Актуальность темы
Задачи об аппроксимации более сложных объектов менее сложными играют важную роль почти во всех областях математики. Современная теория приближения функций представляет собой весьма обширную ветвь математического анализа и имеет дело главным образом с приближением отдельных функций и классов функций при помощи заданных подпространств, состоящих из функций, более простых в конструктивном отношении, чем аппроксимируемые функции. Чаще всего роль таких пространств играют множества алгебраических многочленов или же (в периодическом случае) множества тригонометрических полиномов заданного порядка п.
Настоящая работа представляет собой исследование в области конструктивной теории функций. Идея конструктивного описания некоторого класса функций, учитывающего структурные свойства этого класса, заключается в получении согласующихся между собой прямых и обратных теорем приближения для данного класса. Прямой теоремой приближения принято называть всякую теорему, устанавливающую оценку отклонения в той или иной метрике данного класса функций от полиномов, в которые этот класс отображается некоторой последовательностью полиномиальных операторов. Причем существенным является вопрос, каким образом эти оценки зависят от гладкости функций данного класса и от выбранной последовательности операторов. Обратной же теоремой в теории приближения называют теорему, которая устанавливает степень гладкости класса функций в зависимости от скорости стремления к нулю его приближений. Если для некоторого класса функций совокупность прямых и обратных теорем устанавливает условия, которые являются как необходимыми, так и достаточными для принадлежности функций к этому классу, то говорят, что прямые и обратные теоремы согласуются. При конструктивном описании классов функций скоростью полиномиальных приближений интерес представляют те прямые теоремы, в которых оценки отклонения функций данного класса от приближающих полиномов позволяют получать обратные утверждения.
В настоящий момент хорошо изучены вопросы приближения функций действительного и комплексного переменных в различных линейных нормированных пространствах. Наиболее актуальны задачи конструктивного описания в равномерной и интегральной метриках.
В теории приближений в комплексной плоскости весьма существенным является вопрос, какова общая природа множества, на котором имело бы смысл заниматься приближением функций. В 50-е годы С. Н. Мергеляном было установлено, что приближение возможно на компактах, дополнение которых не разбивает плоскость. Это дало принципиальную возможность получать прямые утверждения на несвязных множествах. С другой стороны, было показано, что и для обратных теорем условие связности множества несущественно. Однако большинство результатов в области конструктивной теории функций получено на континуумах, в то время как работ, оперирующих с несвязными множествами, достаточно мало, причем во всех этих работах исследования проводились в равномерной метрике. В свете выше сказанного, актуальными являются вопросы приближения функций в интегральной метрике на несвязных множествах.
Целью работы являлось описание классов функций, определяемых интегральной метрикой, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков скоростью их взвешенных полиномиальных приближений.
Научная новизна работы состоит в следующих полученных результатах:
— впервые получено прямое описание непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений в метрике Lp на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков;
— впервые дана конструктивная характеристика классов С. Л. Соболева Wl, I > 2 — целое, на языке взвешенных полиномиальных приближений на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков.
Общая методика выполнения работы. При доказательстве утверждений применяются методы конструктивной и геометрической теории функций. Приближение многочленами функций из рассматриваемых классов в работе основывается на хорошем приближении многочленами ядра Коши. Построение приближающих многочленов производится с помощью хорошо известных полиномиальных ядер типа Джексона, а также с помощью многочленных ядер, рассматривавшихся ранее В. К. Дзядыком, которые в настоящее время в теории многочленов Фабера обладают, по сравнению с другими ядрами, наиболее сильными свойствами. Кроме того, в работе существенно используются граничные свойства кусочно-гладких континуумов и непрерывные продолжения функций с исходного множества на всю плоскость, в частности, псевдоаналитическое продолжение.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в конструктивной теории функций.
Предыстория рассмотренных в диссертации вопросов. Конструктивные характеристики различных классов функций хорошо изучены в периодическом случае, т. е. для приближения периодических функций, определенных на отрезке, тригонометрическими многочленами. Классическим в этой области является результат Д. Джексона-С. Н. Бернштейна начала века об описании классов Гельдера 27г-периодических функций скоростью их приближения тригонометрическими полиномами в равномерной метрике. В дальнейшем для периодических функций этот результат был распространен А. Зигмундом [1] и Е. Квадом [2] на пространства Lp. Конструктивные описания были получены и для других классов в интегральной метрике, в частности, известную теорему Литтлвуда — Пэли о двоичном разложении в гармоническом анализе можно рассматривать, после небольшой модификации, как конструктивную характеристику периодического класса J.
С. J1. Соболева W р. Ввиду непосредственного отношения этой теоремы к данной работе, напомним формулировку более общего результата [3].
Теорема 0.1. 2ir-периодическая функция f принадлежит классу Wp[—7г, 7г], / > 0 — целое, 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда для некоторой последовательности {Тг"} тригонометрических многочленов степени, не превосходящей 2п, п = 0,1,., справедливо соотношение.
Теорема о двоичном разложении получается из теоремы 0.1, если в качестве Тг" взять частные суммы ряда Фурье функции /.
При изучении непериодического случая, т. е. приближения непериодических функций обыкновенными многочленами, возникли трудности. Например, было установлено, что если f (x)~ непериодическая непрерывная на сегменте [a, b] функция, a En (f) — наилучшее равномерное приближение f (x) на [а, Ь] алгебраическими многочленами степени не выше чем п, то dx < оо. а) если / Е Lip а, 0 < а < 1, на всем сегменте [а, 6], то.
En (f) < Сп~а, причем увеличение показателя, а в этом неравенстве невозможноб) если En (f) < Сп~а, 0 < а < 1, то f (x) Е Lz’por лишь на всяком сегменте [с, d] С (а, 6).
Таким образом, оказалось, что условие En (f) < Сп~а, в отличие от периодического случая, не позволяет получить конструктивное описание класса Lip, а на всем сегменте.
Вопрос о конструктивной характеристике непериодических функций / Е Lip, а долго оставался открытым. Лишь в 1946 г. С. М. Никольский [4] показал, что если / 6 Lip 1 на сегменте [—1,1], то для любого п найдется алгебраический многочлен степени не выше чем п, такой, что выполняется неравенство.
Полученный результат означает, что функцию / Е Lip 1 можно приблизить у концов отрезка лучше, чем во внутренних точках. Это обстоятельство и послужило основанием для высказанной С. М. Никольским гипотезы о том, что при конструктивном описании классов непериодических функций нужно использовать не однородные, а взвешенные приближения, учитывающие положение точки на отрезке. Неоднородность шкалы приближений возникает от того, что концы отрезка являются его особыми точками на комплексной плоскости, в то время как периодический случай сводится к изучению функций на окружности, таких особых точек не имеющей.
Эта гипотеза получила свое подтверждение в работах А. Ф. Ти-мана и В. К. Дзядыка. В 1951 г. А. Ф. Тиман [5, 6] доказал следующее прямое утверждение о приближении функций из классов Гельдера.
Теорема 0.2. Если функция f (x), заданная на отрезке [—1,1], имеет там r-ю производную, модуль непрерывности которой w (t), то для любого п > г существует алгебраический многочлен Рп{х) степени не выше п, такой, что выполняется неравенство f (x) — Р"(х)| < Сг.
VTT.
X* 1 со г.
X* п п* J где постоянная Сг не зависит от п и /. п 1 п.
0.1).
В 1956 г. В. К. Дзядык [7] доказал возможность полного обращения условия (0.1) в предположении, что u>(t) = ta, 0 < а < 1. Затем, в 1957 г. А. Ф. Тиман [8] обобщил теорему Дзядыка, установив возможность обращения условия (0.1) при таком же ограничении на u (t), что.
М*), и в периодическом случае: J < 00•.
После получения Тиманом и Дзядыком описания классов Гельде-ра на отрезке с помощью взвешенных приближений возник вопрос: не является ли условие inf.
Pn:degP".
71 С < оо, п = 1,2,.,.
0.2) совпадающее с (0.1) при р = оо и u (t) = ta} конструктивной характеристикой классов Гельдера в метрике Ьр.
Опираясь на предшествующие работы Г. К. Лебедя [9] и М. К. Потапова [10−13], ответ на этот вопрос дал В. П. Моторный [14] в 1971 г. В работах Лебедя и Потапова рассматривались классы функций и заданных на отрезке [-1,1] и имеющих r-ю производную f^(x), интегрируемую в р-й степени, для которой при любом 0 < h < 1 выполнено h)-/W (®)||Mw.4< ли, соответственно, р) (жл/Г^Т? — hy/Т^Щ — /^(ж).
VT^h +h?) С.
Если г = 0, то классы 1,1] суть классы С. М. Никольского. Г. К. Лебедь и М. К. Потапов показали, что при р = оо классы и совпадают, а при 1 < р < оо пересечение этих классов не пусто. Кроме того, они дали конструктивное описание класса при.
О < а < 1.
Теорема 0.3. Для того, чтобы f (x) G необходимо и достаточно, чтобы для любого п > г нашелся алгебраический многочлен степени не выше п, такой, что f (x) — Рп (х) 1 г+а nj.
С г п г+а ¦ где постоянная Сг не зависит от п и /.
В свете полученных результатов существенным оказался вопрос о связи между классами и. Были предположения, что класс.
Щг+а) содержится в классе [15]. В. П. Моторный установил, что классы и различны при 0 < а < 1 и совпадают при, а = 1.
Таким образом, класс функций, удовлетворяющих условию (0.2), не совпадает с Н^г+а, а ф 1.
В. П. Моторным были предприняты попытки конструктивно описать классы.
В работе [14] им была получена оценка порядка роста величины наилучшего взвешенного приближения функций класса алгебраическими многочленами.
Теорема 0.4. Если функция f (x) € то существует постоянная Сг, зависящая только от г, такая, что для любого п > г найдется алгебраический многочлен степени не выше п, удовлетворяющий неравенству f (x) — Рп (х) I г+а п) Сv.
1п1/р п п.
Г+Q.
0.3).
Теорема 0.4 является одним из вариантов усиления аналога теоремы Джексона в интегральной метрике. Однако неравенство (0.3) не характеризует класса поскольку этому неравенству удовлетворяют также функции класса Кроме того, условие (0.3) необратимо. Для конструктивного описания классов Моторный предложил использовать не многочлены, а некоторые кусочно-полиномиальные агрегаты.
Результаты, полученные Моторным, натолкнули на мысль, что классы Щ при, а ф 1, по-видимому, вообще не допускают конструктивной характеристики с помощью обычных взвешенных полиномиальных приближений. Причина этого явления была вскрыта Е. М. Дынь-киным при изучении более общих классов О. В. Бесова [3] (1986). В работе [3], как частный случай конструктивной характеристики классов Бесова B*q, Е. М. Дынькин получил описание классов Щ = В^ с помощью более сложного, чем (0.2) условия. Оказалось, что условие / (Е Врр эквивалентно соотношению.
00 1 N.
1 /Р оо, где.
En (f)va = inf м — Рп (х) viZ2 1 Г.
V * п2/.
Таким образом, проблема конструктивного описания классов Щг+а) была частично разрешена. Ответ же на вопрос о структурной характеристике класса функций, удовлетворяющего условию (0.2) дает, как мы видели, теорема 0.4.
В работе [16] М. К. Потаповым была рассмотрена более общая задача: каков класс непериодических функций, для которого на отрезке [-1,1] выполнено условие.
1 Р2 inf.
Р&bdquo- :degP" <п f (x)-Pn (x)} (1-*F (1+xf (l-аи.
•< cHa+r) п.
При ограничениях на параметры /3 = j = 0npi = p2 это условие совпадает с условием (0.2). Такое обобщенное условие позволяет одновременно исследовать в интегральной метрике классы, описываемые однородными и взвешенными приближениями.
Известно [17, 18], что для того чтобы функция f (x) G Щ необходимо и достаточно, чтобы f (x) почти всюду совпадала с функцией ограниченной вариации, если р = 1, или с интегралом от некоторой функции из Lp} когда р > 1. Это позволяет при р > 1 одновременно описывать классы и классы С. JL Соболева Wlp, I = г + I. Изучением классов С. JI. Соболева занимался Е. М. Дынькин. В работе [3] им был получен непериодический аналог теоремы 0.1 для случая I > 2 -целое.
Теорема 0.5. Функция / 6 Lv[—1,1] входит в класс 1,1], 1 < р < оо, I = 2,3,., тогда и только тогда, когда для некоторой последовательности {Ру} алгебраических многочленов степени не выше 2й, п = 0,1,.
1 / оо 2д Р/2? I/W — (2-л^ 4- 4~nJ dx< 00. (0.4) п=0 /.
Конструктивное описание классов С. Л. Соболева производилось с помощью псевдоаналитического продолжения F [19, 20], обладающего dF «тем свойством, что его комплексная производнаяг— быстро убываoz ет при приближении к отрезку [—1,1] на плоскости. Скорость такого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции /.
Е. М. Дынькин переформулировал стандартное определение класса.
8 °F.
С. Л. Соболева в виде некоторой модульной оценки на -7—. dz.
Теорема 0.6. Функция / G Wlp[-1,1], 1 < р < оо, / = 1,2,., тогда и только тогда, когда возможно ее продолжение F с оценкой.
— 1 II S (x).
4СЛ-М]).
— idF (() дС.
2 d^dri р/2 dx < 00, (=? + irj, (0.5) где d (C, [-1,1]) = mf< d (C, [-1,1])} сектор Н. Н. Лузина..
Такое описание класса на языке псевдоаналитического продолжения оказывается полезным в теории приближений, так как к одинаковым оценкам вида (0.4) могут привести совершенно разные конструкции продолжения. Существует продолжение, связанное с модулями гладкости функции /, и продолжение, связанное с ее наилучшими приближениями. Когда эти способы продолжения приводят к одина-8 °F ковым оценкамтр-, то констатируется совпадение соответствующих классов функций, т. е. получаются конструктивные описания типа теорем 0.1, 0.3, 0.5..
В данной работе классы С. Л. Соболева рассматриваются на несвязном множестве. Принципиальная возможность сколь угодно хорошо приближать непрерывные функции полиномами на достаточно общих компактах была доказана С. Н. Мергеляном [21] (1951). А в 60−70-х годах появились работы Н. А. Лебедева и П. М. Тамразова [22−24], в которых условия связности множества при доказательстве обратных утверждений оказались несущественными. Первый результат об аппроксимации функций классов Гельдера на несвязных множествах с помощью взвешенных приближений принадлежит Нгуен Ту Тханю [25] (1981). Нгуен Ту Тхань рассматривал конечное дизъюнктное объединение континуумов, имеющих внутренние точки, причем класс функций на всех континуумах был одним и тем же. Кроме этой статьи, в настоящий момент имеются лишь публикации [26−33], в которых классы функций изучаются на несвязных множествах. В работах [28, 29] в качестве такого множества берется конечная система дизъюнктных отрезков. Более того, в отличие от работы Нгуен Ту Тханя в [28] аппроксимация функций классов Гельдера проводится в предположении, что они имеют различную степень гладкости на разных отрезках..
Ни одной работы, кроме [30−32], в которой бы классы функций описывались в интегральной метрике на несвязном множестве, ранее не было. В [30−32] и в данной диссертации эта задача решается для дизъюнктных отрезков..
Содержание работы. В первой главе данной работы доказана возможность весового приближения в метрике Lp алгебраическими многочленами непрерывных функций с суммируемой в р-ой степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков в комплексной плоскости. Полученная скорость приближения пригодна для описания в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений указанных пространств..
Прежде чем сформулировать основные результаты, введем ряд т обозначений. Пусть Е = U sk ~ объединение конечного числа попарно непересекающихся отрезков sk = [сц^Ьь] в плоскости комплексного переменного z. Далее, пусть G (z) — функция Грина области (Г Е с полюсом в бесконечности-.
Удалось установить справедливость следующего утверждения, формулировку которого мы приводим здесь в сокращенном варианте (полную формулировку теоремы 1.1 см. п. 1.7): пусть функция f (z) непрерывна на множестве Е и удовлетворяет условию f'(z) Е LPk (sk), 1 < Pk < оо, k = 1, т. Тогда при каждом натуральном п существует алгебраический многочлен степени не выше п, такой, что имеет место неравенство где постоянная с не зависит от п..
Замечания. 1. Так как поведение расстояния ph (z) до линии уровня Ch множества Е при z 6 sk = 0 < h < 1, характеризуется соотношением к-1 h = {z:ze 0, линии уровня множества Е1- ph (z) = dist (z,?h), z e E..
Cih (h + sjz-ak\z-bk) < ph{z) < C2h (h + yf z — CL k I z h) где С1, С2 — положительные постоянные, не зависящие от h и 2, то легко видеть, что используемая здесь весовая характеристика ph (z) согласуется с теми весами, которые рассматривались В. П. Моторным [14], М. К. Потаповым [16] для случая одного отрезка-.
2. Особенностью данного результата является то, что он установлен для случая, когда на каждом из отрезков Sk задан свой класс непрерывных функций /: /' Е LPk (sk)..
В п. 1.1. приведены предварительные определения и обозначения. Далее, для того, чтобы иметь возможность приближать функцию / одновременно на всех отрезках единой последовательностью многочленов, возникает необходимость перехода к связному множеству. С этой целью множество Е достраивается до кусочно-гладкого континуума (точнее, семейства континуумов) М{Е z,., zm) без внутренних точек с внешними к М углами, равными 7г/2, 27 г, 27т/т. В п. 1.2 описано построение континуума М и получен ряд его граничных свойств, необходимых нам в дальнейшем..
В п. 1.3 построено покрытие исходного множества Е системой интервалов, учитывающее положение точки z € Е относительно угловых точек континуума М, и доказано вспомогательное утверждение, использующее метрическое свойство этого покрытия. Пункты 1.2−1.3 представляют собой «техническое» введение к последующим рассуждениям..
Во многих случаях идея доказательства прямых утверждений заключается в получении представления исходной функции с помощью ядра Коши, с одной стороны, и построения последовательности полиномов, хорошо приближающих ядро Коши, с другой. Применяемые же методы доказательства зависят от вида рассматриваемых множеств и классов функций. В данном случае для достижения первой цели в п. 1.4 функция / непрерывно продолжается с исходного множества Е до некоторой функции /() с компактным носителем на плоскости. Свойства построенного продолжения позволяют применить к /о формулу Коши-Грина и получить представление функции / на множестве Е с помощью ядра Коши (см. (1.45)). Заметим, что условие финитнос-ти, накладываемое на функцию /о, дает возможность продолжать с каждого отрезка Sk фактически свою функцию = Д..
Пункт 1.5 посвящен выбору вспомогательного приближающего полинома Pn (M-z) (см. (1.46)), зависящего от конкретного континуума из семейства М{Е zb ., zm)..
В п. 1.6 получена оценка приближения функции / вспомогательными полиномами Рп (Мz) на отрезке s/. (см. лемму 1.4). Доказательство леммы 1.4 не является сложным, но достаточно трудоемко и использует некоторые классические результаты о свойствах ядер типа Джексона, максимальной функции ХардиЛиттлвуда и максимального преобразования Гильберта..
Наконец, в п. 1.7 приведен окончательный вид приближающего полинома Pn (fEz) (см. (1.60)) и проведен завершающий этап доказательства теоремы 1.1. Сначала показано, что вспомогательные полиномы Рп (Мz) позволяют описать в интегральной метрике функцию / на отрезке s*, к = 1 ,., т, с весом ph (M]z) (ph (M-z) — расстояние от точки z? М до прообраза окружности радиуса 1+/г с центром в начале координат при конформном отображении области ФМ на внешность единичного круга). Полученная оценка приближения (см. (1.63)) не зависит ни от п, ни, что весьма существенно, от выбора континуума из семейства M (Ez, ., zm). Далее, с помощью вспомогательных конструкций и связи между весовыми характеристиками ph (z) и ph (M-z) при 2 G Е, установленной в п. 1.2, удается доказать непосредственно утверждение теоремы 1.1..
Предметом дальнейшего изложения являются классы С. JI. Соболева W{E), I = 2,3,. Во второй главе работы получена конструктивная характеристика классов С. JI. Соболева на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков (см. теорему 2.1): функция f (z), суммируемая с квадратом на множестве Е, принадлежит классу W! j,{E), I — 2,3,тогда и только тогда, когда существует последовательность алгебраических многочленов {Р2"} такая, что degP2n < 2″, п = 0,1,., и оо? I/W — Р2-Ш2p2-n (z)-2ldz < 00, (0.6).
Е га=0 где P2~n{z) — расстояние до линии уровня С2-" множества Е..
В силу замечания 1 достаточность условия (0.6) следует непосредственно из теоремы 0.5. Интерес представляет доказательство необходимости этого условия, чему и посвящена вторая глава работы..
В п. 2.1 приводятся необходимые сведения о классах рассматриваемых областей, функций и некоторые вспомогательные результаты, используемые в дальнейшем..
Как и в первой главе, изучение классов C.JI. Соболева предварительно производится на множестве Е как части континуума М и использует непрерывное продолжение функций / € Wl2{E) на всю плоскость, описание которого дано в п. 2.2. Однако в отличие от главы 1 здесь рассматривается более сложное, псевдоаналитическое продолжение. Псевдоаналитическим продолжением функции /, первоначально заданной на множестве Е, называется такое продолжение до функции dF (z) г с компактным носителем на плоскости, что ее производная — oz быстро убывает при приближении к Е, причем скорость такого убывания однозначно характеризует гладкость исходной функции. В работе [3] Е. М. Дынькин приводит три различных способа псевдоаналитического продолжения: с помощью квазиконформной симметрии, с помощью локальных приближений, с помощью глобальных приближений. Первые два типа псевдоаналитического продолжения позволяют получать прямые утверждения, а последняя конструкция — обратные. В частности, при доказательстве прямых теорем для классов С. JI. Соболева Е. М. Дынькин использует псевдоаналитическое продолжение, построенное с помощью квазиконформной симметрии, предполагающей наличие у рассматриваемого континуума внутренних точек. Поэтому прямое описание классов С. Л. Соболева на отрезке оказывается более сложным, чем в случае области, и требует переноса рассуждений с области <27 [—1,1] на область, являющуюся образом внешности единичного отрезка при некотором конформном отображении. В данной работе при построении псевдоаналитического продолжения возникают дополнительные проблемы, решение которых составляет едва ли не главную трудность переноса результата Е. М. Дынькина на множество дизъюнктных отрезков. Во-первых, фигурирующий в работе континуум М не позволяет применить без изменений подход Е. М. Дынькина для случая отрезка, а требует введения для области ф Sfc, к — 1, ., ш, уже двух конформных отображений, причем более сложного вида (см. п. 2.2.1). Во-вторых, так как область, где псевдоаналитическое продолжение равно нулю, не может быть отделена от континуума М, то существенной становится задача сведения функции.
— dF (z).
F к нулю с сохранением скорости убывания ее производной ——^ при.
J Z приближении к М. Эта задача решается в пп. 2.2.2, 2.2.3. В п. 2.2.4 получено представление псевдоаналитического продолжения F с помощью ядра Коши (см. (2.28)), в, а п. 2.3 дано прямое описание класса Wt>{E) на континууме М с помощью псевдоаналитического продолжения (см. лемму 2.1)..
В п. 2.4 приводятся необходимые свойства континуума М и напоминаются некоторые результаты В. К. Дзядыка, касающиеся приближения ядра Коши многочленными ядрами K.2n (z](), z? М,? ? Ф М..
— 19.
Пункт 2.5 посвящен доказательству теоремы 2.1. Доказательство проводится в два этапа. В п. 2.5.1 получена оценка приближения псевдоаналитического продолжения F вспомогательными полиномами P2″ (M-z) (см. (2.46)) на континууме М, которая вкупе с леммой 2.1 позволяет дать прямое описание класса W^{E) в интегральной метрике с весом pk (M-z) (см. (2.45)). Далее, в п. 2.5.2 с использованием конструкции, подобной той, что рассматривалась при доказательстве теоремы 1.1, по полиному P2n (M]z) строится окончательный вариант приближающего полинома Е z) (см. (2.52)), не зависящий от выбора континуума из семейства М{Е zi,., zm) и доказывается условие (0.6). оо.
Ввиду присутствия в условии (0.4) суммы не удается, по край.
71=0 ней мере с помощью описанных выше рассуждений, получить конструктивное описание типа теоремы 0.5 классов Wlp (E), I = 2,3,., •1 < р < оо, при рф2..
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [30−32]. Работа докладывалась на международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов — 2000» в МГУ и на Герценовских чтениях в РГПУ им. А. И. Герцена в 2000 гоДУ.
Заключение.
В работе получены следующие результаты..
1. Доказана возможность весового приближения в метрике Lp алгебраическими многочленами непрерывных функций с суммируемой в р-й степени первой производной на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков в комплексной плоскости. Полученная скорость приближения не зависит от степени приближающего многочлена и пригодна для описания в терминах скорости взвешенных полиномиальных приближений указанных пространств..
2. Дана конструктивная характеристика классов С. JL Соболева W^ I > 2 — целое, на конечном множестве попарно дизъюнктных отрезков. Описание производится на языке взвешенных полиномиальных приближений. Отметим, что условие типа (2.44) не позволяет дать конструктивную характеристику классов С. Л. Соболева в случае 1=1. Кроме того, используемые в работе методы доказательства не пригодны для описания классов Wp, I > 2 — целое, р ф 2. Таким образом, вопрос о конструктивной характеристике классов Wp, I > 2 — целое, р ф 2, остается открытым для дальнейшего исследования..
3. Установлена справедливость ряда граничных свойств кусочно-гладкого континуума без внутренних точек с внешними углами, равными 2тг/т, m? IV, m ф 2. Подобные свойства были получены ранее из более общих соображений в предположении, что континуум имеет внутренние точки либо представляет собой единичный отрезок..
В заключение выражаю искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Николаю Алексеевичу Широкову за постановку задач и постоянное внимание к работе..
