Оценки скорости сходимости к равномерному распределению в многомерном случае

Главный объект исследования данной диссертации — распределения векторов дробных частей случайных векторов в многомерных евклидовых пространствах. Основное внимание в ней уделяется условиям, при которых эти распределения близки к многомерному равномерному распределению. С этой целью рассматриваются две задачи.

Первая — задача оценки близости распределения вектора дробных частей к многомерному равномерному распределению в гауссовском случае. Этой задаче посвящены первая и вторая главы работы.

Вторая — задача оценки близости^{-мерных} проекций распределения, равномерного на сфере в s-мерном евклидовом простанстве, к распределению к-мерного вектора, компоненты которого суть независимые случайные величины со стандартным гауссовским распределением. Этой задаче посвящена третья глава работы.

Первая глава носит вспомогательный характер по отношению к содержанию второй главы. В ней приведена сводка известных результатов, сформулированных вне связи с теорией вероятностей, поскольку главными аналитическими средствами, используемыми в первых двух главах настоящей работы, в основном, для оценки близости распределения вектора дробных частей гауссовского случайного вектора в 5-мерном евклидовом пространстве R* к равномерному в кубе [О, 1]Л, будут кратные ряды Фурье и преобразования (интегралы) Фурье в Rs, а также формула суммирования Пуассона.

Дается краткий обзор результатов теории вероятностей, в которых предельным служит одномерное равномерное распределение.

Приводится следующее теоретико-вероятностное истолкование многомерного варианта формулы суммирования Пуассона.

Пусть Х (я) = (Х, Х2,., Ха) — случайный вектор, принимающий значения в Rs, р (х (Л)-Х (в)) (x (g) G Rs) — функция плотности распределения вектора Х (5) и y>(t (s)-X (4)) — ее характеристическая функция, а именно, v (t (.,-X (.))= / е'^').-(о)р (Х (я)-Х (л))йх (в). J Я'.

Если при некоторых, А > 0 и 6 > О.

Kx (s)-X (s))<(1 + |x^|)s+fi и |y (t (,)-x (a))|<(i + |t^|)a+g, то р (ти+хы-Х (а))=? e2">(o^.))^(2™(5)-X (j)), m (j)6Z' m (<)€Z' где ряд справа сходится абсолютно.

Ограничиваясь теперь только значениями X (sj е [О, l]s, в левой части этого соотношения получаем плотность распределения вектора {X (sj} дробных частей вектора X (sj. Записывая правую часть этого соотношения в виде и принимая во внимание, что плотность распределения, равномерного в кубе [О, 1]", равна единице в этом кубе и нулю вне его, отклонение распределения случайного вектора {X (sj} от равномерного в кубе [0, 1]® распределения можем измерять величиной.

Д= sup |p (xw-{X (e)})-l|, x (oe[0,i]' не превосходящей, согласно приведенному выше соотношению,.

И-2тгт (в)-Х (а))| = |p (27rm (e)-X (il))|.

И1(.) 6Z-, rn (,)5i!0(O m (j)6Z', m (f)^0(,).

Таким образом, получая те или иные границы для суммы.

Е M27rm (s)-X (s))| m (,)6Z', m (j)?S0(,) абсолютных значений характеристической функции |^(27ГШ (Л)-Х (5))| в точках вида 27гт (я), txi (3) € Z" (4), можно количественно оценивать близость распределения вектора {X (4j} дробных частей случайного вектора X (s) к равномерному.

Во второй главе данный подход к оценке близости к равномерному распределению используется для изучения представляющего определенный практический интерес случая гауссовского распределения случайного вектора в R". При этом в качестве управляемого параметра, влияющего на степень этой близости, выбран положительный масшабный множитель 77, на который умножается гауссовский вектор.

Изучение этого случая методом, использующим приведенные в первой главе обоснования, было начато А. А. Куликовой и Ю. В. Прохоровым в работе Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 399 402, где рассматривались случаи s = 4, s = 8, s = 12 и излагались некоторые соображения по поводу случая произвольного s € N. Представленные в данной главе исследования позволили несколько уточнить результат для случая s = 8 и разработать подход, позволивший перейти к случаю s — 16.

В основе рассмотрений всех перечисленных выше случаев лежит следующая оценка величины Д, проистекающая из приведенного выше теоретико-вероятностного варианта формулы суммирования Пуассона. В изучении гауссовского случая она играет главную роль.

Утверждение. Пусть Z^ — гауссовский случайный вектор в пространстве R" с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы Е.

Отклонение.

Д= sup |р (х (л) — {?7Z (jl)>) — lj.

X (O6[0,l]' плотности распределения вектора дробных частей {77 } случайного вектора rjZ (s) от плотности равномерного распределения в кубе [0, l]s допускает оценку сверху оо оо.

ЛГ=1т (0:|т (0|*=ЛГ N= 1 где q = е-2,rV.

В правую часть этой оценки вошла величина ra (N), равная числу слагаемых во внутренней сумме предшествующей двойной суммы. Эта величина равна числу целых точек на сфере S"(/N) в R" (точек с целочисленными координатами, лежащими на поверхности сферы Sa (VN) bR’c центром в нуле и радиуса VW, т. е. таких = (mi, m2,., ma), что все mj — целые числа и т + т22 +. + т* = N).

В теории чисел эта функция, весьма непросто выражающаяся через более элементарные функции типа суммы степеней делителей натуральных чисел, давно является предметом глубоких и утонченных исследований (следуя Г. Хар-ди (G. Н. Hardy), упомянем здесь имена Якоби, Успенского, Лиувилля, Эйзенштейна, Смита, Минковского, Рамануджана и Морделламы упомянем здесь также Вальфиша и Ломадзе). Автор не располагает какими-либо свидетельствами о прогрессе в области получения «точных» формул для этой величины при s свыше 32.

В нашей работе оценки именно этой функции сыграли основную роль при получении оценок близости распределения вектора дробных частей многомерного гауссовского вектора к равномерному в кубе [0, 1]а распределению.

Приведем здесь оценку для величины r3(N) при 5 = 8.

Утверждение. При любом натуральном N выполняются неравенства.

14iV3^r8(JV)<16C (3)JV3, причем константы, входящие в них, неулучшаемы (т. е., каково бы ни было положительное е, в левом неравенстве 14 нельзя заменить на 14 + е, а в правом неравенстве 16 С (3) нельзя заменить на 16? (3) — е) — С (3) = k~3 = 1,2 020 569 031 595 942 912. есть значение в точке и = 3 дзета-функции £(и) Римана.

Эта оценка приводит с следующему уточнению известного ранее результата для размерности s = 8.

Теорема 1. Пусть Z (8j — гауссовский случайный вектор в пространстве R8 с нулевым средним и невырожденной ковариационной матрицей Е, А > 0 есть минимальное собственное значение матрицы ?.

Отклонение.

Д= sup |p (x (8)-{T7Z (8)})-1|.

Х (в)б[0,1]® плотности распределения вектора дробных частей {r]Z (8)} случайного вектора 7/Z (8j от плотности равномерного распределения в кубе [0, I]8 допускает оценку сверху где, =.

N= 1 ^.

Из приведенной выше оценки для величины ra (N) при s = 8 выводится следующая оценка для величины rs (N) при s = 16.

Утверждение. При любом натуральном N для числа rie (N) точек Ш (16) = (mi, rri2,., Ш1б) с целочисленными компонентами ти G Z, i/ = 1,2,., 16, лежащих на шестнадцатимерной сфере.

5i6(v^V) = {х (16) eR16: x + x +. + xs = N}, где N е Z, т. е. для числа решений уравнения х + хf ••• + х6 = N в целых числах, выполняются неравенства.

5 15 3 Пв (ЛГ) < 1§ С2(3) ЛГ7 + 32С (3) (l + ^ С (3)) iV3 — 6^ С2(3) Л, где С (3) = k~3 = 2 020 569 031 595 942 912. есть значение в точке и = 3 дзета-функции ((и) Римана.

Эта оценка позволяет получить следующий результат.

Теорема 2. Пусть Z (16j — гауссовский случайный вектор в пространстве R16 с нулевым средним и ковариационной матрицей, А — минимальное положительное собственное значение матрицы ?.

Отклонение Д = suPx (ie)e[o, i]ie |p (x (i6)i плотности распределения вектора дробных частей случайного вектора г/Х^щ от плотности равномерного распределения в кубе [0, I]16 допускает оценку сверху.

Д < (/^s (32g + 3840g2 + 38112g3 + 77312g4 + 38 1129s+ 3840g2 +32 57).

A (i — g)8 (256 q+3840 q2 +46 848 q3+91 648 qi 46 848 q5 + 3840 q2 + 256 q7), где q = е~2*2т>2х.

Завершая обзор результатов второй главы, отметим, что при доказательстве теоремы 2 потребовалось разработать способ вычисления сумм рядов вида Nn qN для натуральных п > 4. Получена следующая формула.

Утверждение. При любом q, удовлетворяющем условию |g| < 1, и любом натуральном п.

ОО 71.

N=О V ч> 7=0 где.

6=0 1 /.

Третья глава посвящена, в основном, изучению свойств проекций распределения, равномерного на сфере в многомерном евклидовом пространстве R*. Первоначально чисто вероятностный интерес к этой теме возник, насколько известно автору, в начале XX столетия в связи с развитием кинетической теории газа. Приведем характерное для этой проблематики утверждение.

Пусть X (s) = (ХиХ2,., Xa) — случайный вектор, имеющий равномерное распределение на сфере.

Ss® = {х (л): х + х + ¦ • • + х = г2}. Тогда при фиксированном к и s —> оо распределение вектора.

X (fc) = (Xi, X2,., Xk) «неограниченно сближается» с распределением вектора где Zi, Z2,—., Zk — независимые и нормальные с параметрами (0,1) случайные величины.

История этого утверждения, связанная с именами А. Пуанкаре, Э. Бореля, Дж. Максвелла, П. Леви и других, изложена в разделе б статьи Диакониса и Фридмана (Diaconis P., Freedman D.A. A dozen de Finetty-style results: in search a theory. — Ann. Inst. H. Poincare, 1987, v. 23, p. 397−423), в которой авторы установили, как они пишут, «а reasonably sharp bound» для расстояния по вариации р^ (см. лемму 6 или формулу (45) ниже) между распределением Xi,., Xk и распределением Z,., Z^, где, как прежде, — независимые нормальные (0,1) случайные величины.

Эта оценка сверху имеет вид.

Рь ^ 3' Ю < s -4.

Оценка выводится из оценки для четных к, имеющей вид.

Далее, авторы утверждают: «Порядок k/s является правильным, хотя, возможно, сомножитель [От авт.: в данной записи — единица] перед дробью может быть уменьшен».

Попытки применения этого и других результатов, накопленных в этой области, для изучения главного объекта нашего исследования в многомерном случае — распределения векторов дробных частей случайных векторов — натолкнулись на необходимость подвергнуть детальному анализу доказательства этих результатов. Это, с одной стороны, позволило «восстановить» выкладки, весьма отрывочно представленные в опубликованных доказательствах наиболее сильных результатов, а, с другой стороны, дало возможность существенно уточнить и развить сами результаты. По ходу изложения будет приведена развернутая сводка необходимых для дальнейших рассмотрений сведений, связанных с классическими понятиями «расстояние по вариации» между распределениями и «сходимость по вариации» применительно к многомерному случаю.

Доказаны следующие теоремы.

Теорема 3. При четном к (к — 21), к ^ s — 4, k/s ^ s ^ 8 величина р (см. (11) и (12) удовлетворяет неравенству.

Теорема 4. При s ^ 12 расстояние по вариации между случайными величинами y/sX и Z не меньше.

Полученные оценки снизу для расстояния по вариации позволяют придать более определенный смысл утверждению Диакониса и Фридмана о «правильности» порядка скорости сходимости упомянутых распределений.

В третьей главе доказан также результат, подтвердивший предположение Диакониса и Фридмана о том, что сомножитель в их оценке расстояния по вариации может быть уменьшен. Действительно, он может быть уменьшен более, чем в два раза.

Текст снабжен таблицами точных значений числа целых точек на сфере в шестнадцатимерном пространстве с центром в нуле и с радиусом VW.

0,085. при N = 1,2, ., 200. Эти таблицы были любезно предоставлены к.ф.-м.н. А. А. Куликовой.

Все основные результаты диссертации (теоремы 1−4) являются новыми.

Непосредственно по теме диссертации опубликовано 4 печатных работы и тезисы доклада. Результаты двух первых глав докладывались на научных семинарах в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова и в Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН. Ряд технических приемов, использованных во второй главе, был представлен на VIII Международной Вильнюсской конференции по теории вероятностей и математической статистике (2002 г.) и на Шестом Всемирном конгрессе Общества им. Бернулли (Барселона, 2004 г.). Основные результаты третьей главы диссертации докладывались и обсуждались на VI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005 г.).

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить академика Ю. В. Прохорова и профессора В. Ф. Колчина, под руководством которых поэтапно выполнялась эта работа, и выразить им свою искреннюю признательность.

Список основных обозначений.

Ниже будут использоваться следующие обозначения: N есть множество всех натуральных чиселZ есть множество всех целых чиселR* есть з-мерное евклидово пространство- = у/ж^+а^Н——-Yx есть норма вектора x^ = (xi, x2,.. ., are) eRst (s)>x (s)) = + +——1″ t"x" есть скалярное произведение векторов •••><�") g R3 и x (s) = (х, х2,., ха) е RsBa® = {x (8j: |X (8)| < г} есть шар в Ra радиуса г с центром в 0- 5″ s® = {x (8j: |Х (8)| = г} есть сфера в R* радиуса г с центром в 0- {z} — дробная часть вещественного числа zz (s)} = ({^l}) {zz}, • • • j {zs}) есть вектор дробных частей вектора Z (8) = (zi, z2,., za) е Rsр (t (sjX (sj) — характеристическая функция случайного вектора X (s) е Rsp (x (sj-X (s)) — соответствующая плотность распределения вероятностей (если она существует) — ra (N) — число точек m^ = (mi, m2,., ma) с целочисленными компонентами тпи G Z, v = 1,2,., 5, лежащих на многомерной сфере.

Sa (VN) = {x{s)eR3: х + х22 + —- + х2а = N}, где N G N, т. е. число решений уравнения х + х -)——-fх = N в целых числах;

Пв = 7гя/2/Г (й/2 + 1) есть объем единичного шара в Rsиа = 2тг3/2/Г (з/2) есть площадь поверхности единичной сферы в R" - для хеК1 полагаем х+ = х при х > 0, х+ = 0 при х < 0.

1. Абрамовиц М., Стпиган И. Справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.

2. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. Пер. с англ. А. В. Прохорова под ред. В. В. Сазонова. М.: Физматлит, 1977.

3. Большее JI. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. 3-е изд. М.: Физматлит, 1983.

4. Боровков К. А. О сходимости проекций равномерных распределений на шарах. — Теория вероятн. и ее примен., 1990, т. 35, в. 3, с. 547−551.

5. Браунли К. А. Статистические исследования в производстве. Пер. с англ. В. А. Говоркова под ред. А. Н. Колмогорова. М.: ИИЛ, 1947.

6. Ватпсон Г. II. Теория бесселевых функций. Ч. 1. М.: ИИЛ, 1949.

7. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. 3-е испр. изд. М.: Физматлит, 1967.

8. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 3-е изд., перераб. М.: Физматлит, 1981.

9. Гнеденко Б. В. Об области притяжения нормального закона. — Докл. АН СССР, 1950, т. 71, в. 3, с. 425−428.

10. Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. М.-Л.: Гостехиздат, 1949, 264 с.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. М.: Мир, 1965.

12. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Физматлит, 1986.

13. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. 2-е изд. доп. М.: Физматлит, 1975.

14. Кац. М. Вероятность и смежные вопросы в физике. 2-е изд. М.: УРСС, 2003.

15. Колмогоров А. Н. Некоторые работы последних лет в области предельных теорем теории вероятностей. — Вестн. МГУ, 1953, т. 10, с. 29−38.

16. Колмогоров А. II. Основные понятия теории вероятностей. 2-е изд. М.: Физматлит, 1974.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968.

18. Коробов II. М. О некоторых вопросах равномерного распределения. — Изв. АН СССР, 1950, т. 14, с. 215−231.

19. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: ГИИЛ, 1948.

20. Крамер Г. Случайные величины и распределения вероятностей. М.: ГИИЛ, 1947.

21. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. Т. I. М.: Высшая школа, 1970.

22. Кузнецова А. Я., Куликова А. А. Одна предельная теорема о сходимости к равномерному распределению. — Вестник Московского ун-та, сер. вычисл. матем. киберн., 2002, № 3, с. 39−45.

23. Куликова А. А. Предельные теоремы для случая сходимости распределений вероятностей к равномерному распределению. Дисс. на соискание уч. ст. канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ, 2003, 80 с.

24. Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Односторонние устойчивые распределения и закон Бенфорда. — Теория вероятн. и ее примен., 2004, т. 49, в. 1, с. 178−184.

25. Куликова А. А., Прохоров Ю. В. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2003, т. 48, в. 2, с. 399−402.

26. Куликова А. А., Прохоров Ю. В., Хохлов В. И. H.F.D. (Я-function distribution) и закон Бенфорда. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 2, с. 366−371.

27. Куликова А. А., Прохоров Ю. В., Хохлов В. И. Распределение дробных долей случайных векторов: гауссовский случай. II. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 4, с. 776−778.

28. Математическая энциклопедия. Т. III. /Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1977.

29. Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 1. 3-е изд. М.: Физматлит, 1978.

30. Прохоров А. В. Равномерное распределение. — В энциклопедии: Вероятность и математическая статистика. /Под ред. Ю. В. Прохорова. М.: БРЭ, 1999, с. 528−529.

31. Прохоров Ю. В. Асимптотическое поведение биномиального распределения. — Успехи матем. наук, 1953, т. 8, в. 3, с. 135−142.

32. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей: основные понятия, предельные теоремы, случайные процессы. 2-е изд. перераб. М.: Физматлит, 1973.

33. Прохоров Ю. В., Хохлов В. И. Об оценке скорости сходимости проекций равномерных распределений на шарах. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2005, т. 12, в. 2, с. 482.

34. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. М. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Физматлит, 1981.

35. Рабочая книга социолога. / Под ред. Г. В. Осипова и др. М.: Наука, 1977.

36. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966.

37. Сачков В. II. Вероятностные методы в комбинаторном анализе. М.: Наука, 1978.

38. Стейн П., Вейс Г.

Введение

в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.

39. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. Пер. с англ. 3-го переем, изд. М.: Мир, 1984.

40. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. Пер. Ю. В. Прохорова с англ. 2-го изд. М.: Мир, 1984.

41. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. III. 5-е изд. М.: Физматлит, 1969.

42. Хохлов В. И. Многочлены, ортогональные относительно полиномиального распределения, и факториально-степенной формализм. — Теория вероятн. и ее примен., 2001, т. 46, в. 3, с. 585−592.

43. Хохлов В. И. Об одном способе оценки числа целых точек на многомерных сферах в задаче оценки близости к равномерному распределению. — Обозрение прикл. и промышл. матем., 2006, т. 13, в. 1, с. 3−26.

44. Хохлов В. И. Свойства проекций распределений, равномерного на сфере в Rs. I. — Теория вероятн. и ее примен., 2005, т. 50, в. 3, с. 501−516.

45. Циглер П., Хельмберг Г. Новейшее развитие теории равномерного распределения. — Математика (сб. переводов), 1963, т. 7, № 3, с. 3−46.

46. Ширяев А. П. Вероятность. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Физматлит, 1989.

47. Bochner S. Harmonic Analysis and the Theory of Probability. Berkeley-Los-Angeles: Univ. California Press, 1955.

48. Borel Е. Introduction geometrique a quelques theories physiques. Paris: Gau-thier-Villars, 1914.

49. Good I. J. Some statistical applications of Poisson’s work. — Statist. Sci., 1986, v. 1, №. 2, p. 157−180.

50. Diaconis P., Freedman D. A dozen de Finetty-style results: in search a theory. — Ann. Inst. Henry Poincare, 1987, v. 23, p. 397−423.

51. Hardy G.II., Wright E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. 4th ed. Oxford: Clarendon Press, 1960.

52. Kaucky J. Kombinatoricke identity. Bratislava: J. Kaucky/Veda, 1975, 476 s.

53. Laplace P. S. Theorie analytique des probabilites. Paris, 1812.

54. Lerch M. Z poctu integralnfho. — Rozpravy Ces. Akad. cis. Fr. Jos. pro vedy, slovesnost a umenf v Praze. Tnda II. Rada mat.-fys., 1893, sv. 2, s. 9, s. 1−40.

55. Poisson S. D. Sur le calcul numerique des Integrales defmies. — Mem. Acad. Sci. Inst. France, 1827, v. 6, p. 571−602.

56. Scheffe. H. A useful convergence theorem for probability distributions. — Ann. Math. Statist., 1947, v. 18, p. 434−438.

57. Stam A. J. Limit theorems for uniform distributions on high dimensional Euclidean spaces. — J. Appl. Probab., 1982, v. 19, p. 221−228.

58. Strasser H. Mathematical Theory of Statistics. Berlin-N. Y.: Walter de Gruyter, 1985.

59. Weyl II. Uber die Gleichverteilung von Zahlen mod Eins. — Math. Ann., 1961, B. 77, S. 313−352.