Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

МГД-течения в тороидальном канале

Диссертация: МГД-течения в тороидальном канале
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Одной из самых известных конфигураций, приводящих к динамо-эффекту, является винтовое движение проводящей среды внутри внешней неподвижной среды. Большое внимание к винтовому динамо объясняется тем, что оно характеризуется минимальным порогом генерации в сравнении с другими вариантами ламинарного динамо. Специальным случаем винтового динамо является динамо на основе винтового течения в замкнутом… Читать ещё >

МГД-течения в тороидальном канале (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Обзор литературы
    • 1. 1. Гидромагнитное динамо
    • 1. 2. Течения в криволинейных каналах
      • 1. 2. 1. Устойчивость течения
  • 2. Аналитическое исследование течения в тороидальном канале
    • 2. 1. Стационарное ламинарное течение
      • 2. 1. 1. Граничные условия и условия в центре сечения
      • 2. 1. 2. Решение методом возмущений
      • 2. 1. 3. Сравнение с решением Дина
      • 2. 1. 4. Интегральные характеристики
      • 2. 1. 5. Сходимость ряда
    • 2. 2. Линейный анализ устойчивости течения
    • 2. 3. Вьшоды по главе
  • 3. Численное моделирование течения в тороидальном канале
    • 3. 1. Численный метод
      • 3. 1. 1. Аппроксимация криволинейной границы области
      • 3. 1. 2. Адаптация к параллельному вычислению
    • 3. 2. Ламинарное течение
    • 3. 3. Течение в торе с диверторами
      • 3. 3. 1. Аналитические оценки распространения закрутки
      • 3. 3. 2. Численное моделирование
    • 3. 4. Турбулентное течение
    • 3. 5. Выводы по главе
  • 4. Численное моделирование динамо-эффекта
    • 4. 1. Модель
    • 4. 2. Тороидальный аналог динамо Попомаренко
    • 4. 3. Численная аппрокспмация эксперимента
    • 4. 4. Динамо на основе трёхмерного течения
    • 4. 5. Полная магнитогидродинамическая задача
    • 4. 6. Выводы по главе

Объект исследования и актуальность темы. Многие астрономические объекты (планеты, звёзды, галактики) обладают собственными магнитными полями. При этом возраст существования объектов гораздо больше характерного времени свободного затухания глобального магнитного поля. Поэтому существование глобальных магнитных полей у астрономических объектов в настоящее время требует объяснения. Наиболее убедительным является использование модели генерации магнитного поля в виде магнитогидродинамического динамо-эффекта. Суть его заключается в преобразовании кинетической энергии электропроводящей среды в энергию магнитного поля за счёт вмороженпости силовых линий.

Одной из самых известных конфигураций, приводящих к динамо-эффекту, является винтовое движение проводящей среды внутри внешней неподвижной среды. Большое внимание к винтовому динамо объясняется тем, что оно характеризуется минимальным порогом генерации в сравнении с другими вариантами ламинарного динамо. Специальным случаем винтового динамо является динамо на основе винтового течения в замкнутом кольцевом канале (торе). В такой модели течение создаётся в ограниченном объеме и без нагнетающих устройств, что приближает её к реальным природным объектам, приводящим к динамо. Такая геометрия потока стала основой лабораторного эксперимента, реализуемого в ИМСС УрО РАН. В эксперименте винтовой поток возбуждается во вращающемся канале, что накладывает существенные ограничения на его массу, а следовательно, на толщину стенок канала. Влияние толщины и проводимости стенки па порог генерации поля детально изучалось в работе [1]. Задача исследовалась и численно, причём для нестационарного течения, реализуемого в реальном эксперименте, но все расчёты проводились в цилиндрической геометрии с условиями периодичности по оси канала [2].

Исследование кинематического динамо в тороидальном канале осложняется существенным отличием течения в нём от течения в прямом цилиндрическом канале, обнаруженном ещё в начале XX века. Замкнутая форма решения гидродинамических уравнений для этой задачи до сих пор неизвестна. Все имевшиеся до сих пор а, налитические[3][4][5][6] (и даже численные [7]) решения имели упрощения в постановке задач. В частности не было полностью учтено влияние кривизны канала для толстого тора.

Целью работы является аналитическое и численное исследования трёхмерного течения несжимаемой жидкости в тороидальном канале и решение задач МГД-динамо на основе винтовых течений проводящей жидкости в тороидальной геометрии.

Научная новизна состоит в полном учёте тороидальной геометрии при исследовании течения проводящей жидкости и эволюции магнитного поля. Впервые:

• получено решение полной системы уравнений, описывающей течение несжимаемой жидкости в тороидальном каналеполученный ряд по малому параметру исследован на сходимость и выведены асимптотические оценки для радиуса сходимости;

• проведено трёхмерное численное моделирование течения несжимаемой жидкости в торе на основе неупрощённых уравнений. Указано, что функция тока и координата пика поточной скорости имеют максимум при изменении числа Рейнольдса и параметра кривизны соответственно. Показано, что вдоль цилиндре азимутальная компонента затухает экспоненциально, а в криволинейном канале — субэкспоненциально;

• проведено трёхмерное численное моделирование эволюции магнитного поля в кинематической постановке для нестационарного и неоднородного поля скорости. Обнаружена нетривиальная зависимость порога генерации от кривизны канала. Найдено новое решение в виде незатухающей на оси тора динамо-волны.

Автор защищает:

• Аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы в виде ряда по малому параметру кривизны канала. Область сходимости найденного ряда. Асимптотические оценки для радиуса сходимости.

• Результаты линейного анализа устойчивости полученного решения в пределах сходимости ряда.

• Эффективный параллельный численный код для прямого моделирования магнитогидродинамических уравнений в криволинейных каналах и областях. Полученные с помощью него характеристики стационарного винтового течения, генерируемого дивертором.

• Результаты решения кинематической задачи винтового гидромагнитного динамо в торе.

• Результаты моделирования нестационарной неоднородной задачи кинематического динамо для параметров, соответствующих лабораторному эксперименту.

• Результаты исследования связанной магиитогидродинамической задачи в тороидальном канале.

Обоснованность и достоверность результатов обеспечивается тщательным тестированием всех используемых в работе алгоритмов и методов и сравнении результатов, где это возможно, с аналитическими решениями или с результатами, полученными в других работах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались па следующих конференциях:

1. Научная конференция молодых учёных по механике сплошных сред, посвящённая 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А. А. Поздеева «Поздеевские чтения». Пермь, 23−24 марта, 2006.

2. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 9 декабря 2006.

3. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2007. Пермь, 5−7 декабря, 2007.

4. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2008. Пермь, 5−6 декабря, 2008.

5. Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» НПСС-2009. Пермь, 4−5 декабря, 2009.

6. «Численные методы в математике и механике». Конференция молодых учёных. Ижевск, 22−25 февраля, 2007.

7. «Математическое моделирование в естественных науках». XVI Всероссийская ш кола-конференция молодых ученых и студентов. Пермь, 3−6 октября, 2007.

8. XVII Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов и решение задач математической физики с приложением к многопроцессорным системам», посвящён-ная памяти К. И. Бабенко (Новороссийск, 15−21 сентября, 2008).

9. XV Зимняя школа по механике сплошных сред (Пермь, 26 февраля-3 марта, 2007).

10. XVI Зимняя школа по механике сплошных сред («Механика сплошных сред как основа современных технологий»). Пермь, 24−27 февраля, 2009.

Работа выполнялась в рамках госбюджетных тем «Эволюция турбулентных потоков проводящей и непроводящей жидкости под действием вихревых и спиральных сил» (№ гос. регистрации 01.200.117 926) и «Взаимодействие мелкомасштабной турбулентности и крупномасштабных полей в течениях проводящей и непроводящей жидкости» (N2 гос.per. 01.2.007 735).

Список обозначений.

Т — общая массовая сила л, v — динамическая и кинематическая вязкости г. z} — цил. с.к., ось z — внешняя ось тора.

У, <р, С} — цил.-тор. с.к.,? — линейная вдоль канала.

V — характерное значение скорости.

Re = ~ — (гидродинамическое) число Рейнольдса.

R — радиус сечения канала г с — расстояние от внешней оси до внутренней к = — — «кривизна» тора.

M = 1 + кр cos ср — поправка на кривизну v*(v) — скорость жидкости (безразмерная).

П = Vx V — завихренность скорости.

Tv (p, C/(p).Vv (p, CT) ~~ тороидальная и полопдальная комп. скорости ш, s — угловые скорость и ускорение вращения кана. ip — функция тока в сечении (2.2б).

G = (s — Dcp) Re — посто5шная часть массовой силы.

А, В} — якобиан функций, А и В по (/?, ф)(А.4).

De = кЯе — число Дина.

V, Ф) — основное течение в анализе устойчивости.

X — степень закрученности потока, шаг винта.

В = V х, А — магнитная индукция и векторный потенциал rjin — магнитная диффузия в проводящей жидкости i]bh ~ магнитная диффузия в стенке канала.

Vrac ~~ магнитная диффузия во внешней среде.

Rm = — — магнитное число Рейнольдса.

Лгп.

7 + iw — комплексный лог. инкремент роста к —- волновое число динамо-волны вдоль канала параметр течения типа Гартмана.

Обозначения для дифференциальных операторов Д-, Д^, Д^, Асу^ С см. в приложении А.1.

1. Обзор литературы.

4.6. Выводы по главе.

• Написан и отлажен численный код для моделирования связанных уравнений магнитной гидродинамики в криволинейном канале.

• Исследован аналог задачи Пономаренко, найдены отличия от цилиндрического случая. В случае толстого тора обнаружена глобальная мода, не затухающая на главной оси.

• Получена, эволюция нестационарного неоднородного динамо для поля скорости, аппроксимирующего эксперимент.

• Найдены пороги генерации магнитного поля для частично распространившейся спиральности.

• Получен режим насыщения динамо.

5.

Заключение

.

Сформулируем основттые результаты исследования, выносимые па защиту:

1. Получено аналитическое решение задачи о течении несжимаемой жидкости в тороидальном канале под действием постоянной массовой силы в виде ряда по малому параметру кривизны капала. Впервые влияние тороидальности геометрии учтено полиостью. Найдены существенные отличия в топологии решения от получаемых с помощью упрощённых уравнений.

2. Исследована область сходимости найденного ряда. Найдены асимптотические оценки для радиуса сходимости. Показано, что радиус сходимости сильно убывает с ростом основных параметров задачи.

3. Найденное решение исследовано на устойчивость по отношению к бесконечно малым возмущениям. В пределах сходимости ряда подтверждена абсолютная устойчивость, аналогичная цилиндрической задаче Пуазейля.

4. Написан и отлажен эффективный параллельный! численный код для прямого моделирования магнитогидродинамичеекпх уравнений в криволинейных каналах и областях.

5. Исследованы стационарные распределения спиральности в области за дивертором. Показано, что в ламинарном точении декремент затухания спиральности удовлетворительно описывается экспоненциальной зависимостью от числа Рейнольдса.

6. Исследован кинематический аналог задачи Попомаренко применительно к тороидальной геометрии. Показано, что изменением степени закручеппостп потока жидкости можно добиться уменьшения порога генерации при фиксированных геометрических параметрах установки.

7. Для толстого тора обнаружен новый вид решения для бегущей динамо-волны, при котором магнитное поле не затухает на внешней оси тора. Такое решение возможно только в случае размещения одной волны па всей длине канала.

8. Промоделирована пространственная и временная эволюция магнитного поля, соответствующих лабораторному эксперименту. Показана принципиальная возможность генерации магнитного поля за счёт кинетической энергии течения. Найдены порог генерации и пространственная конфигурация динамо-волны.

9. Численно исследована связанная магнитогидродинамическая задача в тороидальном канале для случая ламинарного течения за дивертором.

Показать весь текст

Список литературы

  1. А., Фрейберг Я. Неоднородная модель винтового динамо // Магнит, пая гидродинамика. — 1980. — № 1. — С. 15−19.
  2. Dobler W. Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // PhysRev E. 2003. — May, 21. — Vol. 67, no. 5. — Pp. 56 309—К
  3. Dean W. R,. Fluid in a curved channel // Proceedings of the Royal Society of London. Series A. 1928. — Vol. 121. — Pp. 402−420.
  4. Zhang J., Li N., Zhang B. Flow in a rotating curved circular pipe // Physical Review E (Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics).—c, 2003. may. — Vol. 67, no. 5. — Pp. 56 303-+.
  5. Smith F. T. Steady Motion Within a Curved Pipe // Proceedings of the Royal Society of London. Series A.— 1976. — Jan. 13.— Vol. 347. no. 1650. Pp. 345−370.
  6. Dennis S. C. R., Riley N. On the Fully Developed Flow in a Curved Pipe at Large Dean Number // Royal Society of London Proceedings Series A. 1991. — aug. — Vol. 434. — Pp. 473−478.
  7. McConalogue D. J., Srivastava R. S. Motion of a Fluid in a Curved Tube // Royal Society of London Proceedings Series A.— 1968. — oct.— Vol. 307. Pp. 37−53.
  8. Г. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. -Москва: Мир, 1980. С. 339.
  9. Я. Б., РузмаИкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитные поля в астрофизике. — 2009.
  10. Е. Космические магнитные поля. Их образование и проявления. / Под ред. Я. Б. Зельдович. — Москва: Мир, 1982.
  11. Ra’dler К.-Н., Kraitse F. Mean-Field Electrodynamics and Dynamo Theory. — Oxford, Pergamon, 1980.
  12. Gilbert A. D. Dynamo Theory.— Elsevier Science, 2003. — 11 September. — P. 98.
  13. С. И. О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости // ЖЭТФ.— 1964, — Т. 47.— С. 10 841 098.
  14. Lortz D. Exact solutions of the hydromagnetic dynamo problem. / / Plasma Phys. 1968. — Vol. 10. — Pp. 967−972.
  15. Ю. Б. К теории гидромагнитного динамо // ПМТФ.— 1973. — № 6.-С. 47−51.
  16. А. Самовозбуждения магнитного поля парой кольцевых вихрей // Магнитная гидродинамика. — 1970. — Т. 6. — С. 14−17.
  17. The Madison Dynamo Experiment / С. Forest, R. Kendrick, A. Bayliss et, al. // APS Meeting Abstracts. 2003. — P. 1002.
  18. Magnetic field reversals in an experimental turbulent dynamo / M. Berhanu, R. Monchaux. S. Fauve et al. // EPL (Europhysics Letters). 2007. — Vol. 77. — R 59 001.
  19. Ambivalent effects of added layers on steady kinematic dynamos in cylindrical geometry: application to the VKS experiment, F. Stefani, M. Xu, G. Gerbeth et al. // Elsevier Science. — 2005.
  20. Kitchatinov L. LM azur M. V. On the global stability of rotating magnetized disks // Astronomy & Astrophysics. — 1997. Accepted 14 January. Vol. 324. — Pp. 821−828.
  21. Brooke J. M., Moss D. Non-linear dynamos in torus geometry: transition to chaos // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1994. — Vol. 266, no. 3. — Pp. 733−739.
  22. Tilgner .4. Kinematic dynamos with precession driven flow in a sphere // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. — 2007. — February. — Vol. 101, no. 1. Pp. 1−9.
  23. Zhang P., Gilbert A. D. Nonlinear dynamo action in hydrodynamic instabilities driven by shear // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. — feb. — Vol. 100. — Pp. 25−47.
  24. Detection of a flow induced magnetic field eigenmode in the Riga dynamo facility / A. Gailitis, O. Lielausis, S. Dement’ev et al. // Phys. Reu. Lett. — 2000. Vol. 84. — Pp. 4365−4368.
  25. Miiller U. Stieglitz R. The Karlsruhe Dynamo Experiment // Nonlinear Processes in Geophysics. — 2002. — Vol. 9. — Pp. 165−170.
  26. А., Фрейберг Я. Ж. К теории винтового МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. — 1976. — № 2. — С. 3−6.
  27. А. К., Фрейберг Я. Ж. Расчёт динамо-неустойчивости винтового потока. — Академия наук Латвийской ССР. Институт физики., 1977.
  28. А. А. Существование магнитного динамо для динамически возможного движения проводящей жидкости // Доклады академии наук СССР: Геофизика. 1985. — Т. 282. — С. 44−48.
  29. Kaiser В. Tilgner .4. Kinematic dynamos surrounded by a stationary conductor Fhys. Rev. E. 1999. sep. — Vol. 60. — Pp. 2949−2952.
  30. Степанов P. .4. Фрик П. Г. Винтовое МГД-динамо в реальных потоках в трубах. — 1999.
  31. А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Гидромагнитное винтовое динамо. — Институт космических исследований АН СССР, 1987.
  32. А. // Geophys.Astrophys.Fluid Dynamics.— 1988.— Vol. 44.— Pp. 241−258.
  33. Stefani F., Gerbeth G., Gailitis A. Velocity profile optimization for the Riga dynamo experiment / / Transfer Phenomena in Magnetohydrodynamic and Electroconducting Flows / Ed. by A. Alemany, P. Marty, J. P. Thibault. 1999, — Pp. 31-+.
  34. О возможности лабораторной реализации нестационарного МГДдинамо / С. А. Денисов, В. И. Носков, Д. Д. Соколов и др. // Докл. РАН. 1999. — Т. 365, № 4. — С. 478−480.
  35. Non-staniouary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment / P. Frick, V. Noskov, S. Denisov et al. // Magnetohydrodynami.es. 2002. — Vol. 38. no. 1−2. — Pp. 143−162.
  36. An interior penalty Galerkin method for the MHD equations in heterogeneous domains / J.-L. Guermond. R. Laguerre, J. Leorat. C. Nore // Journal of Computational Physics. — 2007.— jan. — Vol. 221, — Pp. 349−369.
  37. Xu M., Stefani F., Gerbeth G. Integral equation approach to time-dependent kinematic dynamos in finite domains // Phys Rev E. — 2004. — published 16 November. Vol. 70. — P. 56 305.
  38. Xu M., Stefani F. Gerbeth G. The integral equation method for a steady kinematic dynamo problem // Journal of computational physics. — 2004. — 1 May 2004,-Vol. 196, no. 1.- Pp. 102−125.
  39. Wu C.-C. A high order WENO finite difference scheme for incompressible fluids and magnetohydrodynamics // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2007. — February. — Vol. 101, no. 1. — Pp. 37−61.
  40. Л. А. Исследование сжимаемой магнитогидродипамиче-ской турбулентности в космической плазме методом крупных вихрей: Ph.D. thesis / Институт космических исследований РАН. 2007.
  41. Moss D. Numerical simulation of the Gailitis dynamo / Geophysical and Astrophysical Fluid, Dynamics. — 2006. — feb. — Vol. 100. — Pp. 49−58.
  42. Dean W. R. Note on the motion of fluid in a curved pipe // Philos. May. 1927. Vol. 7. — P. 208.
  43. Mees P. A. J., Nandakumar K., Masliyah J. H. Secondary instability of flow in a curved duct of square cross-section // Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 323. — Pp. 387−409.
  44. Selmi M. Nandakumar K. Bifurcation study of flow through rotating curved ducts
  45. Zhang J., Zhang B. Dean Equations Extended to a Rotating Helical Pipe Flow // Journal of engineering mechanics. — 2003. — July. — Vol. 129. no. Issue 7. Pp. 823−829. — Нет статьи.
  46. Green A. E., Naghdi P. M. A Direct Theory of Viscous Fluid Flow in Pipes
  47. Basic General Developments // Royal Society of London Philosophical Transactions Series A. 1993. — mar. — Vol. 342. — Pp. 525−542.
  48. Green A. E. Naghdi P. M., Stallard M. J. A Direct Theory of Viscous Fluid Flow in Pipes II. Flow of Incompressible Viscous Fluid in Curved Pipes ! j Royal Society of London Philosophical Transactions Series A.-1993. — Vol. 342, no. 1666, — Pp. 543−572.
  49. Nandakumar K., M ashy ah J. H. Bifurcation in steady laminar flow through curved tubes // Journal of Fluid Mechanics. — 1982, — Vol. 119.- Pp. 475−490.
  50. Jto H., Motai T. Secondary flow in a rotating curved pipe /j Rep. Inst. High Speed Mech. 1974. — Vol. 29. — Pp. 33−57.
  51. Ishigaki H. Analogy between laminar flows in curved pipes and orthogonally rotating pipes // Journal of Fluid Mechanics. — 1994. — Vol. 268, — Pp. 133−145.
  52. Ishigaki H. Laminar flow in rotating curved pipes // Journal of Fluid Mechanics. 1996. — Vol. 329. — Pp. 373−388.
  53. Lyne W. H. Unsteady viscous flow in a curved pipe / f J. Fluid Mech. — 1971.-Vol. 45. — Pp. 13−31.
  54. Lynch D., Waters S., Pedley T. Flow in a tube with non-uniform, time-dependent cuivature: governing equations and simple example // J. Fluid Mech. 1996. — Vol. 323. — Pp. 237−265.
  55. Ilua-juii C., Bcn-zhao Z., Xiao-yan S. U. Low frequency oscillatory flow in a rotating curved pipe 1' Journal of Zhejiang University SCIENCE. — 2003. Vol. 4, no. 4. — Pp. 407−414.
  56. Hamakiotes C. C., Derger S. A. Fully developed pulsatile flow in a curved pipe // Journal of Fluid Mechanics. 1988. — Vol. 195, — Pp. 23−55.
  57. Viscoelastic flow in rotating curved pipes / Y. Chen, H. Chen, J. Zhang. B. Zhang / 7 Physics of Fluids. 2006. — aug. — Vol. 18. — Pp. 83 103-+.
  58. Supa-Amornkul S., Steward F., Lister D. Modeling two-phase flow in pipe bends // Journal of Pressure Vessel Technology. — 2005.— Vol. 127.— P. 204.
  59. Berger S. A., Talbot L., Yao L.-S. Flow in curved pipes, / Annual Revic w of Fluid Mechanics. 1983. — Vol. 15. — Pp. 461−512.
  60. Ito H. Flow in Curved Pipes // JSME international jorn nal: bulletin of the JSME. — 1987. Vol. 30, no. 262 (19 870 400). — Pp. 543−552.
  61. Нестационарные турбулентные винтовые течения в кольцевом канале / С. А. Денисов, В. И. Носков, А. Н. Сухановский. Ф. П. Г. // Известия академии наук. Механика жидкости, и газа. — 2001. — № 5. — С. 73−82.
  62. S. V., Pratap V. S., Spalding D. В. Prediction of Laminar Flow and Heat Transfer in Helically Coiled Pipes // J. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 62. P. 539.
  63. Zhang J., Zhang В., Chen H. Flow in Helical Annular Pipe // J. Engrg. Mech. 2000. — October. — Vol. 126, no. Issue 10. — Pp. 1040−1047.
  64. Lia S., Masliyah J. H. Axially invariant laminar (low in helical pipes with a finite pitch // Journal of Fluid Mechanics. 1993. — jun. — Vol. 251. — Pp. 315−353.
  65. Greenspan D. Secondary flow in a curved tube // Journal of Fluid Mechanics. 1973. — Vol. 57. — Pp. 167−176.
  66. Pratap V. S., Spalding D. B. Numerical Computation of the Flow in Curved Ducts // Aeronaut. Q. 1975. — Vol. 26. — P. 219.
  67. A finite difference scheme for unsteady pipe-flows / P. A. Lakshminarayan, P. A. Janakiraman, M. K. G. Babu, B. S. Murthy // International Journal of Mechanical Sciences. — 1979. — Vol. 21, no. 9. — Pp. 557−566.
  68. Dermis S. C. R. Calculation of the steady flow through a curved tube using a new finite-difference method // Journal of Fluid Mechanics. — 1980. aug. — Vol. 99. — Pp. 449−467.
  69. Soh W. Y., Berger S. A. Fully developed flow in a curved pipe of arbitrary curvature ratio // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1987. — Vol. 7, no. 7. — Pp. 733−755.
  70. Collins W. M., Dennis S. C. R. The steady motion of a viscous fluid in a curved tube // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics1975. — Vol. 2, no. 28, — Pp. 133−156.
  71. Zhang J., Zhang B. Theoretical and Numerical Investigation of Flow Transition in Rotating Curved Annular Pipes // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. — 2002. — Vol. 16.- Pp. 99−114.
  72. Ramshankar R., Srecnivasari K. R. A paradox concerning the extended Stokes series solution for the pressure drop in coiled pipes // Physics of Fluids. 1988. —jun. — Vol. 31.- Pp. 1339−1347.
  73. Smith F. T. Fluid flow into a curved pipe // Royal Society of London Proceedings Series A. — 1976. — oct. — Vol. 351. — Pp. 71−87.
  74. Zhang J., Shen X., Zhang B. Fluid flow in a curved rotating pipe // Journal of Hydrodynamics. 2000. — Vol. 12. no. SerB 1. — P. 108−116. — Нет статьи.
  75. Boules A. N. On the Existence and Uniqueness of the Flow in a Torus // STAM Journal on Applied Mathematics. — 1991. — feb. — Vol. 51, no. 1. — Pp. 32−39.
  76. Yang Z. H., Keller H. B. Multiple laminar flows through curved pipes // NASA. Langley Research Center Advances in Numerical and Applied Mathematics p 196−228 (SEE N86−26 552 17−34). 1986. — mar. -Pp. 196−228.
  77. Daskopoulos P., Lenhoff A. M. Flow in curved ducts Bifurcation structure for stationary ducts // Journal of Fluid Mechanics. — 1989. — jun. — Vol. 203. — Pp. 125−148.
  78. Daskopoulos P., Lenhoff A. M. Flow in curved ducts. Part 2. Rotatingducts // Journal of Fluid Mechanics. 1990. — 26 April. — Vol. 217.— Pp. 575−593.
  79. Taylor G. I. The Criterion for Turbulence in Curved Pipes // Royal Society of London Proceedings Series A.— 1929.—jun.— Vol. 124, — Pp. 243−249.
  80. Patankar S V., Pratap V. S., Spalding D. B. Prediction of Turbulent Flow in Curved Pipes // J. Fluid Mech. 1975. — Vol. 67. — P. 583.
  81. Saric W. S. Gurtler vortices // Annual Review of Fluid Mechanics.— 1994. Vol. 26. — Pp. 379−409.
  82. Hall P. Taylor-Goertler vortices in fully developed or boundary-layer hows Linear theory // Journal of Fluid Mechanics. — 1982. — nov. — Vol. 124. — Pp. 475−494.
  83. Finlay W. H: Instability and transition in curved channel flow: Ph. d / Stanford Univ., CA. 1987.
  84. Finlay W. H., Keller J. B., Ferziger J. H. Instability and transition in curved channel flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1988. — sep. — Vol. 194. Pp. 417−456.
  85. Matsson 0. J. E. Alfredsson P. H. Curvature- and rotation-induced instabilities in channel flow // Journal of Fluid Mechanics. — 1990. — jan. Vol. 210. — Pp. 537−563.
  86. Ben-Dov G. Cohen J. Critical Reynolds Number for a Natural Transition to Turbulence in. Pipe Flows // PhysRevLet.— 2007.—6 February.— Vol. 98. P. 64 503.
  87. Zikanov О. Y. On the instability of pipe Poiseuille flow // Physics of Fluids. 1996. — nov. — Vol. 8. — Pp. 2923−2932.
  88. Chandrasekhar S. The Stability of Non-Dissipativc Couette Flow in Ilydromagnetics // PNAS.- I960, Vol. 46, no. 2, — Pp. 253−25.
  89. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — International Series of Monographs on Physics, Oxford: Clarendon, 1961. 1961.
  90. Friede J., Grants I., Gcrbeth G. Inductionless magnetorotational instability in a Taylor-Couette flow with a helical magnetic field // Physical Review E. 2007. — published 16 April.— Vol. 75. no. 4.— P. 47 303.
  91. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium / R. Stepanov, R. Volk, S. Denisov et al. // Phys. Rev. E.— 2006. Apr. — Vol. 73, no. 4. — P. 46 310.
  92. McBAIN G. D. Vapour transport across gas-filled enclosures: Ph.D. thesis / School of Engineering James Cook University.— 1999. — November, 19.
  93. Schmitt В. J., von Wahl W. The Navier-Stokes Equations II — Theory and Numerical Methods. — Springer Berlin / Heidelberg, 1992. — Vol. 1530 of Lecture Notes in Mathematics. — Pp. 291−305.
  94. Backus G. Poloidal and toroidal fields in geomagnetic field modeling // Reviews of Geophysics. 1986. — fob. — Vol. 24. — Pp. 75−109.
  95. Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — Москва: Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. — Т. 6. С. 736.
  96. Гранин о КТереза К. Справочник, но математике для научных работников и инженеров. «Наука гл.ред.физ-мат.лит., 1968.
  97. Е. Л. Сравнение двухполевого метода с методом в естественных переменных // Гидродинамика. Сборник статей.-- 2002.-- Т. № 13.
  98. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides. // ACM Transactions on Mathematical Software.-- 1990.— Vol. 16, no. 3.— Pp. 201−222.
  99. П. Вычислительная гидродинамика. — 1980. С. 612.
  100. Carlson R., Fritsch F. Monotone piecewise bicubic interpolation / / SI AM journal on numerical analysis. — 1985. — Vol. 22. no. 2.— Pp. 386−400.
  101. А. С. Параллельное программирование с использованием технологии MPI. — МГУ, 2004. http://parallel.ru/tech/techdev/MPI/.
  102. Смета, пин С. В. Шрагер Г. Р., Яку7пенок В. А. Колебания вяз-коп капли // Труды Международной конференции RDAMM-2001.— Т. 6. 2001. — С. 353−357.
  103. Г. Теория пограничного слоя / Под ред. JI. Г. Лойцян-ский. — Москва: Наука, 1976. — С. 710.
  104. А. Д. Турбулентные течения в инженерных приложениях. Москва: Энергия, 1979. — С. 408.
  105. Е.- Шукуров А. Винтовое динамо в реальных потоках // Магнитная гидродинамика. — 1992. — № 3. -- С. 29−36.
  106. И. М., Кирко Г. Е. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.-Пермь, 1980.- С. 120.
  107. Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. — Москва: Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — Т. 8. — С. 736.
  108. Л. Р. Турбулентность: модели и подходы.— Москва-Ижевск: Институ т компьютерных исследований, 2003. — С. 292.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!