Об исследовании консервативно-диссипативного перехода в системах дифференциальных уравнений с хаотической динамикой

Актуальность работы. Одним из выдающихся достижений XX века было открытие в динамических системах явлений, принципиально невозможных без наличия в них нелинейности. Эти эффекты были найдены в совершенно различных естественных науках: физике, химии, биологии, экономике. Найденные системы характеризовались с одной стороны полной нерегулярностью поведения, наблюдаемой стохастичностью (например, турбулентность), а с другой — внезапно возникающими стабильными режимами (ячейки Бе-нара). Как правило общее во всех этих системах было только одно — нелинейные члены в уравнениях, описывающих процесс. Сложность математического исследования заключалась в том, что для нелинейных систем нет общих принципов выписывания аналитического решения. Удается это сделать обычно только в редких случаях. Это породило новые методы исследования подобных систем, такие как теория бифуркаций, линеаризация вблизи стационарных или периодических решений, геометрический подход. Последний наметил связь с топологией.

Хотя считается, что в технике любые автоколебания, вызванные нелинейностью, являются вредными и, следовательно, исследования достаточно вести лишь в тех областях фазового пространства и пространства параметров, где система ведет себя как линейная, существует множество природных процессов (атмосферные явления, тайфуны, процессы в организме человека и животных), в которых нелинейность является неустранимой и более тогосущественной компонентой динамики. Исследование подобных явлений представляет научный и практический интерес, в то время как отсутствие общей теории мешает продвижению в соответствующих областях. К перечисленному можно добавить проблему управляемого термоядерного синтеза (УТС). Хотя в решении этой проблемы и был сделан существенный прогресс, она еще далека от своего окончательного решения.

Между тем, нелинейная динамика породила массу чисто математических моделей, например, огромное число моделей с дискретным временемразличного рода отображений. Связь этих отображений с реальными динамическими системами, обычно представленными в виде дифференциальных уравнений не всегда ясна. К примеру, эндоморфизм Бернулли и автоморфизм Бернулли часто приводятся в пример, как отображения, обладающие свойством перемешивания. Однако оба эти отображения, вообще говоря, являются разрывными, в то время, как большинство фазовых потоков в дифференциальных уравнениях непрерывны и дифференцируемы. Теория отображений, сохраняющих меру, и их специфических свойств, таких как эргодичность и перемешивание, подразумевает наличие этой инвариантной меры и несомненно может быть привлечена для исследования консервативных фазовых потоков (отображение Чирикова или отображение Пуанкаре каких-либо консервативных дифференциальных уравнений), однако для диссипа-тивных систем, динамика которых заключается в стремлении траекторий к какому-либо регулярному аттрактору (например, циклу), представляется маловероятным наличие какой-либо нетривиальной инвариантной меры (хотя дискретная мера, сосредоточенная, например, в циклах системы, и будет инвариантной, особого интереса она, скорее всего, представлять не будет). Что же до консервативных систем, то их отображения как правило не будут обладать даже свойством эргодичности, если в системе будет присутствовать хотя бы один устойчивый цикл (достаточно рассмотреть его область устойчивости, которая представляет собой инвариантное множество ненулевой меры). Нисколько не умаляя значения достижений различных областей нелинейной динамики и теории динамических систем, приходится признать, что текущий уровень знания (хотя бы на идейном уровне) относительно процессов в более или менее реалистичных моделях нелинейной науки весьма низок, что делает изучение и систематизацию данных о последних весьма актуальной темой.

К числу наиболее значимых вопросов нелинейной динамики можно отнести и задачи ламинарно-турбулентного перехода в гидродинамике и магнитогидродинамике (МГД), которые также затрагиваются в работе. Переход от регулярного ламинарного движения несжимаемой жидкости к нерегулярному турбулентному как правило сопровождается уменьшением рассеяния кинетической энергии, что можно рассматривать как своего рода консервативно-диссипативный переход. Выбор МГД в качестве одной из моделей для изучения обусловлен желанием приблизиться к уже упоминавшейся выше задаче УТС.

Цель и задачи работы. Главным образом, цель работы состоит в изучении хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений с консервативно-диссипативным переходом. Для этого были поставлены следующие задачи:

1. Численное и теоретическое изучение свойств полимодальных отображений — динамических систем с дискретным временем, являющихся обобщением т.н. унимодальных отображений, рассмотренных в работах Шарковского.

2. Проверка гипотезы о связи хаотической динамики в системах дифференциальных уравнений и хаотической динамики полимодальных отображений на примере ряда систем обыкновенных дифференциальных уравнений с применением аппарата математического моделирования.

3. Применение к рассматриваемым в работе системам метода Роберта Гилл-мора и сопоставление получаемых этим методом результатов с выдвигаемыми в работе гипотезами.

4. Реализация в виде программных комплексов и тестирование численных схем решения начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

5. Математическое моделирование первых стадий ламинарно-турбулент-ного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

6. Совершенствование методов численного анализа систем дифференциальных уравнений, в частности метода стабилизации периодических решений.

Научная новизна. Основными новыми элементами в диссертации являются следующие.

1. Предложены сценарии перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений, являющиеся обобщением сценариев, предложенные ранее в работах Магницкого H.A.

2. Предложен единообразный подход к описанию хаоса в консервативных и диссипативных системах.

3. В работе расширен список исследованных с точки зрения бифуркационного анализа систем, в частности, впервые рассмотрены некоторые начально-краевые задачи для МГД течений (т.е. течений проводящих жидкостей и газов, таких как плазма), для чего построены схемы высокого порядка, способные разрешать нестационарные аттракторы в соответствующих системах дифференциальных уравнений.

4. Впервые получены некоторые строгие результаты относительно полимодальных отображений.

5. Сопоставлены различные подходы к описанию хаоса, в частности, подходы Магницкого H.A. и Роберта Гиллмора.

Методы исследования. В работе использованы методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, теории бифуркаций, символической и хаотической динамики, численные методы решения нелинейных систем дифференциальных уравнений.

Практическая значимость. Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для дальнейшего развития универсальной теории динамического хаоса в различных видах динамических систем, главным образом — в описываемых системами дифференциальных уравнений. В то же время сами по себе выявленные правила сосуществования траекторий могут быть использованы в численной процедуре поиска нестационарных аттракторов в том случае, если возникнет практическая необходимость в поиске подобных решений. Подобная необходимость может возникнуть, например, при решении задач, связанных с подавлением хаоса или контролем над хаосом и турбулентностью в реальных физических установках, или оптимизации каких-либо параметров нестационарных течений. В частности, задача течения проводящей жидкости в канале с расширением в присутствии поперечного магнитного поля может рассматриваться как модельное приближение задачи о течении в МГД-генераторе.

Стоит отметить, что в работе сделан особый акцент именно на поиске символической динамики в системах дифференциальных уравнений, т. е. на сопоставлении траекторий в непрерывных динамических системах и последовательностей символов. В некоторых биологических системах подобная связь становится особенно актуальной. Поэтому данное направление исследований может оказаться полезным и для понимания процессов обработки информации в биологических системах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и симпозиумах:

1. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, г. Звенигород, 17 сентября 2009 г.);

2. «Тихоновские чтения» (Россия, г. Москва, МГУ, 25 октября 2010 г.).

3. Международный симпозиум «Rare Attractors and Nonlinear Dynamics'2011» (Латвия, г. Рига, 18 мая 2011 г.).

4. «Тихоновские чтения» (Россия, г. Москва, МГУ, 14 июня 2011 г.).

5. «Системный анализ и информационные технологии» (Россия, р. Башкортостан, п. Абзаково, 21 августа 2011 г.).

6. «Ядро-2011», совместно с Евстигнеевым Н. М., доклад выполнил Евстигнеев Н. М. (Россия, г. Саров, И октября 2011 г.).

7. «Ломоносовские чтения» (Россия, г. Москва, МГУ, 14 ноября 2011 г.).

8. «Ломоносовские чтения» (Россия, г. Москва, МГУ, 16 апреля 2012 г.).

9. «Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ)» (Россия, г. Новосибирск. 26−30 марта 2012 г.).

10. «Динамические системы и их применение» (Украина, г. Киев, Институт математики НАН, 17 мая 2012 г.).

11. «Теория и практика системного анализа (ТПСА-2012)» (Россия, г. Рыбинск, 18 мая 2012 г.).

12. Научный семинар кафедры нелинейных динамических систем и процессов управления факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова (Россия, г. Москва, 2006;2012 г.).

13. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С. В. Емельянова (Россия, г. Москва, 12 марта 2012 г.).

14. Всероссийский научно-исследовательский семинар «Нелинейная динамика: качественный анализ и управление» под руководством академика РАН С. В. Емельянова (Россия, г. Москва. 17 сентября 2012 г.).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций.

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводилась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 199 страниц, включая 168 рисунков. Библиография включает 55 наименований на 6 страницах.

3.2.4. Выводы к разделу 3.2.

Обнаруженный в рассматриваемой задаче бифуркационный сценарий для Я = 760 при уменьшении В от значения 0.5 укладывается в обобщенную схему ФШМ-сценария: появление в системе второй частоты (бифуркация Хопфа рождения устойчивого квазипериодического решения из периодического), а затем — субгармонический каскад по одной из частот квазипериодического решения. Интересным представляется изучение поведения жидкости при все возрастающем значении индукции приложенного магнитного поля В, поскольку обнаружить устойчивое ламинарное течение не удалось. Возможно, это связано с некоторыми численными эффектами решения задачи. Как правило предполагается, что именно сильное внешнее магнитное поле в ряде технических устройств может быть использовано для подавления МГД турбулентности.

Важно указать, что двухмерная по пространству постановка задачи является гипотетическим, упрощенным случаем и не может являться точным описанием физических процессов, происходящих в МГД течениях. Полученные результаты могут быть использованы для нахождения метастабильных режимов в МГД течениях для данной геометрии в зависимости от интенсивности внешнего поля.

В качестве возможных вариантов для дальнейшего исследования в данном направлении можно назвать рассмотрение трехмерной задачи, моделирование каналов в реальных конструкциях МГД генераторов, а также моделирование макроскопической системы уравнений несжимаемой или сжимаемой МГД с целью сравнения бифуркационных сценариев при использовании различных подходов к описанию динамики жидкости и поля.

Заключение

.

В данной работе единообразно изложены качественные теории двух видов полимодальных отображений. Первый вид — обычные одномерные отображения с несколькими экстремумами, естественное обобщение унимодальных отображений, исследованных Фейгенбаумом и Шарковским. Второй вид был предложен Kai Т. Hansen для качественного объяснения хаоса в отображении Хенона. В основном результаты работы касаются символической динамики указанных динамических систем. Помимо этого для полимодальных отображений второго вида была предложена непрерывная одношаговая реализация отображения, что является важным при установлении взаимосвязи между отображениями и хаотической динамикой в системах дифференциальных уравнений. Данные результаты являются в некотором смысле обобщением результатов Фейгенбаума и Шарковского относительно унимодальных отображений.

Далее была продемонстрирована связь между динамикой полимодальных отображений и динамикой систем дифференциальных уравнений с хаосом. Показана согласованность данного подхода с результатами работ Гилл-мора и теорией ФШМ. Главным образом, эта согласованность заключается в совпадении символической динамики, получаемой при использовании методики Гиллмора с одной стороны и при применении гипотезы о соответствии символической динамики в отображениях и системах дифференциальных уравнений с другой стороны. Более точно, количество листов в гилломоровском шаблоне совпадает с количеством интервалов монотонности в отображении. Все гипотезы подтверждены рядом примеров численного анализа систем обыкновенных диффернециальных уравнений и начально-краевых задач некоторых уравнений в частных производных. Рассмотрены следующие системы: модельная система ОДУ, система Крокета («хаотический маятник»), «космический маятник», система Янга-Миллса-Хиггса. В качестве примеров начально-краевых задач были рассмотрены: гидродинамическое и МГД течения в двуммерной полости (каверне), двумерное МГД течение в симметрично расширяющемся канале. Для численного решения последней задачи с успехом был применен т.н. сеточный метод Больцмана. В работе впервые был проведен бифуркационный анализ систем уравнений, описывающих проводящие среды, такие как МГД и плазма.

Дополнительно рассмотрена задача стабилизации периодических решений в системах обыкновенных дифференциальных отображений и в начально-краевых задачах. Эта задача является крайне важной составной частью исследования, поскольку применение методики Гиллмора подразумевает локализацию большого числа периодических решений при одном и том же значении параметров, и как правило большинство из этих решений — неустойчивы. Для задачи стабилизации в ОДУ доказано утверждение о корректности процедуры, гарантирующее, что все найденные с помощью метода стабилизации циклы принадлежат исходной системе (отсутствие «ложных» циклов). Для стабилизации в системах уравнений с частными производными предложен метод, основанный на рассмотрении полудискретной системы и дальнейшей стабилизации решения в ОДУ. Теоретически вопрос корректности перехода к полудискретной системе поставлен не был, вместо этого был приведен пример работоспособности метода на конкретном примере. В отличие от предложенного ранее Дубровским метода, подход использованный в нашей работе является более универсальным, но с другой стороны, менее обоснованным.

Кратко приведем основные результаты:

1) Построена формальная теория символической динамики полимодальных отображений двух типов, получены критерии существования траекторий с заданной символической последовательностью.

2) Выдвинута гипотеза о связи символической динамики систем дифференциальных уравнений с хаосом и символической динамики полимодальных отображений.

3) Проведено численное исследование некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждающее выдвинутую гипотезу.

4) На тех же примерах продемонстрирована связь между методикой Гилл-мора и символической динамикой полимодальных отображений.

5) Реализованы в виде программных комплексов и протестированы численные схемы решения некоторых двумерных начально-краевых задач гидродинамики и МГД.

6) Промоделированы первые стадии ламинарно-турбулентного перехода в задачах о гидродинамическом и МГД течениях в каверне и канале с симметричным расширением.

7) Предложен метод стабилизации периодических решений начально-краевых задач.

В целом работу можно рассматривать как попытку построить некоторое обобщение ФШМ-сценария, предложенного H.A. Магницким в качестве универсального сценария перехода к хаосу в системах дифференциальных уравнений.