Анализ динамики импорта и экспорта в Японии за период с 1977 по 2008 гг

Анализ динамики импорта и экспорта в Японии за период с 1977 по 2008 гг.

Введение

импорт экспорт япония

Статистической наукой разработаны разные методы изучения динамических рядов, среди которых центральное место занимают методы, позволяющие прогнозировать. Основное внимание уделено теории и практике статистического изучения динамических рядов.

Целью выполнения курсовой работы является освоение методов анализа динамических рядов в ППП STATISTICA. Выполнение работы предусматривает:

— оценку скорости и интенсивности изменения уровней изучаемого временного ряда, т. е. расчет абсолютных, относительных и средних показателей динамики;

— выявление основной тенденции ряда методами эмпирического и аналитического сглаживания;

— построение и оценку уравнения тренда;

— изучение автокорреляции и построение авторегрессионной модели;

— экстраполяцию на основе трендовой и авторегрессионной моделей;

— рассмотрение корреляционной зависимости временных рядов.

1. Графическое представление динамических рядов Исходные данные, представляющие собой объёмы экспорта и импорта в долларах США за период с 1977 по 2008 год в Японии, сведены таблице 1.

Таблица 1. Объем экспорта и импорта в Японии за период с 1977 по 2008 гг

Графическое изображение временных рядов позволит наглядно представить основные закономерности развития изучаемого процесса. Что мы и видим на рисунке 1.

Рис. 1. Динамика экспорта и импорта в Японии за 1977;2008 гг.

1. Расчет основных показателей ряда

1.1 Показатели изменения уровней динамического ряда

Анализ динамических рядов социально-экономических явлений обычно начинают с рассмотрения статистик, расчет которых не требует какой-либо предварительной обработки анализируемого динамического ряда. Речь идет о показателях динамического ряда, позволяющих пояснить характер, скорость, интенсивность и направление развития изучаемого явления за определенный временной период.

В результате того или иного сопоставления уровней динамического ряда формируется система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютные приросты (и их среднее значение), темпы роста (и их среднее значение), темпы прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Сравниваемый уровень динамического ряда называется текущим, а уровень, с которым производится сравнение, базисным.

В зависимости от того, что принимается за базу сравнения, будут получены различные показатели динамики. Приняв за базу сравнения некоторый постоянный уровень, например y₁ получим серию базисных показателей, которые характеризуют окончательный результат всех изменений в уровнях ряда от первого периода (или момента времени) до текущего периода. Следует иметь в виду, что в реальных задачах за базу сравнения может быть принят уровень ряда, относящийся к периоду (моменту), выходящему за пределы анализируемого динамического ряда (например, начальный момент периода с которого начинается некоторый новый этап развития). Если производится сравнение текущего уровня y_t с непосредственно предшествующим y_t-1, то получаются цепные показатели динамики.

Абсолютным приростом называется разность между значениями уровней данного периода и предшествующего (либо базисного):

где y_t — уровень ряда динамики в момент времени t; y_t-1 — уровень ряда динамики в момент времени t-1; t — цепной абсолютный прирост.

За весь период, описываемый временным рядом, абсолютный прирост выразится как алгебраическая сумма частных цепных приростов (2.1) или, что очевидно, как разность между последним и первым уровнями ряда:

где y_n — последний уровень ряда; у₁ — первый уровень.

Абсолютный прирост может быть как положительным, так и отрицательным. Он показывает, насколько уровень текущего периода выше или ниже предшествующего и выражает абсолютную скорость роста или снижения уровней ряда.

Темп роста (коэффициент роста) — это отношение последующего уровня к предыдущему или какому-либо другому, принятому за базу сравнения. Темп роста оценивает, во сколько раз уровень текущего периода выше или ниже уровня предыдущего (базисного) периода, или сколько процентов он составляет по отношению к предыдущему (базисному) периоду.

Темп роста вычисляется по формулам:

где Tr_t — цепной темп роста.

где Tr'_t — базисный темп роста; y_const — база сравнения.

где Tr — темп роста за весь период.

Величина темпа роста больше 100 показывает увеличение уровня текущего периода по сравнению с предыдущим (базисным). Величина темпа роста, равная 100, показывает, что уровень текущего периода по сравнению с предыдущем (базисным) не изменился. Темп роста всегда имеет положительный знак. Цепные темпы роста характеризуют интенсивность изменения уровней ряда.

Темп прироста — это отношение абсолютного прироста к базе сравнения. Этот показатель характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени:

где Tp_t — темп прироста.

Темп прироста за весь период:

Темп прироста, выраженный в процентах, показывает, на сколько процентов увеличился или уменьшился текущий уровень по сравнению с предыдущим (базисным), принятым за 100%, или, иначе, сколько процентов составляет абсолютный прирост данного уровня по отношению к предыдущему (базисному) уровню.

Темп прироста и темп роста можно связать следующим соотношением:

При темпах роста, меньше 100% или единицы (уменьшение уровней рzда), получаем отрицательные темпы прироста, т. е. темпы снижения.

Таблица 2. Сдвиг ряда экспорта и импорта в Японии на шаг вниз

После того как получены необходимые для дальнейших вычислений переменные, можно приступать непосредственно к расчету показателей динамики (табл. 3).

Таблица 3. Расчет показателей динамики экспорта в Японии

Показатели динамики обозначены следующим образом (табл. 3):

— абсолютные приросты цепные (APRc или Дyt) и базисные (APRb или Дyt');

— темпы роста цепные (TRc или Kp) и базисные (TRb или Kp');

— темпы прироста цепные (TPRc или Knp) и базисные (TPRb или Knp').

Таблица 4. Расчет показателей динамики импорта в Японии

1.2 Графическое представление рядов динамики

Все рассчитанные показатели могут быть представлены графически. Целесообразно строить отдельное графическое изображение для каждого показателя, в качестве переменных выбирая сразу все показатели (рис. 2 — 13).

Рис. 2. Динамика цепных темпов абсолютного прироста импорта Рис. 3. Динамика базисных темпов абсолютного прироста импорта Рис. 4. Динамика цепных темпов роста импорта Рис. 5. Динамика базисных темпов роста импорта Рис. 6. Динамика цепных темпов прироста импорта Рис. 7. Динамика цепных темпов прироста импорта Рис. 8. Динамика цепных темпов абсолютного прироста экспорта Рис. 9. Динамика базисных темпов абсолютного прироста экспорта Рис. 10. Динамика цепных темпов роста экспорта Рис. 11. Динамика базисных темпов роста экспорта Рис. 12. Динамика цепных темпов прироста экспорта Рис. 13. Динамика цепных темпов прироста экспорта

1.3 Средние показатели динамики

Средние показатели необходимы для получения обобщающих оценок изменения уровней временного ряда.

Анализируя временные ряды, можно рассчитать средний уровень ряда, средний абсолютный прирост и средний темп роста (средний темп прироста определяется на основании темпа роста).

Средний уровень моментного ряда определяется по формуле, получившей название средней хронологической:

где — средний уровень моментного ряда. Данная формула справедлива для ряда, моментного, равноотстающего.

Если абсолютные приросты обозначить через Д₁, Д₂, Д₃, …, то средний абсолютный прирост, обозначаемый через _y, может быть найден по формуле:

или

Рассмотрим алгоритм расчета описанных выше показателей в STATISTICA. Отметим, что программа рассчитывает все средние для всех переменных (за исключением средней геометрической для переменных с отрицательными элементами). Однако каждый показатель рассчитывается только по одной средней — арифметической или геометрической.

Средние показатели динамики импорта представлены в таблице 5.

Таблица 5. Средние показатели динамики импорта в Японии

На основании данных можно сделать вывод о следующем.

Объёмы экспорта в период с 1977 по 2008 года в среднем составлял 280,41 млрд долл. (USD). За весь период средний прирост импорта был отрицательным и составил -22,6 млрд долл. (USD), (средний цепной абсолютный прирост), что составило -7,4% (средний цепной темп роста).

Таблица 6. Средние показатели динамики экспорта в Японии

На основании данных можно сделать вывод о следующем.

Объёмы экспорта в период с 1977 по 2008 года в среднем составлял 345,54 млрд долл. (USD). За весь период средний прирост экспорта был отрицательным и составил -23,66 млрд долл. (USD), (средний цепной абсолютный прирост), что составило -7,2% (средний цепной темп роста).

Провести периодизацию рядов динамики часто помогает анализ их графических изображений (большую наглядность обеспечивают графики, построенные на основе базисных темпов роста).

1.4 Периодизация рядов динамики

Периодизация ряда динамики — это разделение его на временные этапы, однородные с точки зрения основной тенденции развития явления. Это, своего рода, типологическая группировка во времени.

Выделение однородных временных отрезков необходимо:

— при расчете средних показателей динамики, поскольку средняя величина отражает типический уровень только тогда, когда она рассчитана по качественно однородной совокупности;

— при построении моделей ряда;

— при осуществлении экстраполяции, предполагающей продление в будущее тенденции, сформировавшейся в прошлом.

Провести периодизацию рядов динамики часто помогает анализ их графических изображений (большую наглядность обеспечивают графики, построенные на основе базисных темпов роста).

Анализируя все перечисленные аспекты для рассмотренного динамического ряда, можно выделить некоторые тенденции:

— с 1977 по 1994 год наблюдался рост объёмов экспорта с незначительным спадом в течении периода;

— с 1995 по 2001 происходит колебание уровня импорта — падения и возрастания чередуются;

— с 2002 года по 2008 года наблюдается стремительный рост экспорта.

Таким образом, предлагается выделить три периода:

— 1977;1994 — период плавного роста;

— 1995;2001 — период стагнации;

— 2002;2008 — период бурного роста.

Далее в проекте используются лишь данные последнего периода, с помощью которых будет осуществляться прогнозирование. Именно последний период необходимо определять с особой тщательностью, оценивая степень наличия основной тенденции и степень достаточности данных.

Таблица 7. Исходные данные для построения графика экспорта с 1977 — 1994 гг.

Рис. 14. Динамика объемов экспорта в Японии за 1977;1994 гг.

Таблица 8. Исходные данные для построения графика экспорта с 1995 — 2001 гг.

Рис. 15. Динамика объемов экспорта в Японии за 1995;2001 гг.

Таблица 9. Исходные данные для построения графика экспорта с 2002 — 2008 гг.

Рис. 16. Динамика объемов экспорта в Японии за 2002;2008 гг.

Таблица 10. Исходные данные для построения графика импорта с 1977 — 1994 гг.

Рис. 17. Динамика объемов импорта в Японии за 1977;1994 гг.

Таблица 11. Исходные данные для построения графика импорта с 1995 — 2001 гг.

Рис. 18. Динамика объемов импорта в Японии за 1995;2001 гг.

Таблица 12. Исходные данные для построения графика импорта с 2002 — 2008 гг.

Рис. 19. Динамика объемов импорта в Японии за 2002;2008 гг.

2. Выявление и анализ основной тенденции временного ряда

Одной из важнейших задач статистического анализа рядов динамики является выявление и описание основной тенденции развития изучаемого явления, закономерности изменения уровней ряда. Иногда характер тенденции достаточно отчетливо проявляется на графике и в системе статистических показателей, описанных в предыдущих параграфах. Однако часто встречаются динамические ряды, в которых основная тенденция не является очевидной, поскольку на уровни ряда влияет большое число разнообразных факторов.

Для выявления и анализа общей тенденции развития изучаемого явления необходимо абстрагироваться от влияния нетрендовых факторов. Достичь этого, в определенной степени, позволяют приемы сглаживания или выравнивания временного ряда.

Различают механическое и аналитическое выравнивания. Последнее позволяет формализовать тенденцию, представить ее в виде конкретной математической функции.

Суть различных приемов, с помощью которых осуществляется сглаживание, сводится к замене фактических уровней динамического ряда расчетными, имеющими значительно меньшую колеблемость, чем исходные данные. Уменьшение колеблемости уровней позволяет тенденции развития проявиться более отчетливо. В ряде случаев сглаживание ряда может рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выделения тенденции.

2.1 Проверка динамического ряда на наличие тренда

Наличие тренда в данном случае очевидно, поэтому использование критерия Валлиса-Мура нецелесообразно.

2.2 Механическое выравнивание временного ряда. Скользящие средние

Один из наиболее простых приемов сглаживания заключается в расчете скользящих, или, как иногда их называют, подвижных средних. Применение последних позволяет сгладить периодические и случайные колебания и тем самым выявить присутствующую в развитии тенденцию.

Использование многочленных скользящих средних может быть ограничено незначительной продолжительностью исходного ряда. Необходимо учитывать, что использование метода скользящих средних приводит к получению укороченного временного ряда.

Таблица 13. Исходный динамический ряд экспорта и скользящие средние для периода 1977 — 2007 гг.

В рамках курсовой работы требуется провести сглаживание динамического ряда 3-х, 5-ти, 7-ми членными скользящими средними (если это позволяет длина динамического ряда).

Для наглядного отображения механического выравнивания представим сглаживание скользящими средними графически.

Рис. 20. Динамический ряд экспорта, сглаженный 3-х, 5-и, 7-ичленными скользящими средними Пусть динамический ряд состоит из уровней y_t, t = 1, …, n. Для каждых m последовательных уровней этого ряда (т < n) можно подсчитать среднюю величину. Вычислив значение средней для первых т уровней, переходят к расчету средней для уровней y₂, …, y_m+i, затем y₃, …, y_m+2 и т. д. Таким образом, интервал сглаживания, т. е. интервал, для которого подсчитывается средняя, как бы скользит по динамическому ряду с шагом, равным единице. Если т нечетное число, а предпочтительнее брать именно нечетное число уровней, поскольку в этом случае расчетное значение уровня окажется в центре интервала сглаживания и им легко заменить конкретное фактическое значение, то для определения скользящей средней можно записать следующую формулу:

где — значение скользящей средней для момента t, y_i — фактическое значение уровня в момент i; i — порядковый номер уровня в интервале сглаживания; m — интервал сглаживания (период скольжения).

Величина р легко определяется из продолжительности интервала сглаживания. Поскольку m = 2р + 1 при нечетном m, то Таблица 14. Исходный динамический ряд импорта и скользящие средние для периода 1977 — 2007 гг.

Рис. 20. Динамический ряд экспорта, сглаженный 3-х, 5-и, 7-и членными скользящими средними Выбор периода скольжения имеет большое значение, особенно, если в изучаемом ряду имеются циклические колебания. В этом случае период скольжения должен быть равным, либо кратным периоду колеблемости. Если циклических колебаний не наблюдается, то рекомендуется выполнить несколько вариантов выравнивания: начать с расчета скользящей средней с минимальным периодом скольжения и постепенно увеличивать период сглаживания, пока основная тенденция не проявится достаточно отчетливо. Средние, рассчитанные по большому периоду, лучше сглаживают случайные колебания. Но использование многочленных скользящих средних может быть ограничено незначительной продолжительностью исходного ряда. Необходимо учитывать, что использование метода скользящих средних приводит к получению укороченного временного ряда.

2.3 Аналитическое сглаживание временного ряда. Уравнение тренда

Кривые роста, описывающие закономерности развития явлений во времени — это результат аналитического выравнивания динамических рядов. Выравнивание ряда с помощью тех или иных функций в большинстве случаев оказывается удобным средством описания эмпирических данных. Это средство при соблюдении ряда условий можно применить и для прогнозирования.

Процесс выравнивания состоит из следующих основных этапов:

— выбора типа кривой, форма которой соответствует характеру изменения динамического ряда;

— определения численных значений (оценка) параметров кривой;

— последующего контроля качества выбранного тренда.

Рассмотрим наиболее используемые типы уравнений тренда:

1. Линейная форма тренда:

где — уровень ряда, полученный в результате выравнивания по прямой; a₀ — начальный уровень тренда; a₁ — средний абсолютный прирост, константа тренда.

Для линейной формы тренда характерно равенство так называемых первых разностей (абсолютных приростов) и нулевые вторые разности, т. е. ускорения.

2. Параболическая (полином 2-ой степени) форма тренда:

Для данного типа кривой постоянными являются вторые разности (ускорение), а нулевыми — третьи разности.

Параболическая форма тренда соответствует ускоренному или замедленному изменению уровней ряда с постоянным ускорением. Если a₂ < 0 и a₁ > 0, то квадратическая парабола имеет максимум, если a₂ > 0 и a₁ < 0 — минимум. Для отыскания экстремума первую производную параболы по t приравнивают 0 и решают уравнение относительно t.

3. Логарифмическая форма тренда:

Логарифмическим трендом может быть описана тенденция, проявляющаяся в замедлении роста уровней ряда динамики при отсутствии предельно возможного значения. При достаточно большом t логарифмическая кривая становится мало отличимой от прямой линии.

Для решения поставленной задачи по аналитическому сглаживанию динамических рядов в системе STATISTICA нам потребуется создать дополнительную переменную на листе с исходными данными.

Предстоит построить уравнение тренда, которое по существу является уравнением регрессии, в котором в качестве фактора выступает «время».

Создаем переменную «T», содержащую интервалы времени, 10 лет. Переменная «T» будет состоять из натуральных чисел от 1 до 10, соответствующих указанным годам.

Для начала рассмотрим экспорт Японии: первый рассматриваемый период — с 1983 по 1992 год.

Таблица 15. Экспорт Японии в 1983;1992 гг

Рис. 21. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда

Таблица 16. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда

Столбец Estimate — числовые значения параметров уравнения; Standard еrror — стандартная ошибка параметра; t-value — расчетное значение t-критерия; df — число степеней свободы (n-2); p-level — расчетный уровень значимости; Lo. Conf. Limit и Up. Conf. Limit — соответственно нижняя и верхняя граница доверительных интервалов для параметров уравнения с установленной вероятностью (указана как Level of Confidence в верхнем поле таблицы).

Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 17. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели В верхней заголовочной строке таблицы выдаются пять оценок:

Sum of Squares — сумма квадратов отклонений;

df — число степеней свободы;

Mean Squares — средний квадрат;

F-value — критерий Фишера;

p-value — расчетный уровень значимости F-критерия.

В левом столбце указывается источник вариации:

Regression — вариация, объясненная уравнением тренда;

Residual — вариация остатков — отклонений фактических значений от выровненных (полученных по уравнению тренда);

Total — общая вариация переменной.

Таблица 18 Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда

Observed — наблюдаемые значения (то есть уровни исходного динамического ряда);

Predicted — прогнозные значения (полученные по уравнению тренда для данных моментов времени);

Residuals — остатки (разница между фактическими и прогнозными значениями).

Рис. 22. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1983 по 1992 г. и линейный тренд Рис. 23. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда Таблица 19. Результаты расчета параметров экспорта параболической модели тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 20. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели Таблица 21 Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 24. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1983 по 1992 г. и параболический тренд Рис. 25. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда Таблица 22. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 23. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели

Таблица 24. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 26. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1983 по 1992 г. и логарифмический тренд Рассмотрим экспорт Японии за второй период — с 1994 по 2002 гг.

Таблица 25. Экспорт Японии в 1994;2002 гг

Рис. 27. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда Таблица 26. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 27. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели Таблица 28. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда Рис. 28. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1994 по 2002 г. и линейный тренд Рис. 29. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда Таблица 29. Результаты расчета параметров экспорта параболического тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 30. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели

Таблица 31. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 30. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1994 по 2002 г. и параболический тренд Рис. 31. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда

Таблица 32. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 33. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели

Таблица 34. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 32. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 1994 по 2002 г. и логарифмический тренд Рассмотрим экспорт Японии за третий период — с 2001 по 2007 гг.

Таблица 35. Экспорт Японии в 2001;2007 гг

Рис. 33. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда Таблица 36. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 37. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели

Таблица 38. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда Рис. 34. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 2001 по 2007 г. и линейный тренд Рис. 35. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда

Таблица 39. Результаты расчета параметров экспорта параболического тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 40. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели Таблица 41. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 36. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 2001 по 2007 г. и параболический тренд Рис. 37. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда Таблица 42. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 43. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели Таблица 44. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 38. Исходный динамический ряд экспорта Японии с 2001 по 2007 г. и логарифмический тренд

Следующим шагом рассмотрим импорт Японии. Первый этап — период с 1983 по 1992 гг.

Таблица 46. Импорт Японии в 1983;1992 гг

Рис. 39. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда Таблица 47. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 48. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели Таблица 49. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда Рис. 40. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1983 по 1992 г. и линейный тренд Рис. 41. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда Таблица 50. Результаты расчета параметров экспорта параболического тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 51. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели Таблица 52. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 42. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1983 по 1992 г. и параболический тренд Рис. 43. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда Таблица 53. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 54. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели

Таблица 54 Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 44. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1983 по 1992 г. и логарифмический тренд Второй этап — период с 1994 по 2002 гг.

Таблица 55. Импорт Японии в 1994;2002 гг

Рис. 45. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда Таблица 56. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 57. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели

Таблица 58. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда Рис. 46. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1994 по 2002 г. и линейный тренд Рис. 47. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда

Таблица 59. Результаты расчета параметров экспорта параболического тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 60. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели Таблица 61. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 48. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1994 по 2002 г. и параболический тренд Рис. 49. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда Таблица 62. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 63. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели Таблица 64. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 50. Исходный динамический ряд импорта Японии с 1994 по 2002 г. и логарифмический тренд Третий этап — период с 2001 по 2007 гг.

Таблица 65. Импорт Японии в 2001;2007 гг

Рис. 51. Результаты регрессионного анализа для линейной модели тренда Таблица 66. Результаты расчета параметров экспорта линейной модели тренда Уравнение линейной модели тренда имеет вид:

Таблица 67. Результаты дисперсионного анализа тренда линейной модели Таблица 68. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для линейной модели тренда Рис. 52. Исходный динамический ряд импорта Японии с 2001 по 2007 г. и линейный тренд Рис. 53. Результаты регрессионного анализа для параболической модели тренда Таблица 69. Результаты расчета параметров экспорта параболического тренда Уравнение параболической модели тренда имеет вид:

Таблица 70. Результаты дисперсионного анализа тренда параболической модели Таблица 71. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для параболической модели тренда Рис. 54. Исходный динамический ряд импорта Японии с 2001 по 2007 г. и параболический тренд Рис. 55. Результаты регрессионного анализа для логарифмической модели тренда Таблица 72. Результаты расчета параметров экспорта логарифмического тренда Уравнение логарифмической модели тренда имеет вид:

Таблица 73. Результаты дисперсионного анализа тренда логарифмической модели Таблица 74. Таблица наблюдаемых, прогнозируемых значений и остатков для логарифмической модели тренда Рис. 56. Исходный динамический ряд импорта Японии с 2001 по 2007 г. и логарифмический тренд

2.4 Выбор трендовой модели

Сведем полученные данные (за каждый период) в таблицы. Идентификацию оптимального тренда будем на основе критерия максимальности коэффициента детерминации.

Таблица 75. Уравнения трендов экспорта Японии за период с 1983 по 1992 гг

Таблица 76. Уравнения трендов экспорта Японии за период с 1994 по 2002 гг

Таблица 77. Уравнения трендов экспорта Японии за период с 2001 по 2007 гг

Таблица 78. Уравнения трендов импорта Японии за период с 1983 по 1992 гг

Таблица 79. Уравнения трендов импорта Японии за период с 1994 по 2002 гг

Таблица 80 Уравнения трендов импорта Японии за период с 2001 по 2007 гг

Сопоставив значения коэффициентов детерминации для различных типов кривых можно сделать вывод о том, что для исследуемых динамических рядов лучшей формой тренда чаще всего оказывается линейная форма.

2.5 Контроль качества выбранной трендовой модели

Важнейшим элементом оценки качества выбранной модели является анализ автокорреляции в остатках, т. е. в отклонениях исходных значений динамического ряда от рассчитанных по уравнению тренда. Если аппроксимация удовлетворительная, то случайные составляющие — отклонения от тренда в своей последовательности должны быть лишены автокорреляции.

Рассчитаем коэффициенты автокорреляции в остатках выбранного (лучшего) уравнения тренда с помощью ППП «Статистика». В дереве рабочей книги появятся график и таблица с одинаковым названием Autocorrelation Functions. Таблица содержит расчетные значения коэффициентов автокорреляции (столбец Autocorrelations), стандартных ошибок (Standard Errors), так называемых Box & Ljung статистик и расчетного уровня значимости P.

График содержит графическое изображение статистик, рассмотренных в таблице. При этом горизонтальные столбцы означают коэффициенты корреляции. Графическое представление рассчитанных коэффициентов автокорреляции наглядно демонстрирует, что они статистически незначимы, поскольку значения ни одного из них не выходят на границы доверительных интервалов, обозначенных на графике красной пунктирной линией.

Рассмотрим экспорт за период 1983;1992

Рис. 57. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 81. Коэффициенты автокорреляции

Рассмотрим экспорт за период 1994;2002

Рис. 57. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 82. Коэффициенты автокорреляции

Рассмотрим экспорт за период 2001;2007

Рис. 57. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 83. Коэффициенты автокорреляции

После проведения проверки выявлены окончательные результаты выбора уравнений трендов.

Таблица 84. Сводная таблица рассматриваемых периодов и уравнения трендов

Для наглядного представления выбранных трендов, изобразим их на графике.

Рис. 58. Трендовые модели и исходный динамический ряд экспорта

Рассмотрим импорт за период 1983;1992

Рис. 59. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 85. Коэффициенты автокорреляции

Рассмотрим импорт за период 1994;2002

Рис. 60. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 86. Коэффициенты автокорреляции

Рассмотрим импорт за период 2001;2007

Рис. 61. Графическое изображение анализа автокорреляции в остатках

Таблица 87. Коэффициенты автокорреляции

После проведения проверки выявлены окончательные результаты выбора уравнений трендов.

Таблица 88. Сводная таблица рассматриваемых периодов и уравнения трендов

Для наглядного представления выбранных трендов, изобразим их на графике.

Рис. 62. Трендовые модели и исходный динамический ряд экспорта

3. Экстраполяция трендов и доверительные интервалы прогноза

3.1 Экстраполяция трендовой модели

Один из наиболее распространенных методов прогнозирования заключается в экстраполяции, т. е. в предсказании будущего на основе данных прошлого.

Экстраполяция базируется на следующих допущениях:

§ развитие явления может быть с достаточным основанием охарактеризовано плавной траекторией — трендом;

§ общие условия, определяющие тенденцию развития в прошлом, не претерпят существенных изменений в будущем.

Таким образом, экстраполяция дает описание некоторого общего будущего развития объекта прогнозирования. Причем если развитие в прошлом носило перманентно скачкообразный характер, то при достаточно продолжительном периоде наблюдений скачки оказываются «зафиксированными» в самом тренде, и последний опять-таки можно применить в прогнозировании.

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для экспорта за период 2001;2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики экспорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Проведем прогнозирование на основе экстраполяции лучшей формы тренда (линейной) для импорта за период 2001;2007 гг:

Напомним, что у текущей переменной 7 уровней ряда, обозначенных натуральными числами. Соответственно прогноз динамики импорта в 2008 (t=8) составит:

(млрд. долл)

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогноза, что может быть признано удовлетворительным только при наличии функциональной зависимости. Однако для экономических явлений характерна корреляционная зависимость и переменные, как правило, являются непрерывными. Следовательно, указание точечных значений прогноза, строго говоря, лишено содержания. Отсюда следует, что прогноз должен быть дан в виде интервала значений, т. е. необходимо определение доверительного интервала прогноза.

3.2 Доверительные интервалы прогноза

При составлении прогноза погрешность имеет следующие источники:

§ выбор формы кривой, характеризующей тренд, содержит элемент субъективизма. Во всяком случае, часто нет твердой основы для того, чтобы утверждать, что выбранная форма кривой является единственно возможной, а тем более лучшей для экстраполяции в данных конкретных условиях;

§ оценивание параметров кривых (иначе говоря, оценивание тренда) производится на основе ограниченной совокупности наблюдений, каждое из которых содержит случайную компоненту. В силу этого параметрам кривой, а, следовательно, и ее положению в пространстве свойственна некоторая неопределенность;

§ тренд характеризует средний уровень ряда на каждый момент времени. Отдельные наблюдения, как правило, отклонялись от него в прошлом.

Естественно ожидать, что подобного рода отклонения будут происходить и в будущем.

Вполне возможны случаи, когда форма кривой, описывающей тенденцию, выбрана неправильно или когда тенденция развития в будущем может существенно измениться и не следовать тому типу кривой, который был принят при выравнивании. В последнем случае основное допущение экстраполяции не соответствует фактическому положению вещей. Найденная кривая лишь выравнивает динамический ряд и характеризует тенденцию только в пределах периода, охваченного наблюдением. Экстраполяция такого тренда неизбежно приведет к ошибочному результату, причем ошибку такого рода нельзя оценить заранее. В связи с этим можно лишь отметить то, что, по-видимому, следует ожидать рост такой погрешности (или вероятности ее возникновения) при увеличении периода упреждения.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источниками, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза при принятии некоторых допущений о свойстве ряда. С помощью такого интервала точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Во всяком случае, смещение периода наблюдения только на один шаг или добавление, или устранение членов ряда в силу того, что каждый член ряда содержит случайную компоненту, приводит к изменению численных оценок параметров. Отсюда расчетные значения несут на себе груз неопределенности, связанной с ошибками в значении параметров.

В общем виде доверительный интервал для тренда определяется как:

где — средняя квадратическая ошибка тренда;

— расчетное значение y_t;

— значение t-статистики Стьюдента.

В STATISTICA при расчете доверительных интервалов прогноза величину среднего квадратического отклонения S_y можно определить, воспользовавшись таблицей дисперсионного анализа. Рассчитанное в ячейке Residual Mean Squares значение соответствует подкоренному выражению в формуле для S_y, то есть остаточной дисперсии. Остается только извлечь из него квадратный корень.

Для экспорта (см. таблицу 77), для импорта (см. таблицу 80).

Значит, для экспорта S_y = 18,11,для импорта S_y = 25,45.

Значение коэффициента доверия t находим по таблице Стьюдента с учетом доверительной вероятности 95%. При использовании линейной и степенной функций число степеней свободы равно 4, соответственно значение критерия равно 2,776.

Таким образом, доверительный интервал прогноза для экспорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество экспорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 704,542 млрд долл. до 805,089 млрд долл.

Доверительный интервал прогноза для импорта на 2008 год определяется как:

Этот прогноз можно интерпретировать следующим образом: количество импорта Японии в 2008 году с вероятностью 95% будет составлять от 596,072 млрд долл. до 737,371 млрд долл.

3.3 Графическое представление результатов прогнозирования

Завершающим этапом прогнозирования является построение графических изображений, дающих представление о точности прогноза и наглядно демонстрирующих размах доверительных интервалов.

Таблица 89. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 63. Доверительные интервалы прогноза экспорта Японии

Таблица 90. Данные прогнозирования для экспорта

Рис. 64. Доверительные интервалы прогноза импорта Японии

К сожалению, в нашем случае реальные значения вышли за пределы доверительного интервала прогноза, что лишний раз подчёркивает трудности выбора модели тренда.

3.4 Экстраполяция на основе среднего темпа роста и среднего абсолютного прироста

В данном пункте рассмотрим прогнозирование на основе среднего темпа роста. Значения будущих периодов получают, руководствуясь формулой:

где — средний темп роста; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Средний темп роста определяется как:

где y_n — данные за последний год периода, а y₁ — данные по первому году в рассматриваемом периоде.

Рассчитаем для экспорта:

Тогда:

Доверительный интервал:

Таблица 91. Расчеты по формуле, средний темп роста для экспорта Японии

Рис. 65. Графическое представление экстраполяции на основе среднего темпа роста

Рассчитаем для импорта:

Тогда:

Таблица 92. Расчеты по формуле, средний темп роста для импорта Японии

Доверительный интервал:

Рис. 66. Графическое представление экстраполяции на основе среднего темпа роста

Таким же образом, возможно, сделать прогноз и на основе среднего абсолютного прироста, прибавив его к предыдущему уровню динамического ряда, в данном случае можно говорить о линейной зависимости:

где — средний абсолютный прирост; - уровень, принятый за базу для экстраполяции.

Рассчитаем для экспорта:

Таблица 93. Исходные данные для графического представления прогноза импорта на основе среднего абсолютного прироста

Рис. 67. Графическое представление экстраполяции на основе среднего абсолютного прироста