Априорная оценка и разрешимость третьей двухточечной краевой задачи для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Актуальность темы

Диссертационная работа посвящена исследованию априорной оценки и разрешимости третьей двухточечной краевой задачи вида г" = + 0.

0) = Л)(.г (0), 2(1)) + Лой, ^(1) = Аг (г (0), *(1)) + /г^), (2) где отображения.

Р: [0,1 Г, /: [0,1] х Еп х Еп ^ Еп,.

А0, Аг: Еп х Еп ^ Еп, /г0, /ц: Сг ([0,1]- Еп) ^ Еп непрерывны и удовлетворяют условиям:

1) Л^х, А^) = АТОР (£, ^1,^2) Для всех Л > 0 и фиксированного т > 1;

2) Aj (Xzl, Л^г) = ЛАг (2:1,2:2) для всех Л > 0, = 0,1;

3) тах/{г, гиг2)(г1 + Ы)~т 0 при гг + |2г2| оо;

4) Ну (г) —У 0 при Н-гЦс1 оо, ^ = 0,1.

Здесь через С1([0,1]-ЕП) обозначено пространство непрерывно-дифференцируемых на отрезке [0,1] вектор-функций с нормой.

Ыи = \г\с + и'\с — шах ги) + тах г’и).

1 ". 1.

В краевой задаче (1), (2) положительно-однородные отображения Р, Ло, А являются главными нелинейными членами, а отображения /, До, — возмущениями. Априорная оценка и разрешимость краевой задачи (1), (2) исследуются в терминах свойств главных нелинейных членов Р, Ао, А. Если множество решений краевой задачи (1), (2) ограничено по норме пространства С1 ([0,1]- Еп) или пусто, то будем говорить, что задача (1), (2) допускает априорную оценку.

Исследованию априорной оценки и разрешимости двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка посвящены многочисленные работы. Среди них отметим классические и фундаментальные работы С. Н. Бернштейна [4−6], М. Нагумо [27], а также работы Ю. А. Клокова [17,18], К. Шрёдера [44], Н. И. Васильева [8], А. Я. Ленина [20], А. И. Перова [16], М. А. Красносельского [14,15,19], В. В. Филиппова [39−41], Э. М. Мухамадиева [22−26], А. Н. Наимова [28−31]. В последние годы двухточечные краевые задачи исследовались в работах R. Agarwal [1], Y. An [2], В. Ahmad [3], F. Geng [9], R. Du [10], Y. Ermachenko [12], Z. Zhou [13], Z. Han [7], P. Cerda [38], X. Chang [43].

В указанных работах С. Н. Бернштейна, Н. Нагумо, Ю. А. Клокова, К. Шрё-дера, А. Я. Лепина, Н. И. Васильева в основном исследована первая краевая задача для скалярных уравнений второго порядка у" = /(?, у, у'), в случае когда правая часть / относительно у' имеет порядок роста не больше, чем 2. Доказано, что в случае порядка роста больше 2 первая краевая задача не всегда разрешима. В связи с этим представляет интерес выделение широкого класса сильно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых разрешима краевая задача не с первыми краевыми условиями, а с третьими. При этом актуально применение методов нелинейного анализа таких, как метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения бесконечномерных вполне непрерывных векторных полей.

В работах Э. М. Мухамадиева, А. Н. Наимова [26, 28,30,31] краевая задача (1), (2) исследована в скалярном и векторном случаях. В них разрешимость краевой задачи исследуется методом априорной оценки и эффективным вычислением вращения вполне непрерывного векторного поля, порожденного краевой задачей, в случае, когда множество нулей P (t, x, y) = 0 состоит лишь из поверхности у — 0. Основная проблема состоит в согласовании множества нулей Р (1-, х, у) = 0 с отображениями Ао, участвующими в краевых условиях. В настоящей диссертационной работе краевая задача (1), (2) исследуется в случаях, когда множество нулей Р (1,х, у) — 0 состоит из одной нетривиальной гиперповерхности у = В{Ь, х) или из двух гиперповерхностей у = В^, х), у = В2^, х). В этих случаях необходимо развить методы априорной оценки и вычисления вращения, так как вышеуказанные методы непосредственно неприменимы.

Цель работы. Нахождение новых условий существования априорной оценки и разрешимости краевой задачи (1), (2) в случаях, когда главная нелинейная часть системы (1) обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

Методы исследования. В работе применяются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и линейной алгебры, методы нелинейного анализа: метод априорной оценки, метод направляющих функций, методы вычисления вращения векторных полей.

Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:

1. Для краевой задачи (1), (2) доказана оценка производной решения через само решение х{Ь).

2. Доказаны новые достаточные условия существования априорной оценки для решений краевой задачи (1), (2) в терминах свойств главных нелинейных членов в случаях, когда главная нелинейная часть системы уравнений обращается в ноль на одной или двух нетривиальных гиперповерхностях.

3. В условиях априорной оценки доказана инвариантность свойства разрешимости краевой задачи (1), (2) при непрерывном изменении Р, Ао, А и при любых возмущениях /, /го,.

4. Доказаны новые достаточные условия разрешимости краевой задачи (1), (2) в условиях априорной оценки в случаях п = 2 и п ^ 2.

5. При п — 2 в отдельных случаях разрешимость краевой задачи (1), (2) исследована посредством решения задачи гомотопической классификации.

Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. В ней применяются и развиваются методы исследования краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались в ряде выступлений на научном семинаре по актуальным проблемам математики и ее приложений в Вологодском государственном техническом университете (руководитель — профессор Э. Мухамадиев, 2008;2011 г. г.), на научном семинаре кафедры прикладной математики Вологодского государственного педагогического университета (руководитель — профессор А. И. Зейфман, 20 082 010 г. г.), на конференциях Воронежской зимней и весенней математических школ (Воронеж, 2008;2011 г. г.), на шестой и седьмой Всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону» (Вологда, февраль 2008 г., 2009 г.), на шестой международной научно-технической конференции «Инфос-2011» (Вологда, 24−25 июня 2011 г.), на международной научной конференции «Современные проблемы математики и её приложения» (посвященной 70-летию член-корреспондента Академии наук Республики Таджикистан Э. Мухамадиева, Душанбе, 28−30 июня 2011 г.).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 9 работах [В1]-[В9]. Из совместных публикаций [В2], [ВЗ], [В5], [В9] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работы [В5] и [В9] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, библиографического списка, содержащего 44 наименования. Общий объем работы — 125 страниц.

1. AgarwalR. Positive Solutions in the Sense of Distributions of SingularBoundary Value Problems / R. Agarwal, K. Perera, D. O'Regan // Proceedings of the American Mathematical Society. — 2008. — Vol. 136. — №. P. 279−286.

2. БернштейнС. H. Об уравнениях вариационного исчисления. / С. Н. Бернштейн // Успехи математических наук. — 1941. — Т. 8. — С. 32−74.

3. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, том I. / С. Н. Бернштейн. — М.: Изд. АН СССР, 1952.

4. Бернштейн С. Н. Собрание сочинений, том III. / С. Н. Бернштейн. — М.:Изд. АН СССР, 1960.

5. ВасильевН. И. Основы теории краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. / Н. И. Васильев, Ю. А. Клоков. — Рига, 1978. 189 с.

6. GengF. Solving singular nonlinear two-point boundary value problems in thereproducing kernel space / F. Geng //J. Korean Math. Soc. — 2008. — Vol. 45. № 3. — P. 631−644.

7. Дубровин Б. А. Современная геометрия. / Б. А. Дубровин, С. П. Новиков, А. Т. Фоменко. М., 1979.

8. Yermachenkol. Types of solutions and multiplicity results for second ordernonlinear boundary value problems / I. Yermachenko, F. Sadyrbaev // Nonlinear Analysis. 2005. — Vol. 63. — P. 1725−1735.

9. ЗабрейкоП. П. Векторные поля на плоскости. / М. А. Красносельский, А. И. Перов, А. И. Поволоцкий, П. П. Забрейко. — М.: Физматгиз, 1963.

10. ЗабрейкоП. П. Геометрические методы нелинейного анализа. /М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. — М.: Наука, 1975.

11. КибенкоА. В. Об одном общем методе исследования краевых задач /А. И. Перов, А. В. Кибенко // Известия АН СССР. 1966. — Т. 30. -С. 249−264.

12. Клоков Ю. А. Одна предельная краевая задача для уравнения х+х/(х, х) +<�рх = 0 / Ю. А. Клоков // Известия вузов. Математика. — 1959. — № 6. С. 72−80.

13. Клоков Ю. А. Об одном методе решения краевых задач с условием на бесконечности / Ю. А. Клоков // Математический сборник. — 1965. — Т. 67. — № 2. С. 161−166.

14. Красносельский М. А. Потенциальные оценки в непотенциальных краевыхзадачах / М. А. Красносельский, Р. Менникен, Д. И. Рачинский // Доклады РАН. 1998. — Т. 363. — № 3. — С. 295−297.

15. ЛепинА. Я. Необходимые и достаточные условия существования решениядвухточечной краевой задачи для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка / А. Я. Лепин // Дифференциальные уравнения. 1970. — Т. 6. — № 8. — С. 1384−1388.

16. Мищенко Е. Ф. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. / Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов. — М.: Наука, 1975.

17. МухамадиевЭ. М. К теории периодических решений систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. / Э. М. Мухамадиев // ДАН СССР. — 1970. Т. 194. — № 3. — С. 510−513.

18. МухамадиевЭ. М. К теории ограниченных решений обыкновенных дифференциальных уравнений / Э. М. Мухамадиев // Дифференциальные уравнения. 1974. — Т. 10. — № 4.

19. Мухамадиев Э. М. О периодических и ограниченных решениях системыдвух нелинейных дифференциальных уравнений. / Э. М. Мухамадиев // ДАН Таджикской ССР. 1976. — Т. 19. — № 3.

20. Мухамадиев Э. М. Об одной формуле для вычисления вращения векторныхполей / Э. М. Мухамадиев // ДАН Таджикской ССР. 1977. — Т. 20. -№ 5.

21. МухамадиевЭ. М. К теории двухточечных краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка / Э. М. Мухамадиев, А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. — 1999. — Т. 35. — № 10. — С. 1372— 1381. РАН ISSN: 0374−0641.

22. NagumoM. Uber die Differentialgleichung у" = f (x, y, y'). / M. Nagumo //Proc. Phys. Math. Soc., Japan. 1937. — Vol. 19. — P. 861−866.

23. Наймов A.H. К теории двухточечных краевых задач для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. / А. Н. Наймов // Доклады АН РТ. 1998. — Т. 41. — № 9. — С. 30−34.

24. Наймов А. Н. О вычислении вращения одного вполне непрерывного векторного поля / А. Н. Наймов // Доклады АН РТ. 1998. — Т. 41. — № 10. -С. 56−61.

25. Наймов А. Н. Об априорной оценке решений нелинейной двухточечной краевой задачи. / А. Н. Наймов // Ученые записки ХГУ. Естественные науки. — Худжанд, 1998. — № 2. — С. 142−150 (соавтор Мухамадиев Э.М.).

26. Наймов А. Н. О разрешимости третьей нелинейной двухточечной краевойзадачи на плоскости / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. 2002. — Т. 38. — № 1. — С. 132−133. — РАН ISSN: 0374−0641.

27. Наймов А. Н. Об оценке производных решений одного семейства сингулярно возмущенных краевых задач / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. 2002. — Т. 38. — № 7. — С. 994. — РАН ISSN: 0374−0641.

28. Наймов A.H. Об ограниченных траекториях одного класса автономныхсистем / А. Н. Наймов // Материалы четвертой всероссийской научно-технической конференции «Вузовская наука — региону». — Вологда: ВоГТУ, 2006. С. 260−262.

29. Наймов А. Н. О числе нестационарных ограниченных траекторий одногокласса автономных систем на плоскости / А. Н. Наймов // Дифференциальные уравнения. 2008. — Т. 44. — № 8. — С. 1050−1055. — РАН ISSN: 0374−0641.

30. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальныхуравнений. / И. Г. Петровский. — М.: Издательство МГУ, 1984.

31. ПлиссВ. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. / В. А. Плисс. — М.:Наука, 1964.

32. UbillaP. Nonlinear Systems of Second-Order ODEs / P. Cerda, P. Ubilla //Boundary Value Problems. Vol. 2008. — Article ID 236 386, 9 pages, 2008. — DOI: 10.1155/2008/236 386.

33. Филиппов В. В. Пространства решений обыкновенных дифференциальныхуравнений. / В. В. Филиппов. М.: Изд. МГУ, 1993.

34. Филиппов В. В. Топологическое строение пространств решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. В. Филиппов // Успехи математических наук. 1993. — Т. 48. — № 1. — С. 103−154.

35. Филиппов В. В. О гомологических свойствах множеств решений обыкновенных дифференциальных уравнений / В. В. Филиппов // Математический сборник. 1997. — Т. 188. — № 6. — С. 139−160.

36. ХартманФ. Обыкновенные дифференциальные уравнения. /Ф. Хартман. — М.: Мир, 1970.

37. ChangX. Two-Point Boundary Value Problems for Duffing Equations acrossResonance / X. Chang, Q. Huang // Journal of Optimization Theory and Applications. Vol. 140. — № 3. — P. 419−430. — DOI: 10.1007/sl0957−008−9461−8.

38. SchraderK. Existence theorem for second order boundary value problems /K. Schrader // Diff. equations. 1969. — Vol. 5. — № 3. — P. 572−584.