Построение лучевых разложений за поверхностями разрывов деформаций и их использование в алгоритмах расчетов ударного деформирования

Импульсное или ударное воздействие на материал используется для изготовления и упрочнения изделий из них (ковка, высокоскоростная штамповка, пробивание точных отверстий в поверхностных конструкционных элементах, сварка взрывом и др.). Скоротечность таких переходных процессов деформирования заставляет, чаще всего, судить о них лишь по эффектам, которые с их помощью достигаются. Математическое моделирование подобных процессов динамики деформирования также наталкивается на значительные трудности. Такие трудности являются не только преградами расчетного характера, связанными с количественным описанием особенностей процесса интенсивного деформирования, но, главным образом, проблемами постановочными. Главной из них оказывается сопутствующее таким процессам принципиально нелинейное явление возникновения и распространения поверхностей разрывов деформаций (ударных волн). В отличие от газовой динамики, где это явление наиболее изучено, в деформируемых твердых телах наряду с деформациями изменения объема (как в газе) присутствуют и деформации изменения формы. Особенности процесса распространения последних по деформируемой среде отличны от таковых для объемных деформаций. В общем случае процессы распространения деформаций изменения объема и формы взаимозависимы. В газовой динамике обозначена проблема выделения поверхностей разрывов при численных расчетах гиперзвуковых течений газа, решению которой посвящаются специальные алгоритмические приемы, включаемые в программы расчетов. Взаимосвязанность одновременно распространяющихся деформаций формы и объема не позволяет перенести эти приемы в динамику деформирования, поэтому существующие методики расчетов нестационарных краевых задач динамики деформируемых твердых тел основываются, преимущественно, на схемах сквозного счета. При существенной нестационарности задачи (взаимодействие ударных волн между собой и с преградами) алгоритмическое размывание (искусственная вязкость) волновых фронтов может приводить к недопустимым количественным и даже качественным погрешностям. Простейшей моделью, в рамках которой имеется возможность изучить взаимовлияние таких двух процессов распространения деформаций, является модель нелинейной упругой среды.

Теория упругости, как и другие разделы механики сплошной среды, является нелинейной по своей сути. Началом этой теории послужили работы, выполненные Л. Эйлером, Г. Кирхгофом, О. Коши, Д. Грином и другими. Однако развивалась она главным образом как линейная теория (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.). В начале прошлого века линейная теория приобрела классическую форму. В основном исследования были направлены на разработку математического аппарата для решения краевых задач. Весомый вклад в развитие этой области науки внесли отечественные ученые Г. В. Колосов, Н. И. Мусхелишвили, Г. Н. Савин, С. К. Соболев, М.А.

Лаврентьев.

Первой работой, полностью посвященной именно нелинейной теории упругости, является работа Ф. Д. Мурнагана [111]. Детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит В. В. Новожилову [71], М. А. Био [103], Л. И. Седову [81, 82, 83], А. А. Ильюшину [48], Г. Каудереру [50], В. Прагеру [73], И. И. Гольденблату [33], А. Грину и Д. Адкинсу [34], Л. А. Толоконникову [85], Е. М. Черных [93, 94, 95], А. И. Лурье [65, 66], Д. Д. Ивлеву [46, 47], К. Трусделу [88], Л. Трелоару [87], Г. С. Тарасьеву [84]. Здесь не отмечены работы по теории нелинейно-упругих конструкционных элементов (стержни, пластины, оболочки). Часть таких результатов отмечена в работе В. В. Новожилова, Л. А. Толоконникова и К. Ф. Черных [72]. Отметим области теории упругости, где учет нелинейности лежит в основе. Это прежде всего теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций [15, 37], нелинейная акустика [39, 78] и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем в обзоре уделим внимание последней проблеме.

К первым работам, направленным на исследование ударных волн, необходимо отнести работы Д. Бленда [100, 101, 102], Чжу БоТе [105, 106] и Е. М. Черных [93, 94, 95]. Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в недеформированной упругой среде на примере плоских адиабатических и изоэнтропических волн при линеаризации определяющей системы уравнений. Рассмотрены продольные ударные волны со сферической симметрией. Решена задача с ударной волной постоянной интенсивности. В дальнейшем эту задачу подробно рассмотрел Д. Б. Карп [49]. В [102] рассмотрены цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения и при отсутствии предварительных деформаций. Все полученные результаты опубликованы в монографии [10], в которой проведено изучение ударных волн в переменных Лагранжа. В случае плоских ударных волн показана невозможность существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде. Любое первое исследование всегда связано с допущениями так или иначе упрощающие задачу. Так и в этом случае были наложены ограничения на деформированное состояние перед ударной волной (среда в работах Д. Бленда недефор-мирована). Однако это ни в коем случае не умаляет заслуги Д. Бленда в развитии нелинейной теории упругости.

В отечественной науке также проводились подобные исследования. Первыми из них следует отметить работы Е. М. Черных [93, 94, 95]. Им рассмотрены условия существования ударных волн [93] и получено решение автомодельной задачи для материала, подчиняющегося закону Гука, но допускающий большие деформации. Геометрически нелинейная модель получалась путем замены в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси, при этом учитывая нелинейность в кинематических соотношениях. Развитием данного направления исследования послужили работы А. Д. Чернышова [96] и Г. Ф. Филатова [89, 90, 91]. В них получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн. Все эти исследования относятся к шестидесятым годам прошлого века.

В семидесятые-восьмидесятые годы были получены новые важные результаты, причем их отличием от предыдущих заключается в отказе от ограничений, с помощью которых строились первые математические модели. В более общей форме выбираются основные соотношения, рассматриваются задачи с учетом предварительных деформаций, указываются условия существования продольных, квазипродольных и квазипоперечных ударных волн, вычисляются скорости их распространения, проводится термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне, рассматривается вопрос о поляризации волн. Решен ряд задач, допускающих автомодельный подход [35]. Важными следует признать работы A.A. Буренина и А. Д. Чернышова [26, 27], которые показали, что производство энтропии в квазипродольных ударных волнах не зависит от предварительных деформаций, для некоторых материалов получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Обнаружено, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим работы [5, 29, 35, 36, 40, 66, 89, 90, 91, 101, 108, 110, ИЗ, 115]. В них рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости.

Чжу-Бо-Те [105, 106] рассмотрел распространение ударных волн в случае несжимаемой упругой среды. Им была впервые получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн, зависящие от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Проблемам распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде посвящены работы [17, 59, 60, 61, 63, 74, 75, 107].

Важный вклад в развитие нелинейной теории упругости внесли А. Г. Куликовский и Е. И. Свешникова [55, 56, 57, 58]. Система уравнений в разрывах в их работах записывается в переменных Лагранжа. В результате авторы детально изучили плоские ударные волны, условия их существования и условия эволюционности разрывов, а также ряд других вопросов, которые ставит математическая физика по постановке краевых задач с плоскими ударными волнами. Аналогичный метод исследования применялся в [114].

Э.В. Ленский изучал свойства комбинированных сильных разрывов для упругой среды, определяемой упругим потенциалом, зависящим от первых двух инвариантов тензора деформаций. В [109] рассматривались поверхности разрывов в материалах. В [97] рассматривались квазистационарные плоские разрывы в условиях плоской деформации. Поверхностные разрывы на плоских границах нелинейно-упругих тел изучались Г. И. Быковцевым и его учениками [8Г 9]. В [80] изучаются свойства упругой среды, имеющей слабую анизотропию, в [92] рассматриваются материалы, по-разному сопротивляющиеся растяжению и сжатию.

Решению краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами посвящены работы [1, 2, 24, 25, 26, 28, 80, 38, 49, 57, 59, 60, 94, 18], в которых рассматривались автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных используются, в основном, различные модификации метода возмущений и лучевой метод. Одним из вариантов метода возмущений является метод последовательного интегрирования системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка. На основе решения эволюционного уравнения квазипростых волн У. К. Нигул и Ю. К. Энгельбрехт исследовали [99, 67, 68, 70] возможность и время возникновения ударных одномерных волн при непрерывных воздействиях. Метод сращиваемых асимптотических разложений на основе решения эволюционных уравнений, предложен A.A. Бурениным и обобщен В. Е. Рагозиной в [74]. В [75] продемонстрированы приемы численного сращивания прифронтовых асимптотик с конечно-разностной аппроксимацией уравнений в областях, удаленных от ударных волн, на основе построения неявной конечно-разностной схемы.

Другой возможностью для построения приближенных решений является лучевой метод. Прифронтовые асимптотики можно построить, исходя из динамических, кинематических и геометрических условий совместности на движущихся поверхностях разрывов. Разработка теории таких поверхностей берет начало с работ Адамара. Дальнейший вклад внесли Т. Томас [86], Г. И. Быковцев [7] и Д. Д. Ивлев [47]. Метод построения асимптотических разложений решения краевых задач динамики называется авторами лучевым [7] по аналогии с методом коротковолновых асимптотик [6]. Способ построения лучевых разложений решения за фронтом волны разрывов основан на представлении его в виде степенного ряда по типу ряда Тейлора, коэффициентами которого являются неизвестные разрывы. Для последних, следуя условиям совместности, получают реккурентную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, называемых уравнениями затухания. Такой подход был независимо и в различных формах предложен Г. И. Быковцевым и Д. Ахенбахом, Д. Редди в шестидесятых годах прошлого века. В дальнейшем Г. И. Быковцеву и его ученикам удалось таким способом решить целый ряд нестационарных динамических задач механики деформируемого твердого тела [7, 8, 9, 40, 64, 77, 98]. Обстоятельный обзор работ данного направления содержится в работе Ю. А. Россихина и М. В. Шитиковой [112]. Эту обзорную статью они посвятили светлой памяти своего учителя Г. И. Быковцева.

При численном решении нестационарных задач основные проблемы возникают тогда, когда необходимо рассчитывать разрывные решения. В настоящее время существует два основных подхода к расчету скачков решения: схемы с выделением разрыва и методы сквозного счета. Метод выделения разрыва, позволяющий рассчитывать разрывные решения без размывания скачков, был предложен С. К. Годуновым и основан на использовании подвижных сеток. В расчетной области, с помощью известного соотношения на скачке, выделяется поверхность разрыва. Течение за фронтом является гладким и расчет его по явным или неявным схемам не вызывает больших проблем. Метод широко и эффективно используется при расчете газодинамических течений, для которых характерно присутствие различных поверхностей разрыва, положение и конфигурация которых неизвестны.

При выборе численной схемы сквозного счета для исследования распространения ударных волн и их взаимодействия нужно отдать предпочтение схемам повышенного порядка точности, позволяющим более точно описывать картину течения, экономить время решения задач на ЭВМ. Однако, линейные разностные схемы второго и выше порядка аппроксимации немонотонны: возникающие при расчете разрывных решений нефизичные осцилляции существенно искажают картину течения. Помехи, вызванные немонотонностью, для ряда задач принципиальны. Это приводит к необходимости разработки специальных способов борьбы с ними.

Одним из способов подавления нефизичных эффектов является процедура введения в дифференциальные уравнения дополнительных членов, называемых искусственной вязкостью. Другой основан на процедуре монотонизации, представляющую собой подстройку численного алгоритма в зависимости от характера решения на предыдущем временном слое. В результате строится нелинейная разностная схема, сохраняющая высокий порядок точности. К этому семейству методов можно отнести алгоритмы, предложенные И. О. Вогульским [11,12,13].

С.К. Годунов предложил метод для расчета одномерных и многомерных задач газовой динамики. На каждом слое решение рассматривается как кусочно-постоянное, а для вычисления некоторых вспомогательных величин на промежуточных этапах используются формулы распада произвольного разрыва. На основе метода Годунова и его модификаций получено решение ряда задач динамической теории упругости как в плоской геометрии, так и в криволинейных системах координат [76]. Существенная сложность определяющих уравнений твердого тела и специфика этих задач не позволяют непосредственно переносить результаты из области гидромеханики на задачи твердого тела. Подробный обзор и анализ различных подходов к решению динамической теории упругости и пластичности можно найти в работе Афанасьева С. Б. и Баженова В. Г. [3]. Существующие методы решения задач динамики твердых тел можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные или конечно-разностные методы.

Под методами конечных элементов понимают подходы, основанные на дискретизации расчетной области и формировании конечных соотношений между искомыми величинами на основе механики в вариационной форме, минуя стадию формулировки краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Такой подход дает определенные преимущества при описании процесса деформирования тел со сложной геометрией. Метод зарекомендовал себя для решения статических задач и интенсивно используется при исследовании нестационарных процессов в деформируемых твердых телах. Среди отечественных работ этого направления отметим работы Афанасьева С. Б., Баженова В. Г., Кочеткова A.B. и др. [4], Вогульского И. О. [14], Бураго Н. Г. и Кукуджанова В. Н. [16], Коробейникова С. Н. [54].

Как сочетание и обобщение методов конечных элементови вариационно-разностных можно упомянуть дискретно-вариационный метод, разработанный для исследования нестационарных процессов в слоистых и композиционных средах. Характеристические и сеточно-характеристические методы основаны на записи системы дифференциальных уравнений в характеристической форме с последующей их конечно-разностной аппроксимацией. Различают прямой и обратный характеристический метод. Среди работ, посвященных применению сеточно-характеристических методов для решения динамических задач деформирования упругих и упругопластических тел, можно указать работы Кондаурова В. И. и Кукуджанова В. Н. [51], Кондаурова В. И., Петрова И. Б., Холодова A.C. [52, 53].

Сеточные методы решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для нее. В настоящее время это наиболее разработанный и часто используемый способ численного интегрирования задачи. Алгоритм представляет собой пересчет известного решения с нижнего слоя по времени (начиная с известных начальных условий) на следующий верхний слой. Известны и многослойные методы, когда в вычисление решения на некотором шаге участвуют несколько предыдущих слоев.

В зависимости от того, дает ли такое вычисление непосредственно значения искомых величин на верхнем слое или же для их определения необходимо решать систему перевязанных между собой уравнений, различают явные или неявные схемы.

В пользу применения неявных схем при решении динамических задач говорит тот факт, что в большинстве своем неявные схемы абсолютно устойчивы, что позволяет вести-интегрирование с большим шагом по времени. Кроме того, им может быть отдано предпочтение при решении задач с сильной неоднородностью рассчитываемого течения, так как использование в этом случае явных схем связано с большим различием величины шага интегрирования в разных точках области, что приводит к необходимости использования малого шага по времени. Однако, при расчете волновых процессов с большими градиентами, на шаг по времени все равно возникают ограничения, вызванные соображениями точности, которые не позволяют выбирать его достаточно крупным. Сеточным методам посвящены работы Вогульского И. О., Волчкова Ю. М., Иванова Г. В., Кургузова В. Д. [30, 31, 32]. В [79] Садовский В. М. провел численное моделирование разрывных решений задач динамики упругопластических сред на основе теории вариационных неравенств. Преимуществом такого подхода является то, что единообразно формулируются в виде вариационных неравенств как ограничения, содержащиеся в определяющих соотношениях упруго-пластических сред, так и кинематические ограничения на контактных границах. В [79] предложен ряд численных алгоритмов решения задач, допускающих постановку в виде вариационных неравенств. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [45].

В настоящей работе предлагается использовать специально построенные прифронтовые лучевые разложения для расчета краевых задач динамики деформирования с целью выделения поверхностей разрывов. Она состоит из трех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней обсуждаются особенности постановок краевых задач динамики несжимаемой упругой среды. Выписываются условия существования ударных волн, вычисляются скорости их распространения в зависимости от предварительных деформаций и характера производимого воздействия.

Во второй главе для решения краевых задач динамики деформирования предлагается лучевой метод. Таким образом было получено приближенное решение краевой задачи ударного деформирования плоского предварительно продеформированного массива. Наличие предварительных деформаций вызывает наряду с ударными волнами нагрузки существование ударных волн поворота, которые вносят специфику в построение лучевых разложений. Методика построения приближенных решений краевых задач ударного деформирования лучевым методом обобщена на случай криволинейных и расходящихся лучей. В качестве примера применения данной обобщенной методики получено приближенное решение краевой задачи об антиплоском движении несжимаемой упругой среды, ударно нагружаемой по границе эллипсоидальной цилиндрической полости в ней.

В третьей главе указаны алгоритмические приемы использования построенных прифронтовых асимптотик для целей выделения поверхностей разрывов в численных расчетах ударного деформирования. Построены неявные конечно-разностные схемы расчетов ударного деформирования несжимаемого плоского упругого массива с предварительными деформациями и без них, которая за счет включения в них прифронтовых лучевых асимптотик позволяет отслеживать на каждом временном шаге положения как ударной волны нагрузки, так и ударной волны поворота. На примере антиплоского движения несжимаемой упругой среды предложена неявная конечно-разностная схема расчета неодномерных краевых задач динамики деформирования с криволинейными и расходящимися лучами.

В главах используется двойная нумерация формул, первый номер-номер главы. На протяжении всей главы нумерация сквозная, рисунки и графики помещены в тексте. При численных расчетах использовались стандартные процедуры, поэтому объяснение методов и программ отсутствует.

Заключение

.

В первой главе:

1. Рассмотрены основные соотношения нелинейной динамической теории упругости.

2. Выписаны динамические, геометрические и кинематические условия совместности разрывов.

3. Указаны условия, при которых возможно существование ударной волны нагрузки и ударной волны поворота.

Во второй главе:

1. Решена задача об ударном нагружении несжимаемого плоского массива, имеющего предварительные деформации. На основе лучевого метода было найдено приближенное асимптотическое решение в области за фронтом волны поворота.

2. Для достаточно малых времен получены выражения для скоростей распространения ударных волн нагрузки и поворота.

2. Решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды. Найдено поле перемещений за фронтом ударной волны нагрузки и вычислена скорость этой ударной волны.

В третьей главе:

1. Разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчетов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального. Это позволяет не только находить поле перемещений в области, удаленной от фронта ударной волны, но и указывать положения фронтов ударных волн на каждом шаге вычислений.

2. С помощью описанного алгоритма были численно решены задачи об ударном нагружении упругого полупространства как имеющего, так и не имеющего предварительные деформации.

3. Вычислительная методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей. Численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды.