Трёхмерная нестационарная конвекция в емкостях, вращающихся вокруг вертикальной оси: численное моделирование для малых чисел Прандтля
Диссертация
Во второй главе рассматриваются математическая модель и численный метод, на основе которых были проведены расчёты конвекции. Течение расплава описывается системой трёхмерных нестационарных уравнений Навье-Стокса в совокупности с уравнением энергии. Для учёта сил плавучести в поле силы тяжести и центробежной силы используется приближение Буссинеска. При проведении расчётов использовалась новая… Читать ещё >
Список литературы
- Артемьев В.К., Гинкин В. П. Численное моделирование трёхмерной естественной конвекции / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.38−40.
- Буссе Ф.Г. Переход к турбулентности в конвекции Релея-Бенара / В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х. Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. — С.124−168.
- Верезуб H.A., Леденев А. К., Мяльдун А. З., Полежаев В. И., Простомоло-тов А.И. Физическое моделирование конвективных процессов при выращивании кристаллов методом Чохральского // Кристаллография. 1999. — Том 44, № 6. -С.1125−1131.
- Владимирова H.H., Кузнецов Б. Г., Яненко H.H. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости /В сб.: Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск, 1966. С. 186−192.
- Гельфгат А.Ю., Мартузан Б. Я. Колебательные конвективные течения в прямоугольной области при подогреве сбоку / В сб.: Процессы переноса в вынужденных и свободноконвективных течениях. Новосибирск: ИТ СО АН СССР, 1987.-С.108−115.
- Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. — 392 с.
- Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-296 с.
- Елизарова Т.Г., Калачинская И. С., Ключникова A.B., Шеретов Ю. В. Использование квазигидродинамических уравнений для моделирования тепловой конвекции при малых числах Прандтля // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. -Т.38, № 10.-С.1732−1742.
- Иванов Н.Г. Численное моделирование трёхмерной нестационарной смешанной конвекции во вращающейся кольцевой полости // Третья Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1998. С.56−57.
- Иванов Н.Г., Рудинский Э. А. Численное моделирование ламинарной свободной конвекции в областях сложной геометрии при малых числах Прандтля // Вестник молодых ученых, серия технические науки. 1998. — № 1. — С.40−46.
- Иванов Н.Г., Смирнов Е. М. Численное моделирование развития автоколебаний расплава в установках метода Чохральского // Четвёртая Санкт-Петербургская Ассамблея молодых ученых и специалистов. Тезисы докладов. -СПб, 1999.-С.42.
- Кириллов А.И., Рис В.В., Смирнов Е. М. Численное моделирование турбулентного течения и теплообмена в трубе с ленточным завихрителем / Труды
- Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.6. С.132−136.
- Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // Докл. АН СССР. 1941. — Том 30, № 4. — С.299−303.
- Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. — 736 с.
- Махнова Г. В., Рис В.В., Смирнов Е. М. Двумерная ламинарная свободная конвекция в полости, имеющей форму квадрата со скругленными углами / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.100−103.
- Мильвидский М.Г. Полупроводниковые материалы в современной электронике. М.: Наука, 1986. — 144 с.
- Монин A.C. Теоретические основы геофизической гидродинамики. Л.: Гидрометеоиздат, 1988. -424 с.
- Мюллер Г. Выращивание кристаллов из расплава. Конвекция и неоднородности.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 143 с.
- Никитин Н.В., Полежаев В. И. Трёхмерная конвективная неустойчивость и колебания температуры при выращивании кристаллов по методу Чох-ральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. -№ 3. — С.26−39.
- Никитин Н.В., Полежаев В. И. Трёхмерные эффекты переходных и турбулентных режимов тепловой гравитационной конвекции в методе Чохральского // Известия РАН. МЖГ. 1999. — № 6. — С.81 -90.
- Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. -М.: Энергоатомиздат, 1984. 152 с.
- Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1984.-416 с.
- Пейре Р., Тейлор Т. Д. Вычислительные методы в задачах механики жидкости: Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат, 1986. — 351 с.
- Полежаев В.И. Гидромеханика, тепло- и массообмен при росте кристаллов / В кн.: Итоги науки и техники. Сер. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. -Т.18.- С. 198−269.
- Полежаев В.И. Математическое моделирование процессов гидромеханики и тепломассообмена при выращивании кристаллов и разделении веществ / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990.-С.8−26.
- Полежаев В.И., Бессонов O.A., Никитин С. А. Структура и устойчивость трёхмерных конвективных течений / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С. 120−123.
- Простомолотов А.И. Исследование гидродинамических процессов в условиях возможных управляющих воздействий при выращивании кристаллов методом Чохральского / В кн.: Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. — С.56−68.
- Рис В.В., Смирнов Е. М. Смешанная конвекция парогазовой смеси в подкупольном пространстве контейнмента / Труды Второй Российской национальной конференции по теплообмену, М., Изд-во МЭИ, 1998. Т.З. С.128−131.
- Свободноконвективные течения, тепло- и массообмен: В 2-х книгах: Кн.2.: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991.- 528 с.
- Смирнов Е.М. Локальное нарушение двухвихревой структуры вторичного течения во вращающемся канале при малых и больших входных неравно-мерностях // Известия РАН. МЖГ. 1999. — № 3. — С.40−48.
- Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкости.: Пер. с англ. М.: Мир, 1977.-432 с.
- Триттон Д.Дж., Дэвис П. А. Неустойчивости в геофизической гидродинамике /В сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под ред. Х. Суинни, Дж.Голлаба. М.: Мир, 1984. — С.271−316.
- Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.1.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991.-502 с.
- Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х т.: Т.2.: Пер. с англ. М.: Мир, 1991. — 552 с.
- Чумаков И.Ю. Использование различных условий для давления на выходной границе при расчете сложных внутренних течений на совмещённых сетках // Вестник молодых ученых. Серия прикладная математика и механика. -1997. -№ 1. С.48−54.
- Шашков Ю.М. Выращивание монокристаллов методом вытягивания. -М.: Металлургия, 1982. 312 с.
- Afrid M., Zebib A. Oscillatory three-dimensional convection in rectangular cavities and enclosures //Physics of Fluids A. 1990. — Vol. 2, № 8. — P. 1318−1327.
- Barakos G., Mitsoulis E., Assimacopoulos D. Natural convection flow in a square cavity revisited: laminar and turbulent models with wall functions // Int. J. Nu-mer. Meth. in Fluids. 1994. — Vol. 18. — P.695−719.
- Baranov G.A., Zaitsev D.K., Smirnov E.M., Smirnov S.A. Gasdynamic structure of flow in self-sustained glowing discharge // Plasma Devices and Operation. 1998.-Vol.5.-P.239−264.
- Basu B., Enger S., Breuer M., Durst F. Three-dimensional simulation of flow and thermal field in a Czochralski melt using a block-structured finite-volume method // J. Crystal Growth. 2000. — Vol. 219. — P. 123−143.
- Beam R.M., Warming R.F. An implicit factorized scheme for the compressible Navier-Stokes equations // AIAA Journal. 1978. — Vol. 16. — P.393−402.
- Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in a shallow cavity: unsteady flow regimes // J. Crystal Growth. 1989. — Vol. 97. — P.217−225.
- Ben Hadid H., Roux B. Buoyancy and thermocapilllary-driven flows in differentially heated cavities for low-Prandtl-number fluids // J. Fluid Mech. 1992. -Vol. 235. — P.1−36.
- Bergman T.L., Ball K.S. Transition to oscillatory natural convection in low Pr liquids subject to a horizontal temperature gradient / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.7−12.
- Bottaro A., Zebib A. Three-dimensional thermal convection in Czochralski melt // J. Crystal Growth. 1989. — Vol. 97. — P.50−58.
- Buckle U., Schafer M. Benchmark results for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1993. — Vol. 126. — P.682−694.
- Buell J.C., Catton I. The effect of wall conduction on the stability of fluid in a right circular cilinder heated from below // Trans. ASME C J. Heat Transfer. 1983. -Vol. 105. — P.255−260.
- Cabuk H., Sung C.-H., Modi V. Explicit Runge-Kutta method for three-dimensional internal incompressible flows // AIAA Journal. 1992. — Vol. 30. -P.2094−2031.
- Cioni S., Ciliberto S., Sommeria J. Strongly turbulent Rayleigh-Benard convection in mercury: comparison with results at moderate Prandtl number // J. Fluid Mech. 1997. -Vol. 335.-P.lll-140.
- Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961.
- Chen K.H. A diagonally-dominant coupled strongly implicit procedure for 3D viscous flows / In: Proc. First Asian CFD Conference, Hong Kong, January 16−19, 1995. P.325−333.
- Chorin A.J. A numerical method for solving incompressible viscous flow problems // J. Comput. Phys. 1967. — Vol. 2. — P. 12−26.
- De Vahl Davis G. Natural convection of air in a square cavity: a bench-mark numerical solution // Int. J. Num. Meth. Fluids. 1983. — Vol. 3. P.249−264.
- Dupret F., Van den Bogaert, Assaker R., Regnier V. Mathematical modeling of the growth of large diameter Czochralski silicon crystals considering melt dynamics //Electrochem. Soc. Proc. 1998.-Vol. 98−1.-P.396−410.
- Eady E.A. Long waves and cyclone waves // Tellus. 1949. — Vol. 1. — P.3352.
- Esposito P.G., Behnia M. Transition to unsteadiness in threedimensional lowtVi
- Prandtl natural convection / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10 Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.7. P.43−48.
- Fein J.S. An experimental study of the effects of the upper boundary condition on the thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of water//Geophysical Fluid Dynamics. 1973. — Vol. 5. — P.213−248.
- Fein J.S., Pfeffer R.L. An experimental study of the effects of Prandtl number on thermal convection in a rotating, differentially heated cylindrical annulus of fluid //J. Fluid. Mech. 1976. — Vol 75. -P.81−112.
- Fowlis W.W., Hide R. Thermal convection in a rotating annulus of liquid: effect of viscosity on the transition between axisymmetric and non-axisymmetric flow regimes // J. Atmos. Sei. 1965. — Vol. 22. — P.541−559.
- Fusegi T., Hyun J.M., Kuwahara K., Farouk B. A numerical study of three-dimensional natural convection in a differentially heated cubical enclosure // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991.-Vol. 34, № 6. — P. 1543−1557.
- Gelfgat A.Yu., Bar-Yoseph P.Z., Yarin A.L. On oscillatory instability of convective flows at low Prandtl number // Trans. ASME J. Fluids Engineering. 1997. -Vol. 119. — P.823−830.
- Gelfgat A.Yu., Tanasawa I. Numerical analysis of oscillatory instability of buoyancy convection with the Galerkin spectral method // Numerical Heat Transfer, part A. 1994. — Vol. 25. — P.627−648.
- Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 1. Linear theory for moderate Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1993. -Vol. 248. — P.583−604.
- Goldstein H.F., Knobloch E., Mercader I., Net M. Convection in a rotating cylinder. Part 2. Linear theory for small Prandtl numbers // J. Fluid Mech. 1994. -Vol. 262. -P.293−324.
- Goriatchev V., Ivanov N., Smirnov E. Postcomputational visualization of baroclinic wave drift / In: Proc. 3rd Int. Conf. on Flow Interaction of Science and Art, Zurich, Switzerland, 2000. P.211−216.
- Grabner O., Muhe A., Muller G., Tomzig E., Virbulis J, Ammon W. Analisis of turbulent flow in silicon melts by optical temperature measurement // Material Science and Engineering B. 2000. — Vol. 73. — P.130−133.
- Henkes R.A.W.M., Van Der Vlugt F.F., Hoogendoorn C.J. Natural-convection flow in a square cavity calculated with low-Reynolds-number turbulence models // Int. J. Heat Mass Transfer. 1991. — Vol. 34, № 2. — P.377−387.
- Heslot F., Castaing B., Libchaber A. Transition to turbulence in helium gas // Phys. Rev. A. 1987. — Vol. 36. — P.5870−5873.
- Hide R. Some experiments on thermal convection in a rotating liquid // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1953. — Vol. 79 — P. 161.
- Hide R. On the dynamics of rotating fluids and planetary atmospheres: a summary of some recent work // PAGEOPH. 1983. — Vol. 121. — № 3. — P.365−374.
- Hide R., Mason P.J. Sloping convection in a rotating fluid // Advances in Physics. 1975. — Vol.24, № 1. — P.47−100.
- Hirata H., Hoshikawa K. Three-dimensional numerical analyses of the effect of a cusp magnetic field on the flows, oxygen transport and heat transfer in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1992. — Vol. 125. — P. 181−207.
- Hurle D.T.J., Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten gallium // J. Fluid Mech. 1974. — Vol. 64. — P.565−576.
- Janssen R.J.A., Henkes R.A.W.M. Influence of Prandtl number on instability mechanisms and transition in a differentially heated square cavity // J. Fluid Mech. -1995. Vol. 290. — P.319−344.
- Janssen R.J.A, Henkes R.A.W.M., Hoogendoorn C.J. Transition to time-periodicity of a natural convection flow in a 3D differentially heated cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1993. — Vol. 36. — P.2927−2940.
- Jing C.J., Imaishi N., Sato T., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of oxide melt flow in Czochralski configuration // J. Crystal Growth. 2000. — Vol. 216. — P.372−388.
- Jing C.J., Imaishi N., Yasuhiron S., Miyazawa Y. Three-dimensional numerical simulation of spoke pattern in oxide melt // J. Crystal Growth. 1999. — Vol. 200. — P.204−212.
- Jones A.D.W. Flow in a model Czochralski melt // J. Crystal Growth. -1989.-Vol. 94. P.421−432.
- Jones C.A., Moore D.R. The stability of axisymmetric convection // Geo-phys. Astrophys. Fluid Dynamics. 1979.-Vol. 11. — P.245−270.
- Julien K., Legg S., McWilliams J., Werne J. Rapidly rotating turbulent Rayleigh-Benard convection // J. Fluid Mech. 1996. — Vol. 332. — P.243−273.
- Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe H., Hibiya T. Direct observation by X-ray radiography of convection of molten silicon in the Czochralski growth method // J. Crystal Growth. 1988. — Vol. 88. — P.365−370.
- Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Ordered structure in non-axisymmetric flow of silicon melt convection // J. Crystal Growth. 1993. — Vol. 126. -P.435−440.
- Kakimoto K., Watanabe H., Eguchi M., Hibiya T. Flow instability of the melt during Czochralski Si crystal growth: dependence on growth conditions- a numerical simulation study //J. Crystal Growth. 1994. — Vol. 139. — P. 197−205.
- Khodak A.E., Kirillov A.I., Ris V.V., Smirnov E.M. Local heat transfer in 3-D turbulent flow through ducts rotating in the orthogonal mode / In: Heat Transfer 1994 / Proc. 10th Int. Heat Transfer Conf. Brighton UK, 1994. Vol.4. P.261−266.
- Kinney T.A., Brown, R.A. Application of turbulence modelling to the integrated hydrodynamic thermal-capillary model of Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 132.-P.531−574.
- Kishida Y., Okazawa K. Geostrophic turbulence in CZ silicon crucible // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 198/199. — P.135−140.
- Kishida Y., Tanaka M., Esaka H. Appearance of a baroclinic wave in Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. — Vol. 128. — P.75−84.
- Koai K., Seidl A., Leister H.-J., Muller G., Kohler A. Modelling of thermal fluid flow in the liquid encapsulated Czochralski process and comparison with experiments //J. Crystal Growth. 1994. — Vol. 137. -P.41−47.
- Kobayashi S. Heat transfer through the melt in a silicon Czochralski process // J. Crystal Growth. 1990. — Vol. 99. — P.692−695.
- Kobayashi S., Miyahara S., Fujiwara T., Kubo T., Fujiwara, H. Turbulent heat transfer through the melt in silicon Czochralski growth // J. Crystal Growth. -1991.-Vol. 109. -P.149−154.
- Kordulla W., Vinokur, M. Efficient computation of volume in flow predictions//AIAA Journal. 1983,-Vol. 21.-P.917−918.
- Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection // J. Fluid Mech. 1970. — Vol. 42. — P.295−320.
- Kiippers G., Lortz D. Transition from laminar convection to thermal turbulence in a rotating fluid layer // J. Fluid Mech. 1969. — Vol. 35. -P.609−620.
- Kwak D., Chang J.L.S., Shanks S.P., Chakravarthy S.R. A three-dimensional incompressible Navier-Stokes flow solver using primitive variables // AIAA Journal. 1986. — Vol. 24. — P.390−396.
- Lankhorst A.M., Hoogendoorn C.J. Three-dimensional numerical calculations of high Rayleigh number natural convective flows in enclosed cavities / In: Proc. 1988 Nat. Heat Transfer Conf., ASME HTD-96. Vol.3. P.463−470.
- Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski configuration for crystal growth with cusp magnetic field // J. Crystal Growth. 1997. — Vol. 180. — P.477−486.
- Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Transition from regular to irregular thermal wave by coupling of natural convection with rotating flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999. — Vol. 197. — P.297−306.
- Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Effects of a cusp magnetic field on the oscillatory convection coupled with crucible rotation in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1999.-Vol. 197.-P.307−316.
- Lee Y.-S., Chun Ch.-H. Experiments on the oscillatory convection of low Prandtl number liquid in Czochralski crystal growth under an axial magnetic field // J. Crystal Growth. 1999. — Vol. 198/199. — P.147−153.
- Leister H.-J., Peric M. Numerical simulation of a 3D Czochralski-melt flow by a finite volume multigrid-algorithm // J. Crystal Growth. 1992. — Vol. 123. -P.567−574.
- Leonard B.P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1979. -Vol. 19. — P.59−98.
- Lipchin A., Brown R.A. Comparison of three turbulence models for simulation of melt convection in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. -1999.-Vol. 205. P.71−91.
- Lipchin A., Brown R.A. Hybrid finite volume / finite element simulation of heat transfer and melt turbulence in Czochralski crystal growth of silicon // J. Crystal Growth. 2000. — Vol. 216. — P. 192−203.
- Markatos N.C., Pericleous K.A. Laminar and turbulent natural convection in an enclosed cavity // Int. J. Heat Mass Transfer. 1984. — Vol. 27, № 5. — P.755−772.
- McClelland M.A. Time-dependent liquid metal flows with free convection and a deformable free surface // Int. J. Num. Meth in Fluids. 1995. — Vol.20. — P.603−620.
- Mihelcic M., Wingerath K. Instability of the buoyancy driven convection in Si melts during Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1989. — Vol. 97. -P.42−49.
- Mihelcic M., Wingerath K., Pirron C. Three-dimensional simulation of the Czochralski bulk flow // J. Crystal Growth. 1984. — Vol. 69. — P.473−488.
- Mohamad A.A., Viskanta R. Transient natural convection of low Prandtl number fluids in a differentially heated cavity // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1991. — Vol.13.-P.61−81.
- Nakamura S., Eguchi M., Azami T., Hibiya T. Thermal waves of a nonaxi-symmetric flow in a Czochralski-type silicon melt // J. Crystal Growth. 1999. — Vol. 207. -P.55−61.
- Okada K., Ozoe H. The effect of aspect ratio on the critical Grashof number for oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid: numerical approach // J. Crystal Growth. 1993.-Vol. 126. — P.330−334.
- Okada K., Ozoe H. Various computational conditions of oscillatory natural convection of zero Prandtl number fluid in an open boat heated and cooled from opposing vertical walls // Numerical Heat Transfer, part A. 1993. — Vol. 23. — P.171−187.
- Ono N., Kida M., Yoshiaki A., Sahira K. A thermal analysis of the double crucible method in continuous silicon Czochralski processing. II. Numerical analysis // J. Electrochem. Soc. 1993. — Vol. 140.-P.2106−2111.
- Paolucci S., Chenoweth D.R. Transition to chaos in a differentially heated vertical cavity // J. Fluid Mech. 1989. — Vol. 201. -P.379−410.
- Patterson J.C., Imberger J. Unsteady natural convection in a square cavity // J. Fluid Mech. 1980. — Vol. 100. — P.469−498.
- Proc. GAMM Workshop on Numerical Solution of Oscillatory Convection in Low Prandtl Number Fluids. Marseille. 1988 / Roux B. (Ed.) / Notes on Numerical Fluid Mechanics. Vieweg Braunschweig. 1990. Vol.27.
- Ravi M.R., Henkes R.A.W.M, Hoogendoorn C.J. On the high Rayleigh number structure of steady laminar natural-convection flow in a square enclosure // J. Fluid Mech. 1994. — Vol. 262. -P.325−351.
- Rhie C.M., Chow W.L. A numerical study of the turbulent flow past an isolated airfoil with trailing edge separation // AIAA Journal. 1983. — Vol. 21. -P.1525−1532.
- Ristocelly J.R., Lumley J.L. Instabilities, transition and turbulence in the Czochralski crystal melt // J. Crystal Growth. 1992. — Vol. 116. — P.447−460.
- Rossby H.T. A study of Benard convection with and without rotation // J. Fluid Mech. 1969. — Vol. 36. — P.309−335.
- Ruelle D., Takens F. On the nature of turbulence // Commun. Math. Phys. -1971.- Vol.20.-P.167−192.
- Sano M., Wu X.-Z., Libchaber A. Turbulence in helium-gas free convection // Phys. Rev. A. 1989. — Vol. 40. — P.6421−6430.
- Seidl A., McCord G., Miiller G., Leister H.-J. Experimental observation and numerical simulation of wave patterns in a Czochralski silicon melt // J. Crystal Growth. 1994. — Vol. 137. — P.326−334.
- Seidl A., Miiller G., Dornberger E., Tomzig E., Rexer B, Ammon W. Turbulent melt convection and its implication on large diameter silicon Czochralski crystal growth // Electrochem. Soc. Proc. 1998. — Vol. 98−1. — P.417−428.
- Shyy W., Thakur, S., Wright, J. Second-order upwind and central difference schemes for recirculating flow computation // AIAA Journal. 1992. — Vol. 30. -P.923−932.
- Smirnov E.M. Numerical simulation of turbulent flow and energy loss in passages with strong curvature and rotation using a three-dimensional Navier-Stokes solver // Department of Fluid Mechanics, Vrije Universitet, Brussel, 1993. 122 p.
- Smirnov E.M. Solving the full Navier-Stokes equations for very-long-duct flows using the artificial compressibility method / In: ECCOMAS 2000. September 1114, 2000, Barcelona, Spain (CD-ROM publication). 17 p.
- Tanaka M., Hasebe M., Saito N. Pattern transition of temperature distribution at Czochralski silicon melt surface // J. Crystal Growth. 1997. — Vol. 180. -P.487−496.
- Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part I: the thermal and fluid flow fields // Int. J. Heat Mass Transfer. 2000. — Vol. 43. — P.849−866.
- Tian Y.S., Karayiannis T.G. Low turbulence natural convection in an air filled square cavity. Part II: the turbulence quantities // Int. J. Heat Mass Transfer. -2000. Vol. 43. — P.867−884.
- Togawa S., Chung S., Kawanishi S., Izunome K., Terashima K, Kimura S. Density anomaly effect upon silicon melt flow during Czochralski crystal growth I. Under the growth interface // J. Crystal Growth. 1996. — Vol. 160. — P.41−48.
- Tomzig E., Ammon W., Dornberger E., Lambert U., Zulehner W. Challenges for economical growth of high quality 300 mm CZ Si crystals. // Microelectronic Engineering 1999.-Vol. 45.-P. 113−125.
- Trie E., Betrouni M., Labrosse G. Accurate solutions of natural convection flow of air in a differentially heated cubic cavity / In: Computational Fluid Dynam-ics'98 /K.D. Papailiou et al (Eds). John Wiley & Sons, 1998. P.979−982.
- Vinokur M. An analysis of finite-difference and finite-volume formulations of conservation laws // J. Comput. Phys. 1989. — Vol. 81. — P. 1−52.
- Wagner C., Friedrich R. Turbulent flow in idealized Czochralski crystal growth configurations // Notes on Num. Fluid Mech., Vieweg. 1997. — Vol.60. -P.367−380.
- Watanabe M., Eguchi M., Hibiya T. Flow and temperature field in molten silicon during Czochralski crystal growth in a cusp magnetic field // J. Crystal Growth.- 1998. Vol. 193. — P.402−412.
- Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Baros Y., Hibiya T. The baroclinic flow instability in rotating silicon melt // J. Crystal Growth. 1993. — Vol. 128. -P.288−292.
- Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Hibiya T. Double-beam X-ray radiography system for three-dimensional flow visualization of molten silicon convection // J. Crystal Growth. 1993. — Vol. 133. — P.23−28.
- Watanabe M., Eguchi M., Kakimoto K., Ono H., Kimura S., Hibiya T. Flow mode transition and its effects on crystal-melt interface shape and oxygen distribution for Czochralski-grown Si single crystals // J. Crystal Growth. 1995. — Vol. 151. -P.285−290.
- Weeks E.R., Tian Y., Urbach J.S., Ide K., Swinney H.L., Ghil M. Transitions between blocked and zonal flows in a rotating annulus with topography // Science.- 1997. Vol. 278. — P.1598−1601.
- Wheeler A.A. Four test problems for the numerical simulation of flow in Czochralski crystal growth // J. Crystal Growth. 1990. — Vol. 102. — P.691−695.
- Xiao Q., Derby J.J. Three-dimensional melt flows in Czochralski oxide growth: high-resolution, massively parallel, finite element computations // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 152.-P.169−182.
- Yang M., Tao W., Ozoe H. Computation and comparison for heat and fluid flow using a QUICK and other difference schemes // Reports of Institute of Advanced Material Study, Kyushu University. 1998. — Vol.12, № 1. — P. 1−6.
- Yi K.W., Booker V.B., Eguchi M., Shyo T., Kakimoto K. Structure of temperature and velocity fields in the Si melt of a Czochralski crystal growth system // J. Crystal Growth. 1995.-Vol. 156.-P.383−392.
- Yi K.W., Kakimoto K., Eguchi M., Watanabe M., Shyo T., Hibiya T. Spoke patterns on molten silicon in Czochralski system // J. Crystal Growth. 1994. — Vol. 144. — P.20−28.
- Zhao A.H., Moates F.S., Narayanan R. Rayleigh convection in a closed cylinder experiments and a threedimensional model with temperature-dependent viscosity effects // Phys. Fluids. — 1995. — Vol. 7, № 7. — P. 1576−1582.
- Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Asymmetric modes and the transition to vortex structures in rotating Rayleigh-Benard convection // Phys. Rev. Lett. 1991. -Vol. 67. — P.2473−2476.
- Zhong F., Ecke R.E., Steinberg V. Rotating Rayleigh-Benard convection: asymmetric modes and vortex states // J. Fluid Mech. 1993. — Vol. 249. — P. 135−159.
- Zulehner W. Historical overview of silicon crystal pulling development // Material Science and Engineering B. -2000. Vol. 73. — P.7−15.тосс**счаяrOC'i?^r-CT'-cht^ гчвяJ