Прямые и обратные задачи взаимодействия гидродинамических особенностей со свободной поверхностью весомой жидкости

Гидродинамические особенности широко используются при моделировании возмущений жидкой среды различными неоднородностями, локально нарушающими потенциальность течения. К числу таких неод-нородностей относятся, например, движущиеся в жидкости тела, вихревые структуры, источники (стоки) массы, обтекаемые потоком преграды. Обычно принимается, что основное течение потенциально, а неоднородность, с той или иной точностью, заменяется некоторой системой гидродинамических особенностей (вихрей, источников, диполей и т. д.). При этом можно рассматривать как дискретные, так и непрерывные распределения особенностей.

Присутствие гидродинамических особенностей в потоке со свободной границей ведет к образованию поверхностных волн. Расчет возмущений поверхности жидкости при известных особенностях, локализованных в ее толще, составляет содержание задачи, которую назовем прямой. Прямая задача генерации поверхностных волн гидродинамическими особенностями привлекала внимание многих исследователей. Еще Л. Н. Сретенский отмечал: " .для решения наиболее интересных задач теории волн надо рассматривать волновые потоки с особенностями «[97]. Однако следует сказать, что многие из полученных решений трудно проанализировать из — за сложности их аналитической структуры, кроме того, их форма представления часто не является удобной для проведения численных расчетов.

В данной работе прямые задачи генерации волн рассматриваются в основном с целью приведения их решений к виду, в котором возможно достаточно быстрое определение характеристик свободной поверхности численными методами. Кроме того, получен ряд новых результатов. Для плоского потока со свободной поверхностью, стационарно обтекающего заданную гидродинамическую особенность, найдено новое интегральное представление комплексной скорости, выведено уравнение профиля свободной границы. Дано обобщение метода М. В. Келдыша на случай произвольно движущейся особенности переменной интенсивности, с помощью которого, в частности, показано, что при длительном равномерном движении особенности из состояния покоя под свободной поверхностью плоского потока над ней устанавливается волна постоянной формы, которая может быть найдена из решения соответствующей стационарной задачи.

С другой стороны, возмущения свободной поверхности потока несут информацию о породивших их неоднородностях, что приводит к постановке обратной задачи: получить сведения о внутренней структуре потока (в первую очередь — о локализованных в нем неоднородностях) по данным, снятым с его свободной поверхности. Наиболее существенные трудности решения такой задачи позволяет увидеть следующий пример. Пусть плоский стационарный поток весомой жидкости со свободной поверхностью обтекает некоторую неоднородность в его толще. Поставим задачу найти способ обработки данных измерений свободной поверхности жидкости, который бы позволил судить о параметрах обтекаемого объекта. При этом отметим, что если о характере этого объекта заранее ничего не известно, то однозначное восстановление его параметров и полной картины внутреннего течения только по данным о свободной поверхности потока заведомо невозможно. Это обусловлено хотя бы тем, что всякая твердая граница, совпадающая с одной из линий тока, огибающей обтекаемую неоднородность сверху, гидродинамически эквивалентна ей и вызывает при обтекании потоком такое же возмущение его свободной поверхности. Поэтому следует искать целое семейство линий тока, соответствующих заданной свободной границе жидкости. В принципе это можно сделать с помощью аналитического продолжения скорости течения со свободной поверхности вглубь потока. Формулы, по которым может быть осуществлено такое продолжение, вплоть до ближайшей особенности, известны и приводятся, например, в книге [43]. Однако там же сказано, что эти выражения дают строгое решение, если мы располагаем точными и непрерывными значениями измеряемых величин на наблюдаемой линии (поверхности), а попытка численной реализации этих формул при непосредственном применении их к экспериментальным данным, известным лишь в дискретной последовательности точек и с некоторой погрешностью, не может дать удовлетворительного результата. Это связано с тем, что задача аналитического продолжения функций в сторону их особенностей является некорректно поставленной [104], поэтому сколь угодно малые вариации исходных данных могут приводить к сколь угодно сильно отличающимся друг от друга решениям.

Впервые обратная задача стационарного обтекания конечной системы точечных особенностей плоским потоком со свободной границей была рассмотрена автором с соавторами [52, 58]. Решение этой задачи, основанное на технике аппроксимаций Паде, позволяет восстановить систему обтекаемых особенностей по известному профилю свободной поверхности потока. Однако, как показали дальнейшие исследования, предложенная процедура применима лишь в случае абсолютно точного задания исходных данных. Позже автором [85, 87] был предложен способ решения обратной задачи обтекания неоднородностей, свободный от этого недостатка в силу малой его чувствительности к отдельным ошибкам в задании профиля свободной поверхности, применимый как к плоским, так и к трехмерным потокам.

Существенной частью этого подхода является решение следующей модельной задачи. Пусть имеем данные наблюдений свободной поверхности потока, обтекающего известное число точечных гидродинамических особенностей заданного типа. Для определенности будем говорить об отклонении 8 свободной поверхности от ее невозмущенного положения. Требуется определить координаты и интенсивности особенностей.

С одной стороны, отклонения свободной границы от ее невозмущенного положения известны из опыта в некоторых точках наблюдения, с другой — величину 8 можно найти, решив прямую задачу, в виде функции точки наблюдения, зависящей от координат и интенсивностей особенностей как от параметров. Поэтому в качестве решения рассматриваемой модельной обратной задачи следует взять те значения искомых параметров, при которых достигается наилучшее согласие решения прямой задачи с данными наблюдений. В случае присутствия в потоке реального объекта можно привлечь следующие соображения.

Один из способов описания обтекания потоком неоднородности состоит в её замене эквивалентной системой гидродинамических особенностейвихрей, источников, диполей и так далее. Например [59], при поперечном обтекании цилиндра идеальной жидкостью его можно рассматривать как дипольисточник и сток нулевой суммарной интенсивности, расположенные друг за другом вдоль потока, моделируют тело овоидной формы. Обычно такая замена осуществляется приближенно, исходя из соображений простоты модели, поскольку чрезмерная детализация реального процесса обтекания часто является излишней. Например [97], цилиндр, движущийся под свободной поверхностью жидкости, заменяется диполем тем более точно, чем глубже он находится.

В соответствии с широко распространенными схемами [62], подтвержденными данными многочисленных экспериментов [21], стационарное обтекание тела реальной жидкостью сопровождается развитием вихревого движения в некоторой области, непосредственно прилегающей к телу, и практически безвихревым течением вне её. В силу этого, влияние обтекаемого тела на свободную поверхность потока можно описать в рамках модели потенциального течения идеальной жидкости, если вместо него рассматривать тело, занимающее всю вихревую область. В этом смысле можно говорить об эффективной форме обтекаемого тела. При этом граница между вихревой и потенциальной областями проходит по линии (поверхности) тока весьма простого вида [21].

Похожие линии (поверхности) тока возникают при обтекании некоторых комбинаций небольшого числа гидродинамических особенностей потенциальным потоком идеальной жидкости. Если задаться системой с фиксированным числом и известным типом гидродинамических особенностей как моделью обтекания некоторого препятствия и выбрать координаты и интенсивности особенностей так, чтобы соответствующее возмущение свободной поверхности потока было в определенном смысле наиболее близким к наблюдаемому, то соответствующие линии (поверхности) тока дадут представление о возможных эффективных формах обтекаемого объекта.

Таким образом, в рамках предлагаемого подхода выбор конкретной модели обтекаемой неоднородности производится из некоторого заранее определенного класса систем гидродинамических особенностей. Очевидно, что из разных классов будут выбраны, вообще говоря, разные модели обтекания одного и того же реального объекта. Выбор класса моделей должен быть обусловлен дополнительными соображениями. Так, хорошей моделью продольного обтекания осесимметричного тела может быть система «источник — сток» нулевой суммарной интенсивности, тогда задача сводится к оптимальному выбору координат источника и стока и их интенсивностей.

В ряде случаев выбор класса моделей может быть непосредственно обусловлен самой постановкой задачи. Например, известно, что в потоке локализован единственный точечный источник и требуется определить его координаты и интенсивность по данным о свободной поверхности. Таким образом, в соответствии с одной из концепций общей теории обратных задач [104], в каждом фиксированном классе моделей ищется свое решение (квазирешение).

Такой же подход применяется к решению нестационарной обратной задачи генерации поверхностных волн, что, при осуществлении постоянного наблюдения за состоянием свободной поверхности и соответствующей обработке его результатов, позволяет вести непрерывное определение текущих координат и интенсивностей гидродинамических особенностей, приближающих скрытую в толще потока нестационарную неоднородность.

Насколько известно автору, обратная задача генерации поверхностных волн в приведенной постановке другими исследователями не рассматривалась. Это — новое научное направление, имеющее важные практические приложения. Кроме чисто научного интереса, его развитие стимулируют и следующие обстоятельства.

В настоящее время в связи с расширением сферы деятельности человека и ухудшением климатической и экологической ситуации в масштабе всей планеты все более возрастающее значение приобретает изучение и освоение Мирового океана, оказывающего огромное влияние на общее состояние всей природной среды и, кроме того, являющегося объектом многоплановой хозяйственной деятельности человека [ 42, 49, 51, 64, 74].

Следует отметить, что наряду с традиционными видами такой деятельности — мореплаванием и рыболовством в последнее время интенсивно развиваются и принципиально новые. Например, с конца 60-х годов ведутся работы по добыче на шельфе нефти (Персидский залив, Северное море), угля (Англия, Япония), алмазов (ЮАР). Разрабатываются планы добычи других полезных ископаемых (железо, марганец, сульфиды), в том числе — с больших глубин. В недалеком будущем важнейшее значение может приобрести добыча планктона — ценного белкового сырья. Идет интенсивное освоение Мирового океана и в военных целях. Наиболее развитые страны непрерывно увеличивают объемы таких работ, а борьба за овладение океанскими ресурсами постепенно обостряется.

Вследствие большой технической сложности широкомасштабных работ в океане эта деятельность требует серьезного информационного обеспечения, связанного с анализом динамики поверхности и толщи морской среды. При этом количество и качество поставляемой информации должны существенно превосходить требуемые ранее для нужд мореплавания и рыболовства, что возможно только на основе создания новых методов получения и обработки данных о протекающих в морской среде процессах.

Наиболее эффективно сбор информации с больших площадей поверхности океана осуществляется с помощью средств дистанционного зондирования, расположенных на аэрокосмических носителях. В основном в качестве средств зондирования используются радиолокаторы, осуществляющие обзор морской поверхности на нескольких несущих частотах, что позволяет измерять ее характеристики с высокой точностью. При этом явления, происходящие в толще океана, совершенно недоступны для непосредственного наблюдения с помощью радиосигналов.

Необходимость восстановления физических полей в толще морской среды по данным радиолокационного зондирования свободной поверхности привела к созданию нового научно-технического направления — компьютерной радиотомографии морской среды [113 — 115], в основе концепции которого лежит единая модель информационного тракта радиотомографического комплекса, включающая в себя гидрофизические, электродинамические блоки, блоки классификации и распознавания подводных явлений. Упрощенно такой тракт можно представить в виде следующей схемы.

Развернутое изложение концепции компьютерной радиотомографии морской среды и результаты первой попытки увязки всех элементов информационного тракта, показанного на схеме, содержатся в монографии [70], написанной при участии автора в составе большого коллектива.

В свете изложенного видны актуальность рассматриваемых в настоящей работе проблем и их место в общей концепции компьютерной радиотомографии морской среды, обусловленные необходимостью установления связи между первыми двумя блоками представленного на схеме информационного тракта: различными неоднородностями в морской толще и их поверхностными проявлениями. Следует заметить, что такая связь прослеживается здесь в предположении, что развитие поверхностных возмущений целиком обусловлено локализованными в толще жидкости неоднородностями, а действие факторов иной природы, например, влияние ветра на свободную поверхность, не учитывается. Иными словами, рассматривается единственный канал передачи возмущений на свободную поверхность от погруженных неоднородностей через посредство несжимаемой жидкой среды при отсутствии ветрового волнения. Указанное допущение обычно принимается при исследовании прямых задач генерации поверхностных волн погруженными источниками. В этих же рамках естественно рассматривать и соответствующие обратные задачи, которые даже при такой идеализации представляют значительный практический интерес, поскольку методы их решения могут лечь в основу алгоритмов идентификации реальных объектов. Учет других механизмов возмущений свободной поверхности (ветер и т. д.) должен составить предмет дальнейших исследований.

Выбор гидродинамических особенностей в качестве элементов моделей неоднородностей в жидкой среде связан с тем, что такие модели допускают удобную параметризацию, а это обусловливает как принципиальную разрешимость рассматриваемых обратных задач, так и сравнительную простоту алгоритмов их решений, обеспечивающую возможность получения данных за достаточно короткое время.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

В первой главе содержится обзор работ по генерации поверхностных волн гидродинамическими особенностями. Приводятся некоторые примеры моделирования обтекаемых потоком тел и непроницаемых границ системами гидродинамических особенностей.

Вторая глава посвящена прямой задаче стационарного обтекания гидродинамических особенностей плоским потоком со свободной поверхностью. Выведено уравнение для свободной границы потока, стационарно обтекающего заданные особенности. Приведены примеры профилей свободных границ потоков, полученных численным решением этого уравнения. Произведено сравнение такого метода нахождения свободной границы потока с методом М. В. Келдыша. Предложена модель обтекания цилиндра, движущегося под свободной поверхностью, обеспечивающая хорошее согласование расчетного профиля свободной границы с наблюдаемым в эксперименте. Найдено новое интегральное представление решения задачи обтекания особенностей стационарным потоком со свободной границей.

В третьей главе рассмотрена обратная задача возмущения свободной поверхности плоского стационарного потока точечными особенностями, локализованными в его толще. Предложены способы определения координат и интенсивностей особенностей по данным о свободной границе потока. Описана процедура восстановления рельефа дна по известной свободной поверхности жидкости в рамках модели распределенных источников.

Четвертая глава содержит обобщение метода М. В. Келдыша на случай произвольного движения особенностей переменной интенсивности под свободной поверхностью весомой жидкости. Найдены комплексный потенциал и профиль свободной границы. Получены некоторые предельные режимы течений в бесконечном будущем. Рассмотрена обратная задача генерации поверхностных волн нестационарными особенностями. Исследовано самоиндуцированное движение точечного вихря под свободной границей жидкости.

В пятой главе рассмотрены некоторые вопросы взаимодействия вихревых колец с границами раздела сред и между собой. Изложение основано на материале серии экспериментальных работ, выполненных с соавторами. Изучен закон движения вихревого кольца при подходе к свободной поверхности жидкости и при отражении от нее. Сформулирован критерий, позволяющий судить о способности вихревого кольца проходить через границу раздела сред. Рассмотрено движение двух соосных вихревых колец и установлены некоторые новые свойства такой системы. Найдено возмущение свободной поверхности бесконечно глубокой весомой жидкости, вызываемое вертикально движущимся вихревым кольцом. Поставлена и решена обратная задача стационарного обтекания точечного источника пространственным потоком со свободной поверхностью. Предложенный метод ее решения пригоден и в случае неточного задания исходных данных.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

По теме диссертации опубликованы работы [6−13, 52, 58, 79, 83−89, 117−119, 138].

Результаты работы были представлены на Всероссийской конференции «Взаимодействие подводных возмущений с поверхностными волнами» (Москва, 1998), международной конференции «Third international workshop on vortex flows and related numerical methods» (Тулуза, Франция, 1998), Российской научной конференции с участием зарубежных ученых «Математические модели нелинейных возбуждений, переноса, динамики, управления в конденсированных системах и других средах» (Тверь,.

1994), международной конференции «10 International Heat Transfer Conference» (Брайтон, Англия, 1994), 16 конференции (стран СНГ) по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1993), международном конгрессе «11 International Congress of Chemical Engineering» (Прага, Чехословакия, 1993), Третьем всесоюзном совещании по физике низкотемпературной плазмы с конденсированной дисперсной фазой (Одесса, 1988), 14 Всесоюзной конференции «Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем» (Одесса, 1986), 5 Всесоюзном научном совещании по теоретическим и прикладным аспектам турбулентных течений (Таллин, 1985), Объединенном научно-исследовательском семинаре «Численное моделирование процессов тепло и массообмена», «Проявление внутренних движений на свободной поверхности океана», «Механика невесомости и гравитационно-чувствительные системы» (Институт проблем механики РАН, 2000), семинаре кафедры высшей математики МГТУ им. Н. Э. Баумана (2000), семинаре отдела механики Математического института РАН им. В. А. Стеклова (1999), научно-исследовательском семинаре «Численное моделирование процессов тепло и массообмена» (Институт проблем механики РАН, 1998), семинаре кафедры физической механики МФТИ (1996).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Сформулируем основные результаты работы.

1. Получено уравнение свободной границы плоского потока, стационарно обтекающего заданные гидродинамические особенности. Предложен новый способ быстрого нахождения свободной границы потока, основанный на численном решении этого уравнения. Сделаны расчеты профилей свободной поверхности потоков, наблюдаемых в экспериментах. Проведено сравнение результатов расчетов с данными опыта.

2. Найдено новое интегральное представление решения задачи о стационарном обтекании гидродинамических особенностей плоским потоком со свободной границей.

3. Предложено обобщение метода М. В. Келдыша на случай произвольного закона движения особенности переменной интенсивности в плоском потоке со свободной поверхностью. Найден комплексный потенциал и профиль свободной границы жидкости.

4. Показано, что в двумерном случае при равномерном горизонтальном движении точечной особенности, начинающемся из состояния покоя, под свободной поверхностью неподвижной жидкости в системе координат, связанной с особенностью, в бесконечном будущем устанавливается течение, соответствующее решению стационарной задачи обтекания этой особенности.

5. Получено уравнение самоиндуцированного движения точечного вихря под свободной поверхностью жидкости. Найдены траектории движения вихря при различных начальных условиях.

6. Поставлена задача определения параметров неоднородно-стей в плоском стационарном потоке по данным о его свободной поверхности. В рамках модели точечных особенностей предложено ее решение, малочувствительное к ошибкам в исходных данных.

7. Поставлена и решена задача определения текущих координат и интенсивности движущейся особенности по данным, снимаемым со свободной поверхности плоского потока.

8. Экспериментально установлен закон движения вихревого кольца после его отражения от свободной поверхности воды.

9. Получен критерий прохождения вихревого кольца через границу раздела сред с различными плотностями.

10. Найдено возмущение свободной поверхности весомой жидкости при вертикальном движении к ней вихревого кольца.

11. Показано, что два одинаковых соосных вихревых кольца образуют связанную систему, скорость которой больше скорости самоиндуцированного движения образующих ее вихрей. Найдены условия различных режимов совместного движения двух соосных вихревых колец.

12. Поставлена и решена обратная задача стационарного обтекания точечного источника пространственным потоком со свободной поверхностью.