Нелинейные термоупругие колебания и устойчивость гибкого тонкостенного стержня космического аппарата при солнечном нагреве

На космических аппаратах (КА) в качестве удлинителей для различных грузов и приборов, а также штанг гравитационной стабилизации, могут использоваться выдвигаемые тонкостенные стержни, образуемые из предварительно напряженной навитой на барабан металлической ленты. Если два слоя ленты, сваренных по боковым кромкам, после схода с барабана выгибаются в разные стороны, то получается трубчатый стержень с замкнутым контуром поперечного сечения, близким по форме к окружности. Такие стержни могут иметь большую длину и под воздействием солнечных лучей могут испытывать значительный термоупругий изгиб, вынужденные колебания (при изменении ориентации и освещения) и автоколебания (вследствие динамической неустойчивости, обусловленной влиянием упругих деформаций на углы падения лучей и приток тепла). Задачи такого типа рассматривались ранее в различных приближенных постановках в [49, 55, 57, 59, 65, 67, 68].

Основным критерием устойчивости термоупругих колебаний стержня является его ориентация к Солнцу. В качестве других критериев в статьях, посвященных этой проблеме, рассматривались поглощающие свойства материала и демпфирующие свойства конструкции. Так же следует отметить, что в ряде работ [55, 57, 64, 66] задачи теплопроводности и температурного изгиба рассматривались не связанные между собой.

Впервые задача устойчивости штанги гравитационной стабилизации была рассмотрена в работе Уи У.-У. [67], хотя термически возбуждаемые колебания балки были рассмотрены ранее в статье ВоМу В.А. [47]. В статье [67] на основе принципа Гамильтона, проблема сформулирована для консольно защемленной штанги с массой на конце с учетом изгибных колебаний без кручения. В статье было сделано предположение, что температурная кривизна изменяется по линейному закону и определяется по средствам дифференциальных уравнений первого порядка по времени. В этой работе, как и последующих публикациях на эту тему [46, 48, 49, 52, 53, 68], устойчивость исследовалась на основе одной формы колебаний. В этой статье было установлено, что движение устойчиво если штанга направлена в сторону от солнца и неустойчива если направлена к солнцу, и масса па конце не накладывает значимого эффекта на устойчивость. Так же было отмечено, что внутреннее вязко упругое демпфирование материалов штанги вносит незначительный эффект на исследование устойчивости, но вязко текучий демпфер в виде сферы добавленный на конце штанги может быть эффективным в предотвращении термоупругого флаттера. В статье определены важные конструкционные параметры для демпфера и определены конструкционные критерии для устойчивости. В статье [57] была рассмотренная дискретная модель изгибных колебаний стержня при действии следящей силы и солнечного излучения.

В статье [55] математическая модель рассчитывалась во взаимосвязи между температурной кривизной и изгибными колебаниями штанги. Как и во многих других работах, задача решалась при допущениях, что температура по толщине стенки постоянная, теплопередача по длине стержня отсутствует и внутренней радиации нет. Определены критерии устойчивости в зависимости от солнечной ориентации, от поглощающих свойств материала и степени демпфирования. В этой работе также отмечалось что, когда штанга ориентирована по направлению от солнца, движение устойчиво. Показано, что при учете поглощающей способности и демпфирования, предельные значения устойчивости, в случае, когда штанга ориентирована от солнца, проявляется для штанг покрытых серебром.

Одной из первых работ, где учитывалась потеря тепла за счет внутренней радиации, была статья Graham J.D. [56]. Решение связанной стационарной задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня при солнечном нагреве с учетом внутреннего и внешнего излучений приведено в статье Гришаниной Т. В. и.

Шклярчука Ф.Н. [17]. В работах [18, 19] этих же авторов рассмотрена задача устойчивости изгибных колебаний в плоскости падения солнечных лучей. Уравнения термоупругих колебаний были получены на основе метода Ритца, а уравнения теплопроводности по методу Бубного-Галеркина. В этих работах использовалось допущение о нерастяжимости упругой оси стержня, а задача устойчивости рассматривалась в линеаризованной постановке.

Следует также отметить, что вследствие высокой гибкости таких стержней их колебания могут быть геометрическими нелинейными и могут иметь большие амплитуды перемещений и углов поворота. Данные явления могут приводить к серьезным проблемам, таким как «раскачивание» спутника па орбите, вследствие сильных термоупругих колебаний штанг гравитационной стабилизации и как следствие вывод данного спутника из строя, что и случилось со спутником ОУ1-Ю, выведенного на круговую орбиту в декабре 1966 г. [49].

Тонкостенный стержень при нестационарных термоупругих колебаниях представляет собой неконсервативную систему. Такие системы при определенных условиях могут быть динамически неустойчивыми [3, 8, 17, 44].

Для неконсервативных систем, за исключением определенных частных случаев [4, 60], невозможно указать на качественное влияние тех или иных параметров и их комбинации на границы динамической устойчивости. Кроме того, неконсервативные системы могут быть весьма чувствительные к изменениям их параметров. Это обусловлено в первую очередь тем, что упругая консервативная система теоретически находится на границе динамической устойчивости (имеет чисто мнимые собственные значения) и может стать динамически неустойчивой («раскачиваться») при весьма малых неконсервативных силах.

Особенностью колебаний гибких стержневых систем задач является то, что для их решения требуется использовать нелинейные уравнения движения, по крайней мере, такие, которые могут описывать конечные перемещения и повороты системы как твердого тела. Теория статики и динамики криволинейных стержней наиболее полно изложены в книгах Светлицкого В. А. [36], Левина В. Е и Пустового Н. В. [31].

Нелинейные задачи динамики различных упругих систем при конечных перемещениях и поворотах рассматривались в разных постановках в ряде работ, из которых отметим следующие: [5, 21, 45, 51] - для КА и больших космических конструкций- [6, 50] - для космических тросовых систем- [20, 39, 48, 51, 61, 62,] - для манипуляционных роботов и кранов.

Также следует отметить, что большой вклад в разработку теории и методов расчета динамики и динамической устойчивости упругих конструкций внесли Н. П. Абовский, Н. В. Баничук, Л. В. Докучаев, К. С. Колесников, A.A. Красовский, Б. И. Рабинович, Ф. Л. Чериоусько, Ф. Н. Шклярчук, E.F. Crawley, P.P. Friedmann, R.T. Hafitka, L. Meirovitch и др.

На основе анализа литературы по теме диссертации определена цель работы: разработать, с необходимым обоснованием уточненные математические модели нелинейного термоупругого изгиба и колебаний тонкостенного стержня. Данные модели должны быть пригодны для расчета колебаний, а также динамической неустойчивости стержня с учетом влияния внешнего и внутреннего теплоизлучения, угла падения солнечных лучей, параметров характеризующих стержень.

В первой главе диссертации получены решения плоских задач динамики гибких стержневых систем при больших углах поворота и конечных упругих деформациях. Уравнения колебаний получены по методу конечных элементов в геометрически нелинейной, умеренно нелинейной и линейной постановках. Приведен пример расчета динамического поведения стержня после потери устойчивости.

Во второй главе решена связанная задача теплопроводности, термоупругого изгиба и колебаний стержня при солнечном нагреве. Записано уравнение теплопроводности, которое решается совместно с уравнениями колебаний, полученных в первой главе. Решения были получены с помощью метода итераций и метода конечных элементов в трех постановках (линейной, умеренно — нелинейной, нелинейной). Приведен пример расчета динамического поведения штанги гравитационной стабилизации космического аппарата под действием температурного воздействия солнечного нагрева.

В третьей главе построены математические модели для расчета динамической неустойчивости стержня в плоскости и из плоскости падения солнечных лучей. Для построения моделей применялся метод конечных элементов. В качестве примера была решена задача о динамической неустойчивости штанги гравитационной стабилизации спутника при разном угле падения солнечных лучей.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 09−01−381-а, 09−08−602-а, 12−08−577-а, 12−08−590-а).

По теме диссертации автором опубликовано 6 работ.

В работах [11, 13] рассмотрены задачи нелинейных колебаний и динамической устойчивости стержня.

В работах [9, 10, 12, 14] решены связанные задачи термоупругости и теплопроводности для сильного изгиба (в нелинейной постановке) и динамической неустойчивости колебаний длинного тонкостенного стержня при солнечном нагреве в условиях космоса.

Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.

Основные результаты и выводы.

1. Разработаны два варианта конечно — элементной модели для расчета поперечных колебаний гибкого стержня в геометрически нелинейной постановке:

1) для колебаний с умеренными поперечными перемещениями и углами поворота с учетом продольных сил;

2) для колебаний с произвольными (большими) перемещениями и углами поворота.

2. Сформулирована связанная нелинейная задача для колебаний тонкостенного стержня круглого поперечного сечения при солнечном нагреве с использованием нелинейных уравнений термоупругих колебаний и уравнения нестационарной теплопроводности стержня с учетом излучения и зависимости углов падения солнечных лучей от упругих деформаций стержня.

3. Получены решения нелинейной статической задачи сильного термоупругого изгиба консольного стержня при солнечном нагреве с использованием конечно — элементной модели.

4. Решена задача о нестационарных нелинейных термоупругих колебаниях космического аппарата (КА) как абсолютно твердого тела с упругим стержнем (удлинителем) под воздействием солнечных лучей при выходе КА из тени. Исследовано влияние на реакцию системы её параметров и коэффициентов черноты внешней и внутренней поверхностей тонкостенного стержня.

5. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня в плоскости его кривизны на основе конечно — элементной модели для вариаций перемещений, углов поворота и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня в его плоскости.

6. Получены линеаризованные уравнения термоупругих колебаний предварительно нагретого и изогнутого стержня на основе конечноэлементной модели для вариаций перемещений и углов поворота в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны, и температуры в узлах. Исследована динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня из его плоскости.

7. Показано, что при определенной ориентации стержня по отношению к солнечным лучам и при его определенных параметрах может возникнуть динамическая неустойчивость нагретого изогнутого стержня с колебаниями в плоскости падения солнечных лучей или в плоскости, перпендикулярной этой плоскости.