О задаче Штурма-Лиувилля для уравнений четвертого порядка на пространственных сетях
Диссертация
Настоящая работа примыкает к воронежской теории уравнений на графах. Однако в центре внимания у нас находятся уравнения не 2-го, а 4-го порядка. Рассматриваемый нами математический объект вкратце можно описать так: пусть в пространстве Rn имеется конечный набор {т"}^! попарно не пересекающихся линейных интервалов, которые могут иметь общими лишь концы. Объединение Г этих интервалов вместе… Читать ещё >
Список литературы
- Основные результаты диссертации опубликованы в работах 3, 14, 15, 33−55, 78, 79.
- ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
- Приводимые ниже понятия геометрического графа и его элементов принципиально отличаются от соответствующих понятий алгебраической теории графов (определения последних можно найти, например, в 11,59.).
- Пусть в Н% задано множество точек, А = а С? = {7-}^=! —некоторая совокупность непересекающихся интервалов с концами в А. Под интервалом 7 с концами в точках, а и Ь из Еп понимается множество7 = {х? Ип: х = 1а + (1 *)&, 0 < I < 1} = (а, 6).
- Дополнительно о совокупности 0 предполагается, что л П ^ = 0 при ъ Ф 2ч где 7- — замыкание 7
- Пусть А) — множество точек из А, являющихся концами не менее чем двух интервалов из 0.
- Определение 1.1. Если множество Г, состоящее из объединения всех интервалов л и некоторого подмножества, А из Ао связно, то оно называется открытым геометрическим графом.
- Поскольку в дальнейшем мы предполагаем рассматривать только открытые геометрические графы, то, как правило, всюду ниже для краткости вместо «открытый геометрический граф» мы будем говорить просто «граф».
- Введенные понятия и обозначения проиллюстрируем на следующем примере.
- Пусть на плоскости К2 задано множество точек, А = {"1, а2, а3, а4,0.5}-Рассмотрим множество попарно непересекающихся интервалов
- Индуцируя на Г топологию Ип (например, порождаемую евклидовой нормой), назовем подграфом любое связное открытое под1. Г= гиаг.
- Г1 = 7з и {а3} и (03,61) и (азЛ)А1. Рис. 1.2.и вершины, и ребра геометрического графа суть элементы одной природы (множество точек из й^), что с позиции алгебраической теории графов исключено.§-2. Некоторые основные классы функции на графе
- В настоящем параграфе вводятся основные классы функций, необходимые для определения дифференциального уравнения на графе.
- Для любой вершины, а е 1{Г)идТ графа через 1(а) будем обозначать множество индексов г ребер 7"-, примыкающих к а.
- Для всякой у (-) такой, что у ('-К (Г)) € С (И (Г)), и любых, а € J (Г) и дГ иге 1(а) под Уг{а) будем понимать1ш1 Уг (х).х~*а * х ''для указанных функций этот предел существует и конечен ввиду их равномерной непрерывности на каждом 7^
- Через С (Г) будем обозначать множество непрерывных на Г функций у (-), обладающих дополнительно тем свойством, что у (.-Д (Г))€С (Д (Г)).
- Чтобы определить дифференцируемые на Л (Г) функции, зафиксируем на Г произвольную ориентацию его ребер. Точнее говоря, поставим в соответствие каждому ребру л один из двух колли-неарных ему единичных векторов- обозначим этот вектор через Ы.
- Через С^(Д (Г)) обозначим пространство функций из C (R{Т)), обладающих на каждом % равномерно непрерывной производной. Очевидно, что свойство равномерной непрерывности производной функции у (-) на ребре у- не зависит от выбранной на этом ребре ориентации.
- Через С№(Н (Г)) ниже обозначается множество функций у (-) из С (Я (Г)) таких, что уЩ:) € С{ЩГ)) для всех = 1,2,. Д-.
- Перейдем теперь к описалию класса функций, играющего важную роль в определении дифференциального уравнения на графе.1. Рассмотрим множество3.(Г) {у (-) € С (Г)|у (.- Д (Г)) е С<8>(Д (Г))}
- Определение 1.3, Решением уравнения (1.3) будем называть любую функцию у (х) иэС®(С- Г), удовлетворяющую ему на каждом ребре графа Г.
- Иными словами, функция у (х) есть решение уравнения (1.3) тогда и только тогда, когда каждое ее сужение у^х) на ребре 7| удовлетворяет уравнению
- ЫФГ)" (ФЫУ + п{х)У1 = Щх) (х? (1−4)причем во внутренних вершинах Г это решение непрерывно и удовлетворяет условиям (1.2).
- Уравнение (1.3) можно понимать как набор обычных уравнений (1.4). Связь между различными уравнениями (1.4) отражается в понятии решения уравнения (1.3) — нужно обеспечить выполнение условий (1.2) в каждой внутренней вершине, а 6 (Г).
- Проиллюстрируем сказанное на следующем простом примере. Рассмотрим уравнениерШУ = /(з) (х е а, О и «,&.), (1.6)решения которого удовлетворяют в точке? следующим условиямсогласования
- У"-0) = у» + 0)> У"" 0) = у"" + 0) = 0, (ру7К — о) — (рунт + 0) — ку ($ = /о.1.7)
- В следующем параграфе будет показано, что к рассмотрению уравнения (1.6) именно с условиями согласования вида (1.7) приводит вопрос о малых деформациях шарнирно сочлененных стержней.
- Вопрос о том, для каких наборов С функционалов вида (1.1) возможна перезапись соотношений (1.2) в виде подобном (1.8), мы в данной работе не обсуждаем.
- Для дифференциального уравнения (1.3) мы будем рассматривать краевые задачи с граничными условиями видау) = Е Е <(ь)у?ъ о) = о, (1.9)к= 0 ?€/(6)
- Ь € ЗГ-г € 1{Щ-з = 1,2), где —0) означает з-ую производную функцию у (х) в точке х = Ь вдоль ребра л при ориентации л в направлении «к 6″.
- Ц{Ьу) = Е 4Шк)(ь- о) = о (be дГи = 1,2). (i.io)к=О
- Краевая задача (1.3), (1.10) имеет ряд физических интерпретаций- речь об одной из них пойдет в следующем параграфе (см. также 4,39,52.).§ 4. Математическая модель малых деформации „стержневойрешетки“
- Функции с перечисленными свойствами (все эти свойства диктуются физикой задачи) будем называть допустимыми, обозначая их множество через М.
- Работа А{(у{) по перемещению ¿--го стержня (соответствующей ребру тi) выражается формулой1. Ai{yi) J fi (x)yi (x)dxy ъа изменение внутренней энергии г-го стержня — формулой1. Шм) = /biMs/f +
- П (у) = Е + <нШд2. + M*)Vi}dx Е <�а)уа).l7i а&euro- J (F')
- По теореме Ферма, если у (-) минимизирует П (у) на то первая вариация 6И (у)6у должна равняться нулю при любой Sy (-) е
- М. Вычисляя первую вариацию II, получимт
- Щу)*у =? ?{-ЫШ^у» + + Мх)6У1}ёх1=1 т--? к (а)у (а)6у (а). (1.11)а€./(Г)
- Под производной по нормали п функции д (х) мы будем понимать9пЫ = г! н? -Г--—г ^ = 1>2л—*а, | Щ х |
- ЧУ^у}(1х = I (дуУЬуйх + ду’п (а-)6у (щ).х ?1 ?='1
- Проведя интегрирование по этим формулам в каждом слагаемом (1.11), и сгруппировав полученные внеинтегральные членыдо вершинам, получим-ф (У")")%Ка) ~ Е ЫуК^Уп.(а) ~ к{а)у{а)6у (а)}+
- Е {((р/) — фюздн — [ру^к")}.1. Здесь 1(а) = {": <*€ 7"}.
- Пусть теперь у (х)? М — реальное состояние стержней системы. Воспользовавшись необходимым условием экстремума (6Л (у)6у = 0) получаем, чтопг .
- Е / 1-ЫУ"У + (фу!)' + /?.%<&* + Е {- Е1^ «еЛГ) ?е./(а)
- Е 1('РгУ"Уп фЫ'». (а)%(о) — л (а)у (а)?у (а)}+е1(а)
- Е {(и/Х «4.(»)*У (<0 — [(РУ")(Ш (в)} - 0 (1−12)ег?Гдолжно выполняться для ?/(•) € М при любых 6у (х).
- РгШУ {<иШУ = /М (х € 70- (1−13)
- Набор уравнений (1.13) (для каждого ребра л) описывает зависимость деформации от нагрузки внутри ребра графа.
- Е Ы’Ш «?(»?)'J (") — <�а)у (а)}Ьу (а) = 0. е/(в)
- Отсюда, в силу произвола 6у (а) имеем
- Е Ы) п ~ ф (уЛ.(<�") <�а)у (а) = 0. (1.16)1. Ш (а)
- Это условие означает равновесие сил, приложенных к шарниру и выполняется в каждой внутренней вершине графа Г.
- А именно, к рассмотрению (1.22), (1.25) приводит задача о малых деформациях системы из двух шарнирно сочлененных стержней с упруго опертым шарниром (где к — коэффициент жесткости упругой опоры в шарнире).
- Аналогична мотивация и для описания класса краевых условийдля рассматриваемых ниже классов уравнений.2°. Перейдем теперь к описанию исследуемых в настоящей работе классов краевых задач для дифференциальных уравнений 4- то порядка на графе.
- Пусть Г — произвольный геометрический граф из .&%/(Г) — множество его внутренних, а т- © -.- множество его граничных вершин, Через -/¿-(Г) будем обозначать, как обычно, объединение всех ребер 7?(i — 1, т) графа Г.
- В случае, когда стержневая решетка не растянута, (д (х) = 0 на Я (Г)), уравнение деформации на ребрах графа примет вид1. y = (р (х)у")" = f (x). (1.28)
- Решение уравнения (1.28) будем искать в классе функций у (х) из -Г), где Со ~~ набор следующих функционалов1.(ayy) = у1-(а) (а € J (P) — j G 1(a)), Ш у) = Е ШУ + 0) + к (а)у (а) (а € /(Г)), 1. Ш (а)где все числа п (а) и к (а) неотрицательны.
- Для уравнения (1.28) на графе Г мы будем рассматривать краевую задачу, задавая в граничных вершинах b е дТ условия
- Ub- у) = а (Ь){(ру"У ту'}(Ь — 0) — у (Ъ) = 0,1.29)1.l2(b-y) = ту’ХЪ) + 6Ш (Ь 0) = 0.
- Вышесказанное относится также и к функционалам ?1(6- у) и 1(Ь- у) в краевых условиях (1.27) и (1.29).
- Ly = (?(x)if f (q (x)yiy = f{x) (х е Г) h (b-y) = а (Ь){(ру"У Я3/.(Ь — 0) — у (Ь) = 0 (6 € дГ), 12{Ь- у) = ?{b)xf{b) + S (b)y!(b — 0) = 0 (b е дГ).1. ЗАДАЧА (В):1. Loy = (рШГ = f (x) (х е Г)
- ЦЬ- у) = а (Ъ)1(ру")> ту%Ь — 0) — у (Ъ) = 0 (b G дГ), k l2(b- у) = ?(b)y"(b) + 6{ЪМ (Ъ 0) = 0 (b € дТ). Или, вспоминая трактовку уравнения на графе Г во внутренних вершинах графа Г, 1. ЗАДАЧА (А):
- Ьу = (р (х)у>У {дШУ = Л®-) («е Я (Г)) у) = У?(«) = 0 (а € (Г),&euro- /(а)), е/(а)1(6-«) = о (й€ 0Г), ЗАДАЧА (В):ь0у = (К®)УТ = /(«) («е Д (Г))
- Ка.к и в случае общего графа, будем говорить, что на графе Г i задано дифференциальное уравнение (1.26), если его решения ищутся в классе функций у (х) из IY), где С — набор следующих функционалов
- ЩаиУ) = У"(«д (i = 1 >m l-j = 1,2), 2у) = ?fei/jy + 0) + /c (o?)y (o?) (i = 1, т — 1), i-iгде /c (a?) > 0 при всех i = 1, т 1.
- Уравнение (1.28) на графе Г х, может быть дополнено до краевой задачи заданием системы условий на граничных узлах Ь и
- ЦЬ^у) = а^Жру'У гу'.^ + 0) + 1/(61) = 0,
- ЦЬх-у) = ДОО/^) ?(^'(?>1 + 0) = 0, ¡-1(&-2-у) = а (&2)(ру»)' - - о) — у (ь2) = о, № 2- у) — + <5(52)2/4^2 - о) - 0,где а(-),{3(>), 6(-) > 0- причем /?(•) + <$(•)> 0.
- Таким образом, задачи (А) и (В) для случая одномерного графа Г 1 описываются следующим образом1. ЗАДАЧА (А 1):% = /на ттл1.{щ)у) = 0 г = 1, т 1-,? = 1,2), о (а" — У) = °г = 1, т-1)к ¿-1(6*-у) = к (Ьк-у) = 0 (/г = 1,2).1. ГЛАВА П.
- НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИИ 4—ГО ПОРЯДКА1. НА ГРАФЕ
- Ьу = (рШГ ШуУ + т (х)у = /(*) (х € Г), (2.1)h (bv) = Е <*ц (ь)г/-к)(ь о) = о (ь е dv-j = 1,2). (2.2)ь=о
- Теорема 2.1. Краевая задача (2.1)-(2.2) невырождена тогда и только тогда, когда соответствующая однородная задача (т.е. задача (2.1) (2.2) при /(х) = 0) имеет только тривиальное (тождественно равное пулю) решение.
- Доказательство теоремы 2.1. Рассмотрим оператор Р действующий из С,(-!(Г) в &euro-{-3)>(ЩГ}) (определение этих классов функций см. в § 2 гл. I) по правилу
- Обратный к Р оператор Р~1 однозначно определен на множес
- Оператор Q линеен и взаимно однозначен (это проверяется непосредственно), а обратный к нему оператор Q~l может быть определен формулой
- Q Lz) i (x) = zí-(t¡-y—^Цу) (х € тцi = l, w), i о* а, г ггде (ф""^^-) -сужение функции на г -ое ребро графа Г.
- Непосредственной проверкой показывается, что если и решение задачи (2.5), то г = С) и есть решение задачи\bi-щ II"4 Ш) Ш!Т- II к щ II"2 l (Qp)i (t)4'+
- Покажем замкнутость этой системы. Для этого достаточно убедиться, что количество функционалов Ц (а •), /¿-(а, — •) и lk (h- •) равно 4 т.
- Отсюда., с учетом того, что степень граничной вершины равна 1, т. е., что |/(/-)| = 1 для любой h? дГ получаем7Щ + Ш2 + ТП3 = Е 2т» + Е 2 =2 • Е |ВД| = 4 т, так как сумма степеней всех вершин графа вдвое превосходит количество его ребер.
- Ниже непосредственно на основании теоремы 2.1 доказываются следующие два утверждения
- Предложение 2.1. Краевая задача (2.7), (2.10) невырождена.
- Предложение 2.2. Краевая задача (2.7), (2.11) невырождена тогда и только тогда, когда к, > 0.
- Доказательство предложения 2 Л
- Подставляя функции (2.14) в краевые условия (2.10), получаем4 4- 46- + 4 / = 0 (г = 1,2), (2.17)а4 + с4 / = 0 (г = 1,2). (2.18)а М*/1. Ь Ь'
- Отсюда 4 = -4 4 = = 1,2). Поэтому4 + 4а = 4^ («= 1» 2), (2.19)где. обозначено
- Подставляя полученное для с^+с^а выражение в (2.16) получаем систему (-1 + 4 Ч- с| = О, | -4 + (1 + кВ2)<% = 0.
- Допустим теперь, что в условиям (2.9) коэффициент к = 0. Тогда равенство (2.16) примет вид с = с|. Поэтому из (2.19) следует4 с?) + (4 — 4) а = 4№ - ^з).
- С другой стороны, из (2.15) в силу непрерывности функции у (х) в точке, а имеем4 4) + (4 — 4)» = о- (2.20)
- Доказательство предложения 2.2» Пусть у (х) -решение однородной задачи (2.7), (2.11) (/(ж) = 0) .
- Ниже мы всегда предполагаем, что /(ж) > 0 при х € (а, Ь) и что у (х) отличное от тождественной постоянной решение уравнения2.23), удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25).
- Пусть ю (х) — (ру"У (х). Тогда функция ю (х) является неубывающей на (а, Ъ). Поэтому она либо сохраняет нестрогий знак на промежутке (а, 6), либо меняет значения с отрицательных на положительные. Рассмотрим отдельно каждый из этих случаев.
- Лемма 2Д. Пусть функция и (х) ф 0 сохраняет на (а. Ь) нестрогий так. Тогда функция и (х) = у3(х) также сохраняет нестрогий так на (а, Ь), причем противоположный знаку функции и (ж).
- Таким образом, если v (x) > 0 (v (x) ф 0) на (а, Ь) то у'{х) = и (х) < 0 при х Е (а, 6).
- Аналогичными рассуждениями показывается, что если v (x) <0 (v(x) ф 0) на (сц &), то и(х)> 0 при а? 6 (aji). Лемма 2.1 доказана.
- Так как и (х) = у'(х) то из леммы 2.1 непосредственно следз^ет
- Рассмотрим теперь случай, когда функция v (x) на отрезке (а, Ь) меняет значения с отрицательных на положительные.
- Если учесть, что и (х) = у!{х) то из только что доказанной леммы следует
- Следствие В условиях леммы2,2 каждое решение задачи (2,23)-(2.25) является на промежутке (а, Ь) либо монотонной, либо имеет точку максимума в (а, 6).
- Отметим, что из леммы 2.1 следует выполнение заявленных в вей свойств решений и для однородного уравнения (т.е. для случая f (x) ее 0 в уравнении (2.23)).
- Действительно, в этом случае v (x) = (puf)f (x) = с = const. Если с ф 0, то аналогичными рассуждениями, приведенными при доказательстве леммы 2.1 получаем, что на отрезке (а, 6) выполняется и (х) <0 при с> 0 и и (х) > 0 при с < 0.
- Таким образом., имеет место утверждение
- Из леммы 2.3 вытекает следующее свойство решения однородного уравнения (2.26), которое является аналогом известного принципа максимума для уравнения четвертого порядка.
- Пусть у (х) решение уравнения (2.27), удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25). Если ввести обозначения
- Ы/У т/){к) = у'{х) = и (х), 88то на отрезке («,&) получим соотношениери’У~ди = ду (2/28) а в граничных точках, а, Ь соответственно, условияи1 (а) = 0, (2,29)ри'{Ъ) 4- 6и (Ь) = О (/?, 6 > 0- /? 4- <5> 0). (2.30)
- Напомним вначале некоторые свойства решений задачи (2.28) -(2.30), которые затем будут использованы при исследовании краевой задачи (2.27), (2.24), (2.25).
- Согласно известному результату Пойа (см. 61.), для неосцилляции 1{и) на [а, Ь] необходимо и достаточно существование таких функций <р (*), не имеющих нулей на [а, 6], что1. Поэтому спр ав едл ив а
- Лемма 2.4. Если р (-) > 0, q (-) > 0 и p’i/)? СщЬ.} то существуют, положительные функции? С{а, Ь] такие, чтоpuf)1 qu}(-) = ^{hu)')^).
- Всюду в дальнейшем предполагается, что р{х) > 0, q (x) > 0 при х? (а, Ь) причем q{x) ф 0.
- Лемма 2.5. Пусть функция д (х) = (ри')' — qu.(x) сохраняет на инетрвале (а, Ъ) знак. Тогда любое нетривиальное решение и (х) задачи (2.28) (2.30) сохраняет строгий знак на {а, Ь), противоположный знаку д{х).
- Доказательство. Пусть д (х) > 0 при х € (а, Ь). Тогда на (о, Ь) имеем дифференциальное неравенствори’У qu > 0 (2.31)
- Покажем, что для любого решения и (х) ф 0 дифференциального неравенства (2.31), удовлетворяющего граничным условиям (2.29) и (2.30), справедливо и (х) <0 (х € (а,&-)). В предположении противного существует точка максимума ? функции и(-) в которой и(£)> 0.
- Предположим, что итах — = 0 и? внутренняя точка промежутка (а, 6). В этом случае, в силу леммы 2.4, вместо (2.31) можно рассмотреть неравенствор (ф (Ы)У > 0.
- Отметим, что при доказательстве этой леммы использованы рассуждения из 73.
- Следствие. В условиях леммы 2.5 каждое решение у{х) ф const задачи (2.27), (2.24), (2.25) является строго монотонной на отрезке (а, Ь) функцией, причем возрастающей, если д{х) <0 и убывающей, если д(х)> 0 (хе (а, Ь)).
- Аналогично, если и© является положительным максимумомфункции и (х) в с, 6., т. е. и (с + 0) > 0, то такал точка? существует в (с, 6].
- Рассмотрим теперь случай, когда f (x) = 0 при х е (а, Ъ). Пусть у (х) решение однородного уравнения1. РУ’Т ~ (ЧУ*)' = 0, (2.32)удовлетворяющее условиям (2.24) и (2.25). Тогда (py»)'-qy (.(x) = const = gQ.
- Если g0 ф 0, то из леммы 2.5 следует, что любое нетривиальное решение и (х) уравненияipu')' -qu = g0, удовлетворяющее граничным условиям (2.29) и (2.30), является знакопостоянной функцией на промежутке (а, 6), причемgQu (x) <0 (ж € (а, 6)). (2.33)
- Если же fifo = 0, то можно показать, что однородное уравнениери’У -qu = 0 (2.34)при краевых условиях (2.29) и (2.30), имеет в (а, Ь) только тривиальное решение.
- Таким образом, справедливо утверждение
- Из этой леммы следует следующий принцип максимума для уравнения вида (2.32).
- Теорема 2.3. Пусть р (х) > 0fq (x) > 0 (q (x) -ф 0) при х € («,&). Тогда решение у (х) const задачи (2.32), (2.24), (2.25) достигает своего экстремума только на концах промежутка а, Ь.§ 3.Принцип максимума для уравнения четвертого порядкана графе.
- Ца- у) = Е Ы')' + 0) + к (а)у (а) = 0, (2.39)iel (a)где pi (a) > 0 и $(а), к (а) > 0 для всех, а? J (Г), i? 1(a).
- Таким образом, доказано, что при к (а) = 0 функция у (х) не имеет максимума в вершине а, а при к (а) ф 0 не имеет неотрицательного максимума в этой вершине.
- Аналогичными рассуждениями показывается, что у (х) не имеет минимума в вершине, а? J (Г) при к (а) = 0 и не имеет неположительного минимума в этой точке при к (а) ф 0.1. Теорема 2.4 доказана.
- Рассмотрим теперь уравнение (2.36) на одномерном графе Г*1 (см. гл. I, § 5, п. З). Теорема 2.4 может быть переформулирована для случая одномерного графа Г. следующим образом
- Теорема 2.5. Пусть р (х) > 0, q (x) > 0 (q (x) = 0) при х? R (Fi)> тогда любое решение у (х) ф const уравнения (2.36) награфе удовлетворяющее условиямy"(h) ~ i + 0) = 0,2.40)
- У) = Е Ы’У nyi (a + 0) + к (а)у{а) = 0, (2.41)i£l (a)где п (а), к-(а) — неотрицательные числа, соответствующие вершине a, a в граничных вершинах 6 € дТ заданы граничные условия (2.37).
- Если же, а вершина первого ранга, то к ней примыкают как внутренние, так и плечевые ребра графа Г. Для всех внутренних ребер 7i, примыкающих к а, где у (а) = утаж, имеем
- ЫУ Ша, + 0) = ~пу (а + 0) > 0.
- А для плечевых ребер 7», примыкающих к а, в силу леммы 2.3 имеем
- Р:У"У + 0) = {Pjy'J)f{a + 0) — + 0) = с — + 0) > 0
- Аналогичными рассуждениями показывается, что у (х) во внутренних вершинах графа Г не имеет неположительного минимума, если в этих вершинах к (а) > 0 и не имеет вообще минимума, если к (а) = 0.1. Теорема 2.6 доказана.
- Итак, рассмотрим уравнение (2.35) на графе Г, где во внутренних вершинах a G J (Г) вместо условия (2.41) выполнено
- Е №У (* + 0) + к (а)у (а) = 0 (к (а) > 0). (2.43)i€l (a)
- В граничных же вершинах b € дГ, по-прежнему предполагается выполненными условия (2.37).
- Efes/f)V + о) + «(^)у (а1) = о (2.44)1
- В силу у (а}) = Утах имеем yl (x) <0 для всех i = 1,п, при ориентации ребер 7» в направлении "от а1". Поэтому из леммы 2.3 следует: либо числа = (piy")'(x)> 0, либо, а = 0 и yi (x) линейная функция на т¿-.
- В первом случае из (2.44) следует у (а1) < 0, чего не может быть. Поэтому с» = 0 (г = 1, п) и yi (x) линейные на л функции. Отсюда, в силу (2.44), получаем у (а1) = 0.
- Таким образом, справедливо следующее
- Теорема 2.8 для случая одномерного графа Т гласит следующим образом
- Из всего сказанного следует следующее замечание к теореме 2.9
- Наряду с уравнением (2.46) рассмотрим в граничных точках, а и Ь краевые условия видау» (а) = О, Р (Ъ)У"(Ь) + 6Ш (Ь) = 0, (2.47)а (а)(ру"У qy%d) + у (а) = 0, а (Ь)(ру"У —
- Отметим, что краевые условия (2.47), (2.48) являются знако-регулярными (см. 6.), если <*(•),/?(•),ё(-)> 0 и /?(•) + б (-) > 0 (последнее необходимо для неколленарности обоих условий в точке 6).
- Покажем, что уравнение (2.46) при знакорегулярных краевых условиях (2.47) и (2.48) имеет в (а, Ь) только тривиальное решение.
- Точно также показывается, что у{х) не может быть возрастающей на (а, Ъ) функцией. Поэтому у (х) = const (х е (а,&-)), следовательно в силу (2.48) у{х) = 0 при всех х € (а,&-). Таким образом, справедливо утверждение
- Лемма 2.8. Пусть р (х) > 0, q (x) > 0 (q (x) ф 0) при х € («, 6) и граничные условия (2.47), (2.48) являются знакорегулярными. Тогда однородная краевая задача (2.46) (2.48) имеет в (а, 6) толькотривиальное решение.
- Я (Г) задано дифференциальное уравнение1. = (р (х)у'У (q (x)y'y = f (x) (х € #(Г)), (2.50)во внутренних вершинах, а е J (F) выполнены условия согласования1. У"(«0 = УМ (*, j € 1(a)), t si (в) = 0 (i €/(«)), (2.51)
- S J (ft"fУ + 0) + к (а)у (а) = 0 (л (а) > 0), а в граничных вершинах 6 G с? Г заданы краевые условия. а (ъЖру"У-яу'Жъ-о)-у (ь) = о> | (2.52)1./?(%"№ + ?Ш (Ь о) = о, где a (b), j3(b), S (b) > 0- причем /?(Ь) + $(Ь) > 0 для любого Ъ € дГ.
- В настоящем пункте исследуется вопрос об однозначной разрешимости при любой непрерывной на Г правой части /(ж) (т.е. вопрос о невырожденности) краевой задачи (2.50) (2.52).
- Теорема 2.11. Пусть р (х) > 0, q (x) > 0 (q (x) = 0) при х € #(Г). Тогда задача (2.50) (2.52) является невырожденной.
- Доказательство. В силу теоремы 2.1 нам достаточно показать, что в условиях теоремы 2.11 соответствующая однородная задача (2.50) (2.52) (/(ж) = 0) имеет в Г только тривиальное решение.
- Полученное противоречие означает, что у (х) = const на всем графе Г. Тогда из первого равенства условий (2.52) следует у (Ь) — 0. Следовательно, у (х) = 0 на всем графе Г. Теорема 2.11 доказана.
- Рассмотрим теперь на одномерном графе Гх задачу (А) (см. гл. /, § 5, п. З): на множестве R (T) задано дифференциальное уравнение (2.50), во внутренних узлах щ (г = 1, п) выполнены условия согласованияу{щ 0) = у (щ + 0), у"(щ 0) = у"{щ + 0) = 0, (2.53)
- I (РУ"У ~ ЯУ’Ко.- 0) — (ру'У — Яу<.(щ + 0) — к{<�ц)у{ъ) = 0, где>0 (г = 1, га — 1), а в граничных узлах Ь и &2 заданыкраевые условия
- Г «(ЬОКй^)' <5(6^)> 0- причем fi (bk) + $(bk) > 0 при к = 1,2. Из теоремы 2.11 в частности, следует
- E iPiVi)'~ ПУЖ^ + 0) + к (а)у (а) = Q («(a) > 0), t&euro-/(a)а в граничных вершинах 6 G заданы краевые условия1. ШРУ"У ~ 0) — у (5) = 0,2.57)6(Ь)г/(Ь- 0) = 0, где a (b),?(b), 6(b) > 0- причем Д (Ь) + 6(Ь) > 0 для всех 6 € 0 Г.
- Теорема 2.13. Пусть р (х) > 0 при х € A (F) w в условии связи (2.56) коэффициент rs (a) > 0 для всех i € /(a), a G J (F). Тогда задача (2.55) (2.57) является невырожденной.
- Доказательство. Отметим, что для доказательства теоремы 2.13 нам достаточно (в силу теоремы 2.1) показать, что однородное уравнение1. y = (р (х)уУ = 0 (2.58)при условиях (2.56), (2.57) имеют только тривиальное решение.
- Теорема 2.13 для случая одномерного графа Ti гласит следующим образом
- Е Ы')'(«+ 0) + *(а)у (а) = 0 (к (а) > 0), (2.59)i€l (a)
- Эту задачу, в отличие от задачи (В) назовем задачей ©.
- Теорема 2.15. Пусть р (х) > 0 при х € Л (Г) и в условии (2.59) коэффициент к (а) Ф 0 для всех, а € J (Г). Тогда задача © является невырожденной.
- В предположении противного, в силу теоремы 2.8 имем, что решение у (х) однородной задачи © (f (x) = 0) либо не имеет экстремумов во внутренних точках графа Г, либо у (х) = const .
- Если же граф Г первого ранга, то опять в силу замечания к теореме 2.9 имеем, что задача © является вырожденной в случае, когда в условиях (2.57) коэффициент 6(Ь) — 0 для всех граничных вершин Ь € смежных с а.
- Таким образом, справедливо следующее замечание к теореме 2.15.
- Отметим также, что из теоремы 2.13 и 2.15 следует
- Теорема 2.15 для случая одномерного графа Г1 может быть переформулирована следующим образом:
- Теорема 2.17. Пусть р (х) > 0 при х € Г1 ив условии связи (2.60) коэффициент к (а{) ф 0 при всех г = 1, ш — 1. Тогда задача © является невырожденной.
- Как и в случае общего графа Г, из теоремы 2.17 в силу замечания к теореме 2.9 следует
- Отметим также, что из теорем 2.14 и 2.17 непосредственно следует
- Теорема 2Л8. Пусть р (х) > 0 при х € Л (Г}). Тогда, для того, чтобы задача (В) была невырождена, достаточно, чтобы в условиях связи (2.53) коэффициенты и к (щ) были неотрицательными, причем #(«0 + > 0 выполнялось для всех а£ (г = 1, т — 1).
- В заключение отметим, что результаты, изложенные в настоящей главе отражены в следующих публикациях 3, 34, 35, 37, 38, 40, 44, 47, 49, 55.1. ГЛАВА III.
- ФУНКЦИЯ ГРИНА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ 4-ГО ПОРЯДКА НА ГРАФЕ
- Прежде чем говорить о функции Грина краевой задачи на графе Г, напомним определение и основные свойства этой функции для скалярной краевой задачи, рассматриваемой на отрезке (см. 23.). Рассмотрим на отрезке (а, Ь) дифференциальное уравнение
- Фундаментальное решение важно потому, чтоьу{х) = J g (x, s) f (s)dsапредставляет собой решение неоднородного уравнения (3.1).sign у{х s) 2p (s)W (s)
- Если соответствующая краевой за-даче (3.1) — (3.2) однородная задача (/(•) = 0) имеет только нулевое решение, то существует единственная функция Грина &euro-}(х,<§-) этой задачи и функцияьпредставляет собой решение задачи (3.1) — (3.2).
- Важнейшие свойства функции вытекают из приведенноговыше ее определения. Перечислим еще некоторые свойства этой функции, которые будут использованы в дальнейшем при определении функции Грина краевой задачи на графе.
- Отметим прежде всего, что в силу невырожденности краевой задачи (3.1) — (3.2) имеем Д = йеЬ || ???=17^ 0- Поэтому существует такая фундаментальная система решений {ч>з (х)} уравнения Ьу = 0, чтогде — символ Кронекера.
- В силу этой формулы, для функции Грина краевой задачи (3.1) — (3.2), получим следующее представлениеаД
- Доказательство этой леммы очевидным образом следует из представления функции Грина в виде (3.3).
- Лемма 3.2 В условиях предыдущей леммы справедливо равенство
- Р0Ъ.)> ~ М = а + 0). (3.5)
- В то же время функция (рЯ"х)'х (%, а) на диагонали х = з терпит разрыв
- Р0Ш» + 0, а) — 0, а) = 1. (З.б)
- Рассмотрим задачу (А), т. е. на Г задано дифференциальное уравнениегде /(•) — непрерывная, д (-) — непрерывно дифференцируемая и р (-) — дважды непрерывно дифференцируемая на Д (Г) функции, причем р (х) > 0 и д (х) > 0 при х € Я (Г).
- На каждом ребре 7- графа Г, система (3.12) — (3.13) представляет собой обычную двухточечную краевую задачу, котораяявляется, в силу теоремы 2.10, невыржденной. Ее функцию Грина обозначим через (г = 1, га).
- Лемма 3.3. Функция К{®, в), определяемая формулойпри (ж,»)€ 7й,| (3.15)1. О, при (ж, а) 6 7»,-,"является фундаментальным решением уравнения Ьу = 0.
- Покажем теперь, что для любой непрерывной на Г функции /(-), функция ?/(•), определяемая формулой (3.14), удовлетворяет на й (Г) уравнению (3.12).
- Лемма 3.4. Функции ipj (s) = lj (K (-, s)) (j l, k) равномерно непрерывны на каждом л (i = l, m).
- Доказательство. Пусть функционал I, — соответствует одному из условий непрерывности (3.8) в какой-нибудь внутренней вершине, а € J (Г), т. е.i-(y) = УД<0 ~ УД<0 € /(а)).
- В этом случае функция ф}(з) = ^(Х» (•,»)) определяется равенством
- V>jM = Jim #(«,») lim K (x, s).
- Пусть функционал lj соответствует одному из условий гладкости (3.9) в какой-нибудь внутренней вершине, а € «/(Г), т. е.1. Ш = У» (М € /(а)).
- В этом случае фу (&-) = lim K%x (x, s). В силу (3.15), если s не приxetp. надлежит ребру 7^, то ф.(&-) = 0, а если s € 7^, тод2lim K"Jx, s) = lim—-гф"(ж, з).
- Так как Qy,(x, s) — функция Грина скалярной задачи на отрезке 7^, то функция ???5Q?(x, s) является непрерывной по совокупности переменных на квадрате следовательно, функция ф,(а) непрерывна на 7 М и имеет конечный предел при s —» а.
- Пусть теперь функционал Ц соответствует одному из условий связи (ЗЛО) в какой-нибудь внутренней вершине, а € J (Г), т. е.fi€l (a)
- Соответствующая функция ф-(з) в этом случае, имеет вид
- ФЛ*)= Е? m, l (pKJ'x яК{х, в) + /с (а) lim К (хьв).l (a) xej^ zejfl
- Если së-то = 0, а если s е 7^ 0* € -/(а)), тод д2 д M*) = J^J^fa^ih?®^ ~ ~3.16)
- Пусть, наконец, функционал lj соответствует одному из краевых условий (3.11) в граничных вершинах b € с? Г, например, ify) = чШр^у т).{ь — о) — yj (b)
- Функция i>j (s) определяется равенством
- ФМ = cxj (b) lim (pKl)'x qK’g.(x, s) — lim K (x, s) (b e &-Г).1. X—>0, X—
- Если s€ 7j, тоj (e) = 0, а если s G 7/, тод д2 д Фз (з) = Qy) — Ктф (®, в), где Qj (xts) — функция Грина скалярной задачи на отрезке jj. Отсюда и в силу леммы 3.1 следует, что функция 0Д, s) является непрерывной на 7у и имеет конечный предел при s —> 6.
- Аналогично, если функционал соответствует другому из краевых условий (3.11), т. е.1. Ш = + 0) № € аг), тоlim K""{xt s) 4- 6}{Ъ) lim К’в (х, s) (b € ОТ).j a?€ 7j
- Отсюда, если то = 0, а если s € 7,-, тод2 д1. Таккак Qj (xfs) — функция Грина скалярной задачи на отрезке 7h то функции
- Справедливо следующее утверждение.
- Теорема 3.1 Пусть р (х) > 0 и д (х) > 0((ж) ф 0) при х € Я (Г). Тогда функция определенная равенством (3.20)является функцией Грина краевой задачи (3.7) — (3.11), которая является единственной в классе непрерывных на ГхК (Г) функций.
- Применим по переменной х к обеим частям равенства (3.21) соответствующий функционал который порождает условие непрерывности во внутренней вершине, а € «/(Г).
- В силу выбора фундаментальной системы решений {¥→«(ж)}{, так как = в группе слагаемых под знаком суммы ненулевым будет лишь одно, получаемое при I — Ц. Поэтому ¿-у ((?(•,»)) = = 0, что и означает (3.21).
- Покажем теперь, что при каждом в? Я (Г) функция С (х>з) удовлетворяет по х на градине ребер 7» как условиям связи (3.8) — (ЗЛО), так и граничным (3.11). Из равенства (3.20) при каждом Э = 1, к имеем*,-(#(.,*)) Е к (К^з)М^)). ?=1
- В силу выбора фундаментальной системы решений, =
- Поэтому в группе слагаемых под знаком суммы имеется одно ненулевое, соответствующее индексу ъ = 3. Следовательно,•, з)) = I,¦(*(•,*)) = о.
- Значит, функция определяемая формулой (3.17), является решением краевой задачи (3.7) — (3.11), Это, в силу определения 3.2, означает, что функция 0(х>з) является функцией Грина краевой задачи (3.7) — (3.11).
- Gi (x>s) = G2(x>s) на Г х Н (Г). Теорема доказана.
- Невырожденность краевых задач (А) и (В) следует из соответствующих теорем § 4 главы II. Например, невырожденность задачи (А) в условиях теоремы 3.1 обеспечивается условиями: р (х) > 0 и q (x) > 0(д (х) ф 0) при ж € Г (см. теорему 2.11).
- Из этой теоремы, в частности, при q (a) = 0(а? J (Г)) следует, что если к (а) ф 0 для всех, а? J (Г), то для задачи © также существует единственная функция Грина G (x, s), непрерывная на Г х R (Г) и, которая представима в виде (3.20).
- Если же к (а) = 0 для всех, а? J (Г), то в силу замечания к теореме 2.15, задача © является невырожденной только в том случае, когда граф Г имеет ранг единицы и в граничных условиях (3.11) коэффициент 6(b) ф 0 для всех Ь? дГ. Отсюда следует
- Рассмотрим на графе Г1 задачу (А1), т. е. на множестве Я (Г1) рассматривается уравнение
- МКРУ’У ~ ЯУ’КЬг + 0) + у (Ьд = о, тШЬх) ?{Ъ^уЧЬ + 0) = 0, '
- Ьг)Ы'У ~ чу'.(Ь2 0) — у{Ъ2) = 0, Р (Ъ2)у"(Ъ2) + ¿-(62)г/(&-2 — 0) = 0,3.24)где коэффициенты а (-),/?(-),£(•) > 0, причем ?3(•) 4- ?(•) > 0.
- Отметим (см. также п°3, § 5, гл. /), что если в условиях задачи (Ах) выполняется д (х) = 0 при х € #(14), но ф 0 при г = 1, т 1, то задача (А1) превращается в задачу (В*), а если еще д (щ) — 0 для всех г = 1, т — 1, то мы имеем задачу (Сх).
- Если К (х, й) — функция Грина классической задачи Коши для уравнения (3.22) на (&-ь&-2)> то функция
- К (хуз) яг{х). к (К^з)) Цгг). Ь (гк)1к (К (-уз)). 1к (гк)3.25)обладает необходимыми свойствами обращения задачи (3.22) — (3.24) в виде интегрального оператора с ядром С?(®, а), т. е. — функция Грина этой задачи.
- Из формулы (3.25) и из лемм 3.1 и 3.4 следует, что функцию можно доопределить до непрерывной на Г1 х ЩТг) функции. Кроме того, стандартным методом показывается, что так определенная функция С (х, з) является единственной.
- Таким образом, имеет место утверждение
- ЫУ */.(«> + 0) — {Р9»)' - Ч9'(Во — 0) = 1.
- Пусть ^ — функционал, порождающий одно из условий, перечисленных в свойствах 1. б) и 1. в). Применим его к функцииш = =^(^(-««о)) Е тш=о, 1так как =
- В точках € уц функция С (х, з) совпадает с функцией Грина {(ж,») соответствующей скалярной задачи на отрезке 7». Поэтому свойство 2) леммы означает скачок третьей квазипроизводной по переменной х функции 0{(х^з) в точках диагонали х — з. Лемма доказана.
- Установим еще одно свойство функции Грина 0(хуз), порождаемое спецификой графа.
- Пусть, а € <7(Г) и л — одно из ребер, примыкающих к а. Функцияgl (x)=¡-imG (x, s)7¿- и Vназывается предельной срезкой функции Грина G (x, s).
- Доказательство. Пользуясь определением фундаментального решения и представлением (3.20), получаем4 т9l (x) = Jim G (x, s) = Ё i) ij (pj (x)+s€ 7?'4 € /(а))0,
- Так ка, к {
- Итак, пусть х ф, а и функционал 1и порождает, например, условие. гладкости (3.10) во внутренней вершине а* € J (Г):
- Цу) = Е 1(р-у"У ~ я1у}1(а* + 0) + к{а*)у (а*).
- В левой части равенства (3.27) имеемя (а*) Ит К (а*, з).
- Если ребро л не примыкает к вершине а*, то К (х, з) = 0 для всех х € ^(з € /(а*)). Если же вершина а* совпадает с, а или является другим концом ребра л> то = аПоэтомуд & ?т>МК (-,*)) = Нт—(д—а,) + 0,*)+
- Установим свойство 2) для внутренней вершины, а € «/(Г). Пусть Л — ребро, примыкающее к вершине, а и з € л- Обозначим через 0-{х, 8) сужение по переменной х функции Грина з) на ребро 7-С?? /(«¦)). Тогда, в силу свойства 1) леммы 3.5 имеем
- Отметим, что при х € л функция О^х^я) совпадает с функцией Грина скалярной задачи на отрезке л- Перепишем последнее равенство в видед д2 д Зфг
- С другой стороны, в силу свойства 2) из леммы 3.5 имеет место- ++!?(г»?С→ — °-*≥^3.29)где через г4(з±0,з) обозначены производные по х функции щ (х, я), посчитанные в точке х — в при ориентации л в противоположных от 5 направлениях.
- В силу леммы 3.1 третья квазипроизводная непрерывна по совокупности переменных на каждом из замкнутых треугольников, на которые разбивает квадрат % прямая х — а. Поэтому
- Для функции Gi (x, s) также справедливод д1. С{)(а + = в>)(а + 0, а).
- Поэтому в силу (3.29) имеем
- Очевидно, для всех ^ € ф г, имеет место-«?"гжа+о,.) =
- Переходя теперь к пределу в равенстве (3.28) при «а, з € имеем, с учетом последних равенств, д дилид д2 д Отсюда, если обозначить через д){х) = lim Gj (x, s)(j € /(«)), то7 id д2 ¦ д ¦ ^d&iaz® щ^-К» + о) + = 1.
- Лемма доказана. Таким образом, из лемм 3.5 и 3.6 вытекает
- Рассмотрим теперь на графе. Г задачу (В). Для этой задачи существует функция Грина (7(®-, з), если выполнены условия теоремы 2.13. Легко увидеть, что для функции остаются справедливыми утверждения демм 3.5 и 3.6. Поэтому имеет место
- Аналогично, для задачи ©, устанавливается
- Отметим, что в условиях теоремы 3.7 предполагается, что коэффициент к (а) ф 0 для всех, а? /(Г) в условиях (3.10). Если же к (а) = 0 для всех, а? /(Г), то, в силу теоремы 3.3, для задачи © существует функция Грина только в том случае, когда граф
- Г имеет ранг единицы и в краевых условиях (3.11) коэффициент S (h) Ф 0 для всех 6 е ¿-?Г. Поэтому справедлива
- Рассмотрим на графе Г краевую задачу, где на множестве #(Г) задано дифференциальное уравнение1. РУУ Ш = /, (3.30)во внутренних вершинах, а Е J (T) выполнены условия
- У"(«) = &•(«)> У"(а) = 0 (М € /(а)), 3.31)аг (а)(ра/?У Яьу!.(а + 0) + к (а)у (а) = 0 (а^а) > 0,1 €/(а)а в граничных вершина. х Ь € дГ заданы краевые условия
- Г а (Ъ)(ру"У ду'}(Ъ — 0) ~ у (Ь) = 0, | (3.32)(Щу"(Ь) + ё (Ь)уГ (Ь 0) = 0, где a (b), P (b)yS (b) > О, причем /?(&) + 6(Ь) > О для всех b € дГ.
- Задача (3.30) — (3.32) имеет более общий вид чем задачи (А), (В) и ©. Например, если «¿-(а) = 1 для всех, а € J (T) и i е /(а), то мы имеем задачу (А). Ниже в настоящем пункте мы будем рассматривать задачу (3.30) — (3.32).
- Доказательство. Существование, единственность и непрерывность по совокупности переменных на множестве Гхй (Г) функции Грина G (x, s) краевой задачи (3.30) — (3.32) могут быть доказаны ка. к в доказательстве теоремы 3.1.
- Пусть функционал порождает одно из условий связи (3.31) в некоторой внутренней вершине а* € '/(Г):1. Ш=? + + (3.34)а)
- Пусть теперь, а * = а0. Тогда из (3.34) имеем
- У^Ь5)) = <^?0(^0) (^¿-о) ~ «о^ФоК^ + 0»») +
- Отсюда, в силу <^1о (ж, а0) = 0 и леммы 3.2 получаем1. Дла ФЛ8) = -«¿-"("о)
- Дт фц (з) = -а"(«о) (* € 1{а0)).
- Для непрерывности фр (з) в точке в = а0 необходимо и достаточно, чтобы числа а-(ао) не зависели от г € 1(ао)1 что доказывает теорему.
- Рассуждения, проведенные в доказательстве теоремы 3.8 не меняются, если в уравнении (3.30) коэффициент д (х) — 0(х € Г). Поэтому функция Грина С (х, з) задачи (В) также обладает свойством равномерной непрерывности по совокупности переменных на ГхГ.
- Лля уравнения (3.35) — (3.38) мы будем рассматривать следующие краевые условия в граничных точках Ь0 икоторые в физической ситуации означают защемления или жесткого закрепления концов стержней.
- Пусть 70 = (6о»»)» 71 = и .й (Го) = 7о и 71. Ниже всюдупредполагается, что
- Тогда, как было доказано в п°.2 § 1 гл. II (Предложение 2.1), краевая задача (3.35) — (3.39) является невырожденной, т. е. однозначно разрешимой при любой непрерывной на Г0 правой части
- Найдем явный вид функции 0(ху з) и определим важнейшие ее свойства.
- Если в (3.35) заменить /(ж) на ?(ж—в) — дельта функцию Дирака при некотором з € Д (Го) (зф а), то при Ъ$<�х<�зжз<�х<�Ъ1 имеем простору’У = о.
- Если обозначить через? Л.(х, з) сужение у (х, з) на множестве л х 7,-, т. е. у (х>з) Уу (®-,») при (ж, в) € 7» х7- и у (ж, з) = 0 при (х)з)ёлх = ОД), то при ¿-з < а имеемcf + cfx + cflpQ{x) -I- cfо (ж), При bo< ж < a,
- Для определения коэффициентов cjf и воспользуемся условиями (3.36) — (3.39). Пусть сначала з < а, т. е. з 6 70. Из краевых условий (3.39) получаемc-° = cf = 0, <*-° = <4° = о.
- Далее, из условий (3.37) следуетdf = -df. а, 4° = -4° • а1. Поэтому4Vo (®-) + при bo< ® <а,yio(^>-s) = 4°N'i (iC) ~ ПРИ, а < х < bi.
- Аналогично, в случае, когда я 6 71, из условий (3.37) — (3.39) получаем
- Ут (хуз) с1{фъ (х) — ащ (х% при 60 < х <а,с}1 + с1х 4- cli}>i{x) a (pi (x).b при а< х < < х <Ь,
- Проинтегрируем теперь равенствору’У = 6(х з) при каждом фиксированном значении з € Я (Т0) (з ф а) в пределах от в 0 до з + 0 и, пользуясь при этом известными свойствами 6(х — в), получаем3.41)
- Таким образом, в случае з получаем неопределенную системуcf = ей0 1,004 60
- J Po (t) 4 l Po (t) l Po (t) 4 / po (t) 4o