Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя

Пусть^и IIметрические пространства с соответствующими метриками рр и рц. Согласно Адамару [16] задача определения решения и Е II уравнения где / Е .Р задано, называется корректно поставленной на пространствах (.Р, и), если выполняются условия: а) для всякого / ЕР существует и Е IIрешение уравнения б) решение определяется однозначно, в) задача устойчива на пространствах (.Р, С/), то есть для любого? > 0 можно указать такое 6 > 0, что из неравенства М/ъ/г) < следует ри (иъи2) < е.

Важно отметить, что устойчивость задачи (1) зависит от вы-браных топологий в II и .Р и, вообще говоря, подходящим выбором топологий можно формально добится непрерывности оператораА-1, существования которого обеспечивают условия а) и б). Так в случае линейного взаимно-однозначного соответствия оператора, А и нормированых пространств II и .Р, устойчивость будет иметь место, если простанство .Р наделить нормой.

Аи = /,.

1).

1).

А~11\и =.

Щи, и тогда.

А" 1.

Однако, обычно топологии навязываются постановкой задачи и не могут выбираться произвольно.

В связи с этим возникает следующая проблема, связанная с выбором топологий в пространствах начальных данных F и решений U:

1. С одной стороны желательно, чтобы эти топологии не зависели от оператора А. Например, в случае когда, А = -А (А)-оператор зависящий от некоторого параметра Л, важно, чтобы область определения обратного оператора А-1 (Л) (в частности резольвенты R (А) = (А — А/)-1) была независящей от А.

2. С другой стороны, желательно иметь наиболее широкие пространства начальных данных F при которых решение задачи остается в некотором «достаточно хорошем» пространстве U.

Так наиболее часто используемые в прикладных задачах топологии, это топологии нормированных пространств функций /(ж), х е О с R1,.

Lp (Sl) = {/О): ||/||р = [/п |f (x)4x]Kp > 1}.

С (Г2) — пространство непрерывных и ограниченных в функций с нормой.

H/||c = sup|/(®)|. xGft пространство непрерывных, вместе со своими производными до порядка Z, функций.

С<'>(П) = {/(®): /<*>(*) е С (П),\f\i =? ||/<*>||с, / = 1,2,.} к=О.

Wpпространства С.JI. Соболева. w' = {¡-(х): /(ц (ж) еМП), ||/||г, р =? ||/(i)||p}. к=О.

В зависимости от задачи, наряду с этим используются также и весовые пространства.

LPtP (Sl) = {f (x): p (x)f (x) е Lp (u), H/IU = [Jnp (x)f (x)4x]l. Cp{u) = {/(*): p (x)f (x) € C (I2), ||/||p = sup p (x)f (x)}. xett.

Например, рассмотрим задачу Коши для простейшего дифференциального уравнения гф) — f (x), х е [О, Т), f{x) G С ([0, Т)) (2) м (0) — 0. (3).

Требуется найти и (х) G C^QO, Т)) — удовлетворяющую (2)-(3). Таким образом в этом случае F = C ([0,T)), U = С (1)([0,Г)). Очевидно, что решение этой задачи единственное и имеет вид u (x) = joXf (s)ds, (4) и если 0 < Т < оо, то из (2) и (4) следует.

IMIt/ = IHIc + IMIc < (1 + T)\f\c = (1 + T)\f\F.

Таким образом задача (2)-(3) корректна по Адамару в пространствах (С, Сесли Т < оо.

Однако при Т = оо это не так. Поэтому возникает вопрос о пространствах в которых задача (2)-(3) корректна. В связи с этим рассматриваются, например, весовые пространства Ср (0) с весом р (х) = е~ах, (а > 0).

Для этих пространств имеем ф)| < Ге^е—1/(5)|^< вир е-ах/(х) Г еаЧз.

1/0 хе[о, оо) -70 еах еах и*ис, р < -—11/11 с, ра а.

Отсюда получаем оценку юн!

И, следовательно, для пространств V = {и (х): и'(х)? ^([0, оо)), и € Ср ([0,оо))}, ^ = {/(ж): /? Ср[0, оо)} задача корректна, при Т = оо.

Аналогично этому простейшему случаю, в общей ситуации, при исследовании корректой разрешимости различных задач для абстрактных интегро-дифференциальных уравнений приходится изучать возникающие здесь интегральные операторы и вводить соответствующие пространства, в которых эти операторы ограниченно действуют.

В связи с этим, с целью изучения корректной разрешимости начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, где ядра соответствующих интегральных операторов имеют особенность, в диссертации вводятся и изучаются классы пространств векторно-значных функций f (x) (х Е Я1 = (—оо, оо) или = [0, оо) со значениями в банаховом пространстве Е, обобщающие известные пространства Степанова Бр ([4],[5]),(см. также [19],[31]. Как известно 5Р пространства введены в связи с изучением почти-периодических функций. Норма в Spпространствах Степанова имеет вид: fk = supy[/W|f (x)>dx]i (р > 1,1 > 0). (5) teR1 t Jt.

При различных l > 0 эти нормы эквивалентны.

Пусть Ебанахово пространство и Додно из множеств R1 = (—оо, оо), или В}+ = [0, оо). Через 5+7 и 5~7 (р > 1,7 > 0 будем обозначать пространства векторно-значных функций /(?), со значениями в Е, при каждом i G А, локально интегрируемых по Бохнеру и для которых конечны нормы.

11/11+, = eupyljf^ifT'Il/MII^, (6).

Il/Il", = supy[/i+'(i + l — «y-'ll/WMi, (7) te A t 1.

Очевидно, что если = il1, 7 = 1, то нормы (6) и (7) совпадают с нормами Spпространств Степанова (5).

В диссертации устанавливаются следующие свойства пространств.

1) || * ||p i эквивалентны при различных / > 0 и будем обозначать ИХ || * ||р)Г.

2) Одним из интересных, и несколько неожиданных свойств пространств 1 они совпадают с Sp-пространствами Степанова..

3) Если 0 < 7 < 1, то нормы || * ||+ и || * ||~ не эквивалентны, даже когда Е = R1. Одно существенное отличие пространств от Spпространств связано с тем, что, если последовательность чисел такая, что о < /1 < гп+1 -гп< 12, (8) то норма эквивалентны норме (5), в то время как в случае 0 < 7 < 1 нормы гЬ&bdquoи ги, п Лп.

Р, и.

11/11 -, Ъп = зир[Л+1(^+1 — ау-чнзущк ^ С г,. не эквивалентны нормам || * ..

Таким образом каждой последовательности удовлетворяющей условию (8), в случае 0 < 7 < 1 соответствует некоторое пространство причем имеет место вложение с±г С±г о.

Р, 1 Р, 1, п.

Кроме того нормы (6), (7) инвариантны относительно сдвига, то есть ||/(?)|| = ||/(ж + т)||, при любом г € Л1, в то время как нормы ||/||^7)П этим свойством не обладают..

В диссертации доказывается, что нормы (6) и (7) эквивалентны, соответственно нормам ил йл = вир — «у-'н/оон» *]* = гед1 н 8МГе-^-1\Ц1 + т)\Чт}^ (9).

Ш ^и.

11/11″, = зир[/ е" <" -'>(< - ^" 'Н/МН'А"]* = ел17″ 00 8ир[Ге-^-1\Цг-т)\Чт]кР (10) ьея1.

Аналогичный факт справедлив и для t Е, А = R..

Заметим, что нормы (9) и (10) эквивалентны при различных fJL> 0..

Представление норм в пространствах Sв виде (9), (10) подсказывает естественность изучения в этих пространствах операторов дробного интегрирования Бесселя ([1], [6])..

I С 00.

G±J{t) = гЩ /о е" 8а~1№ * s) ds (*е Rl)• (п).

Г (о-) — гамма функция Эйлера, а > 0..

G°/(i) = f (a)ret" is-tr~lf^ds = ТЩГ¹^^.

12).

G" m = fR /о' e>" '(i — 'Г1'"* = тщ Г — r) dr,.

13) если? Е R..

Обычно, операторы G± изучаются в пространствах L^R1) или Lp (Rl), р > 1, в связи с дифференциальным уравнением дробного порядка.

A /±^)<=4i) = /(t), (*) где i ЕR1, a /(?) — локально интегрируемая функция..

Вопрос заключается в том, что необходимо указать максимально широкий класс F не зависящих от Л функций, чтобы для всех / Е F уравнение (*) имело ограниченное решение..

В диссертации доказывается, что из эквивалентности норм (9), (10) соответственно нормам (6) и (7) следует.

Теорема 2.3.0. Пусть Fфункциональная банахова структура функций (f (t), t Е R1,.

Ga±\Loo.

Таким образом, этот класс для функциональных банаховых структур является наиболее широким..

Наряду с этими пространствами здесь вводятся и изучаются обобщенные пространства Степанова с экспоненциальным весом, определяемые нормой.

WfWtw = SUP /' - x) a~leX~lf {x)dx¦> teR1 00.

Для интегралов Бесселя доказаны следующие теоремы.

Теорема 2.3.2. Если 0<а< 1 и + а >0иг>р> 1, р < то операторы GJ действуют из пространств в и справедливо неравенство.

Ga±f\s^ <�С|/||5р±7р, где кконстанта не зависящая от /..

Теорема 2.3.3. Если, а > 0, р > то операторы G± ограниа-2 ченно действуют из в Н±р, ftt + h)-ftt).

Hi = №+ sup t? R\h.

С бесселевым дробным интегрированием тесно связаны следующие интегралы дробного порядка и соответствующие им операторы дробного дифференцирования.

1. Интегралы Римана-Лиувилля (t € Rl, a > 0) hf = fJ (x)dx.

1 rt I roo.

IZf = щ Ijt — x) a~1f (x)dx /q r^f (t — r) dr ~ (-Г/, w J' = f f (x)dx = 1°° fit + x) ds — -jtS.

1 ГОО 1 POO.

V dt} J' таким образом.

Соответствующая операция дробного дифференцирования имеет вид: паР ^ г1—а.

V±i — d?2±.

2. Интегралы Ж. Адамара приспособленные к полуоси R:.

F+i = i* mdx м (4)л.

JO х у dt' rr? ~ (4)" /,.

Г (a) JQ x x dt.

3. Интегралы Бесселя.

G+f = e^/M^ = /о°° e" 7(i — r) dr ~ (/ +.

11.

3+/ = гг— [* ех" 7(х)йх = —— Г е~тта~1!и — тЫ +'1 Г (а)^-оо м ' Г (а)л) м —.

Г (а).

Связь интеграла Ж. Адамара с интегралами Риммана-Лиувилля и Бесселя А-1^ А+/- (А+/Х*) = /(еж) — (А-7)М = /(М.

С"/ = е~*1°е7- = е'/?е7 7 ±-а А-1/.

В [19] рассмотрены так называемые гельдеровы усреднения порядка, а > 0, которые имеют вид и являются дробными степенями оператора усреднения, а +.

Г^/о1(г^Г1/(ж)<�гж (4>0) (14).

Т+/ = Ь /о' /(*)<&.

15) им соответствует операция дробного дифференцирования) а/..

Из очевидного соотношения = I + tимеем соответствие.

Ti/ <->(' + = (/ + F+)af = (jttff..

Кроме того справедливо равенство.

ТУ = A~lGa+A+f (16).

По аналогии с этим в диссертации вводятся следующие три дробных интеграла и соответствующие им операции дробного дифференцирования.

1 fOO U.

Т/ = -1 }{x)dx (—i)/ = -(1 + F+)f = (F+ - /)/, r-f = T^)filnir~lf{x)dx «(-JttTS =(F» «irf' (17).

Ti/ = A-'e-^'G'ie-'A+f = A~1e-2tGae2tA+f (18) та/=ffe i^b" '1^ м ^iI)af=(F+ -I)af +raf = fR = ^G%e-2'A+f (19).

-Tf = tff-^dx~(I-tft)f = (I-F-)f.

Ta/ = AZlG%Af = A~lGaA+f (20).

Кроме того, если обозначим A*f (x) = то.

Та/0) = A*Ta+A*f.

Таким образом, приведенные соотношения позволяют судить о важности дробного интегрирования по Бесселю в общей теории дробного интегрирования и дифференцирования..

В тоже время к дробным интегралам Бесселя мы приходим при исследовании корректной разрешимости начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в банаховых пространствах..

Пример 1. В соответствии с [10] рассмотрим неоднородное уравнение = Au (t) + f (t), (21) с непрерывной функцией /(?)..

При выяснении условий существования ограниченного на всей оси R1 решений уравнения (21) важную роль играет.

Теорема ([9], стр.119). Для того чтобы любой ограниченной на всей оси непрерывной вектор-функции f (t) соответствовало одно и только одно ограниченное на всей оси решение уравнения (21), необходимо и достаточно, чтобы спектр сг (А) не пересекался с мнимой осью..

Это решение дается формулой.

00 oQKA (t-s)f (s)ds, (22) где Ка (Ъ)~ так называемая главная функция Грина уравнения (4.1). Для нее справедлива оценка.

KA (t)\.

J ~ (J<-^ms)m = M (G+(\f |)+G (II/I.

Пример 2. Решение задачи Коши для абстрактного дифференциального уравнения йи. , ч «, ч — = Аи (г) + /(*), и (х0) = и0 представимо в виде [10, 11] и (г) = и (г — х0) и0 + [*' и {г.

-/.То где Апроизводящий оператор аналитической полугруппы имеющий особенность в нуле, то есть справедлива оценка иШ<�цГае~и (ш>0).

Это приводит к оценке решения и изучению его свойств с использованием свойств дробного интеграла Бесселя..

К подобного сорта проблемам мы приходим и в уравнениях, где ядра соответствующих интегральных операторов содержат выражения вида Ла[/(£), где Аадробная степень оператора А, который является генератором полугруппы ?/" (?) (см. 10], [11])..

Отметим также, что дифференциальные уравнения в банаховом пространстве с полугруппами имеющими особенность, стали предметом исследования в докторской диссертации Ю. Т. Силь-ченко (см. [20]), где приводится большое количество примеров..

Наконец, отметим приложения бесселевых интегралов в математических моделях процессов с запаздыванием..

Например, в экономике. Если J (т) объём инвестиций, сделанных в момент г, а У (1)~ объем фондов введенных в момент t > т, то в случае когда инвестиции осваиваются согласно гамма-распределению p (t) = л > 0, > 0, то имеет место представление v[t) = щ ~ T) a~lf[T)dT¦ (23).

Для, а — 1, то есть для экспоненциального распределения эта формула приводится в [13]..

Однако, естественность введения гамма-распределения очевидна, так как оно описывает распределение суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена по экспоненциальному закону с одинаковым параметром Л: PXi = е~ХХг, (хг > 0). [см. 7].

Зависимость (2.3) между V (t) и здесь записывается впервые..

В диссертации дробные интегралы Бесселя исследуются в обобщенных пространствах Степанова.

Доказываются теоремы об их ограниченности в этих пространствах..

В русле этих исследований здесь обобщается на случай этих пространств известная теорема Харди-Литтлвуда о действии дробного интеграла Риммана-Лиувиля в Ьрпространствах..

Результаты применяются к изучению свойств ослабленного решения задачи Коши для дифференциального уравнения (22). В связи с этим в диссертации доказаны следующие теоремы:.

Теорема 3.1.1. Если? > ±, f (t) Е S±Jp (E), и ^ - ^ + 2 — ^ > 0 тогда ослабленное решение задачи Коши для уравнения 3.1.4 принадлежит пространству 5ГЛг и справедлива оценка.

Ф)УПГ <�С15||/||5р±7р..

Теорема 3.2.1. Пусть Апроизводящий оператор Сополугруппы, имеющей отрицательный тип, т. е. и (Щ < Ме'^ (со > 0), (3.2.2) и пусть <и (£) решение задачи (1*), тогда справедливо представление и (Ь) = ¡-Ь и{Ь — й)/^)^, (3.2.3.) если /(а) 6.

Теорема 3.2.2. Пусть, А сильно позитивный оператор полугруппы ?/(?) удовлетворяющий условию (3.1.7) при к = 0 и функция /(?) € 5х)7 и удовлетворяет условию Гельдера.

-/(г)||<�С|*-т|*, 0 < 5 < 1 тогда, если 7 + | < 2 то задача (1*) имеет решение..

Теорема 3.2.3. Пусть, А из теоремы 3.2.2, (3 > /(?) € 5Р-7 П где ^<2 — д, 2 + <5 — |>0, тогда решение задачи (1*) существует, единственно, для него справедливо представление и (Ь) = ¡-г и (г — з)/(з)с1з. (3.2.11.) из которого следует оценка и (г)\ < м [* - 5)1-^||/(5)||^. —00.

Кроме того и (Ь) € 5Г)7г и справедливо неравенство.

3−2.12).

Теорема 3.2.4. Если в условиях теоремы 3.2.3. 3 — | > то для всякого решения задачи (1*) справедливо неравенство.

1Н011я3 2 * <�С||/1К7, (3−2-13-) р Р.

С целью дальнейших возможных приложений пространств, в Главе IV вводятся обобщенные пространства Соболева-Степанова ?рв±'у, где нормы даются равенством.

Доказывается, что эти пространства являются банаховыми и для них устанавливаются аддитивные неравенства вида и\2 < С^Мг + С2Н6*\и\3, где 0 < к < /¿-о, <$ъ ?2? С, С2- положительные числа, и тесно связанные с ними мультипликативные неравенства.

1Н|2<�Сз||и||ПН|^(0<7<1).

Наряду с теоремами вложения, эти неравенства играют важную роль в теории дифференциальных уравнений. В частности при изучении дробных степеней дифференциальных операторов, а также в теории возмущенных уравнений, где подчиненность неограниченных операторов определяется в терминах аналогичных неравенств..

Для пространств Соболева У1р такие неравенства получены Л. Ниренбергом, В. П. Ильиным [17]..

Для пространств Ис весом неравенства такого вида получены С. Г. Крейном и В. П. Глушко [18]..

В связи с этим в четвертой главе доказаны следующие теоремы.

Лемма 4.1.1. Если р < г и, А = выполняется неравенство.

1р 1 г р Г 0, то 5 г, 7 г С? р, 7р и.

Р, Ъ, А ч!-1 ^-) т р г — р.

Т-Пт.

Лемма 4.2.2. Если д < р < г и.

А =.

1 1 1.

1р Ъ р д г.

О, то справедливо неравенство р, 7Р — Н/Нд^И^И^лг'.

6 = д{р — д) р (г — д)'.

Через обозначим обобщенные пространства функций.

СтепановаСоболева для которых конечна норма.

1,Р, Ъ.

Р, Ъ.

Р, ъ.

Теорема 4.1. Если 0<�а1<1и0<�а2<1 такие, что ^ — + «1 >0, ^-На2>0,ип<�т</, д> тах (р, г), тогда д р х ' д г имеет место неравенство б п, р, ъ.

1−6 1, г, 7г' где 8 = 1-гп-а2 (ч абсолютная константа..

-п+ах-аг' А.

Теорема 4.2. Пусть п < т < I, 0 < (3 < 1 ж.

1/ГЫ -/1т)Ы1.

3 = вир |/(ж)| + вир хбД1 |в1-в2|<1 1² 1.

1. Хилле Э. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Издательство иностранной литературы. 1962, 829с..

2. Иосида К. Функциональный анализ, М.: «Мир», 1967, 624 с..

3. Функциональный анализ (под редакцией С.Г. Крейна), «Наука», М.: 1972, 544с..

4. Левитан Б. М. Почти-периодические функции. М.: Гостехиз-дат, 1953, 396с..

5. Левитан Б. М. Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. Издательство МГУ, 1978, 204с..

6. Самко С. Г. Килбас A.A. Маричев О. М. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника. 1987, 698с..

7. Феллер В.

Введение

в теорию вероятностей и ее приложения, М.: «Мир», 1967, т. 2, 752с..

8. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л. 1950..

9. Далецкий Ю. Л. Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М: «Наука», 1970, 534 с..

10. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М: «Наука», 1967, 464 с..

11. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций, М: «Наука», 1966, 499 с..

12. Барбашин Е. А.

Введение

в теорию устойчивости. М: «Наука», 1967, 223с..

13. Колемаев В. А. Математическая экономика, М: «ЮНИТИ», 1998, 239 с..

14. Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.: «Наука», 1975, 480 с..

15. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики, «Наука», Сиб.отд. Новосибирск, 1982, 56 с..

16. Лаврентьев М. М. Условно-корректные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирский гос. университет, Новосибирск, 1973, 72 с..

17. Ильин В. П. Некоторые функциональные неравенства типа теорем вложения. ДАН СССР, 123, N6 (1958), 967−970..

18. Глушко В. П. Крейн С.Г. Неравенство для норм производных в пространствах Ьр с весом. Сибирский математический журнал, т.1, N3, 1960, с.343−382..

19. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. «Мир», 1970, 456 с..

20. ЗайцеваМ.И., Репников В. Д. Некоторые полугрупповые свойства Гельдеровых усреднений. ДАН, 1998, т.359, N4, с. 442−444..

21. Сильченко Ю. Т. Линейные дифференциальные уравнения с неплотно заданными операторными коэффициентами и связанные с ними краевые задачи. Диссертация на соискание доктора физ.-мат. наук. Минск, 1999..

22. Костин В. А. Неравенства для норм производных в пространствах Математические заметки, т.6, N4, 1969..

23. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М: «Мир», 1985 г., 372 с..

24. Гальярдо Э. Свойства некоторых классов функций многих переменных. М: Издательство иностранной литературы, сборник «Математика», июль-август 1961, с. 87−116..

25. Миранда К. Уравнения с частными производными глиптического типа. Госиноиздат, 1957, 256 с..

26. Трибель X. Теория функциональных пространств. М.: «Мир» 1986, 447 с..

27. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства и дифференциальные операторы. М.: «Мир», 1980, 660 с..

28. Скубачевский A.JI. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы. Мат. сб. 1986. т. 129, N2, с. 279−302..

29. Скубачевский A.JI. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов. ДАН СССР, 1989. т. 307, N 2, с. 287 291..

30. Крейн С. Г. Петунин Ю.И. Семенов Е. М. Шкалы банаховых структур измеримых функций. Труды Московского математического общества, т.17, 1967, с. 294−322..

31. Zaidman S. Functional Analysis and differentional eqations in abstract spaces. 1999 Chapman к Hall/CRC. 226 p..

32. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и дробные интегралы Бесселя. Труды XXIII конференции молодых ученых мех-мат, факультета МГУ (9−14 апреля 2001 г.), Москва, 2001, с. 206−209..

33. Костин A.B. Дробные интегралы Бесселя и обобщенные пространства Степанова. Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам. «Ломоносов», изд-во МГУ, вып. 6, 2001 г. (Тез.докл.), с. 247−248..

34. Костин A.B. О пространствах инвариантных относительно дробного интегрирования. Сб. трудов молодых ученых Воронежского государственного университета, Воронеж, 2001, изд-во ВГУ, с. 102−108..

35. Костин A.B. Весовые пространства Степанова и дробные интегралы Лиувилля. Пятая Крымская Международная Математическая Школа. МФЛ-2000, тез.докл., Симферополь, с. 84..

36. Костин A.B. Мультипликативные неравенства для норм производных в обобщенных пространствах Степанова-Соболева. Воронежская Зимняя Математическая Школа, Воронеж, 2002, 25−30 января 2002 г., тез.докл., с.41−42..

37. Костин A.B. Обобщенные пространства Степанова и эволюционные уравнения на R1. Труды математического ф-та, N5, 2001 г..

38. Костин A.B. О дробном интегрировании по Бесселю. Международная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели», Челябинский государственный университет, Челябинск, 4−9 февраля 2002 г., тез.докл..

39. Костин A.B. Lpпространства с разностным весом и операторы дробного интегрирования. Современные методы теории функций и смежные проблемы. Воронежская зимняя математическая школа, 27 января- 4 марта 2001 г., тез.докл. стр. 149−150..