Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром

Диссертация: Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Методика исследования. Для получения достаточных условий существования ю-периодических решений используется критерий периодичности х (са, а, Х)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической… Читать ещё >

Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • Глава I. Применение матрицанта системы линейного приближения к решению периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром
    • 1. Представление матрицанта системы линейного приближения
    • 2. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного вектора
    • 3. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру
  • Глава II. Периодические решения краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае особого вида начального значения
    • 1. Условия существования ненулевых периодических решений исследуемой системы дифференциальных уравнений
    • 2. Решение обобщенной периодической краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений
  • Глава III. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае, когда нелинейная часть системы представима в виде суммы векторформ
    • 1. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части выше, чем матрицы системы линейного приближения
    • 2. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения
    • 3. Решение обобщенной периодической краевой задачи системы дифференциальных уравнений

Актуальность темы

В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений в окрестности нулевого.

Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 21, 31, 42, 49−51, 61, 70, 77, 80]. В частности, системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей линейного приближения возникают в многоуровневой модели противоопухолевых реакций [24], в балансовых экологических уравнениях [66]. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Как, например, при моделировании процесса конкуренции за питательный субстрат между гиперциклами (белковонуклеотидными комплексами), суммарная концентрация которых принята постоянной [64].

Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о построении фундаментальной матрицы системы линейного приближения в явном виде в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.

Таким образом, задача определения условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с краевыми условиями в рассматриваемом случае представляется весьма актуальной.

Цель работы. Рассматривается система дифференциальных уравнений x = A{t, X) x + f (t, x, X), (0.1) где х — пмерный вектор, X — тмерный параметр, матрица A (t, X) и вектор-функция f (t, x, X) непрерывны по совокупности переменных и со-периодические по t. Вектор х = 0 является решением системы (0.1) при любом значении параметра X. На множестве решений системы (0.1) заю со дан векторный функционал J = fe (t, x, X)dt, J (r, 0, X)dt = a, где Ф ((, х, Х) о о непрерывная кмерная вектор-функция, а — постоянный кмерный вектор. Ставится задача определения условий существования ненулевого со-периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого, при котором векторный функционал J сохраняет постоянное значение а.

Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [60] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем с помощью степенных рядов, составленных по степеням малого параметра, начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин [2], Б. В. Булгаков [И], И. Г. Малкин [44], Л. И. Мандельштам [48], Б. Хэссард [77] и другие ученые.

Метод малого параметра Пуанкаре, опирающийся на выделение основной системы с малым параметром и порождающей системы, в которую первая переходит при нулевом значении параметра, применяется во многих исследованиях [8, 43, 76, 85].

Ключевые идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [54].

Открытие А. А. Андроновым [2] и Е. Хопфом [83] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. Е. Хопф в работе [83] устанавливает, что при потере устойчивости особой точки появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркации Хопфа для различных систем посвящены работы [50, 53, 67, 77, 86]. Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах А. А. Андронова и его коллег [2−4].

Вопросам бифуркации предельных циклов для различных систем посвящены работы Бобылева Н. А. [5,6], Малышева Ю. В., Захарова В. П. [46, 47], Черкаса JI.A. [78] и других авторов [12, 17, 70, 86]. Остановимся кратко на некоторых полученных результатах. В работе [5] определение условий существования предельного цикла системы обыкновенных дифференциальных уравнений опирается на метод функциона-лизации параметра и построение операторного уравнения, решения которого и позволяют определить наличие изолированных предельных циклов. Апостериорная оценка дает возможность при этом получить еще и локализацию решения. В статье [46] для установления существования предельного цикла используются мешок Бендиксона и обобщенные функции Ляпунова, которые предполагается удовлетворяют некоторым условиям.

Обобщенные функции Ляпунова применяются в ряде работ для нахождения условий существования периодических решений. Так в работе Малышева Ю. В. и Захарова В. П. [47] для построения области, содержащей устойчивый предельный цикл, предлагается математическая процедура посекториального использования нескольких функций Ляпунова. Описанный метод применяется к двумерной автономной системе дифференциальных уравнений. Воскресенский Е. В. [18] использует построение функций Ляпунова для исследования проблемы существования периодических решений у существенно нелинейных дифференциальных уравнений и применяет полученные таким образом результаты к уравнениям, описывающим нелинейные колебания. Функции Ляпунова используются для установления существования и устойчивости решений в работах [45, 55, 90].

Сложность прямой задачи привела к появлению работ, в которых исследуются системы, не имеющие периодических решений. В статьях [82, 89] рассмотрены достаточные условия отсутствия периодических решений в классе систем нелинейных дифференциальных уравнений.

Для качественного исследования систем дифференциальных уравнений применяется локальный метод нелинейного анализа, предложенный А. Д. Брюно [10]. Этот метод состоит в сведении исходной системы с помощью локальной замены к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо является более простой. В сложных случаях исследуемая окрестность определенным образом разбивается на куски. Для исследования этим методом требуется определить нормализующее преобразование.

Малкин И.Г. в монографии [44] рассматривает неавтономную систему дифференциальных уравнений с Г-периодической правой частью и скалярным параметром. Ставится задача о существовании Т-периодического решения при малом значении параметра, которая сводится к решению недифференциального уравнения. Доказана единственность периодического решения при условии разрешимости этого уравнения и описана процедура получения других уравнений для поиска периодических решений. Также И. Г. Малкиным рассмотрены автономные системы и предложен итерационный алгоритм построения периодического решения для неавтономных систем. Вопросы устойчивости периодических решений исследовались в работе [45].

Для построения периодических решений многими исследователями используется метод итераций. Так в работе [9] итерационный алгоритм применяется к слабовозмущенным автономным нелинейным системам в критических случаях при кратных корнях уравнения для порождающих амплитуд. При этом отыскивается периодическое решение с периодом близким к периоду решения порождающей системы. Лаптин-ским В.Н. в статье [36] рассматриваются уравнения вида.

Для уравнения (0.2) решение строится в виде рядов, содержащих целые отрицательные степени параметра. Приводится модифицированный алгоритм построения последовательных приближений для уравнения (0.3), в котором каждое приближение является ©—периодической функцией. Итерационные алгоритмы применяются в работах Бобылева Н. А. [6], Вавилова С. А. и Юхневича С. В. [15,16], а также других авторов.

В работе Гребенникова Е.А.и Рябова Ю. А. [22] описаны различные конструктивные методы построения периодических решений, в частности, итерационный метод, метод усреднения, асимптотический метод. Метод усреднения состоит в построении для системы дифференциальных уравнений с помощью некоторого оператора усреднения так называемой усредненной системы. При этом оператор усреднения подбирается таким образом, чтобы исследование усредненной системы оказаx = A (t)x + f (t), x = A (t)x + f (t, x).

0.2) (0.3).

В, 59]. лось проще, чем исходной системы, а получаемое решение мало отличалось от решения исходной системы.

Метод усреднения лег в основу исследований Д. Хейла. В работе [76] им изучены нелинейные дифференциальные уравнения, свойства которых существенно обусловливаются нелинейностью. В частности, им рассмотрена система y = B (t)y + q{t, y, е), (0.4) периодическое решение которой строится методом последовательных приближений, а устойчивость определяется с помощью характеристических показателей.

На принципе усреднения основан и асимптотический метод. Применение асимптотических методов в задаче поиска периодического решения изложено в работе [7] Е. Н. Боголюбовым и Ю.А. Митрополь-ским.

Е.В. Воскресенским в статье [19] описан способ поиска периодических решений методом сравнения. Уравнением сравнения в данной работе является дифференциальное уравнение, не имеющее Т-периодических решений, за исключением состояния равновесия (начала координат). Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

В.А. Пписсом [55, 56] рассмотрены вопросы существования периодических решений и их устойчивость в большом для систем с периодической правой частью. При изучении периодических систем первого и второго порядков используется именно тот факт, что системы имеют указанный порядок, то есть обобщить методы и результаты на системы более высокого порядка нельзя. Для исследования многомерных периодических систем используются признаки существования неподвижных точек топологических преобразований евклидова пространства в себя.

М.А. Красносельский [32−33] сводит проблему существования периодических решений неавтономных систем к проблеме существования неподвижных точек оператора сдвига по траекториям системы. Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области.

В работах [35, 57] исследуется проблема существования периодических решений матричного уравнения Ляпунова = XA (t)X + 7JCB{t)+XF (t). (0.5) dt.

Подолян С.В. в работе [57] использует проекционный метод для получения коэффициентных условий существования и единственности периодического решения.

Лаптинским В.Н. и Титовым В. Л. в работах [37, 71, 72] рассмотрены периодические решения полулинейных дифференциальных систем вида.

— = A{t, x) x + f (t). (0.6) dt.

Для системы (0.6) на основе проекционно-функционального метода разработан алгоритм построения со-периодического решения, изучены вопросы локализации этого решения, а также получены эффективно проверяемые условия существования и единственности со-периодического решения в заданном представлении.

Краевая задача наряду с задачей Коши является одной из основных в теории дифференциальных уравнений. Исследованию разрешимости краевых задач для систем дифференциальных уравнений посвящены работы Бойчука А. А. [8], Ешукова Л. Н. [25], Рудакова В. П. [65] и других авторов [28, 81, 84]. Монография Бойчука А. А. [8] посвящена проблемам существования и разработки алгоритмов построения решений линейных краевых задач для слабовозмущенных линейных и нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Краевые условия задаются линейным векторным функционалом. В зависимости от конкретного вида функционала рассматриваются двухи многоточечные, а также широко распространенные периодические краевые задачи. В частности, исследуются системы вида х = Л (0* + ф (0> (0−7) x = A (t)x + (p (t) + eZ (t, x, s), (0.8) х = A (t)x + eAl (t)x + ф (/), (0.9) краевые условия для которых задаются равенством Lx = а. Для указанных систем строится обобщенная матрица Грина, с помощью которой исследуется структура множества решений таких задач. В статье Ешу-кова JI.H. [25] краевые условия приводят к построению оператора, неподвижная точка которого и определяет решение задачи. Доказательство существования такой точки опирается на теорему Шаудера.

Метод неподвижной точки при нахождении достаточных условий существования периодических решений используется в статьях М. Т. Терехина, Н. В. Ретюнских, В. А. Ковалева, К. В. Бухенского, Е.Ю. Лис-киной, П. С. Ивличева и др. [13, 14, 26, 29, 30, 38, 39, 52, 62, 63, 68, 69, 87, 88].

Для системы дифференциальных уравнений x = A (t, X) x+f (t, x, X) (0.10).

Бухенским К.В. в работе [13] с использованием теоремы Боля-Брауэра доказано существование со-периодического решения с начальным значением, а = (о,.Да*) в предположении, что для элементов последнего столбца матрицы A (t, x) справедливо представление ain (

Ковалев В.А. в статье [30] рассматривает систему (0.10), в которой матрица A (t, x) есть матрица с доминирующей главной диагональю. Фундаментальная матрица системы линейного приближения записывается в виде матрицанта, заданного рекуррентным соотношением. Строится система приближений, которая определяет оператор. Показано, что для него выполняются условия теоремы Шаудера. В силу полученных оценок из компактного множества приближений выделяется подпоследовательность, предел которой является искомым периодическим решением.

В работе [63] Ретюнских Н. В. рассматривает систему дифференциальных уравнений х = (A (t) + B (t, X) + F (t, х, Х))х. (0.11).

Показано, что условие со-периодичности решения системы (0.11) сводится к уравнению вида R (a, X) a = 0. При дополнительных предположениях относительно структуры столбцов матрицы R (a, X) получены достаточные условия существования периодического решения со специальным видом начального условия.

Методика исследования. Для получения достаточных условий существования ю-периодических решений используется критерий периодичности х (са, а, Х)=а. Посредством представления решения через правую часть системы и подстановки его в уравнение, определяющее условие постоянства векторного функционала, поставленная перед исследованием задача сводится к разрешимости системы уравнений с алгебраической главной частью. С учетом свойств формы младшего порядка в этой системе находится точка, в окрестности которой расположена пара начальное значение — параметр, определяющая периодическое решение системы дифференциальных уравнений (0.1). Доказательство теоремы о достаточном условии существования периодического решения проводится методом неподвижной точки оператора. Построение такого оператора осуществляется с помощью разложения функций по формуле Тейлора. Существование неподвижной точки оператора и доказывает наличие ненулевого периодического решения рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, сохраняющего постоянное значение векторного функционала.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы. Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, краткий обзор результатов других авторов, методика исследования, краткое содержание работы.

Результаты исследования проблемы существования ненулевого периодического решения применены к установлению условий разрешимости обобщенной периодической краевой задачи исходной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрены примеры применения теоретических положений. В частности, исследованы математические модели химических, экономических и социальных процессов.

Заключение

.

Работа посвящена поиску условий существования в окрестности нулевого решения ненулевого периодического решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром, удовлетворяющего краевым условиям.

Для исследуемой системы получены представления решения через начальные значения и параметр при различных предположениях относительно структуры правой части системы. Используя эти представления решения, условия существования периодических решений сведены к условию разрешимости систем недифференциальных уравнений. Аналогичные системы получены и для определения условий существования решения обобщенной периодической краевой задачи.

Получены необходимые условия существования ненулевого решения, а также условия разрешимости недифференциальных систем, обеспечивающие достаточные условия существования периодических решений в окрестности нулевого, связанные с коэффициентами разложений функций по формуле Тейлора. Доказательства достаточных условий проводятся методом неподвижной точки оператора.

.

Показать весь текст

Список литературы

  1. В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. -М.: Наука.- 1987.- 157 с.
  2. А.А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз. — 1959. — 915 с.
  3. А.А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М: Наука. — 1966.-568 с.
  4. А.А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М: Наука. -1967.-488 с.
  5. Н.А., Булатов А. В., Коровин С. К., Кутузов А. А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. — № 1. — С. 3−8.
  6. Н.А., Коровин С. К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. — № 3. — С. 301−306.
  7. Е.Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат. — 1955. — 344 с.
  8. А.А. Конструктивные методы анализа краевых задач. -Киев: Наук, думка. 1990. — 96с.
  9. А.А., Журавлев В. А., Чуйко В. Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42. — № 9. с. 1180−1187.
  10. Ю.Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука. — 1979. — 253 с.
  11. П.Булгаков Б. В. Колебания. -М.: Гостехиздат. 1954. — 891 с.
  12. Н.В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. — 1976. — 384 с.
  13. И.Бухенский К. В. К вопросу о существовании периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). -1998.-№ 1.-С. 8−15.
  14. И.Бухенский К. В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. на соиск. уч. степени канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та. — 1998. — 19 с.
  15. С.А. Критерий разрешимости резонансной периодической задачи в теории нелинейных колебаний // Докл. АН СССР. -1990. Т.312. — № 4. — С.787−790.
  16. С.А., Юхневич С. В. О периодических решениях автономных систем // Изв. вузов. Математика 1992. -№ 9. — С.13−15.
  17. М.М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука. — 1969. — 528 с.
  18. Е.В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. — 1991. — № 1.- С. 11−14.
  19. Е.В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференциальные уравнения. 1992. -Т. 28.-№ 4.-С. 571−576.
  20. Ф.Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ. — 1953. — 492 с.
  21. Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. -М.: Мир. -1986.-152 с.
  22. Е.А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. — 1979. — 431 с.
  23. .П. Лекции по математической теории устойчивости. -М.: Наука. 1967. -472 с.
  24. .Ф., Лифшиц М. А., Волькенштейн М. В. Математическая модель иммунной реакции // Биофизика. 1977. — Т.22. — С. 313 317.
  25. JI.H. Об одной функциональной задаче для обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1958. — Т. 13. -Вып. З.-С. 191−196.
  26. П.С. Достаточные условия существования периодического решения систем с особой зависимостью от параметра // Информатика и прикладная математика: Межвуз. сб. науч. тр., Ряз. гос. пед. ун-т Рязань: Изд-во РГПУ. — 2002. — С. 61−62.
  27. Канторович J1.B., Акилов Г. П. Функциональный анализ. -М.: Наука. 1984. — 572 с.
  28. И.Т., Мухигулашвили С. В. О нелинейных краевых задачах для двумерных дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т.40. — № 6. — С. 747−755.
  29. В.А. Исследование свойств решений неавтономной системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. — № 3. — С. 30−33.
  30. В.А. К задаче о со-периодических решениях нелинейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения (качественная теория). Межвуз. сб. науч. тр. Рязань: Изд-во РГПУ — 1997. — С.39−42.
  31. В.А. Математическая экономика. -М.: ЮНИТИ. 1998. -245 с.
  32. М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. — 1966. — 332 с.
  33. М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука. — 1962. — 457 с.
  34. А.Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. — 1963. — 432с.
  35. В.К. Об одном представлении периодических решений матричного уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 8: Тезисы докладов Международной математической конференции. -Брест: Изд. С. Б. Лавров. — 2002. — С.102.
  36. В.Н. К вопросу о построении периодических решений неавтономных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1983.-Т. 19. — № 8. — С. 1335−1343.
  37. В.Н., Титов В. Л. Алгоритм построения периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. — Гомель. — 1999. — С. 76−67.
  38. Е.Ю. О периодических решениях систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. — № 3. — С. 60−65.
  39. Е.Ю. Об использовании векторного параметра при получении достаточных условий существования малых периодических решений системы дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2002. — № 6. — С. 67−71.
  40. Л.А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа.-М.: Наука. 1965.-510 с.
  41. A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гос-техиздат. — 1950. — 471 с.
  42. В.П. О некоторых обобщениях некоторых дифференциальных уравнений, краевых задач и их приложения к задачам экономической динамики // Функционально дифференциальные уравнения. Вестник ПГТУ. — Пермь: Изд-во ПГТУ. — 1997. — № 4. -С.103−120.
  43. И.Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. М.: ГИТТЛ. — 1949. — 246 с.
  44. И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехиздат. 1956. — 491 с.
  45. И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. — 1966. -532 с.
  46. Ю.В., Захаров В. П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25. — № 2. -С. 212−216.
  47. Ю.В., Захаров В. П. Функции Ляпунова и автоколебания // Дифференциальные уравнения. 1987. — Т.23. — № 4. — С.722−724.
  48. Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука. -1972.-470 с.
  49. Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М.: Мир. — 1983. — 400 с.
  50. Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. М.: Мир. — 1980. — 367 с.
  51. В.П. Об одном подходе к моделированию механизмов ценообразования // Экономика и математические методы. 1994. -Т.ЗО. -вып.1. — С.137−147.
  52. Д.С. О периодических решениях нелинейных автономных систем дифференциальных уравнений // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2004. — № 8. — С. 57−62.
  53. Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука. — 1972. — 471 с.
  54. В.В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ. — 1949. — 550 с.
  55. В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука. — 1964.-367 с.
  56. В.А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. — Т. 137. — № 5.-С. 1060−1073.
  57. С.В., Юрасова Л. П. Проекционные метод отыскания периодических решений матричного дифференциального уравнения Ляпунова // Еругинские чтения 6: Тезисы докладов международной математической конференции. — Гомель. — 1999. — С. 72−73.
  58. Л.С. обыкновенные дифференциальные уравнения. -М.: Наука. 1965. — 332 с.
  59. М.М. Об одном подходе к построению периодических решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Воронеж.гос.ун-т. Воронеж. 2004. — 30с. — Рус. Деп. в ВИНИТИ 06.08.2004. — № 1374 — В2004.
  60. А. Избранные труды. М.: Наука. — 1971. — Т. 1. — 771 с.
  61. В.А., Самсон A.M. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференциальные уравнения. 1989. — Т. 25. — № 23. — С. 540−542.
  62. Н.В. Ненулевые периодическое решения системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2000. — № 3. — С. 117−120.
  63. Н.В. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений специального вида // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения (качественная теория). 1998. -№ 1.-С. 75−81.
  64. Ю.М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука. — 1984. — 304 с.
  65. В.П. Об одном обобщении краевой задачи Ешукова // Дифференциальные уравнения. 1991. — Т.27. — № 12. — С. 21 772 178.
  66. Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. — 1979. — 352 с.
  67. М.Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей. — 1989. — 87 с.
  68. М.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Изд-во РГПИ. — 1992. -88 с.
  69. М.Т. Существование малых периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Укр. мат. журнал. 2001. — Т.53. — № 5. — С.680−687.
  70. М.Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа «хищник-жертва» при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. -1999.-№ 2.-С. 82−93.
  71. В.Л. Об одном представлении периодических решений полулинейных дифференциальных систем // Вестник НАН Беларуси. Физ.-мат. н.-Минск: Изд-во НАН. 1999.-№ 1. — С. 13−17.
  72. В.Л. Периодические решения полулинейных дифференциальных систем // 8 Белорусская математическая конференция: Тезисы докладов. Минск: Изд-во ИМ НАНБ. — 2000. — С. 161.
  73. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. — 1980. — 496 с.
  74. Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука. — 1959. -Т.2. — 808 с.
  75. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир.- 1970.-720 с.
  76. Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир. — 1966. 230 с.
  77. ., Казаринов Н., Вэн. И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир. — 1985. — 280 с.
  78. Л.А., Шевцов И. Л. Предельные циклы нормального размера квадратичных систем с негрубым фокусом // Дифференциальные уравнения. 2004. — Т.40. — № 8. — С. 1076−1084.
  79. В.Н., Шеворакова Н. А. Исследование устойчивопо-добных свойств многосвязных систем // Молодые ученые Волго-Уральского региона на рубеже веков: Материалы научной конференции молодых ученых. Уфа: Изд-во БГУ. — 2001. — С.61−62.
  80. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Math-ematic/ Band 82/ BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. -1986.-P. 8−13.
  81. Cabada Alberto, Poulo Rodrigo L. Existence results for the problem (ф (м')) = f (t, u, u') with nonlinear boundary conditions // Nonlinear Anal. Theory, Math. and. Appl. 1999. -T.35. -№ 2. -P. 221−231.
  82. Duan Feng. On the nonexistence of limit cycles for a class of nonlinear differential system // Changde shifan xueyuan xuebao ziran kexue ban. -2001. T.13. -№ 4. -P.13−15.
  83. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. — T.94. — S. 1−22.
  84. Lu Wenlian, Chen Tianping. On periodic dynamical systems // Chin. Ann. Math. B. 2004. — T.25. — № 4. — P.455−462.
  85. Torres Pedro J., Zanolin Falio. Periodic motion of a system of two or three charged particles // J. Math. Anal, and Appl. 2000. — T.25. -№ 2. -P.375−386.
  86. Qu Xiu, Shen Cong. Hopf bifurcation of a class of biochemical reaction models // J. Liaoning Norm. Univ. Natur. Sci. 2004. — T.27. — № 1. -P. 21−24.
  87. Wang Feng, Ma Zhien. Persistence and periodic orbits for an SIS model in a polluted environment // Comput. and Math Appl. 2004. -T.47. -№ 4−5. — P. 779−792.
  88. Wojcik Klaudiusz. On existence of positive periodic solutions // Monatsh. Math. 1998. — T.125. — № 4. — P.343−350.
  89. Yang Qigui, Yan Ping. On the nonexistence of periodic solution for a class of nonlinear differential system // Chin. J. Eng. Math. 1998. -T.15. -№ 1. — P. 113−116.
  90. Zhu Ye-ming, Qiao Zong-min. The existence of almost solution of a kind of almost periodic equation // J. Anhui Norm. Univ. Natur.Sci. -2004. T.27. -№ 1.-P. 8−12.
  91. Е.А. О стабильной работе отраслей экономики // Национальная экономика: Проблемы и перспективы российских реформ. Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. Рязань: Изд-во РГПУ. — 2004. -С. 41−42.
  92. Е.А. К вопросу о представлении решения системы дифференциальных уравнений с параметром, имеющей переменную матрицу системы линейного приближения // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. — № 9. — С. 99−105.
  93. Е.А. Условия существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Известия РАЕН. Дифференциальные уравнения. 2005. -№ 9.-С. 106−114.
  94. Е.А. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз.гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. — 16с. — Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, № 543-В2005.
  95. Е.А. К вопросу о разрешимости периодической задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром // Ряз. гос.пед. ун-т. Рязань, 2005. — 14с. — Деп. В ВИНИТИ 19.04.2005, № 542-В2005.
  96. Е.А. Математическая модель развития отраслей экономики региона при заданном уровне потребления // Известия ТулГУ. Серия «Дифференциальные уравнения и прикладные задачи», Вып.1. Тула: Изд-во ТулГУ. — 2005. — С. 269−284.
  97. Е.А. Математическая модель реакции Белоусова-Жаботинского // Информатика и прикладная математика: Межвуз. Сб. науч. Тр., Ряз.гос.пед.ун-т. Рязань: Изд-во РГПУ. — 2005. — С. 195−198.
  98. Е.А. О математической модели боевых действий // Лобачевские чтения 2005. Материалы IV Всероссийский молодежной научной школы — конференции. — Казань: Казанское математическое общество — 2005. — Т.31. — С. 151−152.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!