можно исследовать независимо от поведения связанной части системы. Соответствующие свободным осцилляторам одномерные гамильтоновы задачи должны быть достаточно простыми для того, чтобы адиабатические инварианты давали реальную информацию. Ясно, что в конкретных случаях появляются разнообразные возможности, связанные со спецификой физической системы, когда функция Гамильтона, например", может содержать малые параметры, наличие которых облегчает задачу разделения переменных (ультрарелятивизм электронов, наоборот, слабый релятивизм и т. д.).

В самом неблагоприятном случае, т. е. когда способ разделения переменных не просматривается, для исследования коллективных колебаний в системе поле-частицы представляется естественной следующая программа: а) выделение медленной зависимости параметров системы от эволюционной координаты — определение т.н. квазистатического приближенияб) исследование линейных колебаний относительно квазистатического приближенияв) в случае, когда из всех нормальных осцилляторов раскачиваются колебания лишь одного (в то время, как колебания остальных затухают), этот выделенный осциллятор на каком-то этапе эволюции системы следует, по-видимому, считать нелинейным и рассматривать нелинейные колебания осциллятора, пренебрегая его связью с остальными — ясно, что для сохранения возможности использования адиабатического инварианта в этом случае необходимо, чтобы на всех этапах представление системы оставалась гамильтоновым.

Рассмотрению эволюции колебаний в системе волна — электронный поток с использованием вышеупомянутой методики посвящена третья глава диссертации.

Целью диссертации является исследование влияния плоских продольных статических полей таких, как магнитное, электрическое и гравитационное, на нелинейное взаимодействие заряженных частиц с электромагнитными волнами.

В главе 1 рассмотрено взаимодействие заряженной частицы со стационарной циркулярно поляризованной волной, распространяющейся вдоль однородного магнитостатического поля В0 = (0- 0- В). Метрика пространствавремени — галилеева. Для случая уфаз = с параллельно исследованы режимы авторезонансного взаимодействия частицы с однородной волной и с неоднородной — в присутствии продольного электростатического поля.

Здесь же показано, что фазовым пространством для релятивистской заряженной частицы, взаимодействующей со стационарной циркулярно поляризованной электромагнитной волной, бегущей вдоль однородного магнитостатического поля, — может служить плоскость, на которой семейство траекторий частицы при выполнении некоторых условий совпадает с семейством овалов Декарта. Исследованы случаи как замедленной, так и ускоренной волн, а также волн, распространяющихся с фазовой скоростью, равной скорости света в вакууме. Обнаружено, что при определенных соотношениях между параметрами системы поле-частица наблюдается бифуркация слияния и последующего исчезновения двух состояний равновесия. Получены результаты, подтверждающие тот факт, что упомянутая плоскость является наиболее естественной фазовой поверхностью для частицы в рассматриваемой системе полей.

В главе 2 получен одномерный ГФ, описывающий взаимодействие заряженной частицы с циркулярно поляризованной электромагнитной волной, распространяющейся в вакууме вдоль магнитостатического поля в присутствии сильного статического гравитационного поля и установлена принципиальная возможность авторезонансного движения частицы в пространстве с ненулевой кривизной, получены и обсуждаются условия авторезонанса в сильном статическом гравитационном поле, а также рассмотрен вынос частиц из области сильного гравитационного поля электромагнитной волной, обсуждаются уеловия удержания частицы в волне и механизм захвата частиц. В этой главе также исследуется влияние сильного статического гравитационного поля на режим, близкий к авторезонансному, и обнаружена возможность авторезонансной фокусировки ускоряющихся частиц, осуществляемой гравитационным полем.

В главе 3 исследована самосогласованная эволюция линейных и нелинейных колебаний в электронном потоке, переносящем сильную электромагнитную циркулярно поляризованную волну вдоль параллельных статических электрического и магнитного полей. Эволюция коллективных колебаний в системе волна-поток рассматривается как следствие медленной эволюции системы в среднем, обусловленной воздействием на нее слабого продольного электростатического поля.

В разделе 3.1 построен точный трехмерный гамильтонов формализм для электронного потока с 8 — образным распределением по состояниям, переносящего циркулярно поляризованную электромагнитную волну вдоль параллельных статических магнитного и электрического полей. На его основе исследованы колебания в системе волна-поток. Конкретные расчеты, выполненные для конвективной волны и не слишком плотного электронного потока на основе адиабатических инвариантов, показали, что в режиме монотонного усиления электромагнитной волны колебания импульсов двух низкочастотных нормальных осцилляторов затухают вдоль пространства взаимодействия, а колебания высокочастотного — раскачиваются. Обсуждается связь этой раскачки с апериодическим процессом разрушения конвективных волн в плотных электронных потоках.

В разделе 3.2 исследована эволюция колебаний в электронном потоке, переносящем сильную циркулярно поляризованную электромагнитную волну вдоль внешнего электростатического поля. Показано, что в режиме усиления волны как линейные, так и нелинейные коллективные колебания физических параметров системы затухают вдоль пространства взаимодействия, что объясняется одновременным ростом релятивистской энергии частиц и плотности потока энергии волны, т. е. эффективным «утяжелением» системы. Затухание колебаний в системе волна-поток представляет собой коллективный аналог известного одноэлектронного эффекта бесстолкновительной релаксации фазовых колебаний частиц, захваченных ускоряющимися волнами [67].

В Заключении изложены основные результаты работы и сформулирована практическая значимость исследований.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Установлена принципиальная возможность реализации циклотронного авторезонанса в пространстве с ненулевой кривизной.

2. Показано, что для частицы, взаимодействующей с однородной, стационарной циркулярно поляризованной электромагнитной волной, бегущей вдоль однородного магнитостатического поля с v^a3 Ф с при некоторых условиях существует простое отображение фазового полуцилиндра в плоскость, на которой фазовые траектории частицы образуют семейство хорошо изученных овалов Декарта, что позволяет, в частности, легко обнаружить бифуркацию слияния и последующего исчезновения двух состояний равновесия.

3. Исследовано удержание заряженных частиц электромагнитной волной, выходящей из области с сильным статическим гравитационным полем вдоль поля магнитостатического. Для частицы в состоянии, когда она не может покинуть область с гравитационным полем, не используя волну как транспортное средство, указаны условия, при которых волна осуществляет захват частицы и ее вынос из гравитационного поля.

4. Продемонстрирована • возможность авторезонансной фокусировки ускоряющихся частиц при прохождении через область с сильным статическим гравитационным полем.

5. Для конвективной волны в электронном потоке с Sобразной функцией распределения электронов по состояниям получен коллективный аналог одноэлектронной бесстолкновительной релаксации фазовых колебаний частиц, захваченных ускоряющимися волнами.

Основные результаты работы получены в соавторстве с к. ф-м.н. Погоре-ловым Е.Н. и к. ф-м.н. Филипповым Ю. С. и изложены в пяти статьях (две депонированы ВИНИТИ, три опубликованы в журнале «Изв. вузов. Физика»), в отчете Таганрогского государственного радиотехнического университета по гранту № 14 551 «Самосогласованные гамильтоновы системы и стохастические эффекты в динамической теории взаимодействия электромагнитных волн и частиц», а также в виде тезисов докладов научно-технических конференций (7 публикаций).

Результаты диссертационной работы докладывались на Международном симпозиуме «Физика и техника миллиметровых и субмиллиметровых волн» в 1994 г. в г. Харькове, на 10-й международной конференции «Математические модели физических процессов» в 2004 г. в г. Таганроге, на научном семинаре кафедры теоретической физики Таганрогского государственного педагогического института, а также на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников Таганрогского государственного радиотехнического университета, тезисы которых опубликованы в журнале «Известия ТРТУ» .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в работе.

1. Циклотронный авторезонанс определен как режим, которому соответствует сепаратриса на фазовом полуцилиндре и получено условие циклотронного авторезонанса в комбинации распространяющейся с уфаз = с неоднородной циркулярно поляризованной электромагнитной волны с продольным электростатическим полем.

2. С помощью построенного в работе гамильтонова формализма на фазовом полуцилиндре рассмотрено движение заряженной частицы в циркулярно поляризованной электромагнитной волне, распространяющейся с Уфаз Ф с вдоль магнитостатического поля. Найдены условия, при которых существует простое отображение фазового полуцилиндра в плоскость, на которой фазовые траектории частицы совпадают с семейством овалов Декарта. Показано, что упомянутая плоскость является естественным фазовым пространством в такой системе полейв частности, в декартовом представлении легко найти значение параметра, определяющего бифуркацию слияния и последующего исчезновения двух состояний равновесия.

3. Построен одномерный ГФ заряженной частицы в электромагнитной волне, распространяющейся в вакууме вдоль магнитостатического поля в присутствии сильного статического гравитационного поля с метрикой gik (г) = dlag (a (z), — fi{z — p{z), — fi{z)).

4. На основе представления об авторезЪнансном режиме как о движении частицы вдоль авторезонансной сепаратрисы установлена возможность реализации авторезонанса в сильном статическом гравитационном поле.

5. Рассмотрено взаимодействие в вакууме заряженной частицы с циркулярно поляризованной электромагнитной волной, выходящей из области с сильным статическим гравитационным полем в направлении поля магнитостатического. Показано, что жесткость удержания частиц с относительно высокими энергиями по мере продвижения к периферии гравитационного поля может расти. Продемонстрирована возможность захвата и последующего выноса волной тех частиц, начальная энергия которых недостаточна для выхода из области с гравитационным полем в отсутствие волны.

6. При исследовании движения заряженных частиц в режимах, близких к авторезонансному, в сильном статическом гравитационном поле, являющемся полем притяжения к некоторой плоскости, показано, что отклонение ускоряющихся частиц, от авторезонансного режима на выходе из области с гравитационным полем может быть меньше, чем на входе, т. е. возможна авторезонансная фокусировка, осуществляемая гравитационным полем.

7. Построен точный трехмерный гамильтонов формализм для электронного потока с 8 — образным распределением по состояниям, переносящего циркулярно поляризованную электромагнитную волну вдоль параллельных статических магнитного и электрического полей. На его основе исследованы колебания в системе волна-поток и для конвективной волны получен коллективный аналог одноэлектронного эффекта бесстолкновительной релаксации фазовых колебаний частиц, захваченных ускоряющимися волнами.

Практическая значимость выполненных исследований состоит в том, что результаты диссертационной работы могут быть использованы при разработке устройств релятивистской ВЧ — электроники. Кроме того, они могут представлять интерес для • астрофизических исследований. Гравитационное поле достаточно простого вида, рассмотренное в работе, можно использовать для построения в окрестности авторезонансной траектории (переходом в соответствующую систему координат) регулярных электромагнитных полей — неоднородных и нестационарных в пространстве с галилеевой метрикой, — в которых возможно авторезонансное движение заряженной частицы.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, к. ф-м.н., доценту Погорелову Е. Н. за постоянную помощь в работе. Автор благодарит за интерес, проявленный к работе, и полезные обсуждения д. ф-м.н., профессора Давыдовского В. Я., зав. кафедрой физики, д.т.н., профессора Захарова А. Г. и преподавателей и сотрудников Таганрогского государственного радиотехнического университета: Беляева В. Е., Доценко И. Б., Каибханова К. Э., Куповых Г. В., Лепского А. Е., Матвеева А. И, Минаева Ю. А., Ольхового А. Ф., Орехова Б. И., Стульнева В.Н.