Осесимметричная деформация пластически сжимаемых сред в условиях неоднородного напряженного состояния

Различные области современной техники испытывают потребность в изделиях с высокими эксплуатационными характеристиками (прочность, износостойкость, возможность работы в агрессивных средах). Материалы, изготавливаемые методами порошковой металлургии, часто позволяют удовлетворить таким требованиям. Особенность изделий, изготавливаемых методом порошковой металлургии, состоит в высоких прочностных свойствах. Но обратной стороной этого является трудность их последующей обработки, а иногда просто и невозможность из-за специфического характера изделия.

Для изготовления изделий методом порошковой металлургии традиционно используется процесс горячего изостатического прессования (ТИП) порошковых материалов. Процесс ГИП — это процесс высокотемпературного уплотнения (температура порядка 1000° по Цельсию) порошковых материалов под действием внешнего давления (порядка 1000 атмосфер).

В самой общей постановке задачу математического моделирования процесса ГИП можно сформулировать следующим образом: требуется спроектировать капсулу таким образом, чтобы конечная форма порошкового монолита, полученного после удаления капсулы, удовлетворяла требуемой геометрии. Отметим, что в силу специфики использования таких изделий, эти требования бывают достаточно жесткими.

Однако в силу принципиальных причин, об этом будет сказано в обзоре, подобная точность математического моделирования вряд ли достижима.

Практический опыт показывает, что многие трудноустранимые дефекты закладываются на начальной стадии процесса ГИП, поэтому основной целью работы является аналитическое исследование этой стадии. Преимущество аналитического исследования состоит в том, что оно дает более ясное представление о характере процесса и о его протекании при изменении определяющих параметров.

Во второй главе работы получено аналитическое решение важной технической задачи о напряженно-деформированном состоянии среды на начальном этапе процесса ГИП при изготовлении труб из порошковых материалов, Данная задача известна трудностью предсказания конечных размеров внутренней границы. Исследование этой задачи имеет более широкий технический аспект, поскольку в ней выявляются трудности математического моделирования процесса ГИП порошковых изделий, содержащих закладные элементы с большой радиальной жесткостью.

В третьей главе проводится аналитическое исследование полученного решения. В зависимости от определяющих параметров задачи исследуется возможность возникновения разрыва поля скоростей, возможность перехода в плоское деформированное состояние и как частный результат показана возможность усадки вала при нанесении порошковых покрытий. Возможность создания плоского деформированного состояния путем изменения геометрических размеров капсулы имеет значение для практически важной технической проблемы создания капсулы с направленной радиальной усадкой. Возможность создания такой капсулы существенно упрощает математическое моделирование процесса.

В ряде предыдущих работ показана возможность возникновения разрыва нормальной составляющей скорости перемещений в начальный момент осесимметричного процесса ГИП при наличии неподвижных границ. Учет этого явления при математическом моделировании с использованием метода конечных элементов приводит к более точному значению конечных размеров изделия.

В связи с этим в четвертой главе исследуется дальнейшее поведение порошкового материала у неподвижных границ. Получены аналитические выражения для определения возникающей неоднородности плотности материала.

Одной из важных технических задач процесса ГИП является создание устойчивой формы капсулы. Это подразумевает создание такой формы капсулы, при использовании которой, конечные размеры изделия изменялись бы незначительно при изменении параметров определяющих соотношений. Это требует исследования устойчивости самого процесса ГИП.

В пятой главе исследуется устойчивость процесса ГИП цилиндрического образца и тороидальной оболочки. Показано, что при определенных условиях осесимметричный процесс ГИП порошкового цилиндра может терять устойчивость, что приводит к искажению осесимметричности контура. Для тороидальной оболочки показана возможность искажения круглого поперечного сечения (его превращения в эллиптическое) 4 а также показана возможность смещения центров внутреннего и внешнего контура, что приводит к неравномерной толщине конечной оболочки. Это исследование позволяет качественно объяснить некоторые дефекты конечной формы, возникающие при изготовлении подобных изделий.

Работа выполнялась при сотрудничестве с лабораторией новых технологий (ЛИТ) — руководитель д.т.н. Самаров В. Н. — Москва и Орловским государственным техническим университетом (ОГТУ).

1. Обзор литературы.

Как сказано, во введении, в идеале задачей математического моделирования процесса ГИП является следующая: требуется спроектировать такую капсулу и закладные элементы, чтобы по завершению процесса монолитное порошковое изделие приняло необходимую геометрическую форму.

Отметим, что под капсулой понимается некоторый металлический контейнер, в который помещается порошковый материал. В процессе ГИП капсула деформируется вместе с порошковым материалом. После окончания процесса капсула удаляется химическим или механическим путем. Фактически, капсулу можно рассматривать как инструмент одноразового использования.

Под закладным элементом понимается некоторый сплошной (как правило металлический или керамический) образец, помещенный в порошковый материал. Он также деформируется вместе с порошковой средой. После ГИП он удаляется тем или иным путем. Его назначение состоит в том, чтобы после удаления в монолите образовалась полость нужной формы.

Проблемы, возникающие при математическом моделировании процесса ГИП, подробно, например, изложены в [1], перечислим эти проблемы.

Первая: для процесса ГИП характерны большие деформации (начальная плотность порошка примерно 65% от плотности монолита), математически это означает, что определяющие соотношения будут нелинейными, а граничные условия ставятся на переменной во времени границе. Эти требования порождают известные трудности математического моделирования процесса.

Вторая проблема более принципиальная: это трудность построения определяющих соотношений (под определяющими соотношениями мы понимаем соотношения, определяющие связь тензора напряжений в среде с параметрами, характеризующими состояние среды).

Эта проблема характерна для всех задач механики деформируемого твердого тела, исследующих его поведение за пределом упругости [2−5]. Поскольку любые определяющие соотношения будут приближенными, тогда даже если исключить математические проблемы, любой расчет будет носить приближенный характер. Поэтому реальный процесс изготовления порошковых изделий должен быть итерационным процессом, схема которого изложена в [6]. Его суть состоит в следующем: строится математическая модель, на основании этой модели проектируется капсула, изготавливается изделие. Его параметры сравниваются с требуемыми, на основании этого сопоставления проводится уточнение математической модели. Этот метод является некоторым аналогом метода СН-ЭВМ, предложенный А. А. Ильюшиным в [2]. Поэтому приемлемой математической моделью процесса ГИП считается модель удовлетворяющая следующим требованиям:

1. Она дает близкое первое приближение;

2. Правильно учитывает влияние параметров;

3. Позволяет вносить изменения в параметры модели на основании результатов эксперимента, и в случае необходимости вводить дополнительные параметры.

Обычно для запуска изделия в производство требуется 2−3 экспериментальные итерации [6].

Существуют различные подходы по описанию поведения порошковой среды, некоторые из них (см., например, [12]) рассматривают среду как дискретную. При таких подходах, рассматривая взаимодействие отдельных частиц, необходимо учитывать эффекты, возникающие на поверхности их взаимодействия [13−15]. Чаще порошковый материал рассматривается как единый континуум, поскольку в процессе ГИП нас интересуют кинематические аспекты поведения, а как показано в [16−19], кинематические аспекты поведения порошковых материалов не отличаются существенно от поведения сплошных сред.

Используемые определяющие соотношения для порошковых материалов обладают одним существенным отличием от используемых в классических теориях пластичности [2−5] или используемых в работах по обработке металлов давлением [7], поскольку эти работы исходят, как правило, из малых объемных деформаций или равенства их нулю. Для порошковых материалов объемная деформация (или эквивалентные параметры: относительная плотность, пористость) является важным параметром, характеризующим состояние среды. Вместе с тем, необходимо отметить, что реальный интерес при описании процесса ГИП представляет как раз сдвиговая часть тензора деформаций. Поскольку целью ГИП является получение монолитного изделия, а начальную плотность можно определить с высокой степенью точности, то объемную составляющую тензора деформации можно считать известной. Время процесса уплотнения достаточно точно (при известной температуре и давлении) может быть определено по диаграммам уплотнения [8−11] (диаграмма Эшби).

Различные модели, описывающие поведение пластически сжимаемых сред представлены в работах Друянова Б. А. [20], Грина Р. Дж [21], Штерна М. Б. [22−23], Перельмана В. Е. [24], Александрова С. Е. [25] и других.

В большинстве моделей для построения определяющих соотношений используется ассоциированный закон течения. Для описания уравнения поверхности текучести обычно используется уравнение вида: /(ст, sMk) = Q>, здесь, а — это первый инвариант тензора напряжений, а = a s2 — обычно второй инвариант девиатора тензора напряжений: s2 = -SySy, (sff = <7&.-oy5&.),.

Мк — некоторые другие параметры.

Различные, уравнения поверхности текучести для порошковых материалов представлены в [20], [22−23], [24], [26−31].

Для учета возникающей в процессе ГИП анизотропии свойств используются уравнения поверхности текучести, приведенные в [32−33]. Отметим, что анизотропию процесса деформации на начальном этапе определяет форма капсулы. Для изотропных пористых тел, при отсутствии влияния деформационной анизотропии, используется условие текучести Грина или эллиптическое условие текучести [20−22], которое записывается в виде: <т2 + as2 = Scr2, где, а — первый инвариант тензора напряжений, / - второй инвариант девиатора тензора напряжений, а, 5 — экспериментальные или теоретические функции относительной плотности р, <у3 — предел текучести монолита. значение предела текучести пористой среды как функцию плотности. Подобное разделение вызвано тем, что функции 5(р) и а (р) являются функциями геометрии гранул и для одних и тех же типов гранул их с достаточной степенью точности можно считать универсальными функциями.

Отметим, что исторически первым это условие было предложено в работах В. Р. Скорохода [34−35].

Во многих работах [36−44] это уравнение записывается в эквивалентном виде: где, а — первый инвариант тензора напряжений, s2 — интенсивность девиатора тензора напряжений, fx, f2 — функции относительной плотности р. Характерный вид функций fx (p) и /2(р) представлен на рисунке.

Введение

м функций fx{p) и f2(p) некоторым образом разделяются объемные и сдвиговые свойства порошковой среды. можно интерпретировать как текущее.

Рис. 1.

Функция fi (p) возрастает с ростом относительной плотности р и стремится к 1 при р стремящемся к единице. Функция f2{p) также возрастающая функция. Она стремится к бесконечности при р, стремящейся к единице.

Эксперименты и методики для определения вида функций f[{p) и f2{p) или им эквивалентных приведены в работах [45−50]. Влияние капсулы на результаты эксперимента исследовано в [51].

Анализ литературных источников показывает, что единой точной зависимости для всех типов порошков, которая точно описывала бы их поведение, не существует. Используемые единые зависимости соответствующих функций от относительной плотности позволяют анализировать качественные аспекты поведения и в ряде случаев могут быть использованы для построения первых приближений модели.

В работах [38−44] уравнение поверхности текучести используется в виде: где /j — первый инвариант тензора напряжений, J2 — интенсивность девиатора тензора напряжений, у — аналог коэффициента Пуассона, (н считается известной функцией р). Ф (р) — называется «Stress intensification factor».

На основании экспериментальных данных в этих работах показано, что с некоторой степенью точности v (p) может быть представлена в виде.

M’jS.

Относительно Ф (р) существуют теоретические представления, которые приведены в работах [59−60].

Анализ, проведенный в работах [38−44], показывает, что истинное значение функции Ф (р) лежит между теоретическими кривыми.

В некоторых из указанных работ исследуется анизотропия свойств материала, возникающая в процессе деформации. Авторы этих работ вводят понятие «areal density». Формально оно вводится следующим образом: на срезе берется отношение площади пор к общему размеру сечения, разница между единицей и полученной величиной называется «areal density». Авторы на основании экспериментальных данных делают вывод о существовании универсальной зависимости Ф (р), если в качестве р принимать значение areal density". Хотя такое определение вызывает ряд вопросов, здесь важен скорее вывод о том, что существует некоторая интегральная характеристика деформации каждого сечения, с помощью которой может быть описана картина анизотропии свойств.

Отметим, что для описания процесса ГИП в неоднородном температурном поле существенную роль играет зависимость предела текучести от температуры, а также сильная зависимость коэффициента теплопроводности от плотности. В таких условиях в порошковой среде возникает своеобразный фронт уплотнения, отмеченный в работах Самарова В. Н. и Друянова Б. А. [61].

В настоящей работе для построения определяющих соотношений принято эллиптическое условие текучести без учета влияния реологических свойств.

Причины возможности такого подхода изложены в работах [1, 6]. Суть состоит в следующем. В большинстве задач исследования процесса ГИП целью является получение конечного монолитного изделия нужной геометрической формы. Промежуточные этапы процесса представляют меньший интерес. Как показывает практический опыт (об этом указано в [1, 62]), основные неоднородности поля деформаций и трудноустранимые дефекты конечной формы закладываются на начальной стадии процесса, то есть при относительно низких температурах, когда влияние эффектов диффузии и ползучести проявляется слабо.

Общие подходы к математическому моделированию процесса ГИП изложены в [63−67, 1].

Фактически ключевыми в математическом моделировании являются две задачи. Условно их можно назвать первая и вторая обратные задачи ГИП.

Первая задача — это по заданной форме конечного изделия спроектировать капсулу.

Вторая — на основании экспериментальной итерации и известных погрешностей конечной формы внести такие изменения в форму капсулы, которые приведут к более точной конечной форме изделия.

Ввиду трудностей аналитического решения задач подобного рода задач для их решения используются численные методы. Основными численными методами решения подобных задач являются разностные методы, метод конечных элементов, метод крупных частиц [68 — 76].

Большинство численных методов построены по схеме, аналогичной методу упругих решений [77]. Суть применяемых методов состоит в следующем. Весь процесс разбивается на шаги, напряженнодеформированное состояние на каждом шаге определяется путем некоторого итерационного процесса. При этом на каждом шаге итерации решается некоторая упругая задача. После ее решения уточняются некоторые упругие параметры. Решение повторяется до сходимости. Примеры решения задач подобного рода и схемы алгоритма приведены в [76−83], [83−85], [86−87].

Отметим, что интересный способ «размазывания» закланных элементов и рассмотрения среды в целом с другой плотностью предложен в [88, 1,6].

Как уже отмечалось, основные дефекты конечной формы закладываются на начальной стадии процесса. Целью настоящей работы является аналитическое исследование начального этапа ГИП.

Во второй главе работы получено аналитическое решение о напряженно-деформированном состоянии трубы при учете вертикальной усадки. Принципиальные трудности, возникающие при численном математическом моделировании такой задачи и некоторые ее аспекты изложены в [76].

В третьей главе проводится подробное математическое исследование как определяющее параметры задачи влияют на ее решение. При этом показана возможность возникновения разрывного поля скоростей. Для плоских задач существование подобных разрывов выявлено в работах [90, 91]. Кроме того, показано, что при определенных условиях деформация становится плоской, что важно для создания осесимметричной капсулы направленного действия.

В четвертой главе исследуется поведение решения вблизи возникшего в начальный момент разрыва поля скоростей. Исследуется влияние учета этого разрыва на конечную форму при использовании для математического моделирования метода конечных элементов (МКЭ).

В пятой главе исследуется устойчивость некоторых процессов ГИП. Причиной того, что основные дефекты конечной формы закладываются на начальной стадии процесса может быть неустойчивость процесса ГИП. Устойчивость процесса деформации пластически сжимаемых сред изучена слабо. Остается открытым вопрос, является ли неустойчивость неустойчивостью самого процесса деформирования порошка или неустойчивость вносится капсулой.

Как известно, при исследовании вопроса устойчивости за пределом упругости существуют два подхода Кармана Т. [92] и Шенли Ф. [93], которые в дальнейшем получили развитие в работах Зубчанинова В. Г. [94] и ЬСлюшникова В.Д. [95]. Порошковый материал в настоящей работе рассматривается как пластически сжимаемая среда, с использованием условия текучести Грина. Поскольку в процессе ГИП внешнее давление нарастает, то используется концепция продолжающегося нагружения.

Первый пример — исследование устойчивости осесимметричной формы при деформировании цилиндрического образца. Показано, что существуют критические значения радиальной усадки, по достижении которых потеря устойчивости капсулы приводит к искажению осесимметричной формы. Второй пример — деформация тороидальной оболочки. Показано, что характер поля деформаций приводит к искажению круглого поперечного сечения, и это явление усиливается под влиянием внешнего давления.

Выводы.

1. Получено аналитическое решение технической задачи математического моделирования начальной стадии процесса ГИП труб из порошковых материалов, которое может быть использовано для отладки программ и экспресс-анализа различных начальных форм при проектировании капсул.

2. Проведенное аналитическое исследование полученного решения показало, что возможны следующие режимы деформирования:

— непрерывное поле скоростей во всей системе;

— разрыв поля скоростей на внутренней границе;

— плоская деформация с неподвижной внутренней границей;

— плоская деформация с локализацией процесса на внутренней границе.

3. Возможность создания плоского деформированного состояния путем изменения геометрических размеров капсулы открывает принципиальную возможность исследования важной технической проблемы — создания капсулы с направленной радиальной усадкой, что привело бы к существенному упрощению задачи проектирования для широкого класса изделий.

4. Показано, что в окрестности закладных элементов с большой радиальной жесткостью при использовании МКЭ для моделирования процесса ГИП целесообразно использовать более межую сетку разбиения, что подтверждено опытом внедрения данной работы.

5. Исследованы особенности, возникающие в зоне высоких градиентов скорости. Полученные асимптотические оценки характера распределения плотности и скорости позволяют более точно решить техническую проблему математического моделирования процесса ГИП.

6. Исследована устойчивость процесса деформации цилиндрического образца. Показано, что существуют критические значения радиальной усадки, после достижения которых, осесимметричный процесс может потерять устойчивость.

7. Исследованы особенности процесса прессовании тороидальной оболочки. Показано, что возможны смещения центров внешней и внутренней оболочки друг относительно друга. Последнее может привести к разной толщине стенок в конечном изделии. Кроме того, сам, характер процесса деформирования внешней оболочки приводит к тому, что она более сильно сжимается в осевом направлении. Это также приводит к разной толщине стенок в конечном изделии.