Криволинейный интеграл первого и второго рода

Криволинейный интеграл первого рода

Криволинейный интеграл второго рода

1. Задача приводящая к понятию криволинейного интеграла.

Определение криволинейного интеграла по координатам.

2. Свойства криволинейного интеграла (рис. 1).

3. Вычисления

а)

б)

Рис. 1

Займемся обобщением понятия определенного интеграла на случай когда путь интегрирования — криваякривая, ,. Т/н. А-работу силы при перемещении точки от к

1. Разобьем на n частей :

Обозначим векторхорда дуге.

Пусть предположим, что на тогда Работа вдоль дуги вычисляется как скалярное произведение векторов и

Пусть

Тогда:

Работа

Если, то этот предел примем за работу, А силы при движении точки по кривой от точки до точки

-не числа, а точки концы линии .

1. Свойства:

1⁰ определяется а) подынтегральным выражением б) формой кривой интегрирования.

в) указанием направления интегрирования (рис. 2).

Рис. 2

— можно рассматривать как интеграл от векторной функции

Тогда — еслизамкнутая тоназывают циркуляцией вектора по контуру .

3⁰

4⁰ не зависит от того какую точку взять за начало

Вычисление криволинейного интеграла

Криволинейные интегралы вычисляются сведением их к обыкновенным интегралам по отрезку прямой (рис. 3).

Рис. 3

— гладкая кривая.

1. Еслинепрерывны, -непрерывные.

— непрерывны по, то

Пределы, А и В не зависят ни от способа деления на, ни от вектора

Следовательно: .

2. В случае:

1. Формула Грина.

2. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

3. Полный дифференциал.

Связь между определенным и криволинейным интегралами.

Пусть дано область D, замкнутая, ограниченная линией (рис. 4).

интеграл криволинейный грин формула Рис. 4

непрерывны на

— определена и непрерывна в замкнутой области D.

— определена и непрерывна в замкнутой области D. Тогда

Аналогично

— Формула Грина.

В частности: вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла.

Пример.

Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Рис. 5

— непрерывные частные производные в (рис. 5).

Каковы условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования?

Теорема: -непрерывны в области, тогда для того, чтобы

в (рис. 6)

Рис. 6

Пусть Обратно

Т.д.

Пусть из непрерывности и

— окрестность точки такая что в

предположение неверно. ч.т.д.

Замечание.

Определение. Функцияградиент которой есть вектор силы называется потенциалом вектора .

Тогда

Вывод: Криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы пути интегрирования.

1. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. 1−2 том. Изд. МГУ, 1989 г.

2. Виноградова И. А., Олексич С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Часть 1,2 Изд. МГУ. Серия классический университетский учебник 250 летию МГУ 2005 г.

3. Шилов Г. Е. Математический анализ. Часть 1,2. Москва. Изд. Лань. 2002 г. — 880 с.

4. Лунгу К. Н. Сборник задач по математике. Часть 1,2. Москва. Айрис пресс 2005 г.