Некоторые классы полных систем, достаточные и эффективные множества

п. 1. Приведем некоторые часто используемые в работе обозначения, определения и вспомогательные результаты. Всюду ниже символами 14, 1Ч0, Ъ, К, С обозначаются множества всех натуральных, целых неотрицательных, целых, вещественных и комплексных чисел соответственно. Для множества С) комплексной плоскости С и точки г е С р (г, := {|г — у: у е }- расстояние от ъ до — Кк := {г е С: ъ < Я} -открытый круг с центром в начале координат радиуса Я > 0. Определим пространство А0© всех аналитических в области в расширенной плоскости С функций? (:Г (со) = 0, если ооеО) с топологией, задаваемой набором преднорм Рд (Г) = БИр!]: ^)!: ъ е }, где Р — любое замкнутое подмножество в. Сопряженное к этому пространству допускает изоморфную реализацию Кете-Теплица [48] в виде некоторого пространства аналитических функций. Напомним эту реализацию в случае односвязной в С области 1 в. Пространство А (0) алгебраически изоморфно векторному пространству А0(со) классов локально аналитических на множестве С функций, исчезающих в бесконечно удаленной точке. Пусть? еА0(со) — класс эквивалентности, содержащий росток g- ^ е А (С) — Гконтур (замкнутая спрямляемая жорданова кривая), лежащий в О, внутренность которого сог держит все особенности ?. Изоморфную реализацию А© в виде А0(с в) осуществляет оператор

Р: й е А0(с с) е А (О)', Ф|^) = /Г (г)8(г)<1г.

711 р

Приводимые ниже сведения из теории локально выпуклых пространств (л.в.п.) можно найти, например, в [34]. Пусть Е — л.в.п. с топологически сопряженным к нему пространством Е'-о (Е', Е) (|3(Е', Е)) — слабая (сильная) топология в Е'. Мы будем использовать также эти понятия в более общем случае, когда л.в.п. Е и Б образуют дуальную пару. Через А0 обозначим поляру (в Е') множества, А с Е: А0 := {ф 6 Е': | ф (х) | < 1, Ух е, А }. Всякому абсолютно выпуклому поглощающему в Е множеству, А можно сопоставить преднорму рА (х) И^ { А, > 0: X Е^А }, которая называется функционалом.

Минковского множества, А. Символом асопуА будем обозначать замкнутую абсолютно выпуклую оболочку множества, А в Е, а бочкой, как обычно, в л.в.п. назовем всякое его абсолютно выпуклое поглощающее замкнутое подмножество. Пространством Фреше называется полное метризуемое л.в.п. Примером пространства Фреше может служить л.в.п. A (G). Отметим, что выписанный выше алгебраический изоморфизм F становится топологическим изоморфизмом a0(cg) и сильного сопряженного a (g)? при наделении пространства Ао (С G) соответствующей индуктивной топологией.

Выделим особо случай, когда область G р-выпукла, 0 < р < оо [15]. Предполагаем (при р Ф 1), что О eG. Пусть h (-o) — ее р-опорная функцияКппоследовательность р-выпуклых компактов, исчерпывающих G изнутри, с р-опорными функциями hn (-0) — [p, h (o)) — множество всех це ln| y (rei6)| лых функций, у которых индикатор при порядке р h (6) := lim.

Г—>00 J-P меньше, чем h (o). В [p, h (9)) вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств у е [р, h (0)): || у I := sup—- < со >, n > 1. В силу обобzec exp|z| hn (argz) щенной теоремы Полиа, обобщенное преобразование Бореля Г t устанавливает топологиD к к=0 к=0 V Р у ческий изоморфизм между пространствами [р, Ь (б)) и А0(С в), так что а (0)р можно отождествить с [р, Ь (б)).

Если Оограниченная р-выпуклая область, то в векторном пространстве а (о) локально аналитических на О функций вводится топология индуктивного предела последовательности банаховых пространств Ас (Оп) аналитических вОпи непрерывных в Опфункций с зир-нормой. Здесь Оп-ограниченная р-выпуклая область с р-опорной функцией (— б), ьп+1(е)>ьп (е)>ь (е) (п = 1,2,.) и ншьп (е)=ь (е), уе. как известно п—>00.

15], А^в) — Ь]ЧГпространство, то есть [35] внутренний индуктивный предел последовательности банаховых пространств, каждое из-которых вложено вполне непрерывно в последующее. Пространство, А (Ототождествляется с [р, Ь (в)] = рго] где.

У е [р, • || У |: Эйр—-<�Со,}>1. гесехр^! ^(ш^) п. 2. Настоящая диссертация посвящена исследованию приближений элементов л.в.п. линейными комбинациями элементов фиксированной последовательности с определенной оценкой на коэффициенты этих комбинаций. Начало этому направлению теории аппроксимаций было положено в работе Ф. Дейвиса и Ки-Фана [45], а также в серии статей С. Я. Хавинсона 60 — 61гг. (см., например, [38]). Последний из авторов пришел к указанной теории, отправляясь от более конкретных задач, связанных, в частности, с экстремальными проблемами для аналитических функций, удовлетворяющих дополнительным ограничениям, и аппроксимацией на множествах аналитической емкости нуль. Дальнейшее развитие абстрактная теория усиленно полных систем получила в работах С. Я. Хавинсона [39], [40]. Вместе с тем, в настоящее время известен целый ряд конкретных результатов, дополняющих и усиливающих в направлении учета коэффициентов классические аппроксимацион-ные теоремы Вейерштрасса, Мюнца, Лаврентьева и др. Некоторые из этих результатов были получены с использованием специальных приемов, но без привлечения общей теории работ [45], [38] - [40]: Дж. Стафни [51], М. Голичек и Д. Левиатан [53], Р. М. Тригуб [37], В. И. Гурарий и М. А. Мелетиди [8]. Другие авторы (Ф.Дейвис и Ки-Фан [45], С. Я. Хавинсон [40], О. А. Мурадян [30], В. В. Напалков [32], И.Ф.Красичков-Терновский [21]) частично или целиком опирались на принципы двойственности экстремальных задач, лежащих в основе абстрактной теории усиленной полноты. Следует отметить, что в подавляющей части перечисленных работ изучается поведение вполне определенных систем элементов в наиболее употребительных банаховых пространствах (в частности, — степенной и экспоненциальной систем в пространстве С[а, Ь] непрерывных на отрезке [а, Ь] функций). При этом почти не изучен случай, когда аппроксимация ведется в произвольном л.в.п.- мало исследован вопрос о полноте с учетом коэффициентов важных в приложениях систем в конкретных ненормированных функциональных пространствах.

Содержание диссертации изложено в трех главах. Первая глава посвящена построению общей теории приближений с ограничениями на коэффициенты в локально выпуклых (не обязательно нормированных) пространствах. В § 1 главы I, по-видимому, впервые в такой общей форме вводятся (определения 1.1.1 и 1.1.2) два класса полных систем с ограничениями на коэффициенты: 3-полные и ослабленно 3-полные системы. Учет коэффициентов приближающих линейных комбинаций здесь ведется с помощью некоторого набора 3 = { С) } абсолютно выпуклых подмножеств пространства Ф всех финитных последовательностей скаляров. Частные случаи 3-полноты и ослабленной 3-полноты вводились ранее. Так, О (р) полнота С. Я. Хавинсона [39] в нормированном пространстве соответствует случаю, когда 3 состоит из одного множества () :={сеФ:р (с)<1} (р — преднорма на Ф). Для преднорм р вида (^>0 заданы) Н и > 1) такие системы изучались Ф. Дейвисом и Ки-Фаном [45]. В частности, при Sj =1 0=1,2,.) получаем абсолютно полные и ослабленно абсолютно полные системы, введенные И.Ф.Красичковым-Терновским (для банаховых пространств) [21] и Ю. Ф. Коробейником (для произвольных л.в.п.) [57] соответственно. Основным результатом § 1 первой главы является теорема 1.1.1, устанавливающая критерий 3 -полноты системы элементов отделимого л.в.п. (о.л.в.п.) в двойственных терминах слабо ограниченных множеств сопряженного пространства. Для определенного класса пространств, сопряженные к которым допускают реализацию в виде некоторого пространства аналитических функций, этот результат формулируется в более удобном для применения виде (теорема 1.1.3) в терминах введенных в п. 2 § 1 3-определяющих множеств. Это позволяет подключить к изучению 3-полных систем теорию аналитических, в частности, целых функций. Такой подход не нов и применялся ранее при изучении разложений в ряды (см., например,.

15], [17]).

Во втором параграфе главы I рассматриваются важные частные случаи усиленно полных систем — абсолютно полные и ослабленно абсолютно полные системы (а.пол.с. и ос.а.пол.с. соответственно). В основе их изучения лежит следующее утверждение, вытекающее из теоремы 1.1.1.

Теорема 1.2.1 .Последовательность Х = (хк)^=1 элементов о.л.в.п. Е является а.пол.с. в Е тогда и только тогда, когда Х°— <�т (Е', Е) ограниченное множество в Е'.

В качестве приложения теоремы 1.2.1 получено описание абсолютно (ослабленно абсолютно) полных систем степеней с весами в пространстве.

А (0).

Теорема 1.2.3. Пусть О — содержащая начало координат односвяз-ная область в С с границей сО и (10 := тТ^г: ъ е 50} -расстояние от О до dG. Пусть, далее, а = (ак)к=0 — некоторая последовательность поло.

1/ жителъных чисел и a+=limakk. Если dGоо

Z. :=.

VakA=0 не является ослабленно абсолютно полной в A (G). Если же dG > а+, то система Za абсолютно полна в A (G).

Теорема 1.2.4. Пусть G — односвязная область в С, 0? GпоследоX вательность Х = (Хк)^=0 чисел е N0 возрастает и lim—= 1- к->оо к.

— /А, а^ >0, к = 0,1,2,., и а^:=Ита (кк. Если dG>a^, то система к->оо а.

V к Ук=0 абсолютно полна в A (G). Если dG < &-х, то Z^ не является ос.а.пол.с. в А©.

В заключении § 2 первой главы устанавливается существенность требования «густоты» последовательности X в условии теоремы 1.2.4. Строятся также примеры, показывающие, что в неохваченной теоремой 1.2.4 ситуации а^ < dG < а^ абсолютная (ослабленно) полнота системы существенно зависит от структуры расходящейся последовательности f у, а k.

V А=о.

В §§ 3,4 вводятся в общих л.в.п. и изучаются в пространствах Фреше и канонических индуктивных пределах (КИП) последовательностей нормированных пространств (то есть, внутренних индуктивных пределах Е = кк1Еп п—> с непрерывными вложениями Еп<-«~ Еп+1, П = 1,2,.) различные классы абсолютно приближающих систем (АПрС).

Определение 1.3.1. Последовательность X = (хк)к=1 элементов л.в.п.

Е с определяющим топологию набором преднорм Р назовем АПрС в Е, если для любых X Е Е и р Е Р найдется константа С < оо такая, что всяким 5 q Е Р и 8 > 0 соответствует линейная комбинация у = Скхк со свойS ствами: q (x-y)<8, Ск |р (хк) < С. к=1.

АПрС является частным случаем 3-полных систем (достаточно положить 3 = {Qp}рер, Qp = <[с = (ск)к=] ЕФ: Х|ск|р (хк)<4). к=1.

Определение 1.4.1. Последовательность Х = (хк)к=1 элементов л. в.п. Е назовем секвенциально АПрС (САПрС) в Е, если для любых х е Е и р 6 Р можно подобрать константу С < оо и последовательность s S.

1 I /.

X ск пхк — сходящуюся к х в Е, так, чтобы sup ^ Ск п р (хк) < С. к=1 ' Jn=i п>1 к=1.

Определение 1.4.2. Систему элементов X = (хк)к=1 из Е назовем равномерно САПрС (PCАПрС) в Е, если для произвольного хеЕ найдется последовательность s Л.

ХСк, пХк сходящаяся к х в Е, со свойством.

Vk=1 Л=1 sn.

Slip Ckn p (xk)l k=l.

Напомним, что абсолютно представляющей системой (АПС) [15] в л.в.п. Е называется последовательность X = (хк)к=1 ненулевых элементов.

Е такая, что всякий элемент х из Е можно представить в виде ряда.

00 х=^Скхк, абсолютно сходящегося в Е. Используя технику, развитую к=1.

Ю.Ф. Коробейником в [15], [17] для приведенного проективного предела [11] Е = рго] (Еп, | • |) последовательности банаховых пространств, Ю.Ф.

— п.

Коробейник и автор получили следующий результат [56].

Теорема 1.3.2. Пусть X = (хк)к=1 — последовательность ненулевых элементов пространства Фреше Е с определяющим топологию набором преднорм рт, т>1. Система X будет абсолютно представляющей в Е тогда и только тогда, когда /п > 1 Зт > 1 ЗСП < оо: Уф е Е' С.

8ир{|ф (х)|:х е Е, рт (х)< 1 }< Cn sup Ф.

X,.

Рп (Хк1.

•Рп (хк)>0.

Из теорем 1.3.2, 1.2.1 и свойств ограниченных множеств в сопряженном пространстве следует, что в пространстве Фреше при условии.

Рп (хк) > 0' п> к — 1>2,.—, свойства последовательности X = (хк)к=1 быть АПрС, САПрС, РСАПрС и АПС равносильны между собой и тому, что.

Уп>1 хк.

— а.пол.с. Потребность в понятиях САПрС и РСАПрС.

1Рп (Хк)Л=1 вызвана переходом к пространствам с более сложной топологической структурой. В качестве базового пространства в § 4 взят КИП последовательности нормированных пространств. Ранее АПС в таких пространствах изучались в работах [15], [18], [28]. Следуя Ю. Ф. Коробейнику [15], будем говорить, что КИП Е = И1с1Еп л.в.п. Еп обладает свойством (Уо), если для всякой послеп—> довательности (хк)к=1 элементов из Е такой, что ряд^хк абсолютно схок=1 дится в Е, найдется номер п, для которого множество { хк }к=1 содержится в со.

Еп и ряд 2>к абсолютно сходится в пространстве Еп. Если для всякой по-к=1 следовательности (хк)к=1 элементов из Е, содержащейся в некотором про.

00 странстве Еп и такой, что ряд ^ хк абсолютно сходится в Е, найдется нок=1 оо мер ш, для которого ряд^хк абсолютно сходится в Ет, то говорят [28], к=1 что Е обладает свойством.

Р-(У0). Согласно [27], КИП Е = ШЕп л.в.п. г, п-> а-регулярен (соответственно, (3-регулярен), если каждое множество, ограниченное в Е, содержится в некотором пространстве Еп (соответственно, если каждое множество, ограниченное в Е и содержащееся в одном из пространств Еп, будет также ограничено в некотором Ет). Наконец, КИП Е называется регулярным [11], если любое ограниченное в Е множество содержится и ограничено в некотором Еп (то есть, если Е одновременно аи (3-регулярно). В обзорной статье [15] устанавливается такой результат.

Теорема А. Пусть Есильное сопряженное к рефлексивному пространству Фреше, обладающее свойством (У0), Е = тс1Еп, Епбанаховы п-«.

Пусть, далее, последовательность.

Хк.

X = (хк)к=] удовлетворяет условиям: хкеЕ, к = 1,2,.) — 1ш1^ = 0 п-> пространства с нормами™ хк п = 1,2,.). Для того, чтобы система X была абсолютно представляющей в Е, необходимо и достаточно, чтобы /п > 1 Зт > 1 ЗАп < оо :

8ир{|ф (х)|: х е Еп, | х ||п < 1 }< Ап зир г ф хк: к >1.

X,.

V к ш).

Уф е Е'.

Позднее в [28] было показано, что для КИП Е последовательности нормированных пространств Еп наличие свойства (Уо) равносильно регулярности.

Е. Но каждое сильное сопряженное к рефлексивному пространству Фреше может быть представлено [42] в виде регулярного КИП последовательности банаховых пространств. Поэтому теорема, А дает фактически критерий для АПС в произвольном сильном сопряженном к рефлексивному пространству Фреше. Возникает естественная задача: будет ли равномерная по ф е Е' нехк ф.

X.

V к т обходимым и достаточным условием того, что X — АПС в Е (без всяких ограничений на X)? В диссертации показывается, что эта оценка необходима для того, чтобы X была АПС в Е, причем в качестве Е можно взять произвольный регулярный КИП последовательности банаховых пространств. В то же время строится последовательность простых дробей, не являющаяся АПС в пространстве А (Кк), но удовлетворяющая выписанной выше оценке. Таким образом, установлена существенность ограничений, наложенных на X в условии теоремы А. Отсутствие удобного в применении критерия для последовательности X без каких-либо ограничений на ее расположение и рост затрудняет, в частности, выяснение вопроса о возможности разложения функций из, А (в) в абсолютно сходящиеся в А (о) ряды по фиксированной системе простых дробей. В этой связи представляет определенный интерес общий критерий того, что последовательность X = (хк элементов регулярного КИП последовательности нормированных пространств (Еп, • ||) образует в нем РСАПрС. Применительно к ЬТЧ* -пространству (или строгому КИП) Е критерий, установленный в § 4 (теорема 1.4.2) выглядит следующим образом: X — РСАПрС в Е <=> Ух е Е Зт > 1 ЗВХ < сю: ф (х)|<�Вх81ф'.

Г.

Ф хк: х. е Ет > к т х,.

V к т/ УфЕЕ'.

Для получения этого результата в п. 1 § 4 гл. 1 вводится новое ретрактивное свойство (3-(У0) (определение 1.4.3) и доказывается его равносильность свойству (3-(У0) (теорема 1.4.1). Из теоремы 1.4.2 получается ряд любопытных следствий. Во-первых, если X — РСАПрС в ЫМ* -пространстве Е, удовлетворяющая дополнительным ограничениям из условия теоремы А, то X будет АПС в Е. Так, всякая РСАПр в А (о) система Миттаг-Леффлера.

Вр (А, кг))? с —> оо является в А (о) АПС (О-р-выпуклая ограниченная область). Во-вторых, из теоремы 1.4.2 вытекает существование РСАПрС, не являющейся АПС. Пример такой системы простейших дробей в А (Кк) (п. 4 § 4) показывает качественное отличие теории приближающих систем в пространствах Фреше от аналогичной теории в индуктивных пределах. 1 V изучаются в п. З § 3 в проК.

Более подробно системы вида ъкУк=1 с индуцированной из А (в) топологией т странстве л.0 с индуцированнои из /ци) топологиеи т0. Возможность представления функций из различных пространств рядами по системе простых дробей, оценки на коэффициенты таких рядов (ряды Вольфа-Данжуа) и свойства функций, допускающих указанное представление, были предметом исследования в работах Дж. Вольфа [52], А. Данжуа [44], А. А. Гончара [7], Т. А. Леонтьевой [25], [26], Ю. Ф. Коробейника [16], Р. В. Сибилева [36] и др.

Г л.

Один из первых примеров АПС вида 1 ъ-Х не являющейся базисом, кЛ=1 был построен в [43]. При этом авторы работы [43] для специального банахо-вого пространства аналитических функций установили, что возможность представления каждой функции из этого пространства рядом Вольфа-Данжуа равносильна существованию нетривиального разложения нуля (н.р.н.) по соответствующей системе простых дробей. Первые примеры н.р.н., тесно связанные с вопросом о единственности разложений функции в ряды ^——, к=1 ъ — Хк были построены Вольфом [52]. В дальнейшем Данжуа [44] в примерах по. Достаточные условия едина, добного рода удалось получить оценки на ственности, выраженные в терминах скорости убывания | ак, неоднократно уточнялись [25], [26], [7]. Законченный результат в этом направлении полунедавно Р. В. Сибилевым [36]: для того, чтобы из условий чен оо, а к к=1 г — А, 0, ъ > 1, ак < Сек (вкI б) следовало ак = 0, к > 1, необ.

1П8, ходимо и достаточно, чтобы ^ —— —00 • Эта теорема находит естественк=1 ное применение к вопросу о возможности разложения функций из а (о) в ряды Вольфа-Данжуа, сходящиеся равномерно внутри жордановой области О, с коэффициентами, убывающими с заданной скоростью [36, § 9]. Однако, доказательства Сибилева существенно используют специфику жордановой области, и потому остается открытым вопрос о справедливости результатов [36] в более общих классах областей О. В этой связи отметим работу.

Ю.Ф.Коробейника [16], в которой для широкого класса областей О в С установлена связь (типа критерия) между наличием н.р.н. в О по системе.

1 V —.

— и возможностью разложения любой функции? 6 А0(о) в ряд.

2~К]к=1 ао со —-—, ^ | ^ < со, сходящийся к Г по топологии т0. Возникает нерек=1 ъ — к=1 шенная пока следующая задача. Пусть О — область в С, О^С, От^СХк? О, к = 1,2,. Каково должно быть множество Л = {^к}к=1' чт°бы по 1 Т —.

— образовывала АПС в (А0 (в), Т0)? Выбор (А0(о), т0) в качестве исходного пространства обусловлен, в частности, отсутствием в А0(0) абсолютно представляющих систем вида Бд [16, § 1]. В диссертации поставленная задача решается для АПрС. Основным результатом является.

Теорема 1.3.3. Пусть О — область в С, О ^ С, 50 = <ЭО — компакт в С, С О связно. Пусть, далее, Л = (А, к) к=1 — последовательность попарно следовательность Бд :=.

00 различных точек из С О. Для того, чтобы система Б, а 1 л была.

АПрС в пространстве (Ао (о), Тс-необходимо и достаточно, чтобы.

50 сА. Если еще, А ограничена, то условие сЮ с: А является необходимым и достаточным для того, чтобы Бд была а.пол.с. (или, что все равно, ос.а.пол.с.) в (А0(о), т0).

При доказательстве теоремы 1.3.3 используется общая теория АПрС (§ 3), основанная на переходе к сопряженному пространству, и методика работы [16].

Вторая глава посвящена изучению достаточных множеств в индуктивных пределах весовых пространств целых функций.

Систематические исследования различных вопросов представления аналитических функций функциональными рядами (см., например, [24], [17], [31], [9], [29]) выявили особую роль, которую играют такие множества в указанной тематике. Как показано Ю. Ф. Коробейником ([15], [17]), в ряде важных в приложениях функциональных пространств имеется двойственная связь: система (Г (/^г))^, где Г — целая функция с определенными свойствами, является АПС в Е О множество Л = {Хк }к=1 слабо достаточно для сопряженного пространства Е'. При этом множество 8 называется слабо достаточным [50] для индуктивного предела, А весовых пространств Ап целых в См функций, если исходная топология в, А совпадает с некоторой «дискретной» топологией, построенной по множеству 8 (точное определение см. в п. 1 § 1 гл. П).

В § 1 гл. П вводятся и изучаются в общей ситуации работы [1] определяющие множества, в терминах которых можно описать как слабо достаточные множества, так и множества, возникающие при изучении абсолютно полных и абсолютно приближающих систем. Слабая достаточность множества 8 для, А легко выражается через условие непрерывного вложения каждого банахова пространства Ап в некоторое определенное множеством 8 полунормированное пространство [17]. А. В. Абанин заметил [1], что если 8-множество единственности для А, то при естественных ограничениях на, А соответствующие непрерывные вложения могут быть заменены обычными [1, теорема 2]. Основной результат § 1 гл. П (теорема 2.1.3) распространяет теорему 2 из [1] на Т]^)-определяющие множества. Он используется затем в § 2 гл. П и § 3 гл. Ш при изучении у-достаточных множеств и абсолютно полных систем экспонент.

Второй параграф второй главы целиком посвящен введенным Ю. Ф. Коробейником у-достаточным множествам и их связи с абсолютно полными и абсолютно представляющими системами Миттаг-Леффлера.

Пусть Ь (б) — 2ппериодическая р-тригонометрически выпуклая функция, 0 < Ь (0) < оо- 0 < у < 1, ут Т 1 .В соответствии с общим определением [20] множество, А = {^к}к=1сС называется у-достаточным для пространства [р, Ь (0)), если /ос < у Зш > 1 ЗСа < со :

5иР-Р-'[У], V Уу€[р, Ь (е)). Негесехра^! ща^г) к>1 ехрут| Ак| п (аг§ Ак) ограниченное множество, А назовем у-эффективным для [р, И (Э)), если lim.

Z—"со.

L, 1 — у + Ш H vy е [p, h (e)). При у = 1 onz I h (argz) I Xk| h (arg^k) ределение эффективного множества дано Ийером [47] для h (6) = G и распространено Ю. Ф. Коробейником и А. В. Абаниным ([15],[1]) на случай произвольной ртригонометрически выпуклой функции h (0) (положительной при р Ф 1). Связь между удостаточными и уэффективными множествами устанавливают теоремы 2.2.1 и 2.2.2. В частности, в пространстве [p, h (9)) эти понятия совпадают (следствие теоремы 2.2.2). Полученные в п. 1 § 2 гл. П результаты обобщают соответствующие теоремы А. В. Абанина, установленные для у = 1, и доказываются тем же методом. В п. 2 § 2 у-достаточные для p, h (e)) множества A = {A, k}k=1 характеризуются определенным аппрокси-мационным свойством систем Миттаг-Леффлера (Sp (A, kz))™' —'вр Л в р-выпуклой области G с ропорной функцией h (— б) (предложение 2.2.2). В предложении 2.2.3 доказано, что всякое у-достаточное для [p, h (6)) множество порождает абсолютно представляющую в каждом из пространств (A (G), TaG) систему 8рд, а <у. Приводится пример, показывающий, что обратное утверждение неверно. В заключении § 2 дана оценка снизу для отличной от тождественного нуля целой функции, обращающейся в нуль во всех точках у-достаточного для [p, h (9)) множества.

Основная задача, поставленная в третьей главе, состоит в следующем. Пусть G — выпуклая ограниченная область в С, А =)к=1 — последовательность попарно различных комплексных чиселМ = (Mk)k=1, Мк > 0, к = 1,2,. Требуется установить, когда система f F л, м ех к У к=1 будет абсолютно полной в A (G). Впервые вопрос об абсолютной полноте системы вЛМ (в пространстве С[а, Ь]) был поставлен И.Ф.Красичковым-Терновским [21]. Пусть п" (г) обозначает число точек множества П в круге {г: ъ — Х < г }. Говорят [21], что последовательность Л имеет конечную концентрацию, если ЗА > 0: п^(г)<�Аг, УаеС,.

Уг>г0. Положим (c)8 :=| е:|0|<|-б1и| е:|е-тг|<^-б!>;

I ХкеА'|Лк ] л):= {б:8е ^ ф }- Н (9):=М.

1пМ,.

Пш: Л'.

ХкеЛ'.

Н (э) = со, если.

80=ф) — Б:= р|{2:Яеге-10 <�н (б)}. Основной результат работы [21] о<�е<2я теорема 1) утверждает: если Л имеет конечную концентрацию и С03(8>о), то для того, чтобы 8ЛМ была абсолютно полной в.

С [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы множество ОП[а, Ь] состояло не более чем из одной точки.

Изучение абсолютно полных систем экспонент было продолжено Г. Н. Шиловой [41]. Ею получено достаточное условие того, что £ЛМ а.пол.с. в В-пространстве Ас (о) для ограниченной выпуклой области О. Чтобы сформулировать его, напомним определение индекса концентрации ^ 8 2 пл (г)-1.

1(Л) последовательности Л [41]: 1(А)=НтНт—г [ у '-с1г. Моди.

8->° Ъ 0 г фицировав определение множества 8е всех подпоследовательностей Л' с Л, вполне сгущающихся в направлении Э и).

§ 0 := А’аА:Хк, >со, агё^к. >6, Ал, > 4-е) длина проекции О на перпендикулярную лучу агёг = —9 прямую, АЛ,-минимальная плотность А') и построив по нему (как и выше) функцию Н (0) и множество Г. Н. Шилова установила следующий результат [41]: если 1(Л) = 0 и ЭИдв* = ф, где в* то 8ЛМ — а.пол.с. в Ас (о).

Содержание третьей главы настоящей диссертации примыкает к исследованиям [21], [41]. В § 1 главы III доказан ряд утверждений, относящихся к системе ВЛ м, последовательность показателей которой либо ограничена, либо составлена из целых чисел. При этом используется теорема 1.2.4 и некоторые классические результаты теории целых функций (теорема Картрайт и др.). В § 2 задача абсолютной полноты системы ВЛ м исследуется для показателей Л = (А, к) к=1, являющихся нулями целой функции Ь экспоненциального типа (ц.ф.э.т.). Такой выбор последовательности Л берет свое начало от работ А. Ф. Леонтьева (см., например, [24]). Достаточное условие абсолютной полноты 8ЛМ в A (G) формулируется в § 2 в традиционных [15], [2] терминах оценок снизу на рост функции L (глобальный) и ее производной (в точках Хк). Ц.ф.э.т. имеет вполне регулярный рост (в.р.р.) на луче.. lnL (rei0)| arg X — В [22], если существует предел hL (0) = lim—, где Е0 — не.

Г—>со гге0 1 которое множество нулевой относительной меры, то есть mes (E f](0,r)) lim-— ' = 0. Функция L, имеющая в.р.р. на каждом луче неко.

Г-«СО Jторого угла, а < argz < ?, называется функцией в.р.р. внутри этого угла. В случае, а = 0,? = 2п L называют просто функцией в.р.р. Приведем основной результат § 2 гл. III.

Теорема 3.2. Пусть G — ограниченная выпуклая область в С с опорной функцией h (-6)>0- L — ц.ф.э.т. с индикатором hL (0).

1) L имеет вполне регулярный рост внутри некоторой пары вертикальных углов Г, и Г2, содержащих вещественную ось, и.

Г) L имеет вполне регулярный рост в каждом из углов Tj ! j arg Л, — 0j < Xj, гдеXj>о, o<0!<7i ren+1:=e1+27r-, MhL (ej)=h (0j)Ji.

2)3ae[l, 0]{0}, 3co>0: limi— + coh (arg^k)}<0;

4M J.

3) 8ЛМа.пол.с. в A (G).

Справедливы импликации: 1), 2) => 3) — Г), 2) => 3).

Результаты подобного рода для АПС экспонент хорошо известны [15], [2]. Основным моментом их доказательства является использование рядов Лагранжа. При доказательстве теоремы 3.2 дополнительно привлекаются теорема Фрагмена-Линделефа и теория функций класса Картрайт. Теорема 3.2 применяется к у-достаточным множествам (следствие 1) и к одной задаче А. Ф. Леонтьева [23] о целой функции в.р.р. (следствие 2). Наконец, в § 3 гл. Ш условие абсолютной полноты системы Вл м в А© формулируется в геометрических терминах. Следуя А. В. Братищеву [6], будем называть величину.

Yn = lirT1! im.

1 5|?'n^k®-l.

8—>0 к—>oo f dr индексом конденсации последовательности Q. Нам понадобятся также следующие характеристики: dQ (a, р) = lim lim «» fr -?)-dn (6) := lim dn (6 — s, 8 + e) — kil (k — l) r h (e):=h e+ h e 0 e [0,2п). Здесь h (-B) — опорная функция выпуклой области GnQ (r, kra, ?) — число точек из Q, попавших в сектор {z: г < kr, а < argz <? }. Величина dQ (oc,?) участвует в определении минимальной угловой плотности [12] и использована в [3] для геометрической характеризации показателей представляющих систем экспонент.

Определим для 60 Е [0,2тс) совокупность S0o (Л) всех подпоследовательностей Л0 с: Л таких, что Хк ——>оо и argA, k —^^—>Э0, и по.

1пМ, ложим lim, а м, л lim к—>00 м’л (0о) —^6л (е0) ^ 1пМ, Ул (е0) Для Л (0о)е (Л) — ПУСТЬ к' кН^КУ.

Следующее утверждение, являющееся основным результатом § 3, близко по духу цитированным выше теоремам И.Ф.Красичкова-Терновского и Г. Н. Шиловой. Некоторым усилением, по сравнению с этими теоремами, здесь является отказ от условия уЛ = 0.

Теорема 3.3.3. Пусть О — выпуклая ограниченная область в С с опорной функцией Э) > 0- М = (Мк)к=р Мк > 0- Л =)к=1, Хк е С. Пусть, далее, л < 1 и имеются совокупности направлений 0 и подпоследовательностей {Л (90)}е 0, Л (Э0)е 8е (Л), обладающие свойствами:

ФА.

2п i) veoe0 dA («o)(e0)>

И) множество Р) {Ыеге 100 <^мл (е0) } содержится в О .

0О60.

Тогда £л м — абсолютно полная система в А (О). В заключении § 3 на основе теоремы 3.3.1 для любой 2п-периодической тригонометрически выпуклой положительной функции И (б).

18 и произвольного У G (0,l) строится у-достаточная для [l, h (9)) последовательность Л = (А, к) к=1 с конечным набором предельных точек множества {arg Хк }к=1. Построение такого множества при у = 1 возможно лишь для функций h (9) специального вида. Показывается существенность условия <3^ Л <1 и точность теоремы 3.3.1.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре кафедры математического анализа Ростовского госуниверситета (руководитель — Ю.Ф.Коробейник). Они также сообщались на международной конференции «Теория приближений и гармонический анализ» (г.Тула, май 1998 г.), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (сентябрь 1998 г.), на семинаре под руководством В. А. Осколкова в МИФИ (г.Москва, 1999 г.).

По теме диссертации опубликовано 8 работ, 4 из которых выполнены в соавторстве с Ю. Ф. Коробейником. В совместных работах Ю. Ф. Коробейнику принадлежит постановка задачи, указание общего метода решения, а В. Б. Шерстюкову — проведение детальных доказательств.

Работа поддержана грантами РФФИ 96−01−1 041 и 99−01−1 018.

Автор искренне признателен своему научному руководителю профессору Ю. Ф. Коробейнику за постоянную помощь в работе и ряд ценных замечаний, способствовавших улучшению содержания диссертации.

1. Абанин A.B. О некоторых признаках слабой достаточности. — Матем. заметки, 1986, т.40, № 4, с.442−454.

2. Абанин A.B. Характеризация минимальных систем показателейпредставляющих систем обобщенных экспонент. Изв. вузов. Математика, 1991, № 2 (345), с.3−12.

3. Абанин A.B. Геометрические критерии представления аналитическихфункций рядами обобщенных экспонент. ДАН, 1992, т.323, № 5, с. 807 810.

4. Братищев A.B. К одной задаче А. Ф. Леонтьева. ДАН СССР, 1983, т.270,2, с.265−267.

5. Братищев A.B. Один тип оценок снизу целых функций конечного порядкаи некоторые приложения. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1984, т.48, № 3, с.451−475.

6. Братищев A.B. Достаточные условия интерполяционности множества вклассах целых функций, характеризуемых индикатором.-ДАН СССР, 1984, т.279, № 5, с.1036−1059.

7. Гончар A.A. О примерах неединственности аналитических функций. Вестник МГУ, 1964, № 1, с.37−43.

8. Гурарий В. И., Мелетиди М. А. Об оценках коэффициентов полиномов, аппроксимирующих непрерывные функции. Функциональный анализ и его приложения, 1971, т.5, № 1, с.73−75.

9. Епифанов О. В. Дискретизация множеств, слабо достаточных дляпространств аналитических функций. Деп. ВИНИТИ, № 3984−84, 7с.

10. Знаменский C.B. Об областях существования аналитических решений дифференциального уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Красноярск, 1976, 12с. (Препринт/АН СССР. Сиб. отд-ниеИн-т физики им. Л. В. Киренского, ИФСО — 6М).

11. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматгиз, 1959, 683с.

12. Кондратюк A.A. Целые функции с конечной максимальной плотностью нулей. I. Теория функций, функциональный анализ их приложения, 1970, в. 10, с.57−70.

13. Коробейник Ю. Ф. О полноте одной системы аналитических функций. -Матем. сборник, 1965, т.67(109), № 4, с.561−569.

14. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о представляющих системах. В кн.: Актуальные вопросы математического анализа, изд-во Ростовского ун-та, 1978, с.100−111.

15. Коробейник Ю. Ф. Представляющие системы. Успехи матем. наук, 1981, т.36, в.1, с.73−126.

16. Коробейник Ю. Ф. К вопросу о разложении аналитических функций вряды по рациональным функциям. Матем. заметки, 1982, т.31, № 5, с.723−737.

17. Коробейник Ю. Ф. Индуктивные и проективные топологии. Достаточныемножества и представляющие системы. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1986, т.50, № 3, с.539−565.

18. Коробейник Ю. Ф., Мелихов С. Н. Реализация сопряженногопространства с помощью обобщенного преобразования Фурье-Бореля. Приложения. Сб.: Комплексный анализ и математическая физика. Красноярск, 1988, с.62−73.

19. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие семейства и реализациясопряженного пространства. Изв. вузов. Математика, 1990, № 2, с.68−76.

20. Коробейник Ю. Ф. Максимальные и удостаточные множества.

.