Прямые и обратные задачи для конечных упругих и электроупругих тел

Интерес к расчетам на прочность и колебания составных упругих и электроупругих тел продиктован многочисленными приложениями пьезоэлектрических преобразователей в различных областях. Прямые задачи для составных упругих, электроупругих и акустических тел моделируют функционирование разнообразных пьезоэлектрических устройств, широко применяемых в разных областях науки, техники, медицины и т. д.

Диссертационная работа посвящена разработке методов решения прямых и обратных задач теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров. Работа состоит из двух частей, первая часть включает в себя первую и вторую главы и посвящена разработке и реализации методов решения прямых задач. В качестве методов решения прямых задач в работе развивается метод неклассических граничных интегральных уравнений (ГИУ), а также метод конечных элементов (МКЭ), и в особенности его реализация в специализированном конечноэлементном комплексе ACELAN.

Интересом к разработке неклассических ГИУ, в частности в динамических задачах электроупругости, автор обязан своему научному руководителю кандидатской диссертации, научному консультанту проф. А.В.Бе-локоню и научному консультанту этой работы проф. А. О. Ватульяну. В работах [34]-[36], [164]-[167],[135], [136] авторами метод А. В. Белоконя [19] был обобщен на задачи электроупругости и построены ГИУ для тел ограниченных координатными поверхностями (прямоугольник), однако для тел более сложной формы прямое применение этих методов невозможно. Говоря о методах решения задач электроупругости, разработанных в ростовской школе механики, следует отметить первые в этом направлении работы Ю. А. Устинова и его учеников [131, 100]. Линейная теория электроупругости к настоящему моменту является широко используемой математической моделью с большой степенью адекватности в описании функционирования пьезоэлектрических устройств, в построение этой модели и изучение ее свойств внесли вклад многие отечественные и зарубежные исследователи, среди них: И. И. Ворович, В. А. Бабешко, А. В. Белоконь, А. О. Ватульян, И. П. Гетман, В. Т. Гринченко, В. В. Калинчук, С.А. Кало-еров, Б. А. Кудрявцев, Ж. Можен, А. В. Наседкин, В. Новацкий, В. З. Партон, О. Д. Пряхина, А. Ф. Улитко, Ю. А. Устинов, Г. А. Шинкаренко, Н. А. Шульга, R. Hollahd, Е.Р. Eer Nisse, R.D.Mindlin, H.F.Tiersten и другие. Несмотря на бурное развитие МКЭ, построению методов решения краевых задач, основанных на ГИУ и с дальнейшим применением метода граничных элементов (МГЭ) посвящается много работ в отечественной и мировой литературе. Этот интерес связан с тем, что применение метода ГИУ снижает размерность задачи, что особенно важно при решении трехмерных задач, а также возможностью применения ГИУ в проблемах, где прямое применение МКЭ и других численных методов невозможно.

Математическое моделирование различных явлений и процессов в естествознании во многих случаях приводит к описанию их с помощью краевых задач с эллиптическими операторами. К этому классу операторов относятся операторы Лапласа и Гельмгольца, операторы, описывающие равновесие и установившиеся колебания в анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоупругости и других моделях.

Для большинства краевых задач для этих операторов в случае достаточно сложной геометрии области точное решение построить не удается и возникает проблема эффективного численного анализа задачи. В настоящее время наиболее распространенными являются метод конечных разностей, метод конечных элементов, а также метод ГИУ и основанный на нем метод граничных элементов.

Родоначальником метода ГИУ можно назвать Фредгольма, который впервые свел краевую задачу для оператора Лапласа к интегральному уравнению по границе области, используя понятие фундаментального решения и теоремы о потенциалах простого и двойного слоев. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах грузинской школы математиков, возглавляемой В. Д. Купрадзе. В этих работах построены и исследованы системы ГИУ для задач изотропной теории упругости и термоупругости [126, 127]. В 70-х и 80-х годах метод ГИУ в его дискретном варианте — методе граничных элементов (МГЭ — англ. ВЕМ) — стал бурно развиваться в западных странах, был распространен на некоторые классы нелинейных задач на основе метода последовательных приближений. Достаточно полное представление о методике и возможностях этого способа можно найти в монографиях [41, 37, 212]. В этой связи следует отметить замечательную обзорную работу [224], посвященную истории развития МГЭ.

Вывод ГИУ во всех этих случаях опирается на фундаментальные и сингулярные решения соответствующего дифференциального оператора, формулы Грина или Гаусса-Остроградского, основные теоремы, аналогичные теоремам теории потенциала. К сожалению, для многих операторов (анизотропной теории упругости, электроупругости, магнитоэлектроупру-гости) построить фундаментальные решения в явном виде не удаетсявозможно лишь построение их интегральных представлений, крупным шагом в этом направлении явились работы А. О. Ватульяна и его учеников [62, 51, 341, 61].

Обзоры зарубежных исследований в области построения и использования метод ГИУ, МГЭ и МКЭ можно найти в [225], а также в цикле работ J. Mackerle [285, 286, 287, 288], в частности, работа [286] посвящена сравнительному аналитическому анализу применения МКЭ и МГЭ в различных областях, а также информационным ресурсам и программным комплексам. Некоторый анализ публикаций последних лет, посвященных ГИУ и МГЭ, аос ТОО кл.

I 500 I.

Ъ 400 I эоо i.

100 0 iilsiifiiiiiisiiiiiiiHHiliii.

Veir.

Рис. 1: В показывает, что исследования ведутся в нескольких направлениях: развитие новых вариантов этих методов — слабосингулярные и несингулярные [227, 202| (обзор имеется в [280]), граничные узловые методы (BNM)[344], бессеточныс методы (Meshless или MFree)[252], использование аппроксимаций высокого порядка, в том числе в описании границы [289, 358], сочетание нескольких методов, например МГЭ — МКЭ [328, 245, 243, 299] и другие модификации [343, 265, 255, 299, 346, 354, 306, 338Jмногочисленные применения в решении прямых задач для тел с дефектами, включениями, полостями, трещинами, как в статических, так и в динамических постановках, с изучением условий разрушении и движения трещин [236, 290, 328, 345, 276, 235, 326, 249, 231, 355, 349, 316, 192, 319, 237, 313, 354, 268, 213, 241, 289, 356, 351, 238, 357]: применение и развитие для сред с усложненными физическими свойствами — термопьезоэлектрики, функционально неоднородные свойства (FGM), композитные материалы и контактные задачи [229, 228, 235, 304, 326, 327, 315, 249, 283, 318, 317, 282, 281, 356, 291, 324, 314]: применение в различных обратных задачах (обзор будет дан ниже).

Следует отметить (согласно [224]), что общее число публикаций, посвященных тематике ГИУ и МГЭ меньше, чем работ в областях МКЭ (в шесть раз) и конечно разностных методов (в два раз), однако их число продолжает возрастать (пик приходится на 1998, 1999 гг.), как следует из диаграммы, приведенной в той же работе (рис. 1: В). Этот рост связан, как с расширением областей применения, так и с построением новых вариантов методов. Одним из обстоятельств, инициирующих эти построения, является отсутствие явных представлений ядер интегральных операторов в получаемых системах ГИУ, в частности для анизотропных тел при дискретизации этот подход приводит к необходимости вычисления большого количества кратных нерегулярных интегралов, что в значительной степени снижает эффективность МГЭ. Поэтому в последние годы возрос интерес к построению систем неклассических ГИУ без использования фундаментальных решений. В связи с этим следует отметить работы В. А. Бабешко [15, 14], в которых предложен МГИУ с гладкими ядрами и работы А. О. Ватульяна и его учеников [44, 65, 45, 97, 66], в которых этот метод получил дальнейшее развитие. Среди работ этого направления отметим работу М. А. Сумбатяна [179], в которой для уравнения Гельмгольца в плоской области с гладкой границей предложен специальный проекционный метод, сводящий соответствующее ГИУ к корректной бесконечной алгебраической системе. Однако последний вариант этого метода невозможно было применить к операторам с нулевыми компонентами характеристического уравнения (операторы Лапласа, статической теории упругости, электроупругости), и в работах [58, 75, 59, 67, 74, 72, 70] предложена его модификация, в которой возможно решение перечисленных задач. Кроме того, для эллиптических операторов в последнее время ставятся неклассические краевые задачи, в которых по переопределенной информации на части границы требуется определить граничные поля на оставшейся части, их решение основано на сведении краевых задач к системам неклассических ГИУ [49, 78].

Первая глава диссертации посвящена построению неклассических.

ГИУ и их численной реализации в краевых задачах с эллиптическими операторами. В п. 1.1 рассматриваются конечные области, к дифференциальным уравнениям применяется преобразование Фурье и ГИУ формулируются на основе анализа характеристического многочлена и свойства аналитичности образов Фурье функций с компактными носителями. Следует отметить, что ядра полученных ГИУ являются гладкими функциями, а сами уравнения относятся к интегральным уравнениям Фредгольма 1-го рода. Решение полученных ГИУ сводится к обращению вполне непрерывных операторов, а эта процедура в общем случае является некорректной и требует регуляризации. В п. 1.2 предлагается один из возможных способов решения сформулированных ГИУ на основе идей МГЭ и регуляризации А. Н. Тихонова. В п. 1.3 развитая методика применяется к оператору электроупругости и формулируются соответствующая система ГИУ. П. 1.4 посвящен некоторым частным реализациям предложенного метода и их численным реализациям для двумерного оператора Гельмгольца, задачам об антиплоских и плоских колебаниях упругого ортотропного и электроупругого тел. В приведенных численных примерах исследуется вопросы сходимости, сравнения с точными решениями и решениями, полученными МКЭ в ACELAN. В п. 1.5 предложенная методика распространяется на случай составных упругих тел, рассматривается модельный пример.

Следует отметить, что наиболее универсальным методом решения линейных краевых задач для упругих и пьезоэлектрических твердых тел в настоящее время является МКЭ. Имеются общепризнанные и менее известные программные продукты на его основе, позволяющие производить расчет пьезоэлектрических устройств, среди них можно назвать ANSYS, ATILA, PZFlex, FlexPDE, COSMOS/M, Feapiezo, ACELAN. Интерес автора к проблематике МКЭ и его реализации в программном продукте в первую очередь связан с разработкой специализированного конечноэлементного комплекса ACELAN, которая ведется с 1997 года в РГУ под руководством А. В. Белоконя и А. В. Наседкина. В докторской диссертации А. В. Наседкина [147] можно найти достаточно полный обзор литературы и формулировку континуальных и конечноэлемептных моделей акустотермоэлектроупруго-сти.

Вторая глава работы посвящена реализации в ACELAN МКЭ для составных упругих, электроупругих и акустических тел. В п. 2.1 приводятся постановки задач акустоэлектроупругости и их копечноэлементиые модели [147]. В п. 2.2 разрабатываются алгоритмы построения копечноэлементных объектов и описывается их реализация в комплексе ACELAN. Рассматриваются статические задачи, задачи модального анализа, гармонического и нестационарного анализа. Приведены результаты расчетов различных составных упругих, электроупругих конструкций, нагруженных на акустические среды, и их сравнений, в которых обнаружено хорошее совпадение с аналогичными результатами, полученными другими методами, в частности, с помощью пакета ANSYS. Расчеты в ACELAN проведены автором, однако при этом использовались результаты коллег по разработке комплекса. В коллектив разработчиков в разное время входили О. Н. Акопов (препроцессор, управляющая оболочка), Р. В. Галкип (трехмерная триангуляция и визуализация), В. А. Еремеев (адаптация программ ARPACK), М. И. Карякин (трехмерная триангуляция), Н. В. Курбатова (подпрограммы учета механических граничных условий контактного типа, документация), К. А. Надолин (модули триангуляции), А. В. Наседкин (постановки задач, ко-нечноэлементные модели, симметричные алгоритмы), А. А. Никитаев (препроцессор, визуализация), A.JI.Петушков (управляющая оболочка, внутренний командный язык, пакетный режим, визуализация), А. С. Скалиух (локальные элементные матрицы жесткости и масс, подпрограммы учета естественных граничных условий и постпроцессора), А. Н. Соловьев (конеч-ноэлементные объекты, «решатели» статических задач, задач модального, гармонического и нестационарного анализа для плоских, осесимметричных и трехмерных составных упругих, электроупругих и акустических тел, обсуждение принципов построение оболочки комплекса, командного языка, препроцессора, постпроцессора и интерфейсов между оболочкой, решателями и модулями постпроцессора, разработка и реализация параллельных алгоритмов, а также руководство программной реализацией всего комплекса). В этой же главе в п. 2.3 разработаны прямоугольные 12-ти-и 16-ти узловые конечные элементы для электроупругих пластин.

Современные КЭ пакеты предоставляют пользователю возможность вычислений на компьютерных кластерах. Некоторые разработки в этом направлении осуществлены в комплексе ACELAN. Так в п. 2.4 представлены алгоритмы параллельных вычислений при построении АЧХ в задачах гармонического анализа. Получены оценки ускорения этого алгоритма, проведен асимптотический анализ этих оценок. Представлены результаты расчетов, проведенных автором в кластерной версии комплекса ACELAN, установленной на компьютерном кластере, созданном К. Е. Васильченко, в вычислительной лаборатории НИИМ и ПМ им. И. И. Воровича РГУ.

Вторая часть работы, состоящая из глав с третьей по шестую, посвящена постановкам и разработке методов решения обратных задач. Это граничные обратные задачи (глава 3), геометрические обратные задачи реконструкции дефектов в твердых телах (главы 4 и 5), методы применяемые в этих главах в основном опираются на результаты, полученные в первой части работы. Несколько особняком стоит шестая глава в которой решается ряд одномерных обратных коэффициентных задач электроупругости. Результаты этой части работы получены в тесном научном сотрудничестве с проф. А. О. Ватульяном и проводились в рамках выполнения грантов РФФИ. Среди опубликованных в этом направлении работ автору особенно дорога работа [49], выполненная в соавторстве с академиком РАН И.И. Во-ровичем, который в свое время являлся руководителем дипломной работы автора.

В обратных задачах теории упругости [274] (там же можно найти обзор ранних работ) можно выделить некоторые направления:

1) обратные граничные задачи, в которых на части границы восстанавливаются поля смещений и напряжений при известной границе;

2) обратные геометрические задачи, в них восстанавливаются внутренние (включения, полости, трещины) или внешние границы при известном типе граничных условий на них;

3) обратные коэффициентные задачи, в которых находятся свойства однородных или неоднородных тел;

4) всевозможные комбинации предыдущих направлений.

Следует отметить, что во многих подходах успех в решении обратных задач, в особенности по реконструкции дефектов, зависит от построения эффективных способов решения прямых задач с включениями, полостями, трещинами и в особенности с условием контактного взаимодействия их береговнекоторые подходы в такого рода задачах развиты в [9, 10, 11, 15, 16, 101, 102, 103, 140, 159, 303].

Третья глава посвящена первому из выделенных направлений. В ней изучаются проблемы постановки и решения неклассических краевых задач теории упругости, сходных по постановкам с задачей Коши для эллиптического оператора. Некоторые задачи, возникающие в георазведке, мониторинге энергетических конструкций, требуют знания граничных механических и температурных полей на границах тел, недоступных для прямого их измерения. Задача восстановления поля в упругой среде является весьма важной задачей интенсиметрии, где определение потоков вибрационной энергии в конструкциях основано на измерении поверхностных значений вектора напряжений и вектора смещений на одной и той же части границы. Особенно важен с точки зрения приложений случай обращения в нуль компонент вектора напряжений на границе упругого тела, соответствующий измерению компонент векторов смещений на свободной границе тела.

В классической динамической теории упругости, как известно, имеется три основных типа краевых задач, для которых доказаны теоремы существования и единственности [151]. Развитие методик восстановления волновых полей внутри упругих тел на основе измеренных граничных волновых полей приводит к новым постановкам краевых задач в динамической теории упругости. Краевые задачи такого типа возникают при математической формулировке обратных граничных задач теории упругости. Отметим, что весьма важными аспектами при исследовании этих краевых задач являются вопросы единственности, корректности и построения алгоритмов восстановления неизвестных полей. В настоящий момент эти задачи привлекают возрастающее количество отечественных [157, 158, 39, 40, 121] и зарубежных исследователей. Подобного рода задачи для уравнений Лапласа и Пуассона рассматривались в [246, 226, 230, 253, 254, 321, 278, 234, 309, 302, 223], для уравнения Гельмгольца — в [215, 294, 296, 292, 295, 270, 301], для статической теории упругости и установившихся колебаний — в [352, 271, 293, 266, 310]. Отметим, что задачи такого типа, как правило, являются некорректными [181].

В разделе 3.1 приводится постановка краевых задач 4-го рода для установившихся колебаний анизотропного упругого тела, в которых на части границы тела граничные условия переопределены (известен, как вектор смещения, так и вектор напряжения), тогда как на другой его части, ни тип граничных условий, ни амплитудные значения граничных волновых полей не заданы. В разделе 3.2 задачи сводятся к задаче Коши и приводится теорема единственности, обсуждаются условия существования решения. Центральным в этой главе является раздел 3.3, где эти задачи с помощью методики, разработанной в первой главе, сводятся к системам ГИУ. Однако, полученные ГИУ могут быть классифицированы, как уравнения Фредголь-ма первого рода с гладкими (экспоненциальными) ядрами и процедура их обращения требует регуляризации. Разделы 3.4, 3.5 посвящены численной реализация предложенного метода для плоской деформации ортотропно-го тела на основе идей МГЭ и метода регуляризации А. Н. Тихонова. Здесь же приводятся результаты численных экспериментов по восстановлению граничных полей и обсуждаются численные аспекты погрешности восстановления в зависимости от числа точек измерения, размеров области измерения и других параметров. В разделе 3.6 методы предыдущих разделов распространяются на среды с диссипацией, которая учитывается с помощью общепринятых методик (введением сил, зависящих от скорости и в рамках модели вязкоупругого тела и комплексных модулей). Здесь представлены результаты численных экспериментов по оценке погрешностей восстановления в зависимости от параметров, характеризующих затухание.

Отметим, что в силу специфики краевых условий задач 4-го типа прямое применение к ним МКЭ невозможно, однако он может быть применен, если исходная задача сводится к решению ряда прямых классических краевых задач. Построенные на этой основе итерационные методы можно найти в [348]. В разделе 3.7 разработан метод восстановления граничных полей на основе сочетания идей МГЭ и МКЭ, в котором с помощью МКЭ строятся некоторые функции влияния. При этом МКЭ решается серия вспомогательных задач. Блочное представлении результирующей СЛАУ позволяет сохранить свойства симметричности и положительной определенности матрицы системы. Предложенные алгоритмы проиллюстрированы на задаче восстановления кусочно-линейной нагрузки для составного упругого тела, при этом прямые задачи решались в комплексе ACELAN, описанном во второй главе.

В четвертой и пятой главах рассматриваются проблемы идентификации дефектов в упругих телах. В качестве таких дефектов могут выступать трещины, жесткие или упругие включения, полости и т. д. Задача реконструкции трещиноподобного может быть разбита на несколько этапов. На первом этапе определяется носитель дефекта — поверхность, в частном случае плоскость, содержащая дефект. Если задача первого этапа успешно решена, то на втором этапе разыскивается интерфейсный дефект — трещина с известным носителем. Последняя задача представляет самостоятельный интерес — реконструкции разрыва сплошности соединения составных конструкций, которыми являются пьезоэлектрические устройства.

Интерес к задачам идентификации дефектов (полостей, трещин) в твердых телах в последние годы привлекает внимание все большего количества исследователей. Это связано как с практическими приложениями задач такого типа в дефектоскопии, сейсморазведке и геофизике, математической экологии, так и новыми постановками обратных задач для операторов в частных производных и разработкой более эффективных и совершенных методов их исследования. В НИИМ и ПМ им. Воровича И. И. ведутся исследования в этом направлении, в частности, геометрическую реконструкцию дефектов в твердых телах в коротковолновой области (в акустическом приближении) можно найти в [38].

В этих геометрических обратных задачах можно выделить следующие направления исследований:

1) оптимизация и проектирование формы изделия или конструкции;

2) идентификация дефектов;

3) определение неизвестной границы, в частности границы раздела фаз.

В рамках первого направления для упругих тел с помощью МГЭ и его разновидностей выполнены работы [347, 329, 211, 222, 331].

Второму направлению для упругих сред посвящено значительное число работ, в частности, в [263, 264] с помощью граничных измерений смещений, даны оценки размеров и положения дефектов в изотропном и анизотропных случаяхв [332] путем измерения деформаций и напряжений определяются трещины и дефекты в конструкцияходиночные и множественные полости, а так же трещины и неизвестные граничные условия находятся в [333, 334, 335, 336, 210, 300, 267, 340] посредством измерения смещений в различных частях границы в статических и динамических постановках.

Наиболее значительные теоретические и численные результаты, относящиеся к третьему направлению, достигнуты для уравнения Лапласа. Так в работах [200, 208, 216, 260, 261, 262, 259, 312] с помощью граничных измерений и применения МГЭ, методов сопряженных градиентов, метода Левенберга-Марквардта и других способов решаются обратные проблемы, связанные с оператором Лапласа. В теории упругости этот вопрос гораздо менее изучен, здесь можно указать работы [209, 277, 298].

Среди дефектов в твердых телах особую роль играют трещины и расслоения на границе раздела разнородных материалов. Эти дефекты, возникающие как на стадии изготовления, так и на стадии эксплуатации, наиболее опасны с точки зрения механики разрушения, поскольку при нагружении инициируют значительные поля напряжений в окрестности края, что может приводить к их росту и глобальному разрушению конструкции [153]. Наиболее эффективными способами выявления дефектов в твердых телах являются акустические и тепловые методы исследования.

С математической точки зрения присутствие трещины в твердом теле обычно моделируется наличием скачков физических полей на некоторой двусторонней поверхности, причем в подавляющем количестве работ берега трещины не взаимодействуют и свободны от нагрузок. При этом прямые задачи в линейной постановке о расчете характеристик физических полей в теле с трещиной достаточно хорошо изучены как при помощи аналитических, так и численных методов (обзор по применению конечно-элементных технологий в неразрушающем контроле см. [284]). Одним из наиболее эффективных методов исследования прямых и обратных задач для упругих тел с дефектами в условиях установившихся колебаний является метод сведения к системам ГИУ, позволяющий понизить размерность прямых задач математической физики и сформулировать систему нелинейных операторных уравнений для решения обратных. На основании решения систем сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся подобные задачи, выявлена структура полей в окрестности края трещины. На основе анализа структуры полей у края обычно формулируются критерии развития трещины в зависимости от параметров нагружения [153]. В рамках изотропной теории упругости методом ГИУ получены решения широкого класса задач о колебаниях упругих тел с полостями и трещинами без взаимодействия берегов. Для трещин простой геометрии (плоские трещины в слоистой среде) были разработаны методы [16], позволяющие изучать колебания тел с одиночной трещиной, а также тел с системой параллельных трещин в полупространстве, слое, и получать решение интегральных уравнений в полуаналитической форме, что не требует больших вычислительных затрат. Если же трещина наклонена по отношению к прямолинейной границе, или же не является плоской, то единственно эффективным средством исследования прямых и обратных задач теории трещин является общий метод ГИУ, а при численной реализации — основанный на нем метод граничных элементов [41].

Отметим, что во многих случаях для построения адекватной модели отражения упругих волн от трещины необходим учет анизотропии, которой обладают многие реальные конструкционные материалы и сплавы, горные породы, что в значительной степени усложняет расчет отраженных от дефекта волновых полей. При этом экспериментальные данные свидетельствуют о том, что если полость является линейным дефектом, для которого справедлив принцип суперпозиции, то для трещин это не так [115]. Нелинейность их поведения при ультразвуковом зондировании невозможно описать при помощи классических подходов теории упругости, в которых трещина моделируется математическим разрезом, берега которого не взаимодействуют. В то же время учет взаимодействия приводит в очень сложным смешанным задачам теории упругости с переменной во времени области контакта, решение которых требует совершенно иных подходов, чем классические методы динамической теории упругости [359, 114], в частности, основывающихся на вариационных неравенствах. Обратные задачи о нахождении поверхности трещины по заданным (измеренным) физическим полям на границе тела в последние годы весьма интенсивно исследуются в различных постановках [201, 273, 46]. При этом отметим, что даже при линейной постановке прямой задачи обратные задачи существенно нелинейны и некорректны и требуют совершенно иных подходов при решении, чем классические прямые задачи математической физики. Одним из принципиальных вопросов в теории обратных задач является формулировка условий единственности реконструкции трещины. Многообразие постановок обратных задач теории трещин привело к различным условиям теорем единственностипри этом совершенствовалась и техника доказательств. Проанализируем основные направления исследований в этой области математической физики. Что касается процедуры определения конфигурации трещин в твердом теле по информации о физических полях на его границе, то в последние годы исследования ведутся в нескольких направлениях.

Первое направление связано с изучением обратных задач для уравнений Лапласа и Пуассона, для уравнения теплопроводности и моделирование процедуры идентификации трещины при помощи изучения особенностей строения либо тепловых, либо электростатических полей в телах с дефектами [201, 325, 196, 197, 244]. При этом сформулированы подходы, основанные на теории потенциала или на использовании некоторого функционала «невзаимности», так и иные.

В работе [323] рассмотрена задача об идентификации поперечной трещины в проводящем полупространстве при задании на всей границе нормальной компоненты магнитного поля. Задача сведена к исследованию обратной задачи для уравнения Пуассона. При априорных предположениях о том, что область трещины ограничена эллипсом, на основе детального анализа свойств интегралов типа потенциала, участвующих в представлении решения, получены явные формулы для его полуосей. В работе [193] исследован вопрос о единственности определения множественных трещин в электропроводном теле, который приводит к обратной задаче для уравнения Лапласа. Цикл работ выполнен коллективом авторов [201, 196, 197] на основе введения понятия пробного решения, удовлетворяющего соответствующему операторному уравнению и использованию теоремы взаимности. В случае плоских трещин оказалось возможным определить параметры плоскости, содержащей трещину по некоторым функционалам от граничных значений функции и ее нормальной производной. Так, в работе [186] доказана теорема единственности для обратной задачи об определении конфигурации трещин для нестационарной задачи телопроводности по известному полю температуры и тепловому потоку, заданным на всей на границе области. Основная идея доказательства носит конструктивный характер и основана на формуле Грина для оператора теплопроводности. Построен некоторый функционал несовместности, обобщающий результаты цикла статей [201] и позволяющий получить формулы для некоторых параметров трещины (или системы трещин) в случае, когда априорная информация состоит в том, что все трещины лежат в одной плоскости. В работе [187] развиты методы идентификации на случай неполного задания граничных полей для уравнения Лапласа.

В работах [198, 185] для обратной задачи статической теории упругости получены формулы для определения плоскости, содержащей трещины и выведены условия однозначной ее реконструкции по граничным полям векторов смещений и напряжений.

В работах [83]-[85] изложено обобщение аналогичных подходов для уравнений анизотропной теории упругости в случае установившихся колебанийпостроены трансцендентные уравнения для определения параметров плоскости с дефектами, проведена серия модельных расчетов по реконструкции трещин для плоских задач изотропной и анизотропной теории упругости.

Второе направление связано с исследованием обратных геометрических задач для уравнений теории упругости в конечной области [248]-[89] или в области типа слоя [47, 48], полупространства, причем дополнительной информацией являются граничные поля перемещений на части границы [322].

При этом формулируются системы нелинейных операторных уравнений с компактными операторами, а нахождение неизвестной конфигурации трещины осуществляется из линеаризованной системы операторных уравненийначальное приближение при этом находится из минимизации функционала невязки в классе трещин простейшей конфигурации (наклонные прямолинейные трещины). В работе [248] для статических уравнений изотропной теории упругости получены граничные интегральные уравнения для тел с малыми дефектами (полости, трещины) и предложено их использование совместно с генетическими алгоритмами для процедуры идентификации.

Третье направление посвящено реконструкции трещины в бесконечной среде по диаграммам направленности упругих волн [194, 273, 195] и формулировке систем нелинейных операторных уравнений первого рода с гладкими ядрами. Так, в работе [273] для плоской задачи теории упругости развиваются подходы, использованные ранее для дефектов типа полостей. Параметризация трещины приводит к системе нелинейных уравнений с компактными операторами относительно функций, определенных на [0,1].

К этому же направлению относится статья [221], которая посвящена исследованию обратных задач теории трещин для уравнения Гельмгольца в дифракционной постановке.

Четвертое направление связано с изучением расположения трещин, находящихся на границе раздела двух упругих материалов [87, 89, 348], моделирующих непровар или непроклей контактирующих материалов, и сочетающее как процедуру решения прямой задачи на основе метода конечных элементов, так и решение задачи продолжения полей. Особенностью задач такого типа является априорная информация о месте расположения дефектаопределение его размеров осуществляется при помощи либо минимизации функционала невязки, либо из аиализа структуры полей напряжений и смещений в окрестности трещины.

Одна из проблем, возникающих в динамических обратных задачах для сред с диссипацией — это формирование информативного акустического сигнала. по отклику которого идентифицируются дефекты, некоторые задачи реконструкции трещин в неоднородных анизотропных телах, в том числе в композитных материалов и при динамическом воздействии решены в [307, 256, 305, 322, 269].

В работах [240, 217] идентификация трещин основана на вейвлет-анализе и отображении областей с помощью преобразовании Кристоффеля-Шварца соответственно.

Различные априорные предположения о размерах трещин и частотах колебаний позволяют упрощать процедуру решения прямой задачи и совершенствовать постановки и методы решения обратной.

Заметим, что новые вычислительные технологии, такие как генетические алгоритмы и нейронные сети, также находят приложение в задачах идентификации трещин [248, 279, 218, 330, 257, 251, 308, 242].

Все перечисленные направления относятся к модели трещин с невзаимодействующими берегами. Значительно более сложным для исследования является класс задач математической физики, в постановке которых присутствует более адекватная модель трещины, чем математический разрез с невзаимодействующими берегами. Отметим, что постановка задач идентификации трещин в случае взаимодействия берегов при воздействии на объект короткими волнами (порядка сотен килогерц) является чрезвычайно сложной в силу переменной во времени области контакта и регистрация полей перемещений на свободной границе, как в задачах без взаимодействия, не позволяет сформулировать систему разрешающих операторных соотношений. В то же время для решения задачи об идентификации трещины по измеренным на границе тела физическим полям (например, тепловым) нет необходимости решать задачу с взаимодействующими берегами. Отметим, что в ходе экспериментальных исследований выявлено, что при интенсивном низкочастотном акустическом воздействии (в диапазоне от 20 до 40 кгц) в результате взаимодействия берегов трещины происходит диссипация энергии, индуцируя разогрев примыкающей к трещине области. Это изменение поля температур, достигающее даже десятой доли градуса, можно регистрировать на поверхности тела термовизором [111, 122]. Если относительные размеры трещины не слишком велики, то при постановке задачи идентификации воздействие трещины на распределение тепловых полей и полей напряжений внутри и на границе твердого тела в рамках модели термоупругости может быть приближенно заменено воздействием источников с неизвестными плотностями, расположенными на ее берегах. Таким образом, задача о реконструкции трещины может быть сведена к определению геометрического носителя предполагаемых источников возмущений, причем их интенсивность может оставаться неизвестной. Достаточно учесть тот факт, что при взаимодействии берегов часть энергии, подводимой к исследуемому образцу, трансформируется в тепловую. При этом тепловыми источниками являются берега трещины, хотя сам закон распределения функции источника неизвестен. В такой постановке достаточно решить обратную задачу для неоднородного уравнения теплопроводности для изотропной среды в установившемся случае распределения температуры — это уравнение Пуассона) с источником на линии или па поверхности, заключающуюся в определении носителя источников. Наличие априорной информации о том, что трещина (или система трещин) расположена в некоторой плоскости, значительно упрощает процедуру их реконструкции и приводит проблему определения параметров плоскости к системе трансцендентных уравненийв двумерном случае это предположение позволяет получить явные формулы. После этого реконструкция «источников-трещин «проводится аналогично схеме, предложенной в [201, 87] для обнаружения областей разрыва в компонентах физических полей.

Замечание. Подходы, опирающиеся на идеи теоремы взаимности, стали весьма популярны при решении различных задач математической физики [190]. Отметим, что во многих постановках обратных задач информация о полях задана лишь на части границыименно поэтому для использования многих подходов, описанных выше требуется осуществить процедуру продолжения полей с части границы на всю границу. Эта некорректная задача на практике решается обычно или при помощи метода регуляризации А. Н. Тихонова, либо при помощи итерационной альтернирующей процедуры.

Четвертая глава посвящена разработке методов реконструкции интерфейсных дефектов. Рассмотрены неподвижные жесткие включения и трещины, представляющие собой разрезы без взаимодействия йх берегов. В разделе 4.1 разработана методика реконструкции дефекта, основанная на частотном анализе тел с дефектами и без них, а также на реконструкции внутренних полей в окрестности дефекта, по структуре которых определяется тип и положение дефекта. При этом продолжение полей внутрь тела осуществляется методами третьей главы. Приведен численный пример реконструкции дефектов в составном прямоугольнике, в численном эксперименте использовались результаты второй главы, при модальном анализе и моделировании процесса измерения граничных полей использовались полученные в ACELAN. В разделе 4.1 основой реконструкции трещин на границе раздела двух тел (одно из которых может и электроупругим) также служит структура внутренних механических полей на линии раздела. Однако способ нахождения этих полей отличается от применяемого в п. 4.1 и основан на решении некоторых вспомогательных задач и получения системы ГИУ относительно смещений или напряжений на границе раздела, при этом ядра этих уравнений строятся с помощью решения некоторых прямых задач, которые предлагается осуществлять с помощью МКЭ. Приведен пример численной реализации предложенного метода по определению разрыва сплошности в полупассивном пьезокерамическом биморфе. В этом примере решение прямых задач проводится в ACELAN.

Пятая глава посвящена разработке методов определения носителей трещин, причем рассматриваются как классические модели, когда берега трещин не взаимодействуют между собой, так и модель учета этого взаимодействия с помощью диссипации механической энергии, которая приводит к локальному тепловыделению в окрестности трещин. Отметим, что решение прямых задач контактного взаимодействия упругих тел представляет собой сложную математическую проблему, ряд результатов в этой области можно найти в [8, 10, 11].

В разделе 5.1 строится функционал «невзаимности», равный интегральным скачкам смещений на трещине с некоторыми весовыми функциями, имеющими смысл вектора напряжений (пробного решения) на линии трещины в задаче без дефекта и выражающиеся через граничные волновые поля. Специальный выбор пробных решений позволил получить систему трансцендентных уравнений относительно параметров носителя трещины в случае априорной информации о ее плоскостном характере. Рассмотрены численные примеры по определению этих параметров для плоской деформации изотропного и ортотропного квадратов с трещинами. При этом решение прямой задачи, моделирующей измерения и модальный анализ, проводился в ACELAN.

В разделе 5.2 рассматривается неклассическая модель тел с трещинами с учетом взаимодействия берегов посредством тепловыделения. Трещины моделируются неизвестными источниками тепла на ее границе. Применяется теорема взаимности и специальным образом выбираются пробные решения для тела без внутренних источников, в случае плоских трещин, как и в п. 5.1 удается сформулировать систему трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещиной, а в случае одиночной трещины в изотропном теплопроводном теле предложить явные формулы для внутренних точек трещины, что при разных способах акустического облучения тела позволяет получить явные формулы для параметров плоскости. Приведен численный пример нахождения, как одиночной, так системы трещин-источников в четверти круга. Исходной информацией для задачи реконструкции служит температурный портрет внешней поверхности тела.

В настоящее время пьезоэлектрические преобразователи энергии нашли широкое применение в технике. Активными элементами этих устройств, в основном, являются пьезокерамические тела. Использование пьезокерами-ки позволяет создавать пьезоэлементы различной формой и со сложным электродным покрытием. Условия эксплуатации и создание элементов с заданными полезными свойствами приводят к неравномерной объемной поляризации этих элементов. Для разработки технологии изготовления и расчета пьезоэлектрических устройств с неравномерной поляризацией необходимо уметь рассчитывать объемные распределения упругих и пьезоэлектрических характеристик в этих элементах. Как показывают измерения, наиболее изменяемыми, в случае неравномерной поляризации, являются пьезомодули. Задачу определения координатных зависимостей пьезомоду-лей можно решать двумя путями: в первом — предполагается решение прямой задачи о фазовых переходах в керамике под действием физических полей, в этом направлении в настоящее время проводятся многочисленные исследования, среди которых выделю появившиеся недавно работы коллеги по проекту ACELAN А. С. Скалиуха [162, 163]. Во втором способе решается обратная задача по определению этих зависимостей по выходным характеристикам пьезоэлетрических устройств (в том числе оптимизируемым), такая постановка относит эти задачи к коэффициентным обратным задачам [158]. Ряд задач в русле второго направления решен в последнее время в [52, 53, 54].

Одними из наиболее простых задач такого типа являются одномерные коэффициентные обратные задачи об определении пьезомодулей dzi{x) и <^зз (жз) при задании амплитудного значения тока как функции частоты колебаний.

Шестая глава посвящена решению задачи об определении объемного распределения пьезомодуля в стержневых пьезокерамических преобразователях, широко используемых в качестве силовых элементов различных устройств. В разделе 6.1 рассматривается задача определения модуля dz{xi) при поперечной поляризации стержня по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента (следует отметить, что именно эта характеристика наиболее просто может быть измерена в эксперименте), которая сводится к нелинейному интегральному уравнению 1-го рода, и ее решение строится на основе сочетания метода линеаризации и метода регуляризации А. Н. Тихонова [181]. Проведены численные эксперименты для различных законов поляризации. В разделе 6.2 рассматривается задача определения пьезомодуля с? зз (жз) при продольной поляризации стержня, также по АЧХ электрического тока в цепи пьезоэлемента, которая сводится к системе 2-х нелинейных интегральных уравнений, их решение строится на основе итерационной процедуры в сочетании с методом регуляризации на компактных множествах [180]. Проведены численные эксперименты для гладкого и кусочно-постоянного законов поляризации.

В концентрированном виде результаты диссертации представлены в заключении.

Публикациями, отражающими материал диссертации, являются следующие работы: [2]-[7], [17], [21]-[27], [29]-[33], [42], [43], [49], [58], [59], [63], [64], [67]-[96], [99], [110], [134], [141], [148], [149], [156], [168]-[177], [191], [203]-[207], [219], [220], [342] (всего — 82 наименования). Некоторые из этих работ выполнены в соавторстве, поэтому далее описывается вклад автора диссертационной работы в таких публикациях.

В работах [58], [59], [67], [70], [72], [74], [75], посвященных разработке ГИУ для анизотропных упругих, электроупругих и составных тел, Вату-льяну А.О. принадлежит общая идеология получения систем ГИУ, диссертанту принадлежат вывод различных вариантов систем ГИУ, составление программ и проведение расчетов при решении конкретных краевых задач, Ковалеву О. В. принадлежит разработка граничноэлементной реализации на основе аппроксимаций высокого порядка.

В работах [49], [76]-[80], посвященных решению обратных граничных задач динамической анизотропной теории упругости, Воровичу И. И. принадлежит общая постановка задач об идентификации нагрузок, Ватульяну А. О. принадлежит сведение исходной задачи к задаче Коши для эллиптического оператора и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежат формулировка систем ГИУ и их исследование на основе сочетания граничноэлементных, конечноэлементных аппроксимаций и метода регуляризации А. Н. Тихонова, а также проведение численных экспериментов.

В работах [81], [82], [87]-[89], посвященных решению обратных задач реконструкции интерфейсных дефектов в упругих и электроупругих телах, Ватульяну А. О. принадлежит общая постановка задач и обсуждение результатов, диссертанту принадлежат разработка методов выявления интерфейсных дефектов и их численная реализация на основе ГИУ и МКЭ.

В работах [83]-[86], [90]-[96], [177], [342], посвященных решению обратных задач реконструкции трещиноподобных дефектов в упругих и теплопроводных телах, Ватульяну А. О. принадлежит построение разрешающих уравнений по определению параметров прямолинейных трещин на основе идей неклассических ГИУ, диссертанту принадлежат введение функционала невзаимности, введение пробных решений и построение на их основе разрешающих уравнений относительно параметров прямолинейных трещин без учета взаимодействия берегов и с его учетом, а также, проведенный численный анализ по определению параметров трещин.

В работах [68], [71], [73], посвященных определению законов неоднородной поляризации стержневых пьезоэлементов, Ватульяну А. О. принадлежит формулировка разрешающих интегральных уравнений и доказательство теоремы единственности, диссертанту принадлежит разработка численных схем решения нелинейных интегральных уравнений и их численная реализация, выбор оптимальных частотных диапазонов, численное решение конкретных задач.

В работе [17] диссертанту принадлежат результаты по индентификации дефектов в телах конечных размеров и расчеты по МКЭ.

Работы [2]-[7], [21], [22], [25]-[27], [29]-[33], [99], [110], [148], [149], [156], [191], [203]-[207], посвящены результатам, связанным с разработкой КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка и программная реализация «решателей» комплекса, обсуждение принципов разработки оболочки, визуализации результатов и интерфейса между «ре-шателями» и оболочкой, руководство программной реализацией всего комплекса, а также проведенные расчеты в ACELAN для конкретных задач статического, гармонического, модального и’нестационарного анализа составных упругих, электроупругих конструкций, в том числе, нагруженных на акустические среды. Более подробно о вкладе коллег по разработке комплекса и соавторов публикаций описано выше.

Работы [23], [24], [42], [43], [141], [219], [219] посвящены результатам, связанным с модификацией управляющей оболочки и разработкой кластерной версии КЭ комплекса ACELAN, в них диссертанту принадлежит разработка алгоритмов распределенных вычислений, их программная реализация и проведение расчетов в задачах об установившихся колебаниях, в частности, построения АЧХ в задаче о колебании многослойного контейнера при нарушении его сплошностипостановки задач о распараллеливании блоков решателей, связанных с вычислением конечноэлементных объектов и обсуждение способов их решенияобсуждение путей модификации управляющей оболочки комплекса.

В работах [69], [134] диссертанту принадлежат разделы, связанные с разработкой конечных элементов для электроупругих пластин и построению асимптотических решений в плоской теории электроупругости в окрестности нерегулярной границы и проведение соответствующих расчетов.

На различных этапах данная работа поддерживалась грантами РФФИ, коды проектов: 97−01−633а, 00−01−545а, 02−01−1 124а, 03−07−90 411 В, 05−01−690а, 05−01−734а.

Автор выражает искреннюю признательность и благодарность своим научным консультантам, проф. А. В. Белоконю и проф. А. О. Ватульяну за постоянное внимание и помощь в работе.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность за успешное сотрудничество и поддержку всем коллегам по разработке комплекса ACELAN и в особенности А. В. Наседкину, В. А. Еремееву, М.И. Ка-рякину, Н. В. Курбатовой, К. А. Надолину, А. С. Скалиуху, О. Н. Акопову,.

Р.В. Галкину, А. А. Никитаеву, A.JI. Петушкову.

Автор выражает благодарность участникам семинаров, за обмен мнениями и обсуждение результатов, проводимых под руководством проф. А. О. Ватульяна, в разное время в РГУ и в ДГТУ, и в особенности М.А. Сум-батяну, И. В. Баранову, О. В. Булгурян, Н. В. Боеву.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Для прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров получены следующие результаты.

• Для эллиптических операторов разработан неклассический метод ГИУ первого рода с гладкими экспоненциальными ядрами, не требующий построения фундаментальных решений.

• Разработаны методы численного решения полученных систем ГИУ основанные на идеях МГЭ и методе регуляризации А. Н. Тихонова.

• Разработанный метод ГИУ реализован для задач анизотропной теории упругости, электроупругости, составных упругих тел и осуществлена численная реализация предложенных подходов.

• В рамках создания конечноэлементного комплекса ACELAN разработаны алгоритмы построения конечноэлементных объектов и осуществлена их программная реализация в «решателях» задач статического, гармонического, модального и нестационарного анализа для составных упругих, электроупругих и акустических тел. Проведены многочисленные расчеты в ACELAN, результаты которых сравнивались с расчетами в ANSYS, МГИУ, аналитическими решениями. Разработаны конечные элементы электроупругих пластин. Разработаны и программно реализованы алгоритмы кластерных вычислений решения задач гармонического анализа в ACELAN.

Разработанные методы решения прямых динамических задач анизотропной теории упругости и электроупругости для тел конечных размеров применены к решению ряда обратных задач. Разработаны методы решения обратных граничных задач, обратных задач теории трещин, коэффициентных обратных задач электроупругости.

• Метод ГИУ первого рода применен к решению обратных граничных задач по восстановлению волновых полей на части границы по известной информации о поле смещений и напряжений на другой части границы упругого тела.

• Разработаны конечноэлементные методы решения обратных граничных задач по восстановлению нагрузок на части границы тела недоступной для прямых измерений.

• Разработаны методы на основе ГИУ и МКЭ реконструкции интерфейсных трещин, основанные на исследовании внутренних полей смещений и напряжений в окрестности дефектов.

• На основе принципа взаимности разработаны методы идентификации трещиноподобных дефектов в упругих телах и в случае системы плоских трещин сформулирована система трансцендентных уравнений относительно параметров этой плоскости.

• Построена модель, учитывающая взаимодействие берегов трещин на основе локального разогрева и разработан метод идентификации таких трещин, в случае системы плоских трещин получена система трансцендентных уравнений относительно параметров плоскости с трещинами и получены явные формулы для характеристики трещины в случае изотропного теплопроводного тела.

• Решены две важные с прикладной точки зрения задачи о нахождении закона поляризации стержневых пьезопреобразователей по АЧХ тока в цепи пьезоэлемента.