Напряженно-деформированное состояние анизотропных пластин сложной формы при изгибе

Сегодня существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для их реализации требует расширения границ исследования двумерных задач теории упругости.

К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована, и методы решения возникающих краевых и контактных задач в пластинах с концентраторами напряжений в виде отверстий, трещин и включений, соответственно, хорошо развиты. Наибольший вклад в развитие этого направления внесли Гршшцкий Д. В., Григолюк Э. И., Инглис С. Е., Ирвин Г., Колосов Г. В., Калоеров С. А., Космодамианский А. С., Лехницкий С. Г., Максименко В. Н., Миндлин Р. Д., Мусхелишвили Н. И., Пелех Б. Л., Партон В. З., Попов Г. Я., Савин Г. Н., Саврук М. П., Си Г., Тамате О., Филынтинский Л. А., Флейшман Н. П., Черепанов В. П., Шерман Д. И. и др.

Значительно менее исследованной представляется задача изгиба тонких пластин. Прежде всего, это объясняется приближенностью основных гипотез при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности и кроме того, при решении задач для пластин с трещинами возникает контакт берегов разреза, что приводит к нбявлению сил в срединной плоскости пластины, т. е. одновременно с задачей изгиба необходимо решать плоскую задачу. Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Амбарцумяна С. А. [40], Артюхина Ю. П. [41], Бережницкого Л. Т. [44−47], Вильямса MJI. [32, 53], Грилицкого Д. В. [58, 59], Исиды М. [15, 16], Калоерова С. А. [63, 64], Лехницкого С. Г. [70−72], Пелеха Б. Л. [85, 86], Подру-жина Е.Г. [22−24, 76−80, 87−92], Попова Г. Я. [94], Прусова И. А. [95], Рейссне-ра Э. [38], Тамате О. 30, 31], Тимошенко С.П.- [102], Филыптинского Л. А. [73,103], Хасебе Н. [6−11] и др.

Вильяме МЛ. на основе метода собственных функций исследовал распределение напряжений вблизи вершины прямолинейной трещины в изгибаемой изотропной пластине [53] и доказал, что в случае изгиба, как и при растяжении, особенность напряжений обратно пропорциональна квадратному корню расстояния от вершины трещины. Кроме того, Вильяме M.JI. вместе с Эн-гом Д.Д. впервые рассмотрели изгиб ортотропной пластины с прямолинейной трещиной [1], расположенной вдоль одного из главных направлений. В работе [1] методом интегральных преобразований определено общее напряженно-деформированное состояние (НДС) в рассматриваемой плите, однако анализ асимптотических формул в окрестности вершины трещины выполнен не был.

В монографии [44] с использованием теории Кирхгофа и методов теории функций комплексного переменного систематизированы основные результаты для задач изгиба изотропных пластин с криволинейными вырезами или жесткими прямолинейными включениями, имеющими точки возврата на контуре.

Бережницкий JI.T., Садивский В. М., Опышко Л. И. рассмотрели задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины, ослабленной прямолинейным разрезом [47]. Комплексные потенциалы определены с использованием конформного отображения внешности разреза на внешность единичного круга.

В работах Ирвина Л., Черепанова Г. П. [14, 106] доказано, что асимптотическое распределение напряжений не зависит от конфигурации дефекта.

Бесконечные пластины с трсщнтш" и отпсрстиими.

В работах [15, 16] рассмотрены задачи изгиба бесконечных изотропных пластин, ослабленных системой прямолинейных разрезов. Использован метод разложения комплексного потенциала в ряд Лорана.

Горбань А.Г., Прусов И. А. [56] для решения задачи о прямолинейных трещинах вдоль прямой в анизотропной плите использовали метод сопряжения.

Задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной системой криволинейных непересекающихся разрезов, нагруженной самоуравновешенными усилиями, приложенными к берегам разрезов и изгибающими моментами па бесконечности, была решена Филынтннским Л. А. и Хандоги-ным В.II. [103]. В работе использован метод сингулярных интегральных уравнений. Полученная система уравнений дополняется вспомогательными условиями, накладываемыми па перемещения в пластине. Любчак В. А. совместно с Филыптипским JI.A. опубликовали работу [73], в которой подобным методом решена задача изгиба анизотропной полубесконечной плиты, имеющей криволинейные разрезы. В обеих работах [103, 73] осуществляется предельный переход от ортотроппой среды к изотропной, получены соответствующие интегральные уравнения.

Широкий класс задач решен Хасебе Н. и его соавторами. В работах решены задачи для бесконечной изотропной полосы с двумя краевыми трещинами [6, 8], представлены результаты численного эксперимента для задач изгиба бесконечной изотропной пластины с трещиной, имеющей ответвления на противоположных концах [9]- рассмотрены задачи о трещинах на линии соединения полуполосы и полубесконечной пластины [6], проанализированы изгиб изотропной полосы с уступом и трещиной [10], а также случай упругой полуплоскости, свободно опертой на прямолинейном крае с трещиной [11]. Решение во всех работах этого автора строилось с помощью метода комплексной переменной с использованием рациональной отображающей функции. Получены общие решения в замкнутой форме.

Максименко В.П., Подружин Е. Г. исследовали задачу изгиба бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием [77−79, 92]. Для построения решения используется конформное отображение внешности эллиптического отверстия на внешность единичного круга и обратное преобразование, а также процедура вычисления интегралов типа Коши по замкнутым контурам. Рассматриваются различные варианты краевых условий на контуре отверстия и различные варианты внешней нагрузки, определены в замкнутом виде выражения для действительных констант в случае решения первой краевой задачи.

Ряд задач изгиба бесконечных изотропных и анизотропных пластин решен в работах японских ученых [5, 12, 27]. В работе [5] рассматриваются задачи для пластин с трещинами, являющимися границами раздела материальных сред. Другие работы [12, 27] посвящены задачам изгиба для пластин с эллиптическим отверстием, находящихся под действием сосредоточенного момента ч или изгибающих моментов на бесконечности.

Метод конечных элементов используется в работе Вильсона В. и Томпсона Д. [34], где рассматривается задача изгиба бесконечной пластины и полосы, ослабленных прямолинейными трещинами.

Шацкий И.П. предложил приближенный способ описания контакта берегов разреза при изгибе изотропной пластины в рамках двумерной теории Кирхгофа [107]. В данной работе напряженное состояние пластины, изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности моментами, вне прямолинейного разреза описывается парой несвязанных бигармонических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластин. На контактирующих берегах разреза неизвестное контактное давление заменяется статически эквивалентной системой: нормальными усилиями в срединной поверхности пластины и изгибающими моментами. Для построения решения поставленной краевой задачи используется метод интегральных уравнений. В результате задача сводится к нелинейному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению, решение которого найдено в замкнутом виде, определены коэффициенты интенсивности усилий и моментов в окрестности концов разреза.

В работе Даляк Т. М. [60] представлены результаты численных расчетов по определению коэффициентов интенсивности напряжений в пластине с системой параллельных взаимносмещенных трещин, края которых контактируют.

В статье Хилла и Клементса [13] учитывается контакт берегов прямолинейной трещины в анизотропной плите.

Тамате О. решил в рамках теории Рейсснера задачу изгиба бесконечной изотропной плиты с круговым отверстием и радиальной трещиной [30], используя для этого метод сингулярных интегральных уравнений.

Пластины с жесткими н упругими пключеииими.

Изгиб пластин, содержащих тонкое жесткое включение, исследован в монографиях [44, 94, 95].

В монографии Бережницкого JI.T., Делявского М. В. и Панасю-ка В.В. [44] впервые получено распределение напряжений в окрестности вершин прямолинейных жестких включений в изотропной пластине.

Подружип Е.Г. получил решение задачи изгиба для жесткого эллиптического включения в анизотропной пластине под действием сосредоточенной силы [22]. Неизвестные аналитические функции, дающие решение задачи, определяются с помощью конформного отображения внешности эллиптического жесткого включения на внешность единичного круга.

Грилицкий Д.В., Опанасович В. К., Драган М. С. исследовали задачи изгиба и кручения бесконечных изотропных плит с упругими линейными включениями [58, 59, 84]. В работах построена модель тонкого упругого включения, осуществлена постановка и решение задачи цилиндрического изгиба пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений, нагруженной изгибающими и крутящими моментами на бесконечности. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифференцнальных уравнений, решаемой методом механических квадратур.

Решение задачи изгиба упругих пластин, подкрепленных тонкими упругими незамкнутыми стержнями, сводится к определению контактных усилий взаимодействия пластины и стержня. В работах Онищука О. В., Попова Г. Я., Фаршайта П. Г. этн задачи приводятся к интегральным уравнениям со специальной характеристической частью [82, 83]. Для пластин с упругими линейными включениями переменной жесткости некоторые результаты можно найти в [35, 36]. Определение неизвестных контактных усилий сводится здесь к решению интегро-дифференциального уравнения со специальной характеристической частью.

Задача изгиба изотропных пластин, ограниченных многосвязными контурами, решена в статье Калоерова С. А. [63] Метод основан на решении задачи сопряжения для разомкнутых контуров многосвязной области. В качестве примера рассмотрена круглая плита с центральной трещиной под действием сосредоточенной силы.

Калоеров С.А. и Вакуленко С. В. исследовали задачу об изгибе бесконечной изотропной пластинки, имеющей отверстия, трещины и жесткие включения [64]. В основе метода определения НДС лежит решение в замкнутом виде задачи об изгибе бесконечной плиты с одним эллиптическим отверстием.

Основываясь на теории изгиба пластин Рейсснера, в работе [31] решена задача об изгибе упругой пластины, содержащей жесткое лентообразное включение.

В работе Хасебе II. [7] исследуется НДС полубесконечной изотропной пластины, вдоль прямолинейного края усиленной ребром конечной длины, у конца которого имеется прямолинейная трещина. Задача решается в комплексных потенциалах, причем область пластины конформно отображается на круг единичного радиуса. Исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от отношения длины подкрепляющего ребра к длине трещины.

Конечные иластнны с дефектами.

Выделим некоторые работы по изгибу конечных изотропных и анизотропных плит, имеющих дефекты.

В работе Кулакова В. М., Толкачева В. М. [66] метод компенсирующих нагрузок используется для решения краевой задачи изгиба тонкой упругой изотропной пластинки. Исследуя свойства предельных значений встречающихся интегралов и производя их регуляризацию, авторы получают систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для определения компенсирующих нагрузок. В работах [50 — 52] на основе метода компенсирующих нагрузок предложена методика решения задач изгиба конечных изотропных пластинок, имеющих различные условия опирания на внешнем контуре. Определяется общее НДС не только в пластине, но и в окрестности угловых точек. Задача сводится к регулярным интегральным уравнениям, которые решаются численным методом.

В статьях [44−46, 54, 74] рассмотрены различные приближенные методы исследования изгиба круглой изотропной плиты с центральной трещиной. Изгиб защемленной прямоугольной и квадратной пластинки с трещиной рассмотрен в статье [43].

Исследования для кольцевой изотропной пластинки с жестко защемленными внутренним и свободным внешним краями под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке, проведены в работе [2]. Решение построено с использованием тригонометрических рядов.

В работе [101] рассмотрена изотропная пластинка, нагруженная в некоторой точке сосредоточенной силой. Внешний контур плиты незначительно отличается от кругового и жестко заделан, а внутренний — круговой, свободен от закрепления. Задача решена методом малого параметра.

В работе [62] решена задача об изгибе тонких изотропных пластин, имеющих форму сектора или кругового прямоугольника. Радиальные края изучаемых пластин упруго оперты, а дуговые края могут иметь любые условия опирания. С помощью метода декомпозиции уравнений получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи.

Изгиб свободно опертой прямоугольной плиты с трещиной рассмотрен Гребняком С. Т., Поповым Г. Я. [57]. Здесь использовалась теория изгиба пластин Тимошенко С. П., учитывающая слабую сдвиговую жесткость материала. Задача сведена к интегральному уравнению, которое решалось методом ортогональных многочленов.

Кулиев С.А. рассмотрел задачу изгиба анизотропной пластинки, ограниченной снаружи эллиптическим контуром, а изнутри круговым с двумя примыкающими разрезами одинаковой длины [67]. При помощи полиномов Фа-бера задача сводится к решению четырех систем бесконечных линейных алгебраических уравнений.

В работе [93] изучается изгиб шарнирно опертой прямоугольной орто-тропной пластинки с тонким жестким включением. С помощью преобразования Фурье задача сводится к интегральному уравнению, решение которого ищется в классе функций с ненитегрируемыми особенностями.

Копнина В.И., Мельников Е. И. предложили решение задачи изгиба анизотропной эллиптической плиты с внецентрепным эллиптическим отверстием [65]. Внешний контур и литы или закреплен или свободен, а по внутреннему распределен изгибающий момент постоянной интенсивности. Метод решения задачи [65] основан па представлении искомых комплексных функций двумя рядами, один из которых содержит полиномы Фабера.

Применению метода конечных элементов к задачам изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, посвящена работа [3]. В данной работе использованы специальные сингулярные конечные элементы, причем аппроксимация сингулярных и регулярных конечных элементов осуществляется по-разному.

Представленный выше краткий обзор показывает, что существуют пробелы в исследованиях НДС анизотропных пластин в рамках классической теории изгиба Кирхгофа:

— в большинстве работ подкрепляющие элементы представляются в виде абсолютно жестких прямолинейных стержней, не рассматриваются включения, имеющие произвольную криволинейную форму;

— существующие исследования ограничиваются, как правило, единичными включениями, отсутствуют работы, рассматривающие взаимовлияние жестких ребер в анизотропных плитах;

— малочисленны исследования, рассматривающие взаимодействие криволинейных разрезов, гладких отверстий, тонких разомкнутых абсолютно жестких включений и двумерных абсолютно жестких включений в бесконечных и конечных анизотропных пластинах.

Недостатками приведенных в обзоре методов расчета можно назвать во многих случаях отсутствие универсального подхода при решении конкретной задачи (например, при использовании метода конформных отображений), большой объем вычислительных операций (решение с помощью уточненных теорий изгиба), большая размерность разрешающей системы уравнений (метод конечных элементов, метод конечных разностей).

Цслыо работы является разработка методики определения напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин, имеющих дефекты типа трещин, отверстий и содержащих абсолютно жесткие криволинейные стержни и двумерные жесткие шайбы.

Научная новизна и теоретическая значимость:

— построены комплексные потенциалы и сингулярные интегральные уравнения задачи изгиба бесконечной анизотропной пластины, имеющей жесткие включения, непересекающиеся разрезы и гладкие отверстия;

— получены интегральные представления решений и сингулярные интегральные уравнения для конечных анизотропных пластин с трещинами, отверстиями и жесткими включениями;

— разработаны алгоритм численного решения возникающих систем сингулярных интегральных уравнений и компьютерные программы, реализующие вычисления.

— решен ряд новых задач изгиба бесконечных и конечных анизотропных пластин, содержащих дефекты (непересекающиеся разрезы, гладкие отверстия) и подкрепления (разомкнутые абсолютно жесткие стержни, двумерные жесткие включения).

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на объединенном научном семинаре кафедр «Прочность летательных аппаратов» и «Самолетои вертолетостроение» (5 октября 2006 г.), на Всероссийской школе-семинаре по современным проблемам механики деформируемого твердого тела (Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2003 г.), па Восьмом и Девятом Российско-Корейских Международных Симпозиумах по науке и технологиям (KORUS — 2004, 2005), па Всероссийской конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецкий филиал-институт КемГУ, 2004 г.), на XVIII и XIX Межреспубликанских конференциях «Численные методы решения задач теории упругости и пластичности «(Кемерово, 2003 г., Бийск, 2005 г.), на Всероссийской научно-технической конференции, посвящепной 60-летию отделений аэродинамики летательных аппаратов и прочности авиационных конструкций «Аэродинамика и прочность конструкций летательных аппаратов» (СибПИА, 2005 г.), па Межвузовских научных студенческих конференциях «Интеллектуальный потенциал Сибири» (НГТУ, 2003, 2004 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации содержатся в 12 научных публикациях [18, 23,24, 80,87, 88, 89, 90,91,96,97, 81].

Структура и объем диссертации

.

Диссертация содержит 145 страниц и состоит из введения, пяти глав и списка литературы, содержащего 108 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Метод сингулярных интегральных уравнений, используемый в работе для решения задач изгиба анизотропных бесконечных многосвязных пластин, ограниченных гладкими контурами сложной формы и содержащих гладкие криволинейные дефекты, а также для решения задач изгиба конечных пластин, ограниченных многосвязпыми контурами, при различных краевых условиях на кромках пластин, и построенный алгоритм численной реализации полученных уравнений, использовались для решения частных задач изгиба пластин в рамках теории Кирхгофа.

В итоге построенных численных решений выделим основные результаты, полученные в работе.

1. В рамках технической теории топких пластин решена задача изгиба конечных и бесконечных многосвязных анизотропных пластин. Построены комплексные потенциалы, моделирующие гладкие отверстия, криволинейные разрезы и жесткие включения в пластинах.

2. Построен и реализован на компьютере в виде программного пакета эффективный алгоритм численного решения системы СИУ, к которой приводится задача изгиба многосвязных анизотропных пластин. Показана эффективность предлагаемого метода решения, путем сравнения с известными результатами для изотропных пластин и решения тестовых задач.

3. С помощью программного пакета решен ряд новых, технически важных задач изгиба анизотропных пластин. Проведено сравнение полученных результатов с данными экспериментов, проведенных независимыми исследователями.

4. В ряде задач исследовано влияние геометрии пластин, краевых условий на контурах, механических характеристик материала на НДС (ККН и КИН).

5. Предложен и реализован в конкретной задаче алгоритм рационального весового проектирования пластин из композитных материалов.