Интегральные представления многообразия решений для некоторых переопределенных систем дифференциальных урвнений в частных производных, содержащих гиперболическое уравнение вторго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями

Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера? из физики, гидродинамики, теории-упругости и других разделов математической^ физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И. Н. Векуа, [3], А. В. Бицадзе [1]-[2], М. М. Смирнова [62]-[63], МХ. Салохиддинова [61], Л. Г. Михайлова [10]-[15], 3: Д. Усманова [65], Н. Р. Раджабова [27]-[58], Ф. Д. Гахова [6], К: Е. ОПЬег1 [7], К^.СаггоИ и К.81юлуаКег — [64], H. Begehr [4]- А. Д:Джураева [8]-[9] и их учеников.

Другим важным направлением в теории уравнений с частными' производными. является, изучение переопределенных систем дифференциальных уравнений с частными производными с регулярными и сингулярными коэффициентами. Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящены работы Л: Г. Михайлова [10]-[15], А. Д. Джураева [8]-[9], H. Begehr [4], Н. Р. Раджабова [27]-[58], Э.Р.Рузметова-[59]-[60] и их учеников.

Изучение переопределенньгх систем начали^ с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами.

Монография Л. Г. Михайлова [10] посвящена изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами. В работе Л. Г. Михайлова [14] им было найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой дх ду где «-целое положительное число.

В монгорафии Н. Раджабова [36] исследуются линейные переопределенные системы двух уравнений с сингулярной точкой и сингулярными линиями вида: ди а (х>У) А (х, у) дх х" ха ди Ь (х, у) /2(х, у) ду ур у" ' а также система ди [ ха (х, у) fx{x, y) дх га га ' ди yb (x, y) f2(x, y) ду гр гр ' где, а = const. > О, Р = const. > 0, г2 =х2 +у2, а (х, у), b (x, y), fj{x, y), (j = 1,2)заданные функции в прямоугольнике D = {(х,^):0<�д-<<5'1,0<>'<52}. В зависимости от параметров а, р {а <,/3<\ а = ,/3 = 1- а>, р> и другие возможные случаи), а также знаков а (0,0), ?(0,0), получены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Кроме того, изучаются сингулярные и сверхсингулярные линейные переопределенные системы двух уравнений, — содержащие гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными или сверхсингулярными линиями, а также с сингулярной или сверхсингулярной точкой. В монографии также исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.

В монографии Э. Рузметова [59] получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.

Кроме того, некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными 2 коэффициентами изучены в работах Л. Г. Михайлова, Н. Р. Раджабова, Э. Рузметова, а также их учеников, Р. Пирова, Б. Шарипова, Ф. Шамсудинова, Б. Шоимкулова, Н. Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящим к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Однако переопределенные системы, содержащие уравнения второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, мало изучены.

Основной целью настоящей диссертации является изучение переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными и~ сверхсингулярными линиями, содержащих гиперболическое уравнение второго порядка со спабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, которые исследуются впервые.

Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с переменымикоэффициентами, этот случай исследован полностью. Принтом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. Сначала изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения-Вольтерра со слабыми особыми линиями.

Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными, с сингулярными линияминайдено решение-системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.

В'1 работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными" и сверхсингулярными линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависящая от разных параметровстепенного характера.

Также в работе изучается переопределенная система двух линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями.

Цели и задачи исследования:

— Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

— Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной1 системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, предсгавимое в виде обобщенного степенного ряда по одному из переменных.

— Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных, уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, зависящее от разных параметров степенного характера.

— Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными, коэффициентами со слабосингулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.

Методика исследования. Используется метод интегральных представлений многообразия решений для гиперболического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами и представление многообразия решений для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами.

Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система трех линейных уравнений, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями, не изученная ранее. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре Математического анализа и теории функций, 2008;2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения» смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 25−30 • июня 2010 г., на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентовпосвященных «18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан» и «Году памяти ИмамаАъзама», ТНУ, апрель 2009 г, апрель 2010 г., Душанбе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-ми публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографического списка (66 наименований), изложена на 167 страницах.